常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性,由于微分方程的通解中含有任意常数，当任意常数取不同的值时，就得到不同的积分曲线，所以通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族

第六章 常微分方程

教学目的和要求：

１ 理解微分方程基本概念

２ 掌握解可分离变量的微分方程的方法

３ 掌握齐次方程的解法

４ 掌握一阶线性微分方程解法

５ 了解可降阶的高阶微分方程的解法

6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法

7 掌握简单二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.

第一节 微分方程的概念

一、微分方程的基本概念

我们通过具体例子来说明微分方程的基本概念。

例1 求过（1，2）点，且在曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率等于2x的曲线方程。

解 设所求曲线的方程为y=f(x). 根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足方程

=2x （1）

或 dy=2xdx.

由于曲线过点(1,2),因此未知函数y=f(x)还应满足条件

y│_x=1=2 （2）

对（1）式两端积分，得 ：

y=x²+c. （3）

把（2）代入（3）式，得：c=1.

所以，所求曲线的方程是：

y=x²+1

例2 质点以初速v₀铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律。

解 如图6-1取坐标系.设运动开始时（t=0）质点位于x₀,在时刻t质点位于x. 变量x与t之间的函数关系x=x(t)就是我们要求的运动规律。

根据导数的物理意义，按题意，未知函数x(t)应满足关系式 ：

=-- g (4)

此外，x(t)还应满足下列条件：

t=0时， x=x₀, =v₀ (5)

把(4)式两端对t积分，得：

=--gt+ ₍₆₎

再积分，得:

x=-- gt²+c₁t+c₂ (7)

把条件（5）代入（6）和（7），得: c₁=v₀, c₂=x₀, 于是有:

x=－ gt²+v₀t+x_{0. (8)}

上面两个例子中关系式（1）和关系式（4）都含有未知函数的导数,对于这类关系式,给出下面的定义:

定义 凡含有自变量、未知函数及其导数 图6-1

(或微分)的等式叫做微分方程。

需要指出的是：

1）在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）一定要出现。

2）如果微分方程中的未知函数只含一个自变量，这种微分方程叫做常微分方程。本章只讨论常微分方程，把它简称为“微分方程”或“方程”。

出现在微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

例如，上面方程（1）是一阶微分方程，方程（4）是二阶微分方程。方程 x²y +xy＂-4 ＇=3x⁴是三阶微分方程，而方程y⁽⁴⁾-4y +10y -12y +5y=sin2x是四阶微分方程。

求函数f(x)的原函数的问题，就是一阶微分方程y＇=f(x).这是最简单的一阶微分方程，方程（1）就是这种方程，一般地，一阶微分方程的形式为：

y＇=f(x,y) 或F(x,y,y＇)=0.

而二阶微分方程的一般形式为：

或

由前面的例子可见，在研究实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数。就是说，找出这样的函数，把这样的函数代入微分方程式后，能使该方程变成恒等式，这样的函数叫做该微分方程的解。求微分方程解的过程，叫做解微分方程。

例如函数式（3）是方程式（1）的解，函数式（7）（8）都是方程（4）的解。

从例1、例2可以看出，对于形如：

y⁽ⁿ⁾=f(x)

的微分方程，只要积分n次，就可以得到它的解。象这类方程叫做可直接积分方程。

如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

例如函数式（3）是方程（1）的通解，函数式（7）是方程（4）的通解。

例1,例2表明，为了求出实际需要的完全确定的解，仅求出方程的通解是不够的，还应附加一定的条件，确定通解中的任意常数。如例1中，通解y=x²+c由条件y| =2 求得C=1。定出通解中任意常数的附加条件叫做初始条件。

如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是：

y| =y

其中 和 都是给定的常数。如果方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是： y| = y₀, y | = y ,

其中x₀、y₀、y 也都是给定的常数。

在通解中，若使任意常数取某定值，或利用初始条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。如函数式（8）是方程（4）的特解。

微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线，由于微分方程的通解中含有任意常数，当任意常数取不同的值时，就得到不同的积分曲线，所以通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族。例如，在例1中，微分方程（1）的积分曲线族是立方抛物线族 y=x³+c, 而满足初始值条件（2）的特解 y=x³+1就是过点 （1，2）的三次抛物线（图6-2）。这族曲线的共性是：

在点x₀处，每条曲线的切线是平行的，它们的斜率都是 y＇(x₀)=3

图6-2

例3 验证函数 y=c₁e^2x+c₂e^-2x (c₁,c₂为任意常数)是二阶微分方程

y〞-4y=0 (9)

的通解，并求此微分方程满足初始条件：

y|_x=0=0, y |_x=0⁼1 (10)

的特解。

解 要验证一个函数是否是一个微分方程的通解，只需将该函数及其导数代入微分方程中，看是否使方程成为恒等式，再看通解中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同。

将函数y=C₁e^2x+C 分别求一阶及二阶导数，得：

=

^=. (11)

把它们代入微分方程（9）的左端，得

-4y= =0，

所以函数y= 是所给微分方程（9）的解。又因这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程（9）的阶数相同，所以它是该方程的通解。

要求微分方程满足所给初始条件的特解，只要把初始条件代入通解中，定出通解中的任意常数后，便可得到所需求的特解。

把（10）式中的条件: y| =0 及 |_x=0=1 分别代入

y=

及 =

中，得

解得 c₁= , c₂=－ . 于是所求微分方程满足初始条件的特解为：

y=

二 变量可分离的微分方程

看下面的例子:

例4 解微分方程

=2xy². (12)

解 如果对（12）式两边直接求积分，则得

即 y=

上式右端中含有未知函数y，无法求得积分。因此，直接积分法不能求出它的解。

如果考虑将方程写成形式

=2xy²,

并把变量x和y“分离”，写成形式

, （13）

然后再对（13）式两端求积分

得 － =x²+c,

即 y=－ . （14）

其中C是任意常数。

可以验证，（14）式满足微分方程（12），它就是所求方程（12）的通解。

通过这个例子我们可以看到，在一个一阶微分方程中，如果能把两个变量分离，使方程的一端只包含其中一个变量及其微分，另一端只包含另一个变量及其微分，这时就可以通过两边积分的方法来求它的通解，这种求解的方法称为分离变量法，变量能分离的微分方程叫做变量可分离的微分方程。

变量可分离的微分方程的一般形式为

=f(x)g(y)

求解步骤为：

（1） 分离变量

（2） 两边积分，得

（3）求出积分，得通解

G(y)=F(x)+c

其中G（ y）、F（x）分别是 ，f(x)的一个原函数。

例5 求微分方程 的通解。

.解 将已给方程变量分离,得

两边积分,得

即

㏑ （15）

从而

即

y=

因 仍是任意非零常数,令c= ，又y=0是方程的解。得该方程的通解为：

以后为了运算方便,可把式(15)中的㏑ 写成㏑y,任意常数c₁写成㏑c,最后得到的c仍是任意常数。

例6 求微分方程xy²dx+(1+x²)dy=0满足初始条件 y 的特解.

解 原方程可改写为

(1+x²)dy=-xy²dx

变量分离,得

两边积分,得

,

㏑(1+x²)+C

把初始条件y 代入上式,求得C=1。于是,所求微分方程的特解为

㏑(1+x²)+1

即 y=

习 题 6-1

1、 指出下列方程中哪些是微分方程?并说明它们的阶数

(1) (2) y²-3y+x=0;

(3) x(y’)²+y=1; (4) (x²+y²)dx--xydy=0

2、 验证下列各微分方程后面所列出的函数(其中 均为任意常数)是否为所给微分方程的解？如果是解,是通解还是特解?

(1) ， y=(c₁+c₂x)e (c₁,c₂为任意常数)；

（2） (x+y)dx+xdy=0, y= （C为任意常数）；

(3) (x-2y) =2x-y, 由x²-xy+y²=C确定的隐函数y (C为任意的常数)。

3、 求下列微分方程的通解或特解.

(1) . (2) =e^x

(3) xdy=(2-x)dx, y| _x=1=1. (4) =2sin3x, | _x=0=1.

(5) ， | _x=0=0, |_x=0= .

4、 求下列微分方程的通解或特解.

(1) ;

(2) y(1-x²)dy+x(1+y²)dx=0

(3) sec²xcot ydx-csc²ytan xdy=0

(4)

(5) ㏑y,

(6) sinycosxdy--cosysinxdx=0, y| _x=0= ;

(7) (1+e^x)y y| _x=0=1.

5 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程:

(1)曲线在点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方;

(2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,而线段PQ被y轴平分;

(3)已知曲线在任一点处的切线斜率等于这个点的纵坐标,且曲线通过点(1,0).

6 从地面上以初速 将一质量为m的物体垂直向上发射,如不计空气阻力,试求该物体所经过的路程s与时间t的函数关系.(提示:取坐标轴铅直向上为正,原点在地面上;列出微分方程及初始条件,再求特解).

7 质量为1克的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比,在t=10秒时,速度等于50厘米/秒,外力为4克.问从运动开始经过了1分钟后质点的速度是多少?

第二节 一阶线性微分方程

在一阶微分方程中, 如果未知函数和未知函数的导数都是一次的,这类方程称为一阶线性微分方程.。

一阶线性微分方程的一般形式是

(1)

其中p(x)、Q(x)都是x的已知连续函数，方程所含的未知函数y及其导数 最高次幂是一次的。如果Q(x)≠0,则方程(1)称为一阶非齐次线性微分方程。如果Q(x)=0，则方程(1)变成

+p(x)y=0 (2)

称为一阶齐次线性微分方程。

例如，下列一阶微分方程

（3）

（4）

（5）

都是线性微分方程，其中（3）（4）是非齐次的，（5）是齐次的，但是，下列微分方程 , （6）

y （7）

㏑y=0 (8)

都不是一阶线性微分方程，因为（6）中含有y³,它不是y的一次式；（7）中含有yy′项，它不是y或y′的一次式；（8）中含有㏑y项，它不是y的一次式。

一、一阶齐次线性微分方程的解法

我们先讨论齐次线性方程(2)的解法。不难发现，齐次线性方程(2)是变量可分离的一阶微分方程。变量分离，得

两边积分，得

㏑y=-- ㏑c

于是

(9)

这就是方程(2)的通解。

这里，按不定积分的定义，在不定积分的记号内包含了积分常数，但上式已将不定积分的积分常数先写了出来，这只是为了方便地写出这个齐次方程的求解公式。因而，用上式进行具体运算时，其中的不定积分 p(x)dx只表示了p(x)的一个原函数。在以下的推导过程中，我们也作这样的规定。

二 一阶非齐次线性微分方程的解法

前面已经求得齐次方程(2)的通解为

y=ce

其中c 为任意常数。现在设想非齐次方程(1)也有这种形式的解，但其中c不是常数，而是某个关于变量x 的函数。

即

y=C(x) e （10）

然后再确定未知函数C(x)

对式(10) 求导,得

=

代入方程(1)，得

两边积分，得

C(x)=

将上式代入式(10),得

y=e (11)

这就是一阶非齐次线性微分方程(1)的通解，其中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数。

上述求非齐次微分方程通解的方法，是将对应的齐次方程的通解中的任意常数c换成一个特定函数C(x)，然后求出非齐次线性微分方程的通解，这种方法叫做常数变易法。

公式(11)也可写成下面的形式：

y=e (12)

式(12)中的右端第二项恰好是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，而第一项可以看作是通解公式(11)中取c=0得到的一个特解。由此可知：一个非齐次线性方程的通解等于它的一个特解及与之对应的齐次线性微分方程的通解之和。这个结论揭示了一阶线性非齐次微分方程的通解结构。

例1 求微分方程 +2xy=2x 的通解。

解 这是一阶非齐次线性微分方程，下面用两种方法求解

解法1 按常数变易法求解

(ⅰ)先求对应齐次方程 +2xy=0的通解，变量分离，得

两端积分,得 ㏑y=--x²+㏑c

即

y=ce

这就是所求对应齐次微分方程的通解。

(ⅱ) 设y=c(x)e 为原线性非齐次方程的解，其中c(x)为待定函数，则

将y及 代入原线性非齐次方程，得

化简，得

积分，得

C(x)=

其中C为任意常数，故原线性非齐次微分方程的通解为：

y=(x²+C)e

解法2 直接利用通解公式(11)求解,

因为p(x)=2x, Q(x)=2x ,代入公式(11),得所求非齐次微分方程的通解为：

y=e

=e

=e

=e

注意，使用一阶线性非齐次方程的通解公式(11)时，必须首先把方程化为形式如(1)式的标准形式，再确定未知函数y的系数p(x)及自由项Q(x).

例2 求方程 -- =2x

满足初始条件 y∣_x=0=0 的特解。

解 原方程对应的齐次微分方程是

-- y=0.

用变量分离法求得它的通解为

y=C( x²+1)

用常数变易法，设原方程通解为

y=C(x)(x²+1)

则

y′= (x)(x²+1)+2x·C(x)

将y和y′代入原方程，化简得

c′(x)=

两边积分，得

C(x)= ㏑(x²+1)+C

所以原方程的通解为：

将初始条件 y∣_x=0=0 代入上式,求得 C=0,故所求微分方程特解为

y=(x²+1) ㏑(x²+1).

例3 在图(6-3)所示的RC电路中,电阻R=10欧姆,电容C=0.1的法拉,电源电压u=10sint伏特,开关k闭合前,电容C上的电压u_c=o,求开关k闭合后电容C上的电压随时间而变化的规律u_C(t)。 图6-3

解 设开关k闭合后电路中的电流为i(t),电容器极板上的电量为q(t),则

q=cu_c, = = =c

根据回路电压定律:电容C上的电压u_c与电阻R上的电压Ri之和等于电源电压

u_c+

即 u_c+Rc

把R、C、u的值代入,并列出初始条件,得

由公式(11),得方程的通解:

u （t）=

把初始条件u_c∣_t=0=0代入上式,得A=5,于是所求的特解,即电容C上的电压为u_c(t)=5e +5(sint-cost)

=5e +5 sin(t- ) (伏特)

现将一阶微分方程的几种类型和解法归纳如下:

表6-1

方程类型		解法
变量可分离 =f(x)g(y)		变量分离、两边积分
一 阶 线 性 方 程	齐次 +p(x)y=0	变量分离、两边积分 或用公式y=
	非齐次 +p(x)y=Q(x)	公式法 y=e 或常数变易法

习 题 6-2

1 求下列微分方程的通解

(1) y (2)

(3) (4) (x²-1)

(5) (提示：把x看成y的函数)

2 求下列微分方程满足初始条件的特解:

(1) ；

(2) ；

(3) y㏑ydx+(x-㏑y)dy=0, x| _y=e= .；

3 有一条过原点的曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率等于2x+y,求曲线的方程。

4 设 y=y₁(x) 与 y=y₂(x) 是一阶线性非齐次微分方程 y′+p(x)y=Q(x)的两个不同的特解，证明 y=y₁(x)+ y₂(x) 是线性齐次微分方程 的解。

5 设y=y₁(x)与y=y₂(x)分别是线性非齐次方程 +p(x)y=Q₁(x)和 的两个不同的特解，证明：y=y (x)+y (x)是线性非齐次方程

的解。

第三节 齐次方程与高阶特殊类型微分方程

一 齐次方程

如果一阶微分方程可化成形式为

（ ） （1）

的方程，那么就称其为齐次方程。例如：

（xy- ）dx--(x²-2xy)dy=0

是齐次方程，因为它可化为：

齐次方程（1）中的变量x与y一般是不能分离的，如果我们引进新的未知函数

u= , (2)

就可把方程(1)化为变量可分离的方程，因为由(2)有

y=xu, ,

代入方程(1), 得

u+x (u),

即

x (u)-u.

这是变量可分离的方程，变量分离，得

.

两端积分，得

求出积分后，再用 代替u，便得所给齐次方程的通解。

例1 求解方程

y²+x²

解： 原方程可写成

这是齐次方程，令 =u，则

y=xu, ,

代入上列方程，得

u+x

即

x

变量分离，得

(1-

两边积分，得

u-lnu=lnx+lnc,

或写成

u=㏑(cxu).

以u= 代入，得

=㏑cy,

即

Cy=e .

对于齐次方程，我们通过变量代换y=xu, 把它化为变量可分离的方程，然后变量分离，经积分求得通解。变量代换的方法是解微分方程最常用的方法..这就是说，求解一个不能变量分离的微分方程，常要考虑寻求适当的变量代换(因变量的变量代换或自变量的变量代换)，使它化为变量可分离的方程。

例2 求解微分方程

= .

解 令x+y=u,则y=u-x, = --1.于是

-1= ,

即

= +1= .

变量分离，得 :

积分得：

u-㏑(u+1)=x+c.

以 u=x+y 代回，得：

y-㏑(x+y+1)=c,

或

x=c e^y-y-1, (c =e^-c).

二、特殊类型高阶微分方程：

二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程。本节将介绍两种特殊类型的高阶微分方程，它们可以通过积分或变量代换，降为较低阶的微分方程来求解。这种求解方法也称为降阶法。

1 y⁽ⁿ⁾=f(x)型

微分方程

y⁽ⁿ⁾=f(x) (3)

的右端只含有自变量x,由于y⁽ⁿ⁾= (y^(n-1)),所以方程(3)可改写为

(y^(n-1))=f(x) 或 d(y^(n-1))=f(x)dx,

将上式两端分别积分一次，便得一个(n-1)阶微分方程

y^(n-1)= ∫f(x)dx+c _.

再积分一次，便得到一个(n-2)阶微分方程

y^(n-2)=∫[∫f(x)dx+c ]dx+c .

依次积分n次，即可得到方程(3)含有n个任意常数的通解。

例3 求微分方程y″′=2x+sinx的通解。

解 对所给方程依次积分三次，得

y=

记 =c₁ 即得所给微分方程的通解为

其中c_1，c_2，c₃都是任意常数。

2、y″=f(x,y′)型

微分方程

y″=f(x,y′) (4)

的右端不显含未知函数y，在这种情形中，可通过变量代换，把方程(4)降为一阶微分方程求解。

令y′=p,则y″= .代入方程（4），得：

=f(x,p).

这是关于变量x和p的一阶微分方程，若能求出其通解，设为p=φ(x,c )

即有

或 dy=φ(x,c )dx.

两端积分，便得所给微分方程（4）的通解为

y=

例4 求微分方程y - 的通解。

解 所给方程中不含未知函数y, 可设 =p,则 = ,代入原方程后，得

这是一阶线性非齐次方程，利用其通解公式,可得

p=

⁼

于是有

再积分一次，便得原方程的通解为

y=

=(x+1)e

=(x+1)e _, （C₁= ）

例5 求微分方程 y = 满足初始条件:y 的特解。

解 所给方程中不含未知数y，可设 =p,则 = ，代入原方程得

这是可变量分离的一阶微分方程，变量分离得

两端积分，得

㏑p=㏑(1＋x²)＋㏑c

化简，得

p=c _(1+x²₎

即

=c (1+x²)

代入初始条件: ，得c =3

故得

=3(1+x²)

这是一阶微分方程，再积分，得

y=3

再以初始条件：y 代入得 。于是，所求特解为:

y=x³+3x+1

习 题 6-3

1 求下列齐次方程的通解或满足初始条件的特解：

(1) x -y- ; (2) (x³＋y³)dx-3xy²dy=0;

(3) (1+2e )dx+2e (1- )dy=0; (4) (y²-3x²)dy+2xydx=0, y ;

(5) (x²＋2xy－y²)dx+(y²＋2xy-x²)dx=0,y

2 验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程，可经变量代换v=xy化为变量可

分离的微分方程，并求其通解

3 用适当的变量代换将下列方程化为变量可分离的微分方程，然后求出通解：

(1) = (2) =

(3) x +y=y(lnx+lny); (4) y(xy+1)dx+x(1+xy+x y²)dx=0

4. 求下列微分方程的通解或满足初始条件的特解

(1) =2x-cosx; (2) -- ;

(3) =㏑x, y(1)=0, (1)=- , (1)=-1;

(4) -a =0 (a﹥0为常数),y

第四节 二阶常系数齐次线性微分方程

微分方程

（1）

称为二阶常系数齐次线性微分方程。其中p，q为常数。

为了求二阶常系数齐次线性微分方程的解，先讨论如下定理。

定理 如果函数y 与y₂是方程（1）的两个解，那么

y=c y +c y （2）

也是方程式（1） 的解，其中 c 与c 是任意常数。

证 将(2)代入方程(1)的左边，得

=

由于y 和y 是方程的(1)的解，即

+ p + qy =0,

因此

=0

所以(2)式是方程(1)的解

这个定理表明了常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性。

由此定理可知，如果我们能找到方程(1)的两个解y (x)及y (x)且 ，那么

y=c y (x)+c y (x)

就是含有两个任意常数的解，因而就是方程（1）的通解。

（注：如果 ，即 y₁(x) (x) ，那么 此时这个解实际上只含一个任意常数，因而就不是二阶方程式（1）的通解。）

下面，我们讨论如何求方程（1）的两个特解。

当r为常数时，指数函数y=e^rx和它的各阶导数都只相差一个常数因子，由于指数函数有这样的特点，因此我们用函数y=e^rx来尝试，看能否适当地选取常数r,使y=e^rx满足方程（1）。

对 y=e^rx 求导，得

, =r²e^rx

把y, 代入方程 （1），得

(r²+pr+q)e^rx=0

由于 ， 所以

r²+pr+q=0 （3）

由此可见，只要常数r满足方程（3），函数y=e^rx就是方程（1）的解，我们把代数方程（3）称为微分方程（1）的特征方程。

特征方程（3）的根称为特征根，可以用公式

求出。它们有三种不同的情形：

(i) 当p²-4q＞0时, r _,r 是两个不相等的实根

r = , r = ;

(ii) 当p²-4q=0时, r r 是两个相等的实根

r ₌r _{=-- ;}

_(iii) 当p -4q<0时，r _,r 是一对共轭复根`

r = +i , r = -i ,

其中 =- , = .

相应地，微分方程（1）的通解也就有三种不同的情形：

(i)特征方程有两个不相等的实根：r ≠r .

由上面的讨论知道， 是微分方程（1）的两个解，且 =e 不是常数，因此方程（1）的通解为：

（4）

<ii> 特征方程有两个相等的实根：r =r

_.这时，我们只能得到微分方程（1）的一个特解 ，我们还需求出另一个特解y _，且要求 常数。

设 =u(x)≠c, 即

对y 求导，得

代入方程（1）得

=0

约去 ,并按 合并同类项，得

由于r 是特征方程(3)的重根，故r ²+pr +q=0, 2r +p=0, 于是有

解得 u=c +c x，由于我们只要得到一个不为常数的特解，所以不妨选取u=x,由此得微分方程的另一个特解

从而微分方程(1)的通解为

(iii) 特征根是一对共轭复数根：

r = +i , r = -i ( . 是实数，且 ≠0). 这时y =e 和y =e 是微分方程(1)的两个特解，但这两个解含有复数，不便于应用，为了得到微分方程（1）不含有复数的解，可以利用欧拉公式

把y ,和y 改写为

由于y 和y 之间成共轭关系，因此，取它们的和再除以2就得到它们的实部，取它们的差，再除以2i就得到它们的虚部，即

,

可知 和 仍是微分方程（1）的解，又因为当x≠ 时 =cot 常数,

由此得到微分方程（1）的通解为:

y=e^ax(c₁cos ) (6)

例1 求 微分方程 的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r²+r-6=0,

即

(r+3)(r-2)=0

特征根为

r =-3, r =2 (r )

根据(4)式，方程的通解为

r=c e^-3x+c e^2x

例2 求微分方程 4 满足初始条件

s 的特解

解 将所给方程两边同除以4，即得二阶常系数线性齐次方程的标准形式

它的特征方程为

r , 即 (r- )²=0

因特征方程有两个相等的实根r =r = ，根据公式（5）得所给微分方程

的通解为 S=(c +c t)e

为了求特解，将上式对t求导，得

将初始条件: s 分别代入上面二式，得

c =1, c =

故得所给微分方程满足初始条件的特解为

s=(1+ )e

例3 求微分方程 的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r²-2r+5=0.

特征根为

r =1+2i, r =1-2i,

根据(6)式，得方程的通解为

y=e^x(c cos2x+c sin2x).

综上所述，求二阶常系数线性齐次方程（1）的通解步骤如下：

第一步：写出特征方程，并求出特征方程的两个根；

第二步：根据两个特征根的不同情况，按公式（4）﹑ （5）或（6）写出微分方程的通解。为使用方便起见，现列表如下：

表 6—2

特征方程r2+pr+q=0的两个根r ,r	微分方程 的通解
两个不相等的实根r ≠r
两个相等的实根r1=r
一对共轭复根r ， = ( >0)

习 题 6-4

1 求下列微分方程的通解：

（1） （2）

（3） 0 （4）

（5） （6） =0

2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1） 0,

（2）

（3）

3 已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 ，对应的特征方程判别式等于0，求此微分方程满足初始条件 的特解。