由于q′与的偏离是无穷小的，从而由此造成的Lagrange函数的差别也至多是与qε成正比

http://staff.ustc.edu.cn/~phj/Classical_Mechanics/3_7.pdf
由于q′与的偏离是无穷小的，从而由此造成的Lagrange函数的差别也至多是与qε成正比

Noether

定理

Noether

定理讲的是体系的对称性与守恒量之间的关系。我们讲一个体系具有某种对称性是指：当对体系进行某种操作后其动力学方程是保持不变的，这些操作通常使得坐标发生了变化。

设某个体系的

Lagrange函数为(),,Lqqt􀀅，从而广义坐标满足Lagrange方程iq (, 1,2,,iiLdLiqdtq∂∂==∂∂􀀢􀀅 (1)

现在考察坐标的一个无穷小变换：

(),iiiiqqqsqtε′→=+ (2)

其中，

ε是一个无穷小的参数。这时候，(),,Lqqt􀀅变为了(),,Lqqt′′􀀅[二者具有相同的函数形式]。我感兴趣的第一个问题是：(),,Lqqt′′􀀅具有什么样的形式时，体系的Lagrange方程才是不变的？显然，如果Lagrange函数在此变换下是不变的，即()(),,,,LqqtLqqt′′=􀀅 (3)

那么

Lagrange方程在此变换下也是不变的。要求不变是有些过于苛求了，因为真正需要不变的是动力学方程，即Lagrange方程。正如我们已经知道的，容许Lagrange函数作如下变换时L ()()(),,,,,dFqtLqqtLqqtdt′′=+􀀅􀀅 (4)

这些方程实际上也是不变的。由于

q′与的偏离是无穷小的，从而由此造成的Lagrange函数的差别也至多是与qε成正比，因此，我们就可以将写为F ()(),FqtGqt ε= (5)

当然，如果，这就是关系

(3)，它可以作为这里一般情形下的特例。0G=

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而接下来我们将看到一个重要而有趣的现象：当对坐标作变换

(2)时，如果动力学方程是不变的，或者说如果Lagrange函数是规范不变的，那么，这就意味着存在某个不随时间变化的力学量，即守恒量（也称为运动常数）。

这是因为：如果我们将

(4)式左边按照ε作Taylor展开()()()(),,,,,,,,iiiiiiiiiLLLqqtLqqtssqqdLLdLqqtssdtqqdtdLLqqtsdtqεεε⎛⎞∂∂′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠⎡⎤⎛⎞∂∂⎛⎞++⎢⎥⎜⎟⎜∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅 (6)

其中第二个等号利用了

Lagrange方程。由方程(4)就得到iidLdsdtqdt⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠􀀅 (7)

即

0iidLsGdtq⎛⎞∂−⎜∂⎝⎠􀀅 (8)

也就是说，括号中的项在运动过程中是一个常数

const.iiLsGq∂−∂􀀅 (9)

通常将

(,,iiiLppqq ∂==∂􀀅􀀅 (10)

称为是与对应的广义动量（或共轭动量）。我们就有

iq const.iipsG−= (11)

如果具有长度量纲，那么

iqip就具有动量的量纲；而如果具有角度量纲，那么iqip就具有角动量的量纲。

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对于每一组你能找到的

is，就能得到一个运动常数。体系Lagrange函数在变换(2)下的规范不变性与运动常数（守恒量）之间的这种联系称为Noether定理：

如果Lagrange函数在无穷小变换下是规范不变的，那么对于Lagrange方程就存在运动常数

LiiLsGq∂−∂􀀅。

当然，如果

Lagrange函数在此变换下是不变的，那么运动常数简单地就是 or iiiL spsq∂∂􀀅

举一个例子，如果

Lagrange函数不显含某个坐标譬如说，我们将称为是循环坐标，在这种情况下，当把坐标作变换kqkq ()()(), iiiiiqtqtqtss εδ′→=+= (12)

时，

Lagrange函数实际上是不变的，即0G=（实际上，你将加上任意一个有限的数，而其他坐标保持不动，Lagrange函数也是不变的），因此，如果是循环坐标，那么对应的广义动量就是守恒量： kqkq const.kkLpq∂==∂􀀅 (13)

当然，从

Lagrange方程这一点可以很直接地得到。因为是循环坐标意味着kq 0kLq∂=∂ (14)

从而

0kkkdpdLLdtdtqq∂∂===∂∂􀀅 (15)

所以，

如果是循环坐标，那么对应的广义动量就是运动积分。

iq

例如，考虑中心力场中运动的粒子，在极坐标系中，其

Lagrange函数

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()

()(2221,,,2LmrrUrtLrr θθ=+−=􀀅􀀅􀀅 (16)

并不明显依赖于

θ，或者说θ是一个循环坐标，因此相应的广义动量2const.Lpmrθθθ∂===∂􀀅􀀅 (17)

守恒。而

pθ实际上正是粒子相对于力心的角动量[注意，在分析力学中我们用pθ表示与θ对应的广义动量，它并不是粒子动量在ˆθ方向的投影]。在此情形，前面的变换(12)实际上就是将粒子绕着力心转过某个角度。

由于用广义坐标有时不大容易与体系所具有的直观对称性联系起来，因此，我们将上面的结论在迪卡尔坐标系中重新表述一下来讨论封闭体系所具有的对称性以及相应的守恒量。

考察

Lagrange函数()(1,,2aaaLTUmrrUrtLrrt=−=−= 􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (18)

这里不要求这些迪卡尔坐标是独立的。现在我们讨论坐标的无穷小变换

aaarrr εη′→=+􀁋􀁋􀁋􀁋 (19)

它可以看作是由于广义坐标作如下变化引起的

(),aiiiiaaaairqqqsrrrqtrqεε∂′′′→=+⇒→==+∂􀁋 􀁋􀁋􀁋􀁋 (20)

即

aη􀁋与is有如下关系： aair sqη∂=∂􀁋􀁋 (21)

如果在此变换下

Lagrange函数是规范不变的，即()()()()(),,,,with ,,,dGLrrtLrrtdtGGrtGrqttε′′=+==􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀁋􀁋 (22)

根据前面的讨论，这时候

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const.

aiiiaiaiaiaarLLsGsGqrqrLsGrqLGrη∂∂∂−⋅−∂∂∂∂∂=⋅−∂∂∂=⋅−∂􀁋􀀅􀁋􀀅􀀅􀀅􀁋􀁋􀀅􀁋􀁋􀀅 (23)

而你知道

aaLpr∂=∂􀁋􀁋􀀅 (24)

正是第个粒子的动量，因此

a const.aapGη⋅−=􀁋􀁋 (25)

考察一个封闭的力学体系，将其

Lagrange函数利用位矢和速度表示出来()()(,11122naaaabababLTrUrmrrUr==−=−Σ􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀀅 (26)

显然，总的势能显然在空间平移和转动下都是不变的（当然动能也是不变的，事实上，你不难看出在空间平移和转动下任一体系的动能都是不变的）。因此，在坐标作无穷小的平移或转动时

Lagrange函数是不变的，也就是说在这两种变换下，规范函数0G=。

首先考察在某个矢量

η

􀁋

方向上的平移, with const. vectoraarrεηη′=+=􀁋􀁋􀁋􀁋(27)

此时

aη􀁋变为了aηη=􀁋􀁋。由于Lagrange函数在此变换下都是不变的，即， 0G=

因此

const.aaaaappPηηη⋅⋅⋅ΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋(28)

即总动量在

η

􀁋

方向的分量是守恒的。而这一结论对于任意η

􀁋

（η

􀁋

的大小和方向都可以是任意的）都是成立的，因此，总动量必然也是守恒的const.P=􀁋(29)

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如果是平移不变的，那么体系的总动量守恒。

L

值得强调的是，只有在无外场情形，动量矢量的所有三个分量才是守恒的。对于处在外场中的体系，如果场具有某种平移对称性，也就是说，如果体系沿着某个方向平移任意一段距离时，体系的力学性质不变，那么前面的推导就告诉我们总动量在这个方向上的分量是守恒的。例如，在沿轴的均匀场中，动量在

zx和方向的分量守恒。y

换一个角度，由于封闭体系的

Lagrange函数在平移变换(27)下不变()()0,,,,aaaaLLLrrtLrrtrrεηεηεη∂∂=+−⋅⋅∂∂Σ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀁋􀁋(30)

利用

aaaLUFrr∂∂=−∂∂􀁋􀁋􀁋(31)

因此

0aaFFεηεη⋅⋅Σ􀁋􀁋􀁋􀁋(32)

即总的力在

η

􀁋

方向的分量为零，由于η

􀁋

任意，因此0aaFF==Σ􀁋􀁋(33)

也就是说，相互作用的总和是等于零的。特别是，对于两个粒子构成的体系，上式意味着，即两个质点之间的相互作用大小相等、方向相反。这就是作用与反作用定律（

Newton第三定律）。120FF+=􀁋􀁋接下来考察绕着轴的无穷小转动ˆn ˆaarrnr εφ′=+×􀁋􀁋􀁋(34)

因此

ˆanr ηφ=×􀁋􀁋。由于封闭体系的Lagrange函数在此变换下不变，因此()ˆonst.aaaaaapnrpηφ⋅×⋅ΣΣ􀁋􀁋􀁋􀁋(35)

交换混合积的次序就得到

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()

ˆˆonst.aaanrpnLφφ⋅×=⋅Σ􀁋􀁋􀁋(36)

即沿着矢量的总角动量分量是常数，由于这一点对于任意的

ˆnφ和都成立，因此ˆn const. vectorL=􀁋(37)

如果是转动不变的，那么体系的总角动量守恒。

L

类似的，只有在无外场情形，角动量矢量的所有三个分量才是守恒的。但是，对于存在外场情形，如果场具有某个对称轴，那么，当体系绕着这个轴任意转动时，它的力学性质不变，所以角动量在对称轴方向的投影是守恒的。当然，这里所讲的角动量应该相对于对称轴上的某一点而言的。

这类场中最重要的是中心对称的场，也就是势能只依赖于粒子到空间某一定点（力心）的距离的场。很明显，当在中心力场中运动时，相对于力心的角动量在任意轴上的投影都是守恒的，即

L

􀁋

是守恒的。

另一个例子是沿轴的均匀场，在这种场中角动量的投影守恒，与前一例子不同的是，这里计算角动量所选择的坐标原点可以是任意一点。

zzL

最后，看一下如下变换（速度变换）

with const. vectoraaaarrwtrrwwεε′′=+⇒=+=􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅(38)

从而，

awtη=􀁋􀁋，而Lagrange函数变为()()()()()CM,,,,,,,,aaaLrwtrwtLrrtpwdLrrtwPLrrtwMRdtεεεεε++=+⋅+⋅+⋅Σ􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀀅􀀅(39)

因此

CMCMconst.aapwMRwPtwMRη⋅−⋅⋅−⋅􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋(40)

与前面类似的，由于可以是任意的，所以

w

􀁋

(41) CMconst. vectorPtMR−􀁋􀁋第 7 页，共 10 页

Lagrange

函数在速度变换下的规范不变性意味着自由的质心运动。 L

前面我们讨论了在速度变换以及空间平移和转动变换下，

Lagrange函数的（规范）不变性与守恒量之间的关系。很自然地，你会问这样一个问题：与时间平移有关的对称性是否也可以由Noether定理得到某个守恒的力学量。回答是肯定的，但是，由于时间作变换时，在最小作用原理中作用量这个积分的上下限也随之改变，而这就需要讨论与之前稍微不同的一种变分，这种变分成为不等时变分，它对时间的作用不再是等于零的了，而这就超出我想要讲的内容了。因此，这里我将换一个角度讨论这个问题。

我们将

Lagrange函数对时间求全微商： iiiidLLLLqqdtqqt∂∂∂=++∂∂∂􀀅􀀅􀀅􀀅(42)

根据

Lagrange方程，第一项中的iLq∂∂是等于()()iddtLq∂∂􀀅的，因此iiiiiidqdLdLLLdLLqqdtdtqdtqtdtqt⎛⎞∂∂∂∂=++=+⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅􀀅(43)

将上式稍作整理就会得到

iidLqLdtqt⎛⎞∂∂−−⎜⎟∂∂⎝⎠􀀅􀀅(44)

我们将

(),,iiLhqqtqLq∂≡−∂􀀅􀀅􀀅(45)

称为

Jacobi积分。如果势能不依赖于速度，那么第一项就只有动能有贡献，而根据上一节对动能的讨论，我们就有20iiThqTUTTUq⎛⎞∂=−=−⎜⎟∂⎝⎠􀀅􀀅(46)

特别指出两点。

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首先，如果动能是广义速度的二次齐次函数（即变换方程不显含时间，例如稳定约束），那么

Jacobi积分就等于体系的总能量()aarrq=􀁋􀁋hETU==+ (47)

其次，如果

Lagrange函数不显含时间t，那么0Lt∂∂=，而从方程(44)我们就看到，这时候Jacobi积分是一个运动常数，

如果

Lagrange函数不明显地依赖于时间t，那么Jacobi积分是守恒量。而且，如果动能是广义速度的二次齐次函数，那么Jacobi积分等于体系的总能量。

能量守恒定理不仅对于封闭体系成立，而且对于处在不变（不依赖于时间）外场中的体系也是正确的，因为在上面的推导中，唯一利用过的条件是

Lagrange函数不直接依赖于时间。

你可能会提出疑问，在上面的推导中我假设广义坐标与笛卡尔坐标之间的变换方程不显含时间，但是，能够确定体系位置的任意独立变量都可以作为广义坐标，你完全可以选这样的独立变量，使得它们与笛卡尔坐标的关系直接依赖于时间，，那么，这种情况下能量岂不是不守恒了。当然，你也知道这是不可能的，能量不可能因为你描述体系的变量不同就变的不守恒了。那么，问题出在什么地方呢？实际上，这种情况下，由于

(,)aarrqt=􀁋􀁋dhLdtt∂=−∂ (48)

你得出的结论是

Jacobi积分不守恒，而Jacobi积分并不等于总能量。

因此，我们看出：“

h是否等于体系的能量？”与“体系的能量是否守恒？”这是两个不同的问题，你必须对每个问题分别加以考察，这时需要特别强调的。有些情形体系的总能量是守恒的，但是它却不等于能量函数；而在另外一些情形，尽管体系的总能量不守恒，但它却等于我们这里定义的能量函数。

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对称性和物理量不变性之间联系的重要性怎么强调都不会过分

[Einstein评价其为一个“penetrating mathematical thinking”。]。这种联系实际上远远超出了经典力学的范畴，它们在场和基本粒子的现代理论中有着非常广泛的应用。德国女数学物理学家Emmy Noether首先发现了对称性和守恒原理之间的关系，这种联系就被称为Noether定理，我把一些结果总结在下面的表中。

对称操作

守恒量

时间平移

总能量（

1）

空间平移

总动量（

3）

空间旋转

总角动量（

3）

速度变换

自由质心运动（

3）

量子力学的位相

电荷

时间反演

T

空间反演

P

电荷共轭

（物质与反物质）

C

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