傅里叶级数
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称为傅里叶级数(法文:série
de Fourier,或译为傅里叶级数)
一种特殊的三角级数。形如
问题往往是,给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是,利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,bn,就得到傅里叶级数(3)。可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ【ƒ】收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法 常用的判别法有:
① 迪尼判别法 对固定的点x,如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒贝格可积,则σ【ƒ】在点x收敛于s。由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h),那么σ【ƒ】在x收敛于ƒ(x),其中M ,h,α均为正数,且α≤1。另外,当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ【ƒ】一致收敛于ƒ(x)。
② 狄利克雷-若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如[x-h,x+h]上分段单调,则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
上面提到的收敛判别法,对函数所提的要求,都是充分条件,并非必要的。关于收敛性判别法,还有几种。值得注意的是,至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式 三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,/2,(叿n表示сn的共轭复数),那么级数(1)可写成复数形式
傅里叶系数的重要性质 列举下面两条:
① 若ƒ(x∈l(-π,π),则ƒ的傅里叶系数αn,bn(或сn),当n→∞时趋于0,称为黎曼-勒贝格定理。
② 若ƒ(x∈l(-π,π),则有
三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点,于是级数
多元三角级数与多元傅里叶级数 设为m 维欧氏空间R的点,级数
那么称(8)为ƒ的傅里叶级数,并记为
多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质,但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题,却远较一元复杂。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
参考书目
A. Zygmund,Trigonometric Series,Vol. 1~2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.
三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就
一种特殊的三角级数。形如
(1)
的级数,其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是与x无关的实数,称为三角级数。特别,当(1)中的系数αn,bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时,级数(1)称为ƒ的傅里叶级数:
(2)
式中ƒ是周期2π的可积函数,即ƒ∈l(-π,π)。此时,由公式(2)得到的系数αn,bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为
。 (3)
当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛;即使收敛,也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x),即,那么双方都乘以cosnx或sinnx后,在(-π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x),级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。
问题往往是,给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是,利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,bn,就得到傅里叶级数(3)。可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ【ƒ】收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法 常用的判别法有:
① 迪尼判别法 对固定的点x,如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒贝格可积,则σ【ƒ】在点x收敛于s。由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h),那么σ【ƒ】在x收敛于ƒ(x),其中M ,h,α均为正数,且α≤1。另外,当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ【ƒ】一致收敛于ƒ(x)。
② 狄利克雷-若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如[x-h,x+h]上分段单调,则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
上面提到的收敛判别法,对函数所提的要求,都是充分条件,并非必要的。关于收敛性判别法,还有几种。值得注意的是,至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式 三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,/2,(叿n表示сn的共轭复数),那么级数(1)可写成复数形式
,
(4)
这里,(4)的部分和Sn理解为。假如(1)是ƒ的傅里叶级数,那么它的复数形式也是(4),但系数
。 (5)
上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数,又称ƒ的傅里叶系数的复形式。
傅里叶系数的重要性质 列举下面两条:
① 若ƒ(x∈l(-π,π),则ƒ的傅里叶系数αn,bn(或сn),当n→∞时趋于0,称为黎曼-勒贝格定理。
② 若ƒ(x∈l(-π,π),则有
。
这个等式称为帕舍伐尔等式;反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于{сk}(k=0,±1,±2,…)。这个逆命题称为里斯-费希尔定理。
三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点,于是级数
(6)
的实部就是三角级数(1),虚部
(7)
称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数,当它收敛时,其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。
多元三角级数与多元傅里叶级数 设为m 维欧氏空间R的点,级数
(8)
称为m元三角级数,其中,而n1,n2,…,nm为整数。假如ƒ(x)=ƒ(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数,且在立方体
Q:-π
≤xj≤π (j=1,2,…,m) (9)
上,ƒ是勒贝格可积的。类似于(5),如果(8)中系数
傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
参考书目
A. Zygmund,Trigonometric Series,Vol. 1~2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.
三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就
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