长春理工大学的《物理光学》
表明E、B 随时间和空间的变化是遵循波动规律，电磁波
以波动形式在空间传播，电磁波的传播速度v 1/ ，与介质的电学和磁学性质有关。
在真空中，由10-12，传播速度为10-15 0 0 c 1/
代入ε0、μ0 值，求得c=2.99794×10 8 m/s，与实验测定的值一致。
在介质中引入相对介电常数εr=ε/ε0 和相对磁导率μr=μ/μ0 ，由10-12 得电磁波的
速度10-16 r r v c /
电磁波在真空中的速度c 与介质中的速度v 的比值n 为介质对电磁波的折射率，由10-16
10-17 r r n c /v
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第九章场的量子化及其状态的描述(详细版)_百度文库
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1
第十章光的电磁理论基础
第一节光的电磁性质
一、电磁场的波动性
（一）麦克斯韦（Maxwell）方程组
麦克斯韦提出了时变场情况下电磁场的传播规律，为
D 10-1
B 0 10-2
10-3
t
E B
10-4
t
H j D
式中，D 电感强度、E 电场强度、B 磁感强度、H 磁场强度；ρ封闭曲面内的电荷密度；j 积分闭
合回路上的传导电流密度； 为位移电流密度。
t
D
10-1 是电场的高斯定律。表示电场可以是有源场，此时电力线必须从正电荷出发，终止于负电荷。
10-2 是磁通连续定律，即穿过一个闭合面的磁通量等于零，表示穿入和穿出任一闭合面的磁力线的
数目相等。磁场是个无源场，磁力线永远是闭合的。
10-3 是法拉第电磁感应定律。指出变化的磁场会产生感应电场，这是一个涡旋场，其电力线是闭合
的。麦克斯韦指出，只要所限定面积中磁通量发生变化，不管有无导体存在，必定伴随着变化的电场。
10-4 是安培全电流定律。在交变电磁场的情况下磁场既包括传导电流产生的磁场，也包括位移电流
产生的磁场。麦克斯韦认为，在激发磁场这一点上，电场的变化相当于一种电流，称为位移电流。位移
电流是由变化电场产生的，与传导电流在产生磁效应方面是等效的，进一步揭示了电场和磁场的紧密关
系。
（二）物质方程
时变场情况下的麦克斯韦方程组描述电磁场的变化规律。实际电磁场总是在媒质中传播，媒质的性
质影响电磁波的传播。
描写物质在场的作用下特性的关系式称为物质方程。静止的、各向同性的媒质中物质关系有
j E 10-5
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2
D E 10-6
B D 10-7
式中，σ是电导率；ε介电常数（电容率）和μ磁导率，是两个标量。在各向同性均匀介质中，ε
和μ是常数；σ=0。在真空中ε0= 8.8542×10-12C2/N m2（库2/牛米2）； μ0= 4π×10-7 N S2/ C2（牛秒
2/库2）。对于非磁性物质μ=μ0。
物质方程给出了媒质的电、磁学性质，它们是光与物质相互作用时，媒质中大量分子平均作用的结
果。麦克斯韦方程组与物质方程一起构成完整的方程组，用于描写时变场情况下电磁波的普遍规律。在
适当的边界条件下，用于处理具体的光学问题。
（三）电磁场的波动性
从麦克斯韦方程组知道，随时间变化的电场在周围的空间产生一个涡旋的磁场，随着时间变化的磁
场在周围的空间产生一个涡旋的电场，它们互相激励，交替产生，在空间形成统一的场—电磁场，交变
电磁场在空间以一定的速度由近及远地传播，就形成了电磁波。
从麦克斯韦方程组出发，可以证明电磁场传播具有波动性。为简单起见，讨论无限大各向同性均匀
介质的情况，这时ε、μ是常数；σ=0。若电磁场远离辐射源，则ρ= 0、j = 0。麦克斯韦方程简化为
E 0 B 0 10-8 ~ 11
t
E B
t
B E
分别对10-10、10-11取旋度，同时令v 1/ 10-12
有1 0 10-13 ~14
2
2
2
2
t
E
v
E 1 0
2
2
2
2
t
B
v
B
上两式具有一般的波动微分方程的形式，表明E、B 随时间和空间的变化是遵循波动规律，电磁波
以波动形式在空间传播，电磁波的传播速度v 1/ ，与介质的电学和磁学性质有关。
在真空中，由10-12，传播速度为10-15 0 0 c 1/
代入ε0、μ0 值，求得c=2.99794×10 8 m/s，与实验测定的值一致。
在介质中引入相对介电常数εr=ε/ε0 和相对磁导率μr=μ/μ0 ，由10-12 得电磁波的
速度10-16 r r v c /
电磁波在真空中的速度c 与介质中的速度v 的比值n 为介质对电磁波的折射率，由10-16
10-17 r r n c /v
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3
麦克斯韦通过理论计算后预言：交变的电场和磁场产生电磁波，而光波就是电磁波。20 年后，赫
兹发现了电磁驻波，并且证明电磁波具有与光波相同的反射、折射、相干、衍射和偏振特性，传播速度
等于光速。从此人们接受光的电磁理论。
表10-1 电磁波谱
电磁波谱如表10-1 所示。通常的光谱包括紫外线、可见光、红外光。我们要学习的范围是光学波
谱内，研究辐射光的性质，光所引起的现象及应用。
二、平面电磁波及其性质
利用10-13 和10-14 可以分别求出E、B 的多种形式的解，例如平面波、球面波、柱面波等。方程
的解还可以写成各种频率的间谐波及其叠加。
（一）波动方程的平面波解
平面电磁波是在与传播方向正交的平面上各点电场或磁场具有相同的值的波。设平面波沿直角坐标
系的z 方向传播，则平面波的E、B 仅是z 和t 的函数。10-13 和10-14 化为
1 0 10-18 ~ 19
2
2
2 2
2
t
E
z v
E 1 0
2
2
2 2
2
t
B
z v
B
求解方程，有( t ) 10-20 ~ 21
v
E f z ( t )
v
B f z
这正是行波的表示形式。表示源点的振动经过一定时间才传播到场点，电磁波是逐点传播的。
（二）平面简谐电磁波的波动形式
以上是波动方程的通解，具体的波动形式取决于源的波动形式。取最简单的简谐振动作为波动方程
的特解，因为这种振动形式简单，更重要的是可以从傅里叶分析方法可知，任何形式的波动都可以分解
为许多不同频率的简谐振动的和。于是有
cos[ ( t )] 10-22 ~ 23
v
E A z `cos[ ( t )]
v
B A z
就是平面简谐电磁波的波动公式，对于光波就是平面单色光波的波动公式。式中，A 和A`分别是
辐射波频率范围Hz 波长范围
无线电波＜10 9 ＞300nm
微波10 9 ~ 10 12 300 ~ 0.3nm
光波
红外光10 12 ~ 4.3×10 14 300 ~ 0.7μm
可见光4.3×10 14 ~ 7.5×10 14 0.7 ~ 0.4μm
紫外光7.5×10 14 ~ 10 16 0.4 ~ 0.03μm
射线
χ射线10 16 ~ 10 18 30 ~ 0.03 nm
γ射线＞10 18 ＜0.03 nm DocuCom PDF Trial
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4
电场和磁场的振幅矢量，表示平面波的偏振方向和大小；v 是平面波在介质中的传播速度；ω是角频率；
[ω（z/v-t）]称为位相，是时间和空间坐标的函数，表示平面波在不同时刻空间各点的振动状态。
利用物理量之间的关系
2 2 /T vT （介质中） cT （真空中） 10-24 0 /n 0
引入波传播方向的波矢量k
，其大小k 称为空间角频率或波数k 2 / /v 10-24d
于是10-22 可以写为以下两种形式
cos[2 ( )] 10-25 ~ 26
T
E A z t
E Acos(kz t )
10-22、25、26 所描述的波是一个具有单一频率、在时间上和空间上无限延续的波。可以看出，某
一时刻波在空间是一个以波长λ为周期的周期分布，在空间域中，可以用空间周期λ、空间频率1/λ、
空间角频率k=2π/λ来表示它的空间周期性；对于空间固定的点，波在该点是以时间周期T 为周期的一
个周期振动，在时间域中，可以用时间周期T、时间频率1/ T、角频率ω=2π/ T 来表示它的时间周期性。
由10-24 的传播速度v 将空间周期性和时间周期性联系起来。任何时间周期性和空间周期性的破坏，都
意味着光波单色性的破坏。
利用波矢量k
可以写出沿空间任一方向的传播的平
面波的波动公式。如图10-1 所示，沿空间任一方向k
传播
的平面波，在垂直于传播方向的的任一平面Σ上场强相
同，且由该平面与坐标原点的垂直距离s 决定。平面Σ上
任一点P 的矢径r
在k
方向上的投影都等于s，因此
k
．r
= ks，于是有E Acos(k r t ) 10-27
上式就是沿k
方向传播的平面波波动公式。平面波的波面是k
．r
=常数的平面。设k
的方向余弦
为cosα、cosβ、cosγ，平面上任意点P 的坐标为x、y、z，10-27 可写为
E Acos[k (x cos y cos z cos ) t ] 10-28
单色平面波波动公式10-27 也可以写为复数形式
E Aexp[i(k r t )] 10-29
10-27 实际上是10-29 的实数部分，这种代替是为了使计算简化。
把10-29 中的振幅和空间位相因子的乘积记为E~ Aexp(ik r ) 10-30
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5
称E 为复振幅，表示某一时刻光波在空间的分布。只关心其场振动的空间分布时（如干涉、衍射
等问题中），常用复振幅表示一个简谐光波。
（三）平面电磁波的性质
1．平面电磁波是横波平面电磁波的波动公式为
E Aexp[i(k r t )] B A`exp[i(k r t )] 10-31
取散度，并结合10-8、10-9，可以得到
k E 0 k B 0 10-32 ~ 33
上式表明，电矢量和磁矢量的方向均垂直于波的传播方向，电磁波是横波。
2．E
、B
、k
0
互成右手螺旋系将10-31 代入10-10，利用10-11运算后得( ) 0 iB ik k E
式中k
0
是波矢量k
的单位矢量。由10-24，上式可写为
1 ( ) ( ) 10-34
0 0 k E k E
v
B
表明E
和B
互相垂直，由分别垂直于传播方
向k
0
，互成右手螺旋系。
3．E
和B
同位相取10-34 的标量形式，有
v 10-35
B
E
1
证明E
和B
的复振幅比为一正实数，所以E
和B
的振动始终同位相，它们在空间某一点对时间的
依赖关系相同。如图10-2 所示。
三、球面波和柱面波
将一个点光源放在各向同性均匀介质中，从点光源发出的光波以相同的速度沿径向传播，某一时刻
电磁波所到达的各点将构成一个以点光源为中心的球面，其等相面（波面）是球面。
球面简谐波在球坐标下的波动公式为
1 exp[i(kr t )] 10-36
r
E A
表明球面波的振幅与离开源点的距离r 成反比，且等相位面是r 为常数的球面。
~ 1 exp(ikr ) 10-37
r
E A
称为球面简谐波的复振幅，通常表示一个由源点向外的发散的球面波，而向源点会聚的球面波为
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6
~ 1 exp(ikr ) 10-38
r
E A
当考察平面离波源很远，并且只注意考察平面上一个小范围时，r 的变化对球面波振幅的影响可以
忽略，这时的球面波可以视为球面波。
柱面波是具有无限长圆柱型波面（等位相面）的波。在光学实验中，用一平面波照射一细长狭缝，
可以获得接近圆柱面型的柱面波。柱面波的场强分布只与离开光源（狭缝）的距离r 和时间t 有关，可
求得柱面波的波动公式为1 exp[i(kr t )] 10-39
r
E A
另一种常见的解是高斯形式的解，激光器发出的光束就是高斯光束。
四、光波的辐射和辐射能
光波是电磁波，它的传播就是能量的传播过程。光源发光实际上就是物体不断向外辐射电磁波的过
程。应用经典辐射理论可以说明物体发生辐射的物理过程和辐射规律。
（一）电偶极子辐射模型大部分物体的发光属于原子发光类型。经典电磁理论把原子发光看
成是原子内部过程形成的电偶极子的辐射。在外界能量的激发下，原子中的电子和原子核在不停的运动
着，以至原子的正电中心（原子核）和负电中心（高速回转的电子）往往不在一起，两者的距离也在不
停地变化，从而使原子成为一个振荡的电偶极子。振荡的电偶极子必定在周围空间产生交变的电磁场，
并在空间以一定的速度传播，伴随着能量的传递。
若电偶极子作直线简谐振动，偶极距p p et ，式中ω是偶极子振荡角频率，p0振幅矢量。计0
算表明，远离偶极子中心的某点M 的场为
( ) 10-40
2 3
0
2
4
( ) ei kr t
v r
E r p r
( )
3 2
0
2
4
( ) ei kr t
v r
B r p r
式中，r 是偶极子中心到M 点的矢径，v 是介质中电磁波的传播速度。可知
（1）辐射电磁波的角频率与偶极子振荡的角频率相同，都等于ω。
（2）对10-40 取标量形式exp( )
4
sin
2
0
2
ikr t
v r
E p
exp( )
4
sin
3
0
2
ikr t
v r
B p
式中，ψ为偶极距方向p
与传播方向r
的夹角。表明辐射电磁波是以偶极子中心为原点的发散球
面波，其振幅与r 成反比，并随sinψ而变。在偶极子振动方向上，ψ=0，因此E
=B
=0，此方向上无能
量辐射；而在ψ=90°方向上能量最大。
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7
（3）由10-40 可得(B r ) 10-41
r
E v
即E
、B
、r
彼此垂直，互成右手螺旋系，且E
在p
与r
组成的平面内振动，而B
的振动方向与此垂直，表明了辐射
电磁波的偏振性。显然，电偶极子辐射的是单色的平面偏振
的球面波，如图10-3 所示。
（二）实际光波
实际光源发出的并不是在时间上和空间上无限延续的简协波，而是一些有限长度的衰减振动，是由
这些被称为波列的光波组成。由于原子的振动，使原子间发生相互碰撞，每个作自发辐射的原子所辐射
的波列的持续时间，只是原子两次碰撞的时间间隔（10-8~10-9s）。同时实际光波并不具有偏振性，虽然单
个原子在某一时刻辐射的光波具有偏振性，但原子的辐射是不连续的，同一原子不同时刻发出的波列之
振动方向和位相都是随机的，而且实际光源由大量的分子、原子组成，发出的波列之振动方向和位相也
是随机的。因此，在观测时间T（远大于波列存在时间Δt）内接受这些光的组合时，各个波列的振动方
向和位相被完全平均，成为自然光，可以看作是在一切可能的方向上振动的光波的总和。
（三）辐射能
电磁波最重要的性质之一是能够传输能量，电磁波的传播过程伴随着能量在空间的传播。空间某一
区域中单位体积的辐射能可以用电磁场的能量密度w 表示
( 1 ) 10-42
2
( ) 1
2
w 1 E D H B E 2 B2
上式包括了电场和磁场的贡献。引入辐射强度矢量（坡印亭Poynting）S
，描述电磁能量的传播。S
的方向表示能量流动的方向，大小等于单位时间内垂直通过单位面积的能量。设一电磁波以速度v 通过
一面积σ，则在dt 时间内通过此面积的能量就等于wvσdt，辐射强度矢量的大小为
S wv E B v v E EB 10-43
( 1 ) 1
2
1 2 2 2
在各向同性介质中，能量的传播方向沿着波的传播方向，可写成矢量形式
S E B 10-44
1
对光波而言，E
、B
是时间的函数，因此S
也随时间快速变化，频率在1015 Hz 左右，人眼与其它探
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8
测器都无法接收到S 的瞬间值，能够接收的是某一时间周期T 内S 的时间平均值<S>。称辐射强度矢量
的时间平均值为光强，记为I，对于平面波，有
2 10-45
0 0
2 2 2
2
1
2
1 1 cos (kr t )dt 1 vA A
T
Sdt v A
T
I S T T
可以看出，光强I 与平面波振幅A 的平方成正比。在求取同一均匀介质中两场点的相对强度时，可
以直接用表示I=A2 光强。
第二节光在电介质分界面上的反射和折射
讨论单色平面电磁波入射到两电介质表面上引起的传播方向、振幅、相位、能量及偏振性的变化。
一、电磁场的连续条件
当电磁波由一种介质传播到另一种介质时，由于介质的物理性质不同，即n（ε，μ）不同，电磁
场在界面上是不连续的。必须根据电磁场方程找出界面两边电磁场量之间的联系，这种联系借助于电磁
场的连续条件来实现。
电磁场的连续条件是：在没有传导电流和自由电荷的介质中，磁感强度B 和电感强度D 的法向分
量在界面上连续，而电场强度E 和磁场强度H 的切向分量在界面上连续。表示为
10-46 n n B B1 2 n n D D1 2 t t E E1 2 t t H H1 2
有了这一连续条件，就可以建立两种介质界面两边场量的联系，讨论具体传播时的问题。
二、光在两电介质分界面上的反射和折射
光波入射到两电介质的分界面上会产生反射和折射现象，可以看成是光与物质（介质）相互作用的
结果。用介质的介点常数、磁导率表示大量分子的平均作用，根据麦克斯韦方程组和电场连续条件来研
究平面光波在两电介质的分界面上会产生反射和折射问题。
（1）光波的入射面是界面法线与入射光线组成的平面。
（2）光波的振动面是指电场矢量的方向与入射光线组成的平
面，或指电矢量平面。电矢量一般不在入射面内振动。振动面相
对于入射面的夹角用方位角α来表示。
（3）任一振动方向的光矢量都可以分解成互相垂直的两个分量（图10-4），称平行于入射面振动的
分量为光矢量的p 分量，记作Ep；称垂直于入射面振动的分量为光矢量的sp 分量，记作Es。这样对于
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任何光矢量，只要分别讨论这两个分量的变化就可以了。
（一）反射定律和折射定律
下面利用电磁场连续条件讨论反射波和折射波的存在、传播方向。
设无限大界面两边介质的折射率分别为n1（ε1，μ1）和n2（ε2，μ2）。一单色平面光波入射在界
面上（图10-5），反射光波、折射光波也为平面光波。射入射波、反射波、折射波的波矢量分别为k
1、
k
`1、k
2，相应的入射角、反射角、折射角为θ1、θ`1、θ2，角频率为ω1、ω`1、ω2。将入射波E1 分解
成E1s 和E1p 两个分量。只考虑s 分量的情况（取y 的正向为s 分量的正向），入射波、反射波、折射波
分别表示为exp[ ( )] exp[ [ ( sin cos ) ]] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1E E A i k r t A i k x z t s y s s
` ` ` exp[ ( ` ` )] ` exp[ [ ` ( sin ` cos ` ) ` ]] 10-47 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1E E A i k r t A i k x z t s y s s
exp[ ( )] exp[ [ ( sin cos ) ]] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2E E A i k r t A i k x z t s y s s
式中三个波可以有不同的初相位，所以A1s、A`1s、A2s
一般是复数。r
是原点在界面上任一点的O 的位置矢量。由
连续条件10-46 的第四式，并且界面一边的场量应等于界面
另一边的场量，有E1s + E`1s = E2s
将10-47 代入上式，有
exp[ ( )]+ = 10-48 1 1 1A i k r t s ` exp[ ( ` ` )] 1 1 1A i k r t s exp[ ( )] 2 2 2A i k r t s
上式应该对于任意时刻t 及分界面上任意位置矢量r
（x
，y
，z
），连续条件都成立，因此E1s 、E`1s
和E2s 对变量r
和t 的函数关系必须严格相等，有
ω1=ω`1=ω2 A1s+ A`1s= A2s 10-49~50
10-49 表明反射波、折射波的频率与入射波的频率相等。在界面上，同时还有
k r k r k r 10-51 1 1 2 `
即( ` ) 0 10-52 1 1 k k r ( ) 0 2 1 k k r
表明和在r
方向的投影（界面平面上）等于零。也就是说k
1、k`
1、k
( ` ) 2均与界面法线1 1 k k ( ) 2 1 k k
平行并且共面，都在入射面内。
利用10-47 中k 与r 的点积表达式，并考虑到在界面上z = 0，由10-51 可得
1 1 1 1 2 2 k sin k ` sin ` k sin
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10
因为1 1 1 和所以有k k ` /v 2 2 k /v
10-53 1 1 `
即入射角等于反射角，这就是反射定律。同理
或10-54
2
2
1
1 sin sin
v v
1 1 2 2 n sin n sin
这就是折射定律。n1、v1 和n2、v2 分别是光波在两种介质中的折射率和传播速度。
三、菲涅尔公式及其讨论
（一）菲涅尔公式
利用电磁场的连续条件可以导出表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关系的菲涅尔公式。
对于入射平面光波E1 的两个互相垂直的分量s 波和p 波，其反射波和折射波的振幅和位相关系是不
同的，将分别予以讨论。同时必须给厂矢量的取向予与约定：无论是入射光波、反射光波、折射光波，
相对于光的传播方向，E
、B
、k
0 都必须具有相同的相对取向，这时认为所考察的两个场同相，其场量的
振幅为正值，场矢量取规定的正向；若两个场反向，则其场量的振幅比为负值（电介质时），场矢量
取向与规定的正向相反。因为菲涅尔公式是在特定的场矢量下推
出的。我们规定Es的正向沿y 轴方向，即垂直于图面向外（图10-6），
Ep 的正向如图所示；与其相应的Hs、Hp 的正向由E
、B
、k
0 右手
螺旋关系给出。
1．S 波（垂直于入射面分量） 图10-6 中同时给出了反射波、
折射波的场量正向。由10-46，有
E1s + E`1s = E2s 10-55
10-56 1 1 1 1 2 2 cos ` cos cos p p p H H H
由10-34、10-7，有1 ( )
0 k E
v
H
且当两介质的折射率为n1、n2 时，根据10-17，有10-57 1 2 2 1 v /v n /n
10-56 可以写成10-58 2 2
2
2
1 1 1
1
1 ( ` )cos cos
s s s n E E n E
由10-55、10-58，利用10-48、10-50。得
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11
10-59
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
cos cos
cos cos
`
n n
n n
A
r A
s
s
s
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
cos cos
2 cos
n n
n
A
t A
s
s
s
这两个式子称为s 波的菲涅尔公式，rs、ts 称为s 波的振幅反射系数和振幅透射系数。当两种介质都
是电介质时，μ1=μ2，再利用10-54，10-59 可以写成
10-60a
1 1 2 2
1 1 2 2
21
1 2
1
1
cos cos
cos cos
sin( )
` sin( )
n n
n n
A
r A
s
s
s
10-60b
1 1 2 2
1 1
1 2
1 2
1
2
cos cos
2 cos
sin( )
2cos sin
n n
n
A
t A
s
s
s
2．P 波（平行于入射面分量） p 波的电矢量的正向与相应的
磁矢量的取向如图10-7 所示，并假定在界面处入射波、反射波、
折射波同时取正向。根据连续条件，有
10-61 1 1 1 1 2 2 cos ` cos cos p p p E E E
因为磁矢量垂直于入射面，由10-46 第三式和10-7，有
10-62 p p p E
v
E
v
E
v 2
2 2
1
1 1
1
1 1
1 1 ` 1
利用10-57、10-48，由10-61、10-62，得到有关p 波的菲涅尔公式为
10-63
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
cos cos
cos cos
`
n n
n n
A
A
r
p
p
p
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
cos cos
2 cos
n n
n
A
A
t
p
p
p
若考虑μ1=μ2，及折射定律10-54，可得
10-64a
2 1 1 2
2 1 1 2
1 2
1 2
1
1
cos cos
cos cos
( )
` ( )
n n
n n
tg
tg
A
A
r
p
p
p
10-64b
2 1 1 2
1 1
1 2 1 2
2 1
1
2
cos cos
2 cos
sin( )cos( )
2sin cos
n n
n
A
A
t
p
p
p
rp、tp 分别称为p 波的振幅反射系数和振幅透射系数。
对于θ1=0 的垂直入射的特殊情况，菲涅尔公式为
10-65
1
1
n
r n s 1
2
n
ts 1
1
n
r n p 1
2
n
t p
式中，n = n2 / n1 为相对折射率。
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12
（二）反射和折射的振幅关系
菲涅尔公式直接给出了反射波或折射波与入射波的振幅变化，这种变化用振幅反射（透射）系数r
（t）来描述，并且随着入射角而变化。根据菲涅尔公式画出的rs、rp、ts、tp 随入射角θ1 的变化关系如图
10-8 所示。
图a 表示光从光疏介质入射到光密介质（如从空气入射
到玻璃）时的情况。当θ1=0 时（即垂直入射），|rs|、|rp|、ts、
tp 都不等于零，表示存在反射波和折射波。当θ1= 90°时（即
掠入射）时，|rs| = |rp| =1，ts=tp=0，即没有折射光波。从图中
可见，ts、tp 随θ1 的增大而减少；|rs| 随θ1 的增大而增大，
直到等于1；而|rp| 的值在θ1=θB（满足θB +θ2=90°）时，
有|rp|=0，即反射光波中没有p 波，只有s 波，产生全偏振现
象。
图b 表示从光密到光疏介质的情况（如从玻璃入射到空
气）。当θ1=0 时，|rs|、|rp| 与图a 相同；当θ1≥θc（θc 为θ
2=90°时对应的θ1）时，|rs| = |rp| =1，表示发生全反射现象，
并且ts、tp 都大于1，随θ1 的增大而增大。
（三）相位变化
当光波在电介质表面反射或折射时，由于其折射率为实数故rs、rp、ts、tp 通常也为实数（暂不考虑
全反射），随θ1 的只会出现正值或负值的情况，表示所考虑的两个场同相位（振幅比取正值），或者反相
（振幅比取负值），相应的相位变化为0 或π。
对于折射波，不管θ1 取何值，ts、tp 都是正值，即折射波和入射波的相位总是相同的，其s 波和p
波的取向与规定的正向一致，光波通过界面时，折射波不发生相位改变。
对于反射波，应区分n1＞n2， n1＜n2 两种情况，并注意θ1＞θB，θ1＜θB 时的不同。
当n1＜n2（光从光疏介质入射到光密介质）时，由10-60a、10-64a 可知，rs 对所有的θ1 都是负值，
即E`1s 的取向与规定的相反，表明反射时s 波在界面上发生了π的相位变化；对rp 分量，当θ1+θ2＜
π/2，θ1＜θB 时为正值，表明E`1p 取规定的正向，其相位变化为零；当θ1+θ2＞π/2，rp 为负值，即
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13
E`1p 取向与规定的正向相反，表明在界面上，反射光的p 波有
π的相位变化；当θ1+θ2=π/2，rp= 0，表明反射光中没有平
行于入射面的振动，只有垂直于入射面的振动，即发生全偏振
现象。相位变化情况如图10-9a、b 所示。
对于n1＞n2（光从光密介质射向光疏介质）情况，s 波和
p 波的相位变化情况如图10-9c、d 所示。由图可知，当入射
角θ1＞θc 时，相位的改变即不是零也不是π，而是随
着θ1 变化，这是发生了全反射现象。而在θ1＜θc 时，s 波和p 波的相位变化情况与n1＜n2 时的结果相
反，并且也有θ1=θB 时产生全偏振现象。
当光在光疏-光密介质界面上反射时，对于正入射（θ1→0）或掠入射（θ1→π/2）的情况，由菲涅
尔公式，并考虑到在界面上光传播方向的改变，可以知道，反射光的光矢量产生π的相位改变。图10-10
示出正入射（θ1→0）时的情况，由菲涅尔公式，E1s 与E`1s
互相方向相反；同时考虑传播方向的改变，也有E1p 与E`1p
互相方向相反，即在反射过程中有π的相位改变。这种现象
在讨论干涉现象时，如牛顿环必须予以注意。
一般斜入射的情况下，界面上任一点的三束光的振动方向不一致，比较它们的相位没有意义。但在
干涉研究中，有时需要注意。
（四）反射比和透射比
由菲涅尔公式还可以得到入射波、反射波、折射波的能量关系，用反射比ρ和透射比τ来表征。考
虑界面上一单位面积（图10-11），设光强分别为I1、I`1、I2，通过此面积的光能为
入射波1
2
1
1
1
1 1 1 cos
2
cos 1
W I A
反射波1
2
1
1
1
1 1 1 ` cos
2
` ` cos 1
W I A
折射波2
2
2
2
2
2 2 2 cos
2
cos 1
W I A
界面上反射波、透射波的能流与入射波的能流之比为
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14
2 10-66
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1 ` ( ` )
cos
` ` cos
A
A
I
I
I
I
W
W
2 10-67
1
2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2 ( )
cos
cos
cos
cos
A
A
n
n
I
I
W
W
上式利用了μ1=μ2 的假定。当不考虑介质的吸收和散射时，根据能量守恒关系，有
ρ+τ=1 10-68
应用菲涅尔公式可以写出s 波和p 波的反射比、透射比表示式
10-69
sin ( )
( ` ) sin ( )
1 2
2
1 2
2
2 2
1
1
s
s
s
s r
A
A
10-70
sin ( )
4sin cos
cos
cos
cos
cos
cos
( ) cos
1 2
2
1
2
2
2
1 1
2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2 2
1
2
n
t n
n
n
n
n
A
A
s
s
s
s
10-71
( )
) ( )
`
(
1 2
2
1 2
2
2 2
1
1
tg
r tg
A
A
p
p
p
p
10-72
sin ( )cos ( )
4sin cos
cos
cos
cos
cos
cos
( ) cos
1 2
2
1 2
2
1
2
2
2
1 1
2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2 2
1
2
n
t n
n
n
n
n
A
A
p
p
p
p
同样满足能量守恒定律，有
1 10-73 s s 1 p p
影响反射比和透射比的因素，除了界面两边的性质以外，还要考虑入射波的偏振性和入射角的影响。
当入射波电矢量取任意方位角α时，可以证明
10-74
sin2 cos2 s p
sin2 cos2 s p
对于自然光，可将其看成具有一切可能振动方向的光波的总和，利用上面的结果，对所有可能的方
位角取值α（α从0→π）所对应的反射比取平均，求得自然光反射比为
sin2 cos2 ( ) / 2 10-75
n s p s p
< >表示取平均。容易证明ρn 与ρ45°完全一样。
图10-12 示出了空气-玻璃界面（n =1.52）， ρs、ρp 和ρ
n 随入射角变化的关系曲线（n＜1 的情况在全反射时讨论）。
在入射角小于45°的区域，ρn 几乎不变，与正入射时
相近；当θ1→π/2 时，ρn 很快趋于1，因此，即使是很粗糙的表面也可以获得很高的反射比。正入射
时，自然光的反射比为)2 10-76
1
1
(
n
n
n
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15
这时ρn 只取决于相对折射率n = n2 / n1。如果n1 接近n2，ρn 就降低，这一原理用于需要减少反射
损失的情况。由图10-12 还看到，即使是正入射，反射损失总是存在的（如n = 1.52 时，ρn = 0.04）， 当
反射面多时，光能损失相当严重。现代光学技术普遍采用在光学元件表面镀增透膜的方法，以减少光能
损失。
（五）反射和折射时的偏振关系
从前面的讨论可见，一般情况下，rs≠rp，ts≠tp，反射光波和折射光波的振动面相对于入射光波的
振动面将发生偏转。
当入射光是自然光，如果入射角满足θ1+θ2=π/2，由式10-71 和图10-12 可知，ρp= 0，即反射光
中没有p 波，只有垂直于入射面振动的s 波，发生全偏振现象，反射光是偏振光，称这时的入射角为起
偏振角或布儒斯特（Brewster）角，记作θB。由折射定律可知
tg n 10-77 B
此时折射光波含有全部p 波和部分s 波，是一个p 波占优势的部分偏振光。当自然光以其它角度入
射时，反射光一般是s 波占优势的部分偏振光，而透射光是p 波占优势的部分偏振光。
光在界面上反射时产生全偏振现象。拨片堆由若干薄玻璃片叠
合而成（图10-13），当光以θB 角入射到玻片堆时，经过各片上下
表面的反射和折射，透射光中的s 波随反射次数的增加变得越来越
少，最后得到偏振程度相当高的平行于入射面振动的透射光。
全偏振现象在近代激光技术中的一个应用就是可以获得高相干度的单色线偏振光，在激光器谐振腔
的放电管上，以布儒斯特角斜贴上两块波片（图10-14），形成一布儒斯特窗。S 波在反射光方向上，
不能在谐振腔中形成多次反射，但沿轴向行进的p
波能无损耗地通过布儒斯特窗，在谐振腔中经多次
反射得到增益而形成激光，最后出射的是平行于入
射面振动的p 波。
四、全反射
光波从光密介质射向光疏介质（n＜1）时，若增大折射角，根据折射定律，有
sin sin 1 10-78 1
2
1
2
n
n
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16
满足上式条件的折射角不存在，这时没有折射光，在界面上所有的光都反射回介质1。这种现象称
为全反射。当入射角为n 10-79
n
n
c
1
sin 2
折射角θ2=90°，此时开始全反射，称θc 为临界角。
（一）反射比
由菲涅尔公式及图10-15，在全反射区间（θ1≥θc），
有ρs=ρp=1，即ρn=1，所有光线全部返回介质1。
从图10-15 还可看到，当入射角从θB 变化到θc 时，ρp 从0 很快上升到1，反射率在临界角附近发
生急剧变化，当折射率差大时更为显著。例如，玻璃-空气界面（n1=1.52，n2=1）， 当θB =33°20′，ρ
p =0；相应的θc =41°8′，ρp =1，入射角变化了7°48′。如果是透红外光的锗片（n1=4.0）， 则有θB
=14°2′，θc =14°29′，入射角仅变化了27′，反射比就从0 陡然上升到1。这种性质在激光技术等
方面得到应用。
图10-16 是利用临界角高精度对焦。当光点准确聚焦在光
盘上时，经反射后入射在全反射棱镜的斜面上的光是平行光，
且入射角大于临界角，因此光检测器全亮；当光点没有被准确
聚焦时，光在棱镜斜面上的入射角就有部分小于临界角，故反
射率急剧下降，使光检测器上出现明暗区域。通过检查明暗区
域之差，就可以知道离焦量、判断离焦的方向，具有很高的对
焦精度。
（二）相位变化
光在界面上发生全反射，由折射定律，给出以下形式的折射角
sin sin /n 10-80 2 1 cos sin 1 2
1
2
2
n
i
代入10-60a、10-64a，有
i S 10-81a
s s r e
i n
i n
r
| |
cos sin
cos sin
2
1
2
1
2
1
2
1
i P 10-81b
p p r e
n i n
n i n
r
| |
cos sin
cos sin
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
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17
以上两式表明，rs 和rp 是复数，分子分母为共轭关系。| rs| 和| rp| 表示反射波和入射波的实振幅之
比，其值等于1，说明全反射时光能全部反射回介质1。δs 和δp 分别表示全反射时s 波和p 波的相位
变化，由10-81 可以求得
10-82
1
2
1
2
cos
sin
2
n
tg s
1
2
2
1
2
cos
sin
2
n
n
tg p
δs 和δp 随θ1 的变化关系如图10-17 所
示。可见全反射时的s 波和p 波在界面上有不
同的相位改变。因此在反射光中s 波和p 波有
一相位差δ，为
10-83 2 1
2
1
2
1
sin
cos sin
2 2
n
tg tg s p
可见，当入射角θ1 等于临界角θc 和90°时，反射光中s 波和p 波的相位差为零，如果这时入射光
为线偏振光，则反射光也为线偏振光。但当入射角θ1＞θc，且入射线偏振光的振动方向与入射面的交
角α≠0 或90°时，δ≠0 或π，反射光将成为椭圆偏振光。
（三）倏逝波
实验表明，全反射时光波不是绝对地在界面上被全部反射回第一介质，而是透入第二介质大约一个
波长的深度，并沿着界面流过波长量级的距离后重新返回第一介质，沿着反射光方向射出。这个沿着第
二介质表面流动的波称为倏逝波。从电磁场的连续条件来看，倏逝波的存在是必然的。因为电场和磁场
不会在两介质的界面上突然中断，在第二介质中应有透射波存在，并具有特殊的形式。
设取xz 平面为入射面，由10-28，其透射波可表示为
exp[ ( sin cos )]exp( ) 2 2 2 2 2 E A ik x z it
将10-80 代入上式，并利用k1= k2 / n，可得
exp[ sin ]exp[ ( sin )] 10-84 1 1
2
1
2
2 2 1 E A k z n i k x t
式中，k、k 分别为介质1 和2 中的波数。10-84 表
明，透射波是一个沿x 方向传播其振幅在z 方向作指数衰
减的波，就是倏逝波（图10-18）。可以看出，这是一个
非均匀波，其等振幅面是z 为常数的平面，其等相面
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18
是x 为常数的平面，两者互相垂直，波长和传播速度分别为
10-85~86
1
1
1 1
2 sin sin
2
k 1
1
2 sin
v v
10-84 还表明，倏逝波的振幅随透入深度z 的增加急剧下降。通常定义振幅减少到界面（z= 0）处振
幅的1/e 时的深度为穿透深度，则10-87
2
1
1
0 2 sin n
z
例如，n1=1.5，n2=1，θ1=45°时，有z0=0.45λ。说明穿透深度很小，只有入射波长量级。进一步
研究倏逝波在第二介质中能量流动情况，计算辐射强度矢量的平均值，有
＜Sy＞=0， ＜SZ＞=0，
＜SX＞=＜EyHz-EzHy＞= (| | | | ) 0 10-88
2
1 2 2
2
2
1 s p t t
v
A
即只有沿x 方向（界面）有能量流动，而y、z 方向
的平均能流为零。表明流入第二介质的能量全部返回第一
介质。实验和计算还证明，一束有限宽度的平行光全反射
时，反射光沿界面产生侧向位移，称为古斯-哈恩森（Goos-
Haenchen）位移。例如n1=1.5，n2=1，θ1=45°，λ=632.8nm，
入射光是平行于入射面振动的p 波时，其
位移l=0.9λ。从图10-19 可以看到，入射到M 点并全反射的光，只沿x 方向进行了l=M M`距离，就在
M`点沿反射光方向出射。反射光对应入射光是圆偏振光。
全反射的特点：无反射能量损失、反射时有相位变化、存在倏逝波，在许多方面得到应用。
由于全反射没有透射损失，使用各种全反射棱镜。光导纤维和薄膜光波导。
利用倏逝波特性产生的受抑全反射效应，制成光调制器和光输出偶合器。
利用全反射时的相位变化，选取适当的折射率和入射角，可以得到特定的相位差，从而改变入射光
的偏振状态。
第三节光在金属表面的反射和透射
金属是导电媒质，一般为良导体，电导率σ很大，并且σ/（ωε）＞＞1，表明金属的导电性能还
与外界电磁场（入射光波）的角频率ω有关。一般金属导体的σ/ω的大小在10-17s 左右，故光波频率ω
＜＜1017Hz 时，金属均可看成为良导体。
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19
一、金属中的光波
媒质是导体（金属）的情况下，麦克斯韦方程组的形式与电介质时不同。因为金属中存在着大量的
非束缚自由电子，即σ≠0，在外界场的作用下，金属中能产生传导电流密度j
=σE
。此时波动的微分方
程为0 10-89 2
2
2
t
E
t
E E
对于单色光波，E E~e t 和i ，因此上式可以写成
t
2E 2 ( i )E 0 （金属中） 10-90
2E 2E 0 （电介质中） 10-91
定义复介电常数10-92 r i
0
则金属也具有和电介质情况下的波动方程完全相同的形式。可类似地定义复相位速度、复折射率。
10-93~94
r r
v c
c k
v
n c r r
ˆ
复折射率一般又可表示为nˆ n(1i ) 10-95
式中，n 是金属的折射率，等价于电介质的折射率，决定光波在金属中的传播速度；κ是衰减系数，
决定光波在金属中的传播时振幅的衰减（或吸收）特性。利用10-94，于是有
kˆ knˆ kn(1i ) 10-96
为简单起见，设波沿x 方向行进，这样可以写出金属中沿x 方向行进的平面波的表示式为
E Aexp[i(kˆx t )] Aexp(knx)expi(knx t ) 10-97
上式第二个指数项表示沿x 方向行进的平面波，第一个指数项表示金属中光波的振幅，随着进入金
属中深度x 的增加，振幅按指数变化急剧衰减，并且当入射光波频率ν（即ω）和衰减系数κ（正比于
σ）增大时，这种衰减优为明显。设进入金属中的光其振幅下降到界面上振幅的1/e 时的深度x0 为穿透
深度，由10-97，有10-98
n
x 1
2 0
利用10-95 和10-92、10-94，对金属良导体（ε≤σ/ω）的情况，得到
10-99
0 2
n r
代入10-98，得穿透深度为
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20
10-100
2 2
2
2
2
0 0
0
c
x
对银来说，σ=6.21×107Ω-1m-1，μ=1.26×10-6H m-1，ω=3.2×1015s-1，当λ=550nm 时，可算出
x0=2.73nm。可见光波只能透入金属表面很薄的表层。这因为金属中有大量的自由电子，使金属存在明显
的吸收，所以金属一般是非透明的。
二、金属表面的反射
对于电介质表面反射和折射时的菲涅尔公式，只要将复折射率代替实折射率。有
10-101 2 1 sin
ˆsinˆ1
n
对于金属界面依然有效。当然由于金属表面存在强烈吸收，所以界面上观察到的现象几乎是由反射
引起的。改写后的菲涅尔公式为
i S 10-102~103
s s r r e
| ˆ|
sin( ˆ)
ˆsin( ˆ)
1 2
1 2
i P
p p r e
tg
r tg
| ˆ|
( ˆ)
ˆ( ˆ)
1 2
1 2
其反射比表示式为
10-104~105 2 2 2
1
2 2 2
2 1
( cos )
| ˆ| ( cos )
n n
r n n s s
2 2 2
1
2 2 2
2 1
)
cos
( 1
)
cos
( 1
| ˆ|
n n
n n
rp p
正入射时有
10-106
n n
n n
n
n
(1 ) 1 2
(1 ) 1 2
ˆ1
ˆ1
2 2
2 2 2
由上式可知，当σ=0 时κ→0，可得到与电介质相同的表示式；当σ很大，κ很大，因而ρ也很大，
所以光洁的金属表面几乎可以把光全部反射，这种反射与金属的导电性是分不开的。因为密度很大
表10-2 常用金属的折射率和反射比（λ589.3nm，θ1=0）
的自由电子分布在金属表面，相对于入射光波造成强烈的次波，迫使光波返回透明介质，故金属表面呈
现很高的反射能力；而在金属内部，自由电子吸收光能转化为焦耳热。使光波很快衰减，所以金属几乎
是不透明的。这样金属表现出高反射比和非透明性，呈现金属的非光学性质。表10-2 列出了常用金属的
金属银金铝汞铜镍（蒸发） 铁（蒸发）
n 0.18 0.37 1.44 1.62 0.64 1.30 1.51
nκ 3.64 2.82 5.23 4.41 2.62 1.97 1.63
ρ 0.95 0.85 0.83 0.73 0.70 0.43 0.33
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21
折射率和反射比。
金属表面的反射比同时还与入射波长有关，这是
因为金属的光学常数n、nκ是波长的函数，因此金属
的反射比也一定随着波长而变。图10-22 给出了实验测
定的铝、铜、银、金等常用金属的反射比曲线。可以看
出，银和铝有很高的反射比，铜和金的反射比随波长变
短而显著下降。在紫外区，银的反射比下降很快，与玻
璃（电介质）时的反射比接近（ρ=0.042），因此银在
此波段是透明的。铝在整个从红外到近紫外区都有很高
的反射比，是近紫外区理想的高反射比材料。这几种金
属在红外区都具有很高的反射比，这一特性常被用来研
制节能薄膜。
图10-23 表示铜、银两种金属的反射比随入射角θ1 的变化曲线。可以看出与电介质的反射比曲线（图
10-12）有明显不同。虽然在θ1=90°时，ρs=ρp=1，且ρp 有极小值，但ρp 的极小值不等于零，表明在
金属表面反射时不会产生全偏振现象。同时，即使在正入射的情况下，金属表面也有很高的反射比，说
明金属在任何情况下都会产生很强的反射。
根据10-102、10-103，因为是复数， 和也是复数，相应的δs、δp 一般不为零，表明反射光2
ˆ
rˆ1 2 rˆ的s 波和p 波都发生了相位变化。且随着入射角的不同，相位在0 与π之间，并且s 波和p 波相位变化
一般不相同。进一步讨论表明，若入射角非0 与π/2，入射光振动面不与入射面重合或正交，那么从金
属面反射时，两个互相垂直的分量之间将出现一个附加的相位差，其值即不为0 也不为π，使得入射光
的偏振状态发生变化。如果入射光为线偏振光，那么反射光一般是椭圆偏振光。显然偏振态的变化依赖
于金属光学常数n、κ。反之，如果能测定光在金属表面反射时偏振态的变化，就可以测定光学常数，
这是测量金属光学常数的一种重要方法。
第四节光波的叠加
一、波的叠加原理
波的叠加原理可以表述为：几个波在相遇点产生的和振动是各个波单独在该点产生的振动的矢量
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22
和。光波的叠加服从叠加原理，叠加原理是波动光学的基本原理。如果有两个光波E
1 和E
2 在空间P 相
遇，根据叠加原理，P 点的合振动为
( ) ( ) ( ) 10-107 1 2 E P E P E P
光波的叠加原理表明了光波传播的独立性。一个光波的作用不会因为其它光波的存在受到影响这是
实验结果。如两个光波在相遇后又分开，每个光波仍保持原有的特性（频率、波长、振动方向等），按原
来的传播方向继续前进。
同时，光波的叠加原理也是介质对光波电磁场作用的线性响应的一种反映。实际上它是波动微分方
程的必然结果，波动方程的线性性质保证了其解的叠加性。可以说，解的叠加性构成了波叠加原理的基
础。多个满足波动方程的光波同时存在时，总的波场就是这些光波的直接叠加。反过来，波动方程的线
性性质限制了叠加原理只能在入射光强较弱的情况下成立，而当光波的强度很大时（例如光强达1012w/m2
的激光）时，介质将产生非线性效应，叠加原理不再适用。
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
（一）代数加法
如图10-24，设两个频率相同、振动方向相同的单色光波分别发自光源S1 和S2。它们在空间P 点相
遇，P 到S1 和S2 的距离分别为r1 和r2。因此两光波各自在P 点的光振动为
cos( ) 10-108 1 1 1 E a kr t
cos( ) 10-109 2 2 2 E a kr t
式中，a1、a2 分别为两光波在P 点的振幅。若令α1=kr1、
α2=kr2，根据叠加原理，P 点的合振动为
cos( ) cos( ) cos( ) 10-110 1 2 1 1 2 2 E E E a t a t A t
式中2 cos( ) 10-111 1 2 2 1
2
2
2
1
A2 a a a a
10-112
1 1 2 2
1 1 2 2
cos cos
sin sin
a a
tg a a
可见P 点的合振动也是一个简谐振动，振动方向与振动频率与两单色光波相同，而振幅A 和初相位
α由上两式决定。
若两个单色光波在P 的振幅相同，a1= a2= a，而I0= a2 表示单个光波在P 点的强度；δ=α1-α2 表
示两光波在P 点的相位差，则P 点合振动的光强由10-111 得到
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23
10-113
2
4 cos2
0
I I
上式表示在P 点叠加合振动的光强I 取决于两光波在叠加点的相位差δ。当
2m （m=0，±1，±2，…） 10-114
时，I = 4 I0，P 点的光强有最大值。而当
(2m 1) （m=0，±1，±2，…） 10-115
时，I =0，P 点的光强有最小值。相位差介于两者之间时，P 点的光强在0 和4 I0 之间。两光波在P
点的相位差又可写为( ) 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 k r r r r
n
式中λn 为单色光波在传播介质中的波长。因为λn =λ/n，上式可写成
2 ( ) 10-116
2 1 n r r
式中n（r1-r2）为光程差Δ，表示从S1 和S2 到P 点的光程之差。10-116 给出了光程差和相位差之间
的关系，是分析光波在某点叠加时的合振动强度变化的重要物理量。由10-116，显然当
n(r r ) m （m=0，±1，±2，…） 10-117a 2 1
即光程差等于波长整倍数时，P 点的光强有最大值。而当
) （m=0，±1，±2，…） 10-117b
2
( ) ( 1 2 1 n r r m
即光程差等于波长半整倍数时，P 点的光强有最小值。
显然，两光波在空间相遇，如果它们在源点发出的初相位相同，则光波在叠加区相遇点的强度将取
决于两光波在该点的光程差或相位差。若在考察时间内，两光波的初相位保持不变，光程差也恒定，则
该点的强度不变，那么在叠加区内将看到强弱稳定的强度分布，把这种现象称为干涉现象，称产生干涉
的光波为相干光波。一个理想的单色光波可以认为是简谐波，因为其初相位是不变的，所以简谐波一定
是相干光波。一般来说，实际光源发出的光波是一个个波列，不是简谐波，所以不是相干光波。
（二）相幅矢量加法
是一种图解法，定义一个相幅矢量A
，它的长度表示某一光振动的振幅大小，它于给定的Ox 轴的
夹角等于该光振动的相位，当它以角速度ω绕O 点逆时针方向旋转，该矢量末端再给定轴上的投影运动
就表示该简谐振动。
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24
同时在数学上，两个矢量的投影和等于这两个矢量和的投影。因此，两个单色光波在某点的光振
动的叠加，可以通过其相幅矢量相加求取。如图10-25，
10-108、10-109 表示的两个单色光波的相幅矢量a
1、a
2 及
合矢量A
，则A
的长度表示合成波的振幅A，它与Ox 轴
的夹角表示合成波的相位α，合矢量A
随t 的变化在Ox
轴上的投影运动也是一简谐振动。显然结果与10-111、112
的完全一样。
三、驻波
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色
光波，例如垂直入射到两种介质表面的单色光波和反射波
的叠加将形成驻波。
设反射面是z = 0 的平面（图10-26），假定入射波和反射波的振幅相等。两个波的表示式为
cos( ) 1 E a kz t cos( ) 2 E a kz t
式中的δ是反射时的相位变化，入射波和反射波叠加后的合成波为
) 10-118
2
)cos(
2
2 cos( 1 2
E E E a kz t
表明对于z 方向上每一点，随时间的振动是频率为ω的简谐振动，相应的振幅则随z 变化，为
)
2
2 cos(
A a kz
可见不同的z 值处有不同的振幅，但极大值和极小值不随时间变化。振幅最大值的位置称为波腹，
其振幅等于两叠加光波的振幅之和，而振幅为零的位置称为波节。波腹的位置由下式决定
（n=1，2，3，…） 10-119a
kz n
2
波节的位置由下式决定
（n=1，2，3，…） 10-119b
)
2
( 1
2
kz n
容易看出，相邻波腹（波节）的距离为λ/2，而相邻波腹和波节的距离为λ/4，图10-26，并且波腹
和波节的位置不随时间而变。
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25
应该指出，如果两介质分界面上的反射率不等于1，则入射波与反射波的振幅不等，合成波中除驻
波外还有一个行波，因此波节处不再为零，由于行波的存在，将伴随着能量的传播。
光驻波现象在光学中是普遍存在的，应用也是多方面的。如激光器的谐振腔中经多次反射形成的光
波，可以看成两个沿相反方向传播的光波竟叠加后形成的驻波。在激光理论中，称这种稳定的驻波图样
为纵模。
全反射现象中，入射波和反射波的叠加区内（图10-27）
的合成波，在界面法线方向上具有驻波的特点，在与法线垂直
的z 方向上有行波的特点。有助于理解15 章光波导。
四、两个频率相同、振动方向互相垂直的单色光波的叠加
（一）合成光波偏振态的分析
如图10-28 所示，光源S1 和S2 发出两个频率相同，而振动
方向互相垂直的单色光波，其振动方向分别平行于x 轴y 轴
并沿z 轴方向传播。假定的光振动初相位为零，两光波在P 点处产生的光振动可写为
cos( ) 10-120~121 1 1 E a kz t x cos( ) 2 2 E a kz t y
根据叠加原理，P 点处的合振动为
cos( ) cos( ) 10-122 0 0 0 1 1 0 2 2 E x E y E x a kz t y a kz t x y
可见合振动的大小和方向都是随着时间变化的，由10-120 和10-121 消去参数t，求得合振动矢量末
端运动轨迹方程为
2 cos( ) sin ( ) 10-123 2 1
2
2 1
1 2
2
2
2
2
1
2
a a
E E
a
E
a
Ex y x y
式中， ， ，一般来说是一个椭圆方程式，表示在垂直于光传播方向平面上，合振动1 1 kz 2 2 kz
矢量末端的运动轨迹为一椭圆，且该椭圆内接于边长为2a1 和2a2 的长方形（图10-29），椭圆长轴与x
轴的夹角为ψ。
把合矢量以角频率ω周期旋转，其矢量末端运动轨迹为椭圆的光称为椭圆偏振光。因此，两个频率
相同、振动方向互相垂直的且具有一定相位差的光波的叠加，一般可得到椭圆偏振光。
由10-123 可知，椭圆的形状取决于两叠加光波的振幅比a2 / a1 和相位差δ=α2-α1，δ表示Ey 相对
Ex 的相位差，从而可得到合振动的不同的偏振状态（图10-30）。
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26
（1）δ= 0 或±2π的整倍数时，式10-123 化为y x 10-124 E
a
E a
2
1
表明合矢量末端的运动沿着一条经过坐标原点，斜率为a1/a2 的直线进行，其合成光波是线偏振光（图
10-30a）。
（2）δ=±π奇数倍，有10-125 y x E
a
E a
2
1
表明合矢量末端的运动沿着一条经过坐标原点，斜率为-a1/a2 的直线进行，其合成光波也是线偏振
光（图10-30e）。
（3）δ=±π/2奇数倍，有1 10-126 2
2
2
2
1
2
a
E
a
Ex y
这是一个正椭圆形，其椭圆的长、短轴分量分别在x、y 坐标轴上，表示合成光波是椭圆偏振光（图
10-30c、g）。若同时有a1= a2= a，则E 2 E 2 a 2 10-127 x y
这时合矢量末端运动轨迹是一个圆，因此合成光波是圆偏振光。
（4）当δ取其它值时，由10-123 可知，合成光波为任意取向的椭圆偏振光（图10-30b、d、f、h），
长轴方位ψ由10-132 决定。椭圆（圆）偏振光有左、右旋之分。通常规定当对着光的传播方向（即沿着
– 方向）看，合矢量顺时针旋转时为右旋偏振光，反之为左旋。偏振光的旋向可以由两叠加光波的相位
差来决定，即当sinδ＜0 时为由旋；当sinδ＞0 时为左旋。这可从分析10-120、10-121 在相隔1/4 周期
时对应的值看出。
（二）椭圆偏振参量间的关系
一般情况下，椭圆偏振光可以由合振动在坐标系xy 中的分量Ex、Ey 的振幅比a2 / a1 和相位差δ=（α
2-α1）表示，也可以由两个主轴（长短半轴）长度A1、A2 及主轴（长轴）相对于x 轴的方位角ψ，和旋
转方向来表示。两组参量之间可以根据几何关系互相换算。
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27
如图10-31 所示，在空间正交坐标系（x、y）中，椭圆偏
振光E
的分量Ex、Ey 由10-120、10-121 表示；而在（x`、y`）
主轴系（x`、y`的方向分别与椭圆的长、短轴一致），椭圆偏振
光的的两个分量可表示为
cos( ) 10-128~129 ` 1 E A t x )
2
cos( ` 2
E A t y
式中A1、A2 是椭圆的长短轴，正、负号分别对应左、右旋，它表示了在主轴系中的一个正椭圆。
两坐标系之间光矢量的关系为
cos sin 10-130 x ` x y E E E sin cos y ` x y E E E
将10-120、121、128、129 带入可得
2 10-131
2
2
1
2
2
2
1 A A a a
表明不论将椭圆偏振光投影在什么坐标下，两互相垂直分振动振幅的平方和是常数。进一步运算可
得到2 2 cos 10-132 2
2
2
1
1 2
a a
tg a a
定义椭圆度ε，有|ε|≤π/4 10-133 2 1 tg A / A
且ε＜0 时为右旋，ε＞0 时为左旋。
定义振幅比角β，有0≤β≤π/2 10-134 2 1 tg a /a
则可以求得sin 2 sin 2 sin 10-135
tg 2 tg 2 cos 10-136
上两式给出了两组坐标系中椭圆参量之间的关系。一般来说由比值A2/A1 和角度ψ两参量就可以确定椭
圆形状及其在空间的取向。因此是椭圆偏振光的两个基本参量，也是可以直接测量的两个量。在光学薄
膜的厚度和折射率测量时，通过测量这两个量后，得到薄膜光学参量。
五、两个不同频率的单色光波的叠加
两个振幅相同、振动方向相同、同一方向传播，频率接近的单色光波的叠加，将产生“拍”现象。
（一）光学拍
两个不同频率的单色光波为
cos( ) 1 1 E a k z t cos( ) 2 2 E a k z t
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28
利用叠加原理得到合成波表示式为
2 cos( )cos( ) 10-137 1 2 E E E a k z t kz t m m
式中( ) / 2 1 2 ( ) / 2 1 2 k k k
( ) / 2 1 2 m ( ) / 2 1 2 k k k m
若令A 2a cos(k z t ) 10-138 m m
式10-137 可表示为E Acos(kz t ) 10-139
于是合成波是一个频率为 而振幅受调制的波，其振幅随时间和位置在-2a 与2a 之间变化，是一
个低频调制波（如图10-32 所示）。当ω1≈ω2 时，ωm 很小，因而振幅A 变化缓慢，虽然因光频很大无
法被直接探测，但可以探测调制波的强度变化。此时合成波的强度为
I A2 4a 2 cos2 (k z t ) 2a 21 cos2(k z t ) 10-140 m m m m
可以看出，合成波的强度随时间和位置在0 和4a2 之间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。由
上式可知拍频等于2ωm，即为两叠加光波频率之差。
光波因为频率很高，不容易观测到拍频现象。激光器使光学拍频现象的观测容易多了，光学拍已成
为检测微小频率差的一种特别灵敏而简便的方法。
（二）群速度和相速度
到目前为止讨论的都是单个光波的传播问题，提到的传播速度都是指它的等相面的传播速度，即相
速度。对于现在讨论的合成波，由10-137 可知，应包含等相面传播速度和等幅面传播速度两部分。10-137
中由相位不变条件（kz t 常数），求得合成波的相速度
v /k 10-141
群速度是指合成波振幅恒定点的移动速度，也就是振幅调制包络线的移动速度。如果叠加的；两个
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29
波在无色散的真空中传播，则由于两个波的速度一样，合成波是一个波形稳定的拍，其相速度和群速度
也相等。当光波在色散介质中传播时，由于频率不同，其传播速度也不同，其合成波的波形在传播过程
中不断地产生微小的变化，此时很难定义合成波的速度。不过，当1 2，且时，可以认为合 m
成波的波形变化缓慢，仍可用调制包络的移动速度来定义群速度。
合成波的振幅最大值即是合成波的群速度。由10-137 振幅不变的条件（k z t 常数）来求出m m
10-142
k k k k
v
m
m
g
1 2
1 2
当Δω很小时，有v d dk 10-143 g /
可以得到群速度和相速度的关系为
10-144
dk
v dv
dk
d kv
dk
v d g ( )
代入k 2 / ，上式为10-145
d
v v dv g
得到群折射率10-146
d
dn
n
n
v
n c
g
g
1
0
上式表示，在色散物质中v v(v c /n)，色散越大，即波的相速度随波长的变化越大时， g dv /d
群速度与相速度的相差越大。当dv /d >0（dn /d < 0），即正常色散时，群速度小于相速度；反之，当
dv /d < 0（dn /d > 0），即反常色散时，群速度大于相速度；对于无色散介质，dv /d = 0，群速度等于
相速度。表10-3 中给出了常见物质的色散和群折射率
表10-3 各种物质的色散和群折射率
以上讨论波的群速度也适合于更多频率相近的波的叠加而成的复杂波的情况。已经指出复杂波的群
速度可以认为是振幅最大点的移动速度，而波动携带的能量与振幅的平方成正比，所以群速度就是光能
量或光信号的传播速度。通常实验中测到的光脉冲的传播速度就是群速度，而不是相速度。
物质（18℃） n（λ=546.1nm） dn/dλ ×10-6 ng（λ=546.1nm）
空气（15℃、1 大气压） 1.0002779 -0.02 1.0002888
水（20℃） 1.3345 -35 1.3539
冕牌玻璃（K3） 1.5203 -51 1.5487
火石玻璃（F2） 1.6241 -99 1.6800
石英玻璃1.4602 -39 1.4818
石英（寻常光） 1.5462 -44 1.5706
萤石1.4350 -25 1.4488
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30
必须指出，相速度表征的是一个其频率和振幅不变的无穷的正旋波，这样的波不仅不存在，而且也
无法传递信号。要实现波的传递，必须对波的振幅或频率的调制，这就涉及到不止一个频率的波所组成
的波群，因此用群速度来表示信号速度时，可以认为群速度只在真空或在物质正常色散的情况下是有意
义的。这时因为吸收比较小，一个波群（波列）在一定距离内的传播不会发生显著的衰减，这样，信号
传播才有意义。对于反常色散情况，由于波的能量被物质强烈吸收，波迅速衰减，波群不能传播，此时
群速度就不再有物理意义，不能用来表示信号速度。
第五节光波的傅立叶分析
已经知道，几个频率相同的光波相叠加，不管其振幅和相位是否相同，其合成波仍然是同一频率的
单色光波。不同频率的单色光波相叠加，其结果将是一个复杂波，不再是一个单色光波（图10-33）。
由此可想到，任意一个复杂波能否用若干个振幅、相位和波
长不同的单色光波的适当组合来表示，或者说把复杂波分解
成若干个不同的单色光波。事实上，可以用傅立叶分析法来
实现。
一、非简谐周期波的傅立叶级数表示
周期波就是在相邻的相等的时间和空间内运动完全重复一次的波，图10-33c 所示的复杂波是非简谐
波，但是周期波。这类波可用数学上的傅立叶级数定理来分解。傅立叶级数定理表述为：一个空间周期
为λ=2π/ k 的周期函数f（z）满足狄里赫利条件[ f（z）在一周期内只有有限个极值点和第一类不连续点]，
则f（z）可用下式的傅立叶级数表示
10-147
1
0 ( cos sin )
2
( )
n
n n f z A A nkz B nkz
式中A0、An、Bn 称为函数f（z）的傅立叶系数，分别为
10-145
0 0 A 2 f (z)dz
0
A 2 f (z )cosnkzdz n
0
B 2 f (z )sinnkzdz N
利用傅立叶级数定理，对于空间角频率为k 的复杂波f（z），可以表示成许多空间频率为k、2k、3k，…的不同振幅单色光波的叠加，An、Bn 是某一空间角频率单色光波的振幅，表示该单色光波在复杂波中所
占的比例。因此，给定某一个复杂波的函数形式，对它做傅立叶分析，只需由10-148 决定它的各个分波
的振幅。
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31
以图10-34 所示的矩形波为例，在一个周期（0，λ）内，可
表示为
1
1
( ) {
f z
z
z
/ 2
0 / 2
因为f（z）是一个奇函数，即f（z）= -f（-z），因此有A0=An=0，
2 (1 cos )
2 ( )sin 2 ( 1)sin 2 ( 1)sin
0 / 2
/ 2
0
n
n
B f z gnkzdz nkzdz nkzdz n
将上式展开，得
B1= 4/π，B2= 0，B3= 4/3π，B4= 0，B5= 4/5π，…因此矩形波的傅立叶级数为
sin5 )
5
sin 3 1
3
f (z ) 4 (sinkz 1 kz kz
表示该复杂波包括空间角频率为k（基频）的基波和3k
（三次谐波）、5k（五次谐波）等高次谐波[空间频率m/λ（m
≥2）是谐波]。图10-35 画出了几个分波叠加的情况，可以看
到叠加分波的数目越多，合成波形越接近原矩形波。
通常把各个分波的振幅与相应的空间角频率（或空间频
率）的关系描绘成空间频谱（振幅频谱）图，用来表示傅立
叶分析的结果。图10-36 是矩形波的频谱图，应是一些离散
的表示不同振幅值的线。显见，周期性复杂波的频谱，由一
系列离散线组成。
傅立叶级数用复数形式表示为
10-149
n
inkz
nf (z ) C e
其中系数
/ 2
/ 2
1 ( )
C f z e inkzdz
n
n=0，±1，±2… 10-150
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32
10-149 中的每一项都表示一个单色光波，Cn 是该空间频率光波的振幅，f（z）可以看作由许多不同
k 值的单色光波组成。
二、非周期波的傅立叶积分表示
这类波在空间上或时间上不是无限延续的，一般只限定在一定的时间间隔或空间范围内存在。可以
将非周期波看成是周期为无穷大的波。
傅立叶积分定理为：一个非周期函数f（z）（视周期为无穷大），在[-∞，∞]上满足狄里赫利条件，
且绝对可积，可以用傅立叶积分表示为
10-151
f z A(k )eikzdk
2
( ) 1
其中A k f z eikzdz 10-152
( ) ( )
这里eikz表示空间角频率为k 的单色光波（f（z）为复杂波）；A（k）是相应的振幅，表示这一单色
光波在复杂波中的贡献大小。一般称A（k）为函数f（z）的傅立叶变换（傅立叶频谱），f（z）为函数A
（k）的逆变换。
由此可知，非周期波f（z）可以通过傅立叶积分理解为振幅A（k）随空间角频率k 连续变化的无
限多个单色波的叠加。一个复杂波的分解实际上是求它的傅立叶变换，即振幅随空间角频率k 的分布。
下面以矩形非周期函数（如矩形脉冲信号或
平面光波通过一狭缝后的复振幅分布）为例，求
取它的傅立叶变换、频谱图，矩形脉冲信号可表
示为
0
1
f (z ) {
其它
| z | a / 2
由10-152，它的频谱函数为
sin ( / )
/ 2
( ) ( ) 1 sin( / 2) / 2
/ 2
a c a
k
A k f z e dz e dz ka a
a
ikz ikz
式中应用了，这是光学中常用的一个函数。由图10-37 可知，矩形脉冲非周期函数的
x
cx x
sin sin
频谱是连续谱。
三、实际光源发出的光波的分析
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实际光源发出的是一个个断续的波列或振幅衰减的光波，可以把这种波列看成是发光原子一次辐射
的近似模型。这里用傅立叶分析方法对实际光源发出的波列进行分析，将看到光源辐射的物理过程与光
波单色性的密切关系。
考察某一固定时刻实际光源发出的一个波列。设
波列在空间一段距离2L 内呈简谐分布，振幅为A0，
空间角频率为k0，取波列长度2L 的中点为坐标原点
（图10-38），它的函数为
0
( ) {
0
0
A eik z f z
z L
z L
| |
| |
由10-152，它的傅立叶分布（傅立叶频谱）为
10-153
L
L
ikz i k k z
k k L
A k f z e dz A e dz A L k k L
( )
( ) ( ) 2 sin( )
0
0
0
( )
0
0
其空间频谱图是一条连续曲线。由振幅分布函数的平方得到光强分布为（略去常数因子）
10-154
2
0
0
( )
( ) sin( )
k k L
I k k k L
其分布曲线见图10-38b，可见实际光源发出的不是一个单色光波，除了发出空间角频率为k0 的光波
以外，还包含有其它角频率值的无数个分波。同时也看到，存在一个有效空间频率范围，光波发出的波
列的光强度可以近似地视为是这一范围内诸多分波的贡献。取强度的第一对零值对应的频宽的一半，得
有效空间角频率范围为
k k k /L 10-155 0
因为k 2 / ，上式也可以用波长范围（空间周期λ）表示，为
2 / 2L 10-156
由此可知，波列长度2L 越长，则波列所包含的波长范围Δλ或有效空间角频率范围Δk 就越窄，实
际光源的单色性就越好；反之，Δk 就宽。单色性就差；当波列长度等于无穷大时，Δλ与Δk 就等于零，
得到单色光波，实际上，由于原子间碰撞，引起发射谱线增宽，大多只能得到准单色光，即波长宽度与
中心波长之比 / 1的光波。
以上在空间域讨论了空间角频率和空间周期与光波单色性的联系。对于空间一点，考虑一定时间内
通过此点的的波列，可以利用空间坐标与时间坐标的对应关系，把波列写成时间坐标的函数，同样可以
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在时间域中对波列作傅立叶分析，也会得到类似的结果。若是波列存在的时间为Δt。则容易证明这个波
列所包含的单色光波的时间频率频率范围为 1/ t 。这样当波列长度2L 越长时，Δt 也越大，也就
是Δν就越窄，光波的单色性就越好，反之，Δν就宽，光波的单色性就差。显然，Δt 和Δν同样可用
于评价光波单色性的好坏。
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