对称性，生成元和守恒量

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对称性，生成元和守恒量
修正了部分错误。
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很早以前就听说过，空间平移不变性决定了动量，时间平移的不变性决定了能量。咋听上去非常牛逼，实际想起来百思不得其解：动量和空间的不变有什么关系？能量和时间的对称有什么关系？时间和能量，位置和动量的测不准，这又是从何而来的关系？这些性质之间逻辑上的一致性如何解决？本期CCTV (R) 走进科学(TM)，就带你走进这层层迷雾，拨开对称性的神秘面纱。。

1 对称性
芸芸众生可从此处开始读起。什么是对称性呢？对称性其实又是一种随意性，冗余性，不必要性，它表明我们在描述物理运动的时候，引入了不必要的量。例如，我们表述一个质点小球和另一个质点小球的碰撞运动，大可以建立一个坐标系来描述每个小球的位置，再用位置对时间的微分（速度）来描述每个小球下一个无穷小时刻的位置。这里我们把位置和速度看做独立的变量。显而易见，由这两个量我们就能完全确定小球们在整个观测时间内的运动轨迹了。
问题在于，我们所确定的坐标系，本身是虚构的，不存在的。我们最开始确定坐标系的原点（甚至轴方向），和观测时间的起点，是完全随意的。换言之，如果我们把两个小球从坐标系的一侧，平移到另一侧，我们把观测的时间起点从所谓东部时间上午8点改成西部时间下午3点，两个小球的碰撞结果都不会变。
坐标系原点的任意性（平移不变），时间起点的任意性（时不变）和坐标系轴朝向的任意性（旋转不变），就叫做这个力学系统的对称性。除了这些初步的对称性以外，坐标系右手定则的任意性（空间反演），时间箭头的任意性（时间反演，你可以让小球碰撞物理过程像看录像一样倒放，你也无法分辨哪一个是真实的时间箭头）也属于物理系统通常具有的根本的对称性。

2 对称性的破坏
当然不是我们所研究的所有系统同时具有上述对称性（不然这个世界就大大的简化了）。比如小球运动在一个蜿蜒崎岖的山地上，那么系统就不具备连续的平移不变性。如果早上10点的时候弹了小球一下，那么这个系统就丧失了时间不变性（碰撞事件发生在10点之后和10点之前，结果完全不一样）。如果我给小球加上电荷，再在给定方向上加一个电场，空间反演对称性。如果我再在给定方向加上一个磁场，现在时间反演对称性也没有了。
既然本文的主题是讨论对称性和守恒量，我们就假定系统具备平移，时间和旋转对称性。一般而言，在一个均匀空间，无外力的系统中，这个条件是满足的。

3 生成元
既然系统对某些变量具有对称性（或者冗余性），如果我们把这些变量进行增减的变化，按照上述事实，描述系统的运动方程应该不变，也就是我们观测的物理过程和结果都不会变。实际上，因为大变化都是小变化积分而来，根据微分精神，我们只需要研究关于这些变量无穷小的变化，就能知道系统在这些变化下会不会不变了。
我们就以“生成元”来表示这些无穷小变化。
简单起见，我们先来研究一维空间的平移变化。
抽象的说，把空间平移变化记做一类算子，他的作用如下：
 （1）
显然，就是把一个函数在坐标轴方向上整体平移移动了a。其中，U(a) 就是平移算符，a是无穷小变化的参数，是一个无穷小量。无穷小量的含义是，在所有接下来的分析中，我们只考虑他的一次项，高次项全部舍去，因为：
  （2）
由（1）式，我们就能得到U(a) 在单位操作（也就是U(0)=I，零操作）附近的表达式，因为：
 （3）
根据定义，在这个情况下，生成元就是：
， 是一个微分算符。
一旦我们确定了生成元，我们就能写出任何参数下平移变换的表达式。不难看出，因为一个有限长的平移其实就是无穷个无穷小平移的叠加，根据算符的乘法操作：
  （4）
微积分告诉我们：
   （5）

不要害怕，算符的微分只需要把指数进行泰勒展开就可以了。很显然，这个有限长平移生成元算符，就是一个泰勒展开的微分算子，因为：
   （6）

4 守恒量和Noether定理
知名美女数学家兼物理学家Noether在1910年代证明过一个突破性的定理，也就是所谓Noether定理。简而言之，也就是说，如果系统存在一个对称性，那么他就一定存在一个守恒量。所为守恒量，就是说在整个系统的演化过程中，这个量的值不变。而且，这个守恒量和生成元具有相同的代数性质（也就是相差一个常系数，显然，如果一个量守恒，那么这个量乘以一个常数，加上一个常数，也守恒。守恒量的表达式并非是唯一的。一个最著名的例子是，我们经常把任意的一个状态的能量，比如地球表面的重力势能，或者无穷远处的静电势能，或者基态的能量等，取做零，叫做选择参考面，这无非就是把能量减去一个常数）。
Noether说，对于每一个对称操作，系统具备的守恒量（在假定对称操作不影响L表达式的前提下）为：
，其中L是拉格朗日量，，也即对称操作后的微小变化，, U 就是上述的变换操作。
鉴于这是一个科普文，Noether定理的详细描述这里就不在赘述，有兴趣的同学可以去看任何一本理论力学，量子物理或者量子场论的教材，描述程度各有不同。
就让假设我们相信Noether定理，通过分析拉格朗日量和所谓哈密顿变分原理（另外一篇科普日志讲述了这个原理）：
  （7）
系统的运动轨迹由变分最小值确定：
   （8）
就是牛顿第二定律。
那么从空间平移对称性，注意对位置x而言，平移生成元作用在x上后，dx/dx=1. 我们能得到的守恒量（把他叫做p）是：
   （9）

显然这就是动量。如果从时间对称性，我们就能得到：

（10）
也就是说，如果系统存在时间对称性，L 对时间的偏微分为0，那么，我们就有一个守恒量：
L-pv 或者 pv-L。 我们把后者叫做H。
而显而易见：
  （11）

这个不变量就是能量。
而系统如果存在旋转对称性，Noether定理告诉我们这个守恒量是：
  （12）
而J就是旋转变换的生成元，这可以由无穷小旋转的旋转矩阵得出，实际上J=J1(x)+J2(y)+J3(z)，其中每个J都是一个矩阵。而旋转操作的结果就是：
, theta 是指向转轴方向，其大小就是旋转量的大小。由右手定则容易判断这个定义的正确性。


5 生成元和守恒量
扯了这么多守恒量，他们和生成元究竟有什么关系呢？下面我们就来完成本次走进科学的目的，一探究竟。
任何一个描述力学状态的量，在整个运动过程中，都可以被位置，动量和时间完全确定，这是经典力学的基本结论，也是第一小节分析的结果（因为速度和动量只相差一个常数：质量），因此我们可以将其写作：

  （13）

那么，我们来研究f 随位置变化的情况。
第三节说过，f 随位置的变化完全由生成元确定，而与此同时：


注意到dp/dx=0，他们是独立变量。

其中{} 是泊松括号，在经典力学中，其物理意义是生成元和函数的泊松括号就是函数在这个生成元下的无穷小变化量。
由此可见，平移生成元对应着动量 p， 而时间生成元对应着能量H。然而，经典力学中，生成元和守恒量的关系的确立是具有随意性的，因为经典力学中，并不存在态，算符，以及可观测量的性质。在量子力学中，生成元和对易括号[]，以及守恒量的关系就十分明确了。
特别需要注意的是，根据不同理论中空间和时间的关系，就空间是一种标记还是算符，，我们对守恒量的数学定义（是偏微分还是全微分）是不同的。比如场论和量子力学就不一样。

7 量子力学，测不准关系
虽然经典力学中，生成元与守恒量关系的确立并非完全必要（因为我们完全可以在相空间内用单值函数的微分描述运动状态，x和p是独立的），但他们对于量子力学理论的建立具有相当的提示作用。在量子力学中，根据对应性（其实这也算经典力学对量子力学的提示之一），我们把泊松括号改成对易括号[]，那我们就有：

其中A是任意算符，p是动量算符，H是能量算符（哈密顿量）， J是角动量算符。加入i是为了保证各个算符都的本征值都是实数，这样左右两边取厄米共轭的时候能正确引入一个负号；加入普朗克常数是为了让左右单位一致，因为算符本身还有自己的单位（能量，动量和角动量等）。
那么，根据量子力学中态在算子下作用的关系：

而同样的变换下，由可观测量为： 状态的平移等价于算符的共轭：

由此我们就能确定各个算符为：

等。这里，我们就明确的看到，守恒量和生成元之间一一对应的关系。
这两者就是量子力学的算符基础，由此，我们可直接得到：

这就是薛定谔方程。
对于角动量生成元的形式，我们需要更为详尽的分析，但大体精神是完全一样的。这部分分析内容在数学中又叫做李代数。
由算子，我们很容易得到测不准定理：

倒数第二个等式由微分的链式法则得到。
这就是量子力学的量子化基础。


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