Finsler Geometry on Higher Order Tensor Fields and Applications to High Angular Resolution Diffusion Imaging
AUTHOR(S)
PUB. DATE
May 2011
SOURCE
International Journal of Computer Vision;May2011, Vol. 92 Issue 3, p325
SOURCE TYPE
Academic Journal
DOC. TYPE
Article
ABSTRACT
We study 3D-multidirectional images, using Finsler geometry. The application considered here is in medical image analysis, specifically in High Angular Resolution Diffusion Imaging (HARDI) (Tuch et al. in Magn. Reson. Med. 48(6):1358-1372, ) of the brain. The goal is to reveal the architecture of the neural fibers in brain white matter. To the variety of existing techniques, we wish to add novel approaches that exploit differential geometry and tensor calculus. In Diffusion Tensor Imaging (DTI), the diffusion of water is modeled by a symmetric positive definite second order tensor, leading naturally to a Riemannian geometric framework. A limitation is that it is based on the assumption that there exists a single dominant direction of fibers restricting the thermal motion of water molecules. Using HARDI data and higher order tensor models, we can extract multiple relevant directions, and Finsler geometry provides the natural geometric generalization appropriate for multi-fiber analysis. In this paper we provide an exact criterion to determine whether a spherical function satisfies the strong convexity criterion essential for a Finsler norm. We also show a novel fiber tracking method in Finsler setting. Our model incorporates a scale parameter, which can be beneficial in view of the noisy nature of the data. We demonstrate our methods on analytic as well as simulated and real HARDI data.
数学书籍文献阅读与讨论An Introduction to Riemann-Finsler Geometry - David Dai-Wai Bao / Shiing-Shen Chern / Zhongmin Shen
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Finsler Geometry via Chern-Rund Connection
作者：烟花不堪剪
Finsler几何作为Riemann几何的推广之一是Riemann 1854年报告中提及的，它首先是一种度量几何学。
Finsler度量并不是切空间上的任意一个抽象度量，它需要满足强凸性，这种性质对于整体结果的建立是必要的。而所谓强凸性的引入甚至可以追溯到Blaschke的《微分几何》第二卷把经典微分几何推广到幺模仿射空间的工作。Blaschke的这个重要工作长期以来被忽略了，尤其是对于一些赶时髦的无知青年，他们对几何学缺乏了解。
根据Cartan formalism，这种几何可以用活动标架法来研究。可是，由于度量未必是二次型，因此我们不能用正交标架，所以情形就变得困难。事实上，假如标架是正交的，活动标架导致的联络是度量相容的，解方程组总能使联络同时是无挠的，这就是Riemann几何上所发生的情形。Cartan研究这种几何时找到一种度量相容的联络，可惜它有挠，这使得计算非常麻烦。Chern在1948年的论文里继续发挥他用投射把微分形式拉回到纤维丛的思想（相应的思想用于Gauss-Bonnet公式和Chern示性类，在那里它们叫超渡（transgression）），在射影化切丛[;PTM;]（或射影球丛[;SM;]）上定义了联络，由于[;SM;]是一个Riemann流形，因此这个联络依然可以用正交标架来定义，从而解方程组就得到一个无挠的联络。所不同的是度量相容的要求会被加强，因为牺牲Finsler度量的y依赖性将会导致一个很大的Riemann流形，从而度量相容要求在这个更大的流形上成立。这导致这个联络尽管无挠，但是度量不相容。现已能够证明，对于Finsler几何而言，不存在无挠且度量相容的联络。Chern的联络极为重要，它展示了Finsler几何怎样通过Cartan张量的消失退化成Riemann几何，这个联络处理整体问题的能力已经通过Chern和Bao在1993年的一篇论文中得到了体现，这篇论文可能是Finsler几何学领域唯一引用超过100的论文。
由于Chern在做1948年的工作时，Cartan的活动标架法并不通行，尤其是对于无知的Finsler几何学家，这些人只能在偏僻之处做点小工作，甚至对于正在呼风唤雨的Chern-Weil理论都一无所知，所以Chern的这篇文章长期以来并不被人了解。Rund在1961年重新发现了Chern定义过的联络，由于Rund的无知，这个用矢量场来定义的联络和Chern的联络的等价性并未被发现。在Anastasiei 1996年的一篇注记中，这种等价性首先被揭示出来，现在这种联络叫作Chern-Rund联络。尽管Chern首先发现了它，这个叫法是有好处的，因为可以和复几何上的Chern联络相区分。在这本书里这种联络依然被称为Chern联络，我想这源于其他两个作者的无知。
在Chern联络下，曲率被分成两项，Riemann曲率张量和Chern曲率张量。众所周知，一个[;n;]维Riemann流形需要[;\frac{n(n-1)}{2};]个标量来控制，现在又多了Chern曲率，复杂程度可想而知。
这种复杂性导致的直接影响就是用曲率构造示性类的困难。由于Pfaff形式只在正交群下不变，而Chern联络是度量不相容的，经典的Chern-Weil理论无法构造Euler示性类，从而Gauss-Bonnet公式这样的整体结果并不容易建立。Chern从Gauss-Bonnet公式开始处理整体Finsler几何是容易理解的，这归功于他早年在这方面的得意工作。同时也是正确的，因为这个公式是联系局部的几何量和整体的拓扑不变量的基本公式，同时，这个公式还是所谓积分几何的开端。
Chern和Bao在1996年成功的把这个公式推广到indcatrix为常数的所有Finsler流形上，从而对于所有Landsberg空间，这个公式成立。不过非平凡的Landsberg空间是很少的，这方面的结果可以参考Bao，Chern和Shen 1997年关于Finsler曲面刚性的工作。对于任意Finsler流形上Gauss-Bonnet公式的证明已经在2002年由Lackey圆满完成。很遗憾的是，对于Finsler流形，这个公式并不能看做Atiyah-Singer指标定理的特例（这里假设Atiyah-Singer的定理能被推广到紧致Finsler流形上），因为Finsler流形上不存在自伴的椭圆微分算子，我们已经知道这一点。不过，Bao和Lackey合作，在1996年证明了Hodge分解定理，这个工作的重要性是不言而喻的。
想要知道Finsler几何是什么而不陷入复杂的张量运算，局限在Finsler曲面情形是合适的。这时Finsler曲面的几何被两个伪标量[;I;],[;J;]和一个标量[;K;]所控制。[;I;]是Cartan张量导致的，在曲面情形退化为伪标量，[;J;]是Landsberg伪标量，它是Cartan伪标量的导数，而[;K;]是熟知的Gauss曲率。这个事实应该和Riemann曲面的几何只受[;K;]控制的事实相比较。当[;I=0;]时，[;J;]必然为0，回到Riemann几何。当[;J=0;]时，得到的曲面就是Landsberg曲面。
还有很多重要的结果在这本书里得到了阐述，大多数是整体结果，比如Gauss-Bonnet，Bonnet-Mayers，Hopf-Rinow，Cartan-Hadamard···这些结果都是大家熟知的，其推广也不困难，理清概念之后，证明只在细节上和Riemann几何有差异。作者的目的是把Riemann几何作为Finsler几何的特例来讲述，因此在讲完一般情形之后常常回到Riemann情形，因此用它来入门Riemann几何也并非不可以。作者认为这种讲述几何的方式应该替代现在集中精力讲授Riemann几何的方式，为此，作者甚至在个别地方应用了几何分析的外蕴方法，从而使此书不至于太落伍。
这本书编排思路非常清晰，排版也很出色，唯一的问题是习题，由于本书之前不存在一本系统的Finsler几何教材，这本书的习题错误很多，不过尚在可接受范围之内。所有的错误的和它们的修正可以在David Bao的主页上找到。
Chern认为研究Finsler几何的价值在于研究Finsler度量，这会对研究复流形上的内蕴度量有用。这个预言被证实和。Karen Chandler和Peterman Wong 2004年证明了Kobayashi猜想。遗憾的是此书并未涉及在复几何上的应用，因为作为GTM系列这本书档次太低，另外其他两个作者比较无知。值得注意的是，Chern在2002年的论文Back to Riemann中，说另一本题为《Topics in Finsler Geometry》的书将在3-5年内出版。我想这本书如果出版将会包含复几何上的应用和Hodge分解这些美妙的结果，可惜Chern没能活到有时间写这本书，令人不胜唏嘘。
我想就这样简单地结束对这本书的介绍。Finsler几何未来的前景是渺茫的，不过本书作为一本消遣用书实在是极佳的，作者conceptual的讲述方式非常舒服。适合在床上和上厕所的时候解闷。
来源：http://book.douban.com/review/5168070/
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