-
PDF] 11 - 中山大学物理科学与工程技术学院
- spe.sysu.edu.cn/course/.../Coll_Phys_03_hmnc_oscltr.pdf
- 由 林琼桂 著作 - 2003 - 相關文章
- 但有三种情况. 比较简单:自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是. 坐标的二次
多项式) . 在其中运动的波包,其中心遵循. 经典粒子的运动规律. 自由粒子是最简单的情况 ...
[DOC]第一章 - Google Code
[PDF]一机器人技术综论二机器人与操作器的一般概念
[PDF]用简单方法求解谐振子波包的演化
:自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是
坐标的二次多项式) . 在其中运动的波包,其中心遵循
第22 卷第9 期大 学 物 理Vol. 22 No. 9
2003 年9 月COLL EGE PHYSICS Sep. 2003
收稿日期:2002 - 04 - 02
基金项目:国家自然科学基金资助项目(19905016) ;教育部国家理科基地创建名牌课程基金资助项目;香港中山大学高等学术
研究中心基金会资助项目(02P3)
作者简介:林琼桂(1963 —) ,男,广东潮阳人,中山大学物理系教授,博士,从事理论物理学的教学和研究.
教学研究用简单方法求解谐振子波包的演化
林琼桂
(中山大学物理系,广东广州 510275)
摘要:用简单方法求出一系列谐振子波包的波函数随时间演化的显式. 该方法不需用到特殊函数的任何知识.
关键词:波包;谐振子;演化;简单方法
中图分类号:O 413. 1 文献标识码:A 文章编号:100020712 (2003) 0920008202
在量子力学中,波包的运动是一个古老的课题,教
科书中就有这方面的讨论[1 ] . 由于激光技术的发展,目
前已经可以在实验上制作出各种波包,并对其运动进
行观察. 因此,近年来这一问题仍受到广泛的关注[2 ] .
一般波包的运动是相当复杂的. 在一般的体系中,
波包的中心(坐标矢量的平均值) 并不遵循经典粒子的
运动规律. 至于其形状的变化则更复杂. 但有三种情况
比较简单:自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是
坐标的二次多项式) . 在其中运动的波包,其中心遵循
经典粒子的运动规律.
自由粒子是最简单的情况,通过对一维Gauss 波
包的研究可以看到,波包的中心保持静止或作匀速运
动,而宽度则随着时间不断增大, 因此最后必然崩
溃[1 ] . 一般波包的情况也是如此[3 ] . 最近,我们研究了
一般波包在均匀场(线性势) 中的运动[3 ] ,发现波包宽
度的变化规律与自由粒子完全一样. 具体来说,波包宽
度的平方以时间的二次函数增长,而动量空间的相应
波包却保持宽度不变,特别是平面波在运动过程中仍
保持为平面波.
二次势的最简单情况是一维谐振子. 谐振子波包
的运动图像大致如下:其中心像经典粒子一样作简谐
振动,其宽度则作周期性的振荡. 关于谐振子波包的研
究历史可参看文献[4 ] . 该文求得了较一般的波包的波
函数随时间变化的显式,其初态由能量本征态经过压
缩再作平移得到,其中压缩和平移的参数均为复数. 这
可能代表了可以求得波函数显式的最一般情况了. 最
近,我们对更一般的谐振子波包的形状变化的程度作
了更细致的分析,得到了一些更一般的结果[5 ] .
本文的目的是讨论比较简单的一种情况,其初态
由能量本征态经过平移得到. 这种情况下的运动图像
非常简单:整个波包像经典粒子一样作简谐振动,其形
状在运动过程中保持不变. 虽然这一结果是人们早已
熟知的,但本文避免了复杂的数学运算,尤其是不需要
用到特殊函数(本问题涉及的是Hermite 多项式) 的任
何知识,因此较易被初学者掌握,对教学也会有一定的
参考价值.
我们先回顾一下一般的计算方法. 谐振子的Ham2
iltonian 为
H = p2
2μ+
1
2
μω2 x2 (1)
其本征值记作En ,相应的本征态波函数记作ψn ( x) ,本
文不需要用到ψn ( x) 的具体表式. 取初始时刻为t = 0 ,
归一化初态波函数记作ψ( x ,0) ,我们的任务是求解以
后时刻t 的波函数ψ( x , t) . 这通常有以下两种方法.
1) 先展开
ψ( x ,0) = Σ
∞
n = 0
anψn ( x) (2)
用下列积分计算展开系数:
an =∫∞
- ∞
ψ3
n ( x)ψ( x ,0) d x (3)
然后代入下式计算ψ( x , t) :
ψ( x , t) = Σ
∞
n = 0
ane - i E
n
tPÜψn ( x) (4)
但无论是式(3) 的积分还是式(4) 的求和,都需要用到
© 1995-2003 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
Hermite 多项式的各种公式. 教科书上计算了ψ( x ,0)
=ψ0 ( x - x 0 ) 的情况[1 ] ,其中x 0 是常数. 容易看到,计
算中用到了Hermite 多项式的许多性质. 如果初态再复
杂一些,则技术上的要求就更高. 这对于初学者显然是
不方便的.
2) 用下式计算ψ( x , t) :
ψ( x , t) =∫∞
- ∞
K( x , t ; y ,0)ψ( y ,0) d y (5)
其中K( x , t ; y ,0) 是传播子,或Green 函数,其形式为
K( x , t ; y ,0) =
μω
2πiÜsin ωt
1P2
exp i
μω
2 Ü [ ( x 2 +
y2 ) cot ωt - 2 xycsc ωt ] (6)
这一传播子可有多种计算方法:或将ψn ( x ) 的具体表
式代入下列公式计算:
K( x , t ; y ,0) = Σ
∞
n = 0
e - i E
n
tPÜψn ( x)ψ3
n ( y) (7)
或用路径积分方法[6 ] ;或用特殊技巧[7 ] 等. 但其中没有
一种方法是轻而易举的. 此外,计算式(5) 的积分也并
非易事. 所以这种方法也不方便.
本文的方法则要简单得多. 设初态为ψ( x ,0) =ψn
( x - x 0 ) . 注意到对任意函数f ( x) 有
e - i apPÜ
f ( x) = f ( x - a) (8)
其中a 为实常量,则以上初态可以写作
ψ( x ,0) =ψn ( x - x 0 ) = e - i x0 pPÜψn ( x) (9)
于是有
ψ( x , t) = e - i HtPÜψ( x ,0) = (e - i HtPÜe - i x0 pPÜei HtPÜ) ·
e - i HtPÜψn ( x) = e - i E
n
tPÜe - i x0 pH
( - t)PÜψn ( x) (10)
其中pH ( - t) 是Heisenberg 绘景中的算符,定义为
x H ( t) = ei HtPÜ
xe - i HtPÜ, pH ( t) = ei HtPÜ
pe - i HtPÜ (11)
对以上两式微分,建立微分方程并求解,易得:
x H ( t) = xcos ωt +
p
μωsin ωt
pH ( t) = pcos ωt - μω
No comments:
Post a Comment