Saturday, July 20, 2013

:自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是:坐标的二次多项式) . 在其中运动的波包,其中心遵循,经典粒子的运动规律

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  • :自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是
    坐标的二次多项式) . 在其中运动的波包,其中心遵循
     
     
    经典粒子的运动规律
     

     
    22 卷第9 期大 学 物 理Vol. 22 No. 9

    2003 9 COLL EGE  PHYSICS Sep. 2003

     收稿日期:2002 - 04 - 02

     基金项目:国家自然科学基金资助项目(19905016) ;教育部国家理科基地创建名牌课程基金资助项目;香港中山大学高等学术

    研究中心基金会资助项目(02P3)

     作者简介:林琼桂(1963 ) ,,广东潮阳人,中山大学物理系教授,博士,从事理论物理学的教学和研究.




    教学研究用简单方法求解谐振子波包的演化
    林琼桂

    (中山大学物理系,广东广州 510275)

      摘要:用简单方法求出一系列谐振子波包的波函数随时间演化的显式. 该方法不需用到特殊函数的任何知识.

      关键词:波包;谐振子;演化;简单方法

      中图分类号:O 413. 1    文献标识码:A    文章编号:100020712 (2003) 0920008202

      在量子力学中,波包的运动是一个古老的课题,

    科书中就有这方面的讨论[1 ] . 由于激光技术的发展,

    前已经可以在实验上制作出各种波包,并对其运动进

    行观察. 因此,近年来这一问题仍受到广泛的关注[2 ] .

    一般波包的运动是相当复杂的. 在一般的体系中,

    波包的中心(坐标矢量的平均值) 并不遵循经典粒子的

    运动规律. 至于其形状的变化则更复杂. 但有三种情况

    比较简单:自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是

    坐标的二次多项式) . 在其中运动的波包,其中心遵循

    经典粒子的运动规律.

    自由粒子是最简单的情况,通过对一维Gauss

    包的研究可以看到,波包的中心保持静止或作匀速运

    ,而宽度则随着时间不断增大, 因此最后必然崩

    [1 ] . 一般波包的情况也是如此[3 ] . 最近,我们研究了

    一般波包在均匀场(线性势) 中的运动[3 ] ,发现波包宽

    度的变化规律与自由粒子完全一样. 具体来说,波包宽

    度的平方以时间的二次函数增长,而动量空间的相应

    波包却保持宽度不变,特别是平面波在运动过程中仍

    保持为平面波.

    二次势的最简单情况是一维谐振子. 谐振子波包

    的运动图像大致如下:其中心像经典粒子一样作简谐

    振动,其宽度则作周期性的振荡. 关于谐振子波包的研

    究历史可参看文献[4 ] . 该文求得了较一般的波包的波

    函数随时间变化的显式,其初态由能量本征态经过压

    缩再作平移得到,其中压缩和平移的参数均为复数.

    可能代表了可以求得波函数显式的最一般情况了.

    ,我们对更一般的谐振子波包的形状变化的程度作

    了更细致的分析,得到了一些更一般的结果[5 ] .

    本文的目的是讨论比较简单的一种情况,其初态

    由能量本征态经过平移得到. 这种情况下的运动图像

    非常简单:整个波包像经典粒子一样作简谐振动,其形

    状在运动过程中保持不变. 虽然这一结果是人们早已

    熟知的,但本文避免了复杂的数学运算,尤其是不需要

    用到特殊函数(本问题涉及的是Hermite 多项式) 的任

    何知识,因此较易被初学者掌握,对教学也会有一定的

    参考价值.

    我们先回顾一下一般的计算方法. 谐振子的Ham2

    iltonian

    H = p2

    2μ+



    1

    2

    μω2 x2 (1)

    其本征值记作En ,相应的本征态波函数记作ψn ( x) ,

    文不需要用到ψn ( x) 的具体表式. 取初始时刻为t = 0 ,

    归一化初态波函数记作ψ( x ,0) ,我们的任务是求解以

    后时刻t 的波函数ψ( x , t) . 这通常有以下两种方法.

    1) 先展开

    ψ( x ,0) = Σ




    n = 0

    anψn ( x) (2)

    用下列积分计算展开系数:

    an =

    -

    ψ3

    n ( x)ψ( x ,0) d x (3)

    然后代入下式计算ψ( x , t) :

    ψ( x , t) = Σ




    n = 0

    ane - i E




    n

    tPÜψn ( x) (4)

    但无论是式(3) 的积分还是式(4) 的求和,都需要用到





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    Hermite 多项式的各种公式. 教科书上计算了ψ( x ,0)

    =ψ0 ( x - x 0 ) 的情况[1 ] ,其中x 0 是常数. 容易看到,

    算中用到了Hermite 多项式的许多性质. 如果初态再复

    杂一些,则技术上的要求就更高. 这对于初学者显然是

    不方便的.

    2) 用下式计算ψ( x , t) :

    ψ( x , t) =

    -

    K( x , t ; y ,0)ψ( y ,0) d y (5)

    其中K( x , t ; y ,0) 是传播子,Green 函数,其形式为

     K( x , t ; y ,0) =




    μω

    2πiÜsin ωt

    1P2



    exp i
    μω

    2 Ü [ ( x 2 +

     y2 ) cot ωt - 2 xycsc ωt ] (6)

    这一传播子可有多种计算方法:或将ψn ( x ) 的具体表

    式代入下列公式计算:

    K( x , t ; y ,0) = Σ




    n = 0

    e - i E




    n

    tPÜψn ( x)ψ3

    n ( y) (7)

    或用路径积分方法[6 ] ;或用特殊技巧[7 ] . 但其中没有

    一种方法是轻而易举的. 此外,计算式(5) 的积分也并

    非易事. 所以这种方法也不方便.

    本文的方法则要简单得多. 设初态为ψ( x ,0) =ψn

    ( x - x 0 ) . 注意到对任意函数f ( x)

    e - i apPÜ

    f ( x) = f ( x - a) (8)

    其中a 为实常量,则以上初态可以写作

    ψ( x ,0) =ψn ( x - x 0 ) = e - i x0 pPÜψn ( x) (9)



    于是有

     ψ( x , t) = e - i HtPÜψ( x ,0) = (e - i HtPÜe - i x0 pPÜei HtPÜ) ·

      e - i HtPÜψn ( x) = e - i E




    n

    tPÜe - i x0 pH

    ( - t)PÜψn ( x) (10)

    其中pH ( - t) Heisenberg 绘景中的算符,定义为

    x H ( t) = ei HtPÜ

    xe - i HtPÜ, pH ( t) = ei HtPÜ

    pe - i HtPÜ (11)

    对以上两式微分,建立微分方程并求解,易得:

    x H ( t) = xcos ωt +




    p

    μωsin ωt

    pH ( t) = pcos ωt - μω

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