Saturday, July 20, 2013

如果F是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）。若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為阻尼振子

諧振子[编辑]
维基百科，自由的百科全书
跳转至： 导航、 搜索
Tango-nosources.svg
本条目没有列出任何参考或来源。（2010年2月13日）
維基百科所有的內容都應該可供查證。
请协助添加来自可靠来源的引用以改善这篇条目。无法查证的内容可能被提出异议而移除。
本文描述的是古典力學中的諧振子。量子力學中的諧振子請見量子諧振子與量子阻尼諧振子。
一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。
古典力學中，一個諧振子（英语：harmonic oscillator)乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力F正比於位移x，並遵守虎克定律：
F = -k x \,
其中k是一個正值常數。
如果F是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。
若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。
若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是受驅振子。
力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子(electrical harmonic oscillator)（參見RLC電路）。

簡諧振子[编辑]

簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：
F = -k x \,
利用牛頓第二定律
F = m a = -k x \,
則加速度a 等於是x的二次微分導數：
m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x
若定義{\omega_0}^2 = k/m，則方程式可以寫為如下：
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0
可以觀察到：
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}
然後代回原式得到
\frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0
\mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot \mathrm{d}x = 0
積分可得
\dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K
其中K是積分常數，設K = (A ω0)2
\dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2
\dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}
\frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t
經過積分，結果（包括積分常數φ）為
\begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\ \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}
並有一般解
x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,
其中振幅A \,以及相位\phi \,可透過初始條件來決定。
另外也可以將一般解寫成
x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,
其中\phi \,的值與前面形式相比，偏移了\pi/2 \,；
又可以寫作
x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,
其中A \,與B \,為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的A \,與\phi \,。
振動頻率則為
f = \frac{\omega_0}{2\pi}
動能為
T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi).
以及勢能（位能）為
U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)
所以系統總能為定值：
E = \frac{1}{2} k A^2

受驅諧振子[编辑]

一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)，
其中A_{0}是驅動振幅而\omega是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

阻尼諧振子[编辑]

一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0，
其中b是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式F = -bv。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧(weighted spring)，若假設水所施的阻尼力與速度v呈線性比例關係。
阻尼諧振子的頻率為
\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}
其中
R_m=\frac{b}{2m}.

受驅阻尼振子[编辑]

受驅阻尼振子滿足方程式
m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)。
其一般解為兩個解的和，一為暫態解（ 無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。
穩態解為
x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)
其中
Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}
為阻抗(impedance)或線性響應函數(linear response function)之絕對值
Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)
而
\phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)
為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。
可以觀察到，當在某特定驅動頻率 \omega 時，振子振動之振幅（相對於一給定之F_0）達到最大。這發生在頻率為
{\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2}
之時，而此現象稱之為（位移上的）共振。
總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。
例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。

完整數學描述[编辑]

多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：
\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)
其中t是時間，b是阻尼常數，ωo是本徵角頻率，而Aocos(ωt)代表驅動系統的某種事物，其振幅Ao而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關，關係式為
f = \frac{\omega}{2 \pi}.

重要項[编辑]

  • 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
  • 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
  • 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
  • 角頻率： \omega = 2 \pi f
  • 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为 \pi ）。
  • 初始條件：t = 0时系统的状态。
Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)