1996年幕1期(总幕23期) 渭南师专学报(自然科学版) Vo1．i1 No．i
6一光子激光的Sub-Poisson光子统计增强
杨志勇
摘要本文利用量子电动力学理论，首次对6 光子 nes-Cummings模型中单摸强
激光场的稳态S“b-Poisson光子统计特性进行j详细研究．结果表明：在窄带泵浦共振相互
作用条件下，当激光系统在高增益、低损耗状态下I 作时，光场将呈现出深度且完全恒定的
S曲一尸 5s舰光子统计．与文献[6—9]的结果相比，6一光子激光其光场S“6一Poisson光子统
计的程度增强．
关键词6一光子激光主方程Sub-Poisson光子统计
一
、引 言
众所周知：光场，就其本质而言是一种量子场，量子光场不仅具有纯属于波动特征的经典效应，而且·更具
有纯属子量子特征的非经典效应．迄今为止，实验上已经证实的光场的非经典效应有三种 光场压缩态、光子
反聚柬和Sub-P~sson光子统计．
与光场压缩态及光子反聚束效应不同，Sub-Poison光子统计是通过光子数的统计分布来体现光场的非
经典特征的．具体地说，s 一poi盯删光场其光子数的几率分布要比具有相同平均光子数的Pols*on分布更
窄．即光场的光于数起伏小于平均光子数．
曲一R如阳 光场所揭示出的这种特殊的光子统计性质，不仅深化了人们对于光的量子本质的认识t具
有重要的理论价值 而且还由于这种光场以其极低的光子数起伏在光通讯、引力波探测、超弱信号检测 及生
命系统的超弱光子辐射等研究领域显示出了十分广阔的应用前景，固而使得这一研究成为当前量子光学领
域的一个十分活跃的前沿课题．
文献[6]采用量子电动力学理论和缀饰原子方法，对单光子Jaynes—Cummings模型中单模强激光场的
稳态 一P0 s肋 光子统计特性进行了系统研究．结果表明：激光上能级相对泵浦参量Xa具有一个确定的
期值X口tI当Xa>Xat时，光场呈现Sub-Poisson光子统计．文献[7—8]t研究了双光子~aynes-Cummings
模型的Sub-Poi5肋 光子统计性质．文献[9]则在上述研究的基础上t进一步报导了3一光子及4一光子情形
的一般性结果．文献[io3~究了原于系统量的涨落与Sub-Poisson激光的关系 文献[11]则从理论上研究了
相干及非相干泵浦的常规三能级激光器的稳态和噪声行为，指出了相干泵浦情况下出现稳态无粒子反转Sub
— Poi 删激光的可能性 但是，关于6一光子ora3mes-Cummings模型中单模强激光场的稳态Sub —P 脚
光于统计特性的理论研究，迄今为止，尚未见有任何报导
本文从量子电动力学的普遍理论出发，首次对6一光子Jayaes—Cummings模型中单模强激光场的稳态
6一P。 。n光于统计性质进行了详细研究．结果表明：在窄带泵浦共振相互作用条件下，当激光系统在低增
益、高损耗状态下工作时，光场将呈现非poisso~分布的“准poisson光于统计 一当激光系统在高增益、低掼耗
状态下工作时，光场将呈现出深度且完全恒定的Sub-Poison光子统计．
收稿日期：1995年9月3 日
*陕西省教委专项科研基金资助项目
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- 2· 杨志勇：6一光子'裳光的Sub—Polsson光子统计增强 茅11卷
二、6一光子激光的全量子理论
6一光子,7a~nes—Cummings模型的Hamilton在RWA(Rotati g Wave Approzi 幽 )近似下可表为
日·=hwa 4+÷ 。a．+hg(a¨d一+4 ) (1)
其中，h为Pla 常数， 为单模激光的频率一 、n分别为光场的产生算符和湮灭算符， 为原子能缎的额
率间隔， 和 分别为二能级原子的反转算符和能级的升 降算符，g是场—— 原子之间发生6—— 光子相互
作用的耦台劲度．
1、场密度算符随时间演化的一般特征，
假定在原于被激发的韧始时刻f，场—— 原子之间互不关联(即场—— 原子之间不发生相互作用)，则体
系的总密度算符,oAt)可表为场密度算符 (f)与原子密度算符 (f)的直积：
pat)一P( )0 (f) (2)
f时刻以后，场—— 原子之间发生6—— 光子相互作用，设相互作用时间为r，则t+r时刻体系的总密度算符
可表为：
0+ r)- UB(r) (f)U (r) (3)
式中，U (f)为6—— 光子过程的时间演化算符：
●
U6(f)-EXP~ 亡日6·r] (4)
利用(1)式的车征态并将(2)、(4)两式代人(3)式之中对原子状态求阵迹，最后再在凡 表象中求矩阵元即可
得到：
． 0+f)一 ． ( ){ E1一B (r)][1一B (f)]· { 一 一 )·
． ( )
+ ／B一6(r) 一(r)·e-i ⋯- ( ))
+ ． “){／西二 百： ． { (el-w 一一号)． 一 (‘)
+ ⋯(r)[1一B
一 (r)]- ‘{ 。一( 帅一_】r一}，- “)}
+ ( ){ 面而i． 一·{ ㈨ ⋯f+{)．P_ ( )
+ ~，[1一 。一E(r)3B (r) - — 一I 一_。 一詈}· 一‘( )j
十 -6 j l,／B (r) (r)· 一‘ 一Ⅲ ·。H+6
． 川( )
+ [1一B一(f)][1一 —B(r)]·P一‘{ 一B 卜 一6 ．．‘一 )． “)}
这就是6—— 光于激光其场密度算符矩阵元随时间演化的一般关系式．
其中， Il|(f)一( I (圳a )
是(在原于被激发的)韧始的f时刻原子密度算符的矩阵元， ，目 4，b，
“)=tg-~[ ·酱( r)]
式中，
n。一g 一~， ～ [ + 6)! ／n1]
称为6—— 光子辐射的量子Rabi振荡频率．
△ ／(2-g)一(6 一0,o)／(2·g)
称为6—— 光子过程的相对频率失谐量．B (r)由下式确定；
B。(f)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
[ ·f] flO)
2、激光主方程及其物理诠释．
如图1所示，是本文所考虑的6—— 光子激光系统的能级结构，它与实际激光系统的工作过程及能级结
构相当接近-图中，左端带箭号的两条实线(箭号指向右上方)表示激光上托级I >及下船缎I6>的泵浦抽运
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过程。两条虚线(箭号指向右上方)则表示单模热混沌光场的影响．右端带箭号的两条实线(箭号指向右下方)，
分男 表示激光上能缎fn>及激光下能缎f6>的原子数自发辐射掼耗的影响，属于捎激发过程．
Fig． ·Schematic illttstration of the structure of energ2~level抽6-photo~Ja3mes-Cummings model
假定在韧始的￡时刻，原子处于纯态，即：
。 ：] ⋯则P．．·(f)= ． ( )=0．于是t根据(5)和(11)两式，并考虑到6一光子过程单模热混沌光场的不良影响．即可导
出场密度算符矩阵元的运动主方程如下：
． ．． “)=一 Pl， (f){l一』：d ( ) 7 百二面 · { ㈣一 ∽一 一 'l
+ Pn ⋯( ) 出，只(，)、压_二 巧瓦： ． 一 一
f
+^ + + “)J dr P (，)v，百 了叫J；： 巧· 一‘“cn-m~~
){l一 Pe(g) [1一且一 ( )]n一 一 (，)]·
一詈b +¨{( +
C{(鱼 + ]一
{ ．一 一6 E 一 ⋯)
+ 6)! (m 十6)
z ] ·P．一 一。0)} (1 )
这就是适台于6— — 光子过程的、一般形式
的单模激光主方程．其中。第一项和第二项表示
澈活介质对于光场的增益和放大作用-这种增益— 二_ ． ．
和放大作用，是通过光子数态f >与f 一6>以 T ～
，
， 二r — ■ — — _、
＼
一
及 m> 与Im一6> 之间发生逆向光子几率跃迁， ． I ．正 ／ ，， ． ＼ 、I
四是 项表示擞活介质三对 于光场的吸收和腔模损耗 _， 丁⋯：— ． ， ， 、＼ fL
作用}这种吸收与损耗作用，主要通过光子数态 ^ ，
>与In+6> 以及I > 与lm+6>之间发生正 ，
向的光子几率跃迁．并从外界吸收6千光子来产
生．对于激光过程而言，可以证明上述的正向光子几率跃迁比逆向光子几率跃迁的几率要小．第五项和第六项
则表示单模热混沌光场的不良影响．其中。第五项表示激活介质对于单模热混沌光场的吸收与损耗作用，这种
损耗作用，主要通过光子数态l¨>与ln+6>以及Im>与1 +6>之间发生正向光子几率跃迁，同时。从外界
吸收6十“热噪声光子 来产生．第六项表示激活舟质对于单模热混沌光场的增益和放大作用I这种放大作用
主要通过光子敦态l >与 一6 r』及1删>与I -_6>之间发生逆向光子几率跃迁，同时，对外辐射6个“热噪
声光子”来产生．总的来说．后四项表示的是热库对于单模激光场的耗散作用．这是本文所考虑的最主要的损
耗机致之一
另一方面·由于本文所研究的激光系统是一个远离平衡态的非平衡系统，而(12)式所表征的6一光子过
程的单模激光主方程叉是该系统的时间演化方程，因此。这十方程的本质含义就在于，它表示的是一个处于非
平衡状态下的单模激光场．在时间演化过程中，其不同光子数态之间发生正向(【n> f 卞6>、f > f 一6
> )和逆向(J > 一6>、J > J 一6>)的6—— 光子几率跃迁．同时。从外界吸收或对外辐射6个光
子·并使光场在时间上形成高度有序化的自组织结构的(稳定的)动态演变图景．
在(12)式中． (n一日，6)是原子的激发速率F它代表单位时间内被稳定地激发到Jn>能缎上的原子数目．
C为腔模损耗系数。n·为单模热混沌光场的稳志平均光子数．
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· · 扬志勇：6一光亍激光的Sub-Polsson光千统计增强 第11卷
P．( = t· P【一r．· 【l3)
表征处于Ia>能级的注入二能级原子束在散光腔内的渡越时间r的几率分布．N．为归一化常数，可由归一化
条件：
rd，只(，)；1 (14)
J u
定出： N 1-- Ex
r
-p-(_T
．
) (15)
式中．T。一r．·r=r／fr． ]．表示擞光l。>能级相互作用的无量纲时间因子；它在数值上等于场—— 原子相互
作用时何r与处于}口)能级的原子平均寿命r．一 之比．，．是1 n>能级的原子的自发辐射衰变率-它表示单位
时间内由于原子的自发辐射，而从}n>能级衰减到别的能级上的原子鼓．这是本文所考虑的另一种重要的损
耗机致，即原子鼓的自发辐射损耗．
在(12)式中．如果夸m=n．则可得到场密度算符矩阵主对角元的运动方程如下：
t)={ ·石 + 且 。)]·Pl一一 )
一(c( 什 )·i 兰 + ．一 ∽ )]·P-．．(1)}
一{(c - + 卢 (r)]· _^tt)
一(c(一¨，)- 兰： ≠ + (r)]· + + “)} CL6)
式中，艘 “)(n= ，6)由下式确定
cr)=J ，只(，)且( )= 茜； ·{专一 =
· 一。
。
· √是·詈· (『．- ．√ -譬)
⋯x．．候·警)]+】 2‘ m
其中， =a．1C和凡=^，c分别称为激光上、下两能级l a>和I6>的相对激发速率；x．= v／ 和置
／ ．分别称为激光上、下能级I >和l6>的相对泵浦参量IA,=2Z,(g／ )。和^ 2^(g／ ) ，分别称为
激光上躬级ln>的线性增益系数以及激光下能级l6>的线性吸收系数．
3、稳态解与光子几率分布的解析表示．
在(16)式中．当P耳． (f)=o时．即实现了单横激光的稳态运转．令^． (f)耋P-· ．。(f)量P。·别由细致平衡
条件可求得(16)式的稳态解为
( )· 十 J(r)]．P．+B(f)_(c · +L r)]· (18)
由此．不难导出稳态光子几率分布的解析表述式如下：
P ．Ⅱ1 6+ 。 [6((拼6 一)1】 )]
6+ 1+ · ·
式中， 为归一化常数，由下式确定
[6(m一1)J]
(6m)l
f，． 蚤 卉I『 )
】一⋯· +1 + ·R · = ‘ (r)
在(19)和420)两式中，舢由下式决定
= R}／R = ／
(I9)
(2O)
(21)
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1996丰摹1期 渭南师专学拉(自然科学版) ·5·
称为稳态激发的腔横损耗比．它在数值上等于激光下能级相对激发速率风与激光上能级相对激发速率见之
比值．这是本文与文献[5]中第(19)式的重要区别之处I文献[5]中的第(19)式，仅仅是本文的(21)式在rd—r-
=r逸一条件下的特倒．
三、窄带裹浦共振相互作用情形·6一光子激光的Sub-Poisson光子统计增强
光场的量子统计性质通常甩Mand*l因子Q 来表征：
。= = 器 (22)
其中，Q>o、Q=o和Q<o分别对应于Super—Poisson光子统计、非P s∞ 分布的。准poissom 光于瓠
计 - 、以及Sub—p~sson光子统计① ．
为便于说明问题，我们仅以窄带泵浦共振相互作用情形为倒进行讨论·
在(19)和(2o)两式中，当取n．=占 一 产O，且使X。呻o。时，则它们可约化为下列形式：
· [蠢 ] 。
{薹[ ] ㈨
其中，曲=[凡／2){芒[ ／(2c)]}．令：
c 一圣[ ]
壹窖 一 [而 ] ㈤
则 ( )和 ( )两者的初等函数表示．可通过求解下列两个5阶常系数线性齐坎微分方程的韧值问题而得
尊1．
一n c
fⅢ ^
Y。(0)= 1
y1“ (O)= 0 (J— It2·3
一
(O)= O
，{ J’(O)一o ( 一1，2，3
m (O)= 1
其特征方程分别为 r{ ：一1一。
由(27)、(28)及(29)这三式不难求得：
一{[ c 删 ]
-~Csh％+shc专*o)COs(q c ]
因此，光子几率分布函效、 缸 del因子Q以及< >和<n>等可进一步表为下列形式
1 3
cha 。+ 2oh({ 口a )cos (÷ 产嘞)
(27)
(28)
(29)
(30)
(3D
(32)
① 对于单蠖光场而言，SuP盯一P~isstm 光千境计与聚束效应等价I 一Pois~on光子蛇计与反聚束效应
午侪．而准P 瑚H光子境计属非Poisson分布，并不等同干相干态光场的P 瑚 分布I既无聚束亦无反聚束
效应，垃称为 非聚束效应 ．
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· 6· 杨志勇：6一光千散光的Sub-Po[sson光于统计增强 第11卷
一
< 。>一Σ
一i1 >一嘉 a~-ch(T1 孚 ) 州 州
+。ch(~- (
(33)
< >一 詈·[ ]
、
^ + (— 1Ⅱn， ∞ —
,／
一
3 )
一,／5- i1 。)5 ( )
。
~fta~+ 2oh(1 )
∞5( ‰
Q= 一< > 一1一百5十 1× (36)
其中，Q ( )及Q ( )由 下两式确定：
Qsz(ao)～。 ( --[3ch({％卜吖 ( )]⋯孚
+ 了毗[3 ({ 一 ({ ] (孚毗) (37)
Q，一( )一s^ +sh(2 )+ H。∞ ( ／了口。)一 ／了[I+cha。 in( ／了 )+Dh(-- l~
)+ h(~39
a~)3·
c。s(— )一 ／了[f^({毗)+ ^(鲁 )]· z (— 一 a。) (38)
值得一提的是+(33)式所表征的光子几率分布，与相干志光场的Poisson分布明显不同由(36)、(37)和
(38)这三式+不难推得 下两点结论：
(1)当 一0(亦即当 斗O、c斗∞ )时，Mandel因子；
Q=-i5+i1 L~爱餮暑]—一}+告×器一。
这就表明，在窄带泵浦共振相互作用(不计及单模热混沌光场影响)的条件下，当激光系统在低增益、高损耗状
态下工作时，光场将呈现出非Poisson分布的 准Poisson光子统计”．在这种情况下，光场既无聚束效应，亦无
光子反聚束效应．故稚之为光子的非聚束效应．
(2)当 一。。(亦即当^ 斗。。、c斗0)时，Mandel圈子；
。=一言+÷ [挈要等]=一i5+百1×。=一{
这就表明，在窄带泵浦共振相互作用(不计及单模热混沌光场影响)的条件下，当激光系统在高增益、低损耗状
态下工作时，光场将呈现出深度且完全恒定的Sub⋯ i阳 光手统计和光子反聚束效应．这时，在激光腔内
可直接诱导出深度且完全恒定的S 一 删激光辐射．
与单光子、双光子、以及3一光子和4一光子的情形相比较，6一光子激光其光场Sub-Poisson光子统计的
程度增强．
四、结 语
Sub-Poisson光子统计，是量子光场的非经典现象之一，属于光场的纯量子效应．由于这种光场在科学研
究的许多领域内都有着广泛的府用．因而深入开展这一课题研究，不仅具有重要的理论价值．而且更盼开辟新
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l996年第1期 渭南师专学报(自然科学版) ·7-
的应用途径．尤为重要的是，本文所研究的6一光子激光系统的行为，与实际激光系统的能级结构以及真实工
作过程等都相当接近，这就为^们在实际当中产生并实现高能量密度和大功率输出的单模6一光子 础一
Poimon激光辐射，提供了可靠构理论说明
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HEIGHTENING oF SUB— P0ISSONIAN PHOToN
STATISTICS IN 6一PH oToN LASERS
Yang Zhiyong
(Department of Physics，W einan Normal College ,W einan ，714000)
Abstract：In this paper ，the quantum — electr0dynamics theory wel~e used ，firstly and in
detail．to study Sub— Poissonian photon statistical characteristics of 6一photon Jaynes —
Cummings model in a singlemode intensive laser light field ．The result shows that the deep
degree and constant Sub——Poissonian photon statistics appears when the laser system operat—-
ing on the state of a higher— gain and a lower— loss，under the condition of narrow - hand
pumping and resonant interaction between the field and atom．Compaired with the results of
docum ent[6— 9]，the degree of Sub— Poissonian photon statistics in 6一photon lasers would
heighten．
Key words：6一photon lasers；master equation；Sub～ Poissonian photon statistics．
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