。量子“疊加”性在“介觀系統”的量子相位相干漲
2012年3月27日 - 2 s s O H O O 同理，在真空态下，电场场强的平均值为零，而它的平方（
第九章场的量子化及其状态的描述(详细版)改- 豆丁网
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落效應中是非常重要
物理雙月刊（廿八卷五期）2006 年10 月
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介觀物理基礎和近期發展幾個方面的簡單介紹
文/馬中水
摘要
低維和介觀物理系統的研究是當前凝聚態理論的一個重要方向。本文將從回顧介觀物理中的幾個基本概念
開始，就近年來在量子點、二維電子氣、和介觀物理系統中的電子關聯效應等幾個方面的研究，簡略地介紹介
觀物理的新發展和機遇。
我的朋友曾對我講述一個關於他家孩子的故
事。平時這個小朋友總是爲《麥兜的故事》中所講
述的故事津津樂道。有一天，小朋友從幼稚園回到
家後，頑皮地問我朋友：“猜猜有什麽‘米’不能
吃？”，朋友當時腦海中想到的，無非是自己家中廚
房裏邊邊角角、角角落落、落落邊邊所能翻出來的
那點東西。在確信他會回答“莫有”後，小朋友開心
地對他說：“是納米！”。他聽完之後，在感到好笑
之餘，也感到有些震撼。給予他震撼的是當今科技
理念在人們的日常生活中普及廣泛的程度。正如我
們許多成年人不知道謝立文筆下那個左眼上有胎記
的麥兜，到底有什麽魅力讓孩子們著迷一樣，小朋
友當然也很難理解小數點後面一串零下的“米”（10-9
米）意味著什麽，但是，“納米”作爲一個尺度概念
的量，無疑已經讓尺度的理念，實實在在地融入到
我們現實生活中來。
當今冠以“納米”的技術，很大程度上是起源於
資訊技術 （information technology，指以電腦爲基
礎能採集、儲存、處理、管理和傳輸資訊的技術）
市場需求下，推動半導體工業器件集成化的發展。
伴隨著製造業的進步和超低溫的實現，在實驗室裏
人們已能夠構造出尺度比物理學意義上典型退相干
長度還小的“宏觀”樣品，使得在這類小尺度構型中
發現了許多與載流子相位相干性有關的新奇現象。
與之呼應， “納米結構”技術已經使得人造半導體器
件達到100 納米，甚至更小。我們且拋開持續減小
器件尺度爲大眾生活帶來的優越性，就物質結構上
來講，系統尺度被縮小到典型相位相干尺度內時，
量子相干性使得所觀測到的物理性質呈現出顯著的
量子力學效應。因此，介觀物理客體架構，乃至納
米結構，爲我們提供了一個難得能研究新奇和基本
量子物理現象的場所。
爲了說明介觀物理系統相位相干性在這些新奇
量子現象的作用，本文將簡單地從系統尺度受限系
統中的量子現象回顧介觀物理中的幾個基本概念。
然後，從量子點、二維電子氣、介觀物理系統中的
電子關聯效應等幾個近年來活躍的方面，簡略地介
紹介觀物理系統的新發展。文中所述的內容將沿著
這樣一條線路展開：量子相干性、電導漲落、相位
相干區內彈道輸運、擴展態與侷域態的相互作用在
介觀系統中的表現、電子-電子相互作用和電子關聯
行爲。因此，並不一定是依歷史發展的順序。此外，
文中所涉及的內容是眾多在介觀物理領域物理學家
的研究成果，本文編者只是按照自己的體會和理
解，對近年來在介觀物理研究中的一少部分發展進
行了整理和引述。學識的淺薄限制了本文撰寫包羅
整個介觀，乃至納米體系的發展思路和理論體系。
如果讀者能從中找到自己的興趣點，並對介觀量子
現象激發出期待深刻瞭解的願望，本文編者將感到
萬分榮幸。爲了反映發展過程中具代表性的實驗結
果，本文中盡可能地選用原始或綜述文獻中的圖表
來演示。爲此，本文編者首先要誠摯地感謝這些辛
勤工作的物理學家，為我們展現了這樣一個新穎的
理論體系。
第一部分 介觀物理中的基本概念
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“介觀（mesoscopic ） ”一詞第一次是由van
Kampen [1] 1976 年在他關於隨機過程的文章中提
到的。直觀地講，介觀系統是指尺度介於微觀和宏
觀尺度之間的系統，它可以看成是尺度縮小的宏觀
物體。它的標誌特徵在於其物理可觀測性質中明確
地呈現出量子相位相干的效應。因此，物理意義上
講，尺度與相位相干長度接近的電子系統就是介觀
的。研究這類尺度縮小的宏觀物體中量子相干性引
起的物理問題，便形成了所謂“介觀物理”的學科。
介觀系統的量子力學屬性
從物理特徵來講，儘管介觀系統和宏觀系統都
包含大量的原子和分子，但宏觀系統可以用材料的
平均特性來描述。與之相反，鑒於介觀系統其物理
結構的小尺度特點，圍繞物理可觀測量平均特徵的
漲落顯得更爲重要。與微觀體系一樣，介觀系統所
遵從的物理規律依然是以量子力學爲基礎。規律與
尺度特徵的結合，使得它物理屬性表現出既不屬於
原子尺度，也不是宏觀大塊系統的行爲，而是有著
其獨特和新奇的特性。低維、納米結構和量子點等
器件的介觀結構，能夠明顯地表現出量子干涉和無
序所導致的漲落現象，以及多體受限系統中的電子
強相互作用等基本物理屬性 [2]。
談到量子相位相干效應，我們不得不回到量子
力學。當系統的尺度達到與粒子的德布羅意（de
Broglie）波長可比擬的尺度時，粒子展現出波動-
粒子二象屬性。它的座標和動量，及能量和時間將
滿足測不準原理。牛頓經典軌道的描述對微觀粒子
已經不再適用。它的特徵必須在量子理論框架中由
狀態波函數來描述，其中波函數的相位，是對粒子
量子相干的表徵。依據其波動性，它將滿足“疊加”原理。量子力學中，波的“疊加”意味著波的兩個波
幅相加，這是不同於通常意義下的“混合”或“相
加”。量子“疊加”性在“介觀系統”的量子相位相干漲
落效應中是非常重要，它將明確地呈現於觀測到的
物理性質中。例如，我們可以觀測到電子的干涉和
衍射現象。一般情況下波函數的相位是時間和座標
的函數。粒子的量子行爲會因增大系統尺度、大量
粒子的熱運動、以及被雜質的散射等因素被破壞
掉，其結果使粒子量子相干性消失。然而，我們必
須注意到這樣一個事實：降低溫度，會使對應的退
相干時間增長。關於這點我們下面還會討論到。
特徵長度
基於量子相位相干效應起作用的範圍和程度，
原理上由以下幾個特徵長度，能夠定性地分析粒子
的量子行爲。（1）費米面（Fermi surface）附近的
電子德布羅意波長 λF = 2π / kF ，簡稱費米波長，
它能夠刻劃粒子的量子漲落。當系統的尺度接近費
米波長時，粒子的量子漲落非常強；而當尺度遠大
於費米波長時，粒子的量子漲落相對較弱。這時，
它的量子相干性很容易受到破壞。（2）粒子的平均
自由程 （mean free path）。它表徵著佔據初始動量
本徵態的粒子被散射到其他動量本徵態前，粒子所
走過的平均距離。換句話說，也就是表徵粒子動量
的弛豫。平均自由程與粒子的弛豫時間
（relaxation time）τ 關係爲 ( ) = h /m0λF τ 。後者
的物理意義是電子處於某個動量本徵態的平均時
間，即處在某一動量本徵態的電子在被散射到另一
動量本徵態前所逗留的平均時間。（3）相位相干長
度Lφ （ phase coherence length 或 dephasing
length）。它所指的是，佔據某一個本徵態的粒子，
在完全失去相位相干性之前所傳播的平均距離。相
位相干長度反映了粒子動力學保持相位相干性的最
大範圍。當系統處在擴散區時Lφ = Dτφ ，而處在
彈道區時，我們有Lφ = vFτφ 。足夠低溫度下，電子
的相位相干長度可達到幾個微米。當超過相位相干
長度Lφ 時，無序環境中的輸運性質，可以簡單地用
准經典的理論來處理，比如玻爾茲曼 (Boltzmann)
理論。但是，在小於Lφ 的尺度內，電子自由度的量
子相位相干性將影響其動力學的本質。
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上述所談到的三個特徵長度並非與材料和外界
的條件無關。通常金屬和半導體中均存在著形如缺
陷、晶格的不完整性、晶粒邊界、空位和摻雜等因
素引起的不規則性。電子將與這類不規則的晶格勢
能相互作用，從而導致上述特徵長度隨材料的不同
也不盡相同。而且，它們也隨著系統的溫度變化和
是否有外磁場的情況而改變。
為了能夠讓我們大致對特徵長度的數量級有個
較明確地認識，下面就三維情形擧幾個例子，並給
出較爲典型的數據。考慮三維自由電子模型，費米
波矢可有電子密度表示成kF = (3π 2ne )1/3。對金屬，
比如金， ne ≈6×1028m−3 ， 可以算出
1.2 1010 1 kF m≈× −。所以λF 約為零點五個納米。然
而， 半導體中載流子密度要低六個數量級
（ n ≈6×1022m−3），這時費米波長λF 達到五十納
米。 因此，半導體中電子的費米波長大約是金屬中
的100 倍。同樣，利用電導與電子的彈性平均自由
程關係式 σ = kF2 e2l / 3π 2，彈性平均自由程可表示
成 l = 3π 2/ kF2 e2ρ ，其中ρ 表示電阻率。在4K 左
右的低溫下，金薄膜/線的電阻大約爲5μΩicm，由
此可估算出彈性平均自由程爲16 納米。對於某些金
屬合金，電阻率會更高。此時的平均自由程會降低
一個數量級。對於半導體GaAs ，低溫時電子的平
均自由程約為一個微米或更長，而Si-MOSFET 中
的平均自由程為零點一個微米，甚至還要短。前面
我們已經談到過，電子的退相干性依賴於溫度、無
序的程度、材料自身結構，等等。低溫（1 K 或更
低溫）下，除極少數幾種情形所測到的退相干長度
達到近十微米，大多數金屬和金屬合金所測量到的
退相干長度大約在零點一微米到一微米之間。然而
在相同的溫度範圍，半導體測到的退相干長度可達
到幾個微米。更爲詳細的介紹可參見文獻[3]。在介
觀物理系統的研究中，系統處在擴散區，或彈道區
和准彈道區時的傳輸性質，更讓我們感興趣。因而，
並沒有許多實驗被設計來測量侷域化長度
（localization length）。在弱無序或彈道區，侷域化
長度遠遠比退相干長度長。最近，在摻雜 GaAs 半
導體系統對由弱侷域到強侷域接跨的研究中，
Gershenson 等人發現侷域化長度可達幾微米甚至更
長一些[4]。
能態密度和受限系統中的輸運通道
介觀系統的尺度受限和維 (度) 數的降低，往
往是通過在空間上某方向加以限制來實現的。從維
數上看，極限受限的構型就變成一個低維系統。爲
此，我們需要對能態密度和系統維數之間的關係有
所瞭解。事實上，不同維度的系統，其能帶中不同
能量的本徵態，對傳導和對平均可觀測量貢獻的程
度也不盡相同。另外，它還涉及到介觀受限系統中
電子輸運的通道（channel）問題 [3-5]。
能態密度是指單位能量寬度內離散的本徵能級
數目。如考慮自旋簡並性， 能態密度定義爲
( ) 2 ( k )
k
ρ E = Σδ E −E 。然而，對於磁性材料，自
旋簡並被解除， 相對應的自旋極化的能態密度
ρ (E) ↑ 和 ρ (E) ↓ 必須區別開來考慮。通過簡單
的數學運算，自旋簡並的能態密度可表示成在准能
量曲面上的面積分形式：
( ) ( ) 1 1 2 2
k
k k k
E E
ρ E π V d E −−=
= ∫ Ω ∇ 。假定 k E 只依
賴k 的函數，例如准自由粒子Ek = 2k2 / 2me*，我
們可以證明能態密度在二維情形時是一個常數，在
三維時正比於E ，而在一維情形是反比於E 。
因此，在一維中能帶底部附近的那些態，起著比二
維和三維情形下更爲重要的作用。但是在三維系統
中，正比於E 的能態密度關係，說明平均可觀測
量主要由那些來自較高能量的態所決定。眾所週
知，我們是生活在三維空間的，當談到低於三維的
空間時，往往是指系統在某些維度的自由度被“限
制”。考慮邊長爲L 的正立方體系統，我們知道三維
時的能態密度可寫成：
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( ) ( )3/ 2
* 2 3 4 2
ρ3D E = 2meL / 4π E 。二維系統是指
兩邊是真空的固體薄膜層。對電子來講，層外的勢
能很高，使得電子運動被嚴格地限制在二維的薄層
中。從物理學的角度看，限制是由邊界條件來實現
的，邊界條件將導致能量上的“尺度-量子化”。假設
在上面的正立方體系統中，沿 z 方向限制出一片薄
層，離散能級
Enz 由量子數nz標定，對應的能態密
度可求得爲( ) ( * 2 2 ) ( )
2 / z
z
D e n
n
ρ E = m L π Σθ E −E 。類
似地，細線的離散能級, Enx ny 由沿x 和y 方向兩方
向受限給出的量子數由nx 和ny標定，對應的能態密
度爲( ) * 2 2 2
1 ,
,
2 /4 1/ x y
x y
D e nn
n n
ρ E = m L π Σ E −E 。按
能態密度的定義不難知，零維系統的能態密度就是
對系統可能的離散本徵能量個數求和， 即
( ) ( ) 0D 2 n
n
ρ E = Σδ E −E 。圖1 中演示了能態密度
在各種維數下的形式。由圖可見，在總能量固定時，
不同的nz（二維）和（nx ，ny）（一維）重復前一
組態的能態分佈。在電子輸運中，nz 和（nx，ny）
的取值範圍，決定了在固定能量下參與導電的通道
個數Nc，也就是通道數。
圖1：各種維數下的能態密度示意圖。選自[6]
介觀體系的特徵效應
通過上面的討論，我們對受限系統的能態密度
有了一定的認識。接下來我們來看看介觀物理體系
的特徵效應。它們包括：Aharonov-Bohm 震盪[7]、
普適電導漲落[9]、和弱侷域化等等。這些效應反映
了介觀體系與宏觀體系本質上的差別。
1957 年Landauer[10] 認識到量子力學在小尺
度起著重要的作用，並給出與兩個電子庫相連接的
相位相干的導體電導公式。此後，該電導公式又被
Buttiker[11]發展，被稱之爲Landauer-Buttiker 公
式。對與理想電極連接的介觀金屬導體，其電導可
表示為 (2 2 / ) c N
n n G = e h Σ T ,其中Tn是Nc × Nc透射
矩陣t和它的複共軛之積tit†的本徵值。導體可看成
透射機率爲Tn的Nc個相互獨立透射通道的平行電
路。該公式的意義在於把電子通過導體的量子力學
透射性質，與它的電導直接聯繫起來。Landauer-
Buttiker 公式在研究介觀系統的量子輸運中有著非
常重要的地位。特別是當今對納米線、原子線、和
分子器件中的電子輸運等方面都有著廣泛的應用。
通常，在截面積爲A的典型金屬線中Nc是一個很
大的數Nc ∼ A/λF2 。由於金屬的費米波長~ 1 F λ
Å，所以寬爲一個微米，厚爲一百納米的金屬線，
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107 Nc ∼ 。儘管對半導體情形，Nc的值要小點，但
依然是 Nc 1。有興趣的讀者可參考文獻[3-5]。
上世紀八十年代，很多人對小尺度構型中的相
干特性進行了研究[7-9]。電子相位相干性的一個最
直接結果，是當正常金屬環的介觀結構置放在垂直
它平面的磁場中時，可以觀測到電導是磁通量的函
數，並以磁通量子爲週期的變化行爲，見圖2。在
低溫下，當相位相干長度長過環的週長時，電子在
環內沿不同路徑傳輸時是保持相位相干的。任意電
子通過其中一臂與同一電子通過另一臂之間會發生
干涉，這就像光的雙縫干涉一樣。電子通過環的兩
臂過程中，除了兩臂的本徵位相差0
φ 外，必須考慮
磁場效應導致的相位差φB = (2π e / h)Φ ，其中Φ表
示穿過環的磁通量Φ = ∫ dliA （矢勢沿環的閉合路
徑積分）。由此可得電導正比於( ) cos φ0 +φB 。所以，
電導是磁通量Φ的週期震盪函數，週期為h / e。這
被稱爲電導的Aharonov-Bohm 震盪。
圖2：置於磁場下介觀環的電導Aharonov-Bohm
震盪。選自[8]。
前面我們已經說的，介觀系統依然包含大量的
粒子。系統中的各種隨機性，使得被觀測的量隨外
場漲落。儘管漲落有著指紋特徵（fingerprint），但
它們的統計性質是普適的。也就是說對一大類不同
的介觀系統，從性質上講它們是“相同”的。這使得
它們本質上能夠由少數幾個共同的參數來刻劃。就
拿電子的侷域性來說，量子相干性表現出的有趣現
像，是使原本爲金屬性質的系統，在達到介觀尺度
時由於系統的侷域化會變成絕緣體。不同於由熱漲
落引起的相變，這種侷域-非侷域轉變，是量子漲落
驅使的臨界現象。侷域相-非侷域相是由電導臨界值
決定的臨界點所隔開的。因此，標度可變的電導扮
演著類似通常相變中溫度的角色。
事實上，在達到介觀尺度時，尺度在相位相干
長度內的導體的電導，不能像宏觀導體的電導那
樣，僅僅由材料的常數來描寫。通常，對於一個導
體來講，從它的尺度L 與導體中電子的費米波長
λF、平均自由程l和相位相干長度Lφ 之間的相對關
係，可以大致分爲擴散區、量子漲落區（包括彈道
區和電導普適漲落區）和侷域化區。它們分別對應
於電導可以用經典理論描述、單電子行爲顯著和漲
落幅度恆定（量級爲e2 / h）與系統表現為絕緣體等
幾個大的粗框架。
為了對這種劃分有一個較爲直觀的感覺，我們
來看一片截面爲W ，長度爲L ，且上面有個洞的導
體的導電性質。我們將從量子漲落隨系統尺度變化
的角度，考察L、λF 、l、和 Lφ 之間各種相對關
係對導體導電性質的影響。假設有一磁通Φ 穿過
洞。由於磁通並沒有直接穿過洞以外的區域，電子
不會感受到洛侖茲（Lorentz）力。但是，正如前面
談到的Aharonov-Bohm 效應， 磁通透過相位
( ) exp −i2πΦ/Φ0 進入到量子力學的傳播子。所以，
電導將是磁通Φ 的週期函數。
(1)對F W l Lφ
λ < < 情形。假定L Lφ 。研究發
現改變磁通，並不影響電導， 此即，電導對
Aharonov-Bohm 相位不敏感。它可以寫成：
G =σ (W / L)，其中σ = e2nlλF / h。由此我們有
G = (e2 / h)(W /λF2 )(nλF3 )(l / L)。截面W 可擁有
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的傳播通道數爲Nc =W /λF2 。利用nλF3 ≈1，可
得到G ≈(e2 / h)g ，其中g =ξ / L，ξ = Ncl。這
樣一來，從量子力學對經典電導的解釋中就給出
一個長度量ξ 。這說明經典電導不只要求
L Lφ ，而且要求ξ L。因而經典情形對應於
λF l < Lφ L ξ 的尺度關係。
(2)將系統的長度L 減小到約等於或小於相位相干
長度Lϕ時，但保持其他量不變。此時，整個系
統保持相位相干性。由於這時不同路徑間的干涉
不容忽略，其量子相位相干性，會以電導爲磁通
函數漲落形式呈現。實驗發現在低溫下，小的金
屬樣品的電導平均值依然是經典值。而且，它是
以磁通量子爲週期的變化。與前面所談到的
Aharonov-Bohm 電導同樣的道理，由於電子在線
內傳輸可走不同路徑，其中環繞磁通洞的路徑要
求有一個附加相位因數( ) exp −i2πΦ/Φ0 ，所以導
致g (Φ)的週期性。但是，電導作爲磁場的函數
還會呈現非週期的漲落。觀察到的漲落有如下特
徵：（a）漲落不是由於熱噪聲引起的，而是與時
間無關的非週期漲落。（b）漲落是樣品特有的，
每一特定的樣品有其自身特有的漲落圖樣。而
且，對於給定的樣品，在保持宏觀條件不變的情
況下，其漲落圖樣是可以重現的。因此，樣品的
漲落圖樣被稱爲樣品的指紋。（c）漲落幅度與電
導的平均值無關，其漲落幅度的量級爲e2 / h。
這是介觀導體的特殊性質-電導普適漲落。理論
研究還表明，只要樣品具有介觀尺度，並處於金
屬區，就會出現電導普適漲落。它的幅度與樣品
的材料、尺寸、無序程度無關。與樣品的形狀和
空間維度只有微弱的關係。量子漲落區由
F l L Lφ
λ < ξ 來刻劃。
圖3：普適電導漲落。粗黑綫是平均電導值。
物理上看，普適電導漲落來源於介觀體系中
的量子干涉效應。根據Laudauer 理論，電導正
比於總透射機率[10，11]。從樣品一邊到另一邊
的透射機率幅是各種通過樣品相應費曼路徑的
機率幅之和。在金屬區，電子通過樣品時經歷多
次與雜質的散射，其費曼路徑是無規律行走式的
准經典“軌道”，不同的費曼路徑之間的相位差是
不規則的， 導致隨機干涉效應(stochastic
interference)，從而使電導呈現出非週期的不規則
漲落。依據經典統計力學， d 維度宏觀系統的物
理量F 的相對漲落定義爲：
( )2 2 ( ) / / d
ΔF F ∼ Lc L ，其中ΔF = F −F 。
Lc 是某一關聯長度。這表明F 的相對漲落隨系
統的尺度增大（ L → ∞ ）而趨於零。讓電導爲
F 。歐姆定律給出G =σ Ld −2 。我們用它來檢
驗普適電導漲落。利用( ) ( )2 2 2 ΔG ∼ e / h ，當
d = 2時，上式給出的電導相對漲落與L無關。
但是，當d =1時，電導的相對漲落出現隨L的
增加而增加的結果。這顯然是與經典的自平均違
背。因次，普適電導漲落不可能用經典的電導漲
落來解釋。Lee 和Stone 以及Altshuler [8] 等人
用微擾的方法，研究了普適電導漲落。他們計算
了關聯函數：
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F (Δμ ,ΔB) = g (μ , B) g (μ + Δμ , B + ΔB) −g (μ , B) 2
，其中g = (h / e2 )G 爲無單位量的電導。電導漲
落的大小可表示爲：
(ΔG)2 ∼ (e2 / h) F (0,0)。研究發現在波函數
滿足相位相干的條件下， F (0,0) 是數量級爲一
的普適量。它與樣品的材料、尺寸、無序程度、
電導平均值的大小均沒有關係，只與樣品形狀及
空間維數有微弱的依賴關係，於是得到：
(ΔG)2 ∼ (e2 / h)。這就從理論上證明了處在
金屬區的介觀系統電導漲落是普適的。
(3)當導線越來越細，小到ξ < L 時， g < 1。漲落是
從大g 到g ≈1都是單位量級。因而，在g <1時，
經典電導以指數形式衰減g ∼ exp(−L /ξ )的行爲
取代與ξ 的線性關係。從這個表達式，我們可以
認識到ξ 的物理涵義，它反映了電子傳輸超越多
大的長度範圍後會變得遲鈍，所以它被稱爲侷域
化長度。量子侷域化區是由F l L Lφ λ ξ < <
來刻劃。
爲了理解無序和量子相干干涉，對侷域化後産
生的直觀後果，我們來分析在晴天和陰天我們對陽
光通透的感覺。不用說，晴天時，我們會感覺到陽
光充沛。在多雲天氣，儘管我們無法直接地看到太
陽，但是依然有光，光強較弱。通常我們認爲這是
由形成雲的細小水珠，散射由四面八方投向我們的
擴散光。這種觀點是認爲光強通過無序介質的傳
播，可由簡單的擴散過程來描述。當然，這種觀點
成功地解釋了許多重要的現象。然而，這種觀點忽
視了光的干涉本質。干涉現像是波動現象中本徵的
性質之一。空間中同一點處兩同相波(in-phase wave)
疊加（相長干涉 constructive interference）使得強
度增強。相反，當兩異相波(out-phase wave)的交疊
（相消或破壞性干涉 destructive interference）導致
波的強度減弱。這裏反映了一個重要的特性，即波
動特性中的相干干涉。回過頭來看，由於微觀粒子
的波動性，干涉效應在量子世界中扮演著一個非常
重要的角色。特別是對理解無序固體系統中的導電
性是不可或缺的。
1958 年安德森（Anderson）[12]引入侷域化，
它意味著強的無序能夠通過量子干涉，把電子抓在
一個有限的區域， 使得導體看起來好似絕緣體
[13-15]。1972 那年Thouless[16] 證明了任意量子系
統都擁有一個基本的能量尺度，稱爲Thouless 能
ET。它是量子系統的量子本徵態對邊界條件變化敏
感程度的量度。特別指出的是，它可以定義爲，從
週期性邊界條件變成反週期性邊界條件，所引起費
米面電子態的能量改變。對侷域的本徵態系統（如
絕緣體）， ET 爲零。這是因爲波函數不能延展到邊
界，所以它們的能量與邊界條件無關。假定費米面
處的能級間距（level spacing）爲Δε ，它與ET 的比
ET / Δε 可以確定系統是金屬（ ET / Δε >1）還是絕
緣體（ ET / Δε <1）。Wegner[17]在1976 年提出介觀
導體的單參數標度理論。1979 年Abrahams 、
Anderson、Licciardello 和Ramakrishnan [18]基於下
面的假定給出了無序介觀導體的標度理論。這個假
定是：在比平均自由程大的尺度內，系統輸運性質
的測量對具體無序微觀來源不敏感。因此，在他們
的理論中引入了一個常數量W，用來刻劃無序的強
度。一旦知道了給定系統尺度的電導，就能夠從流
量方程獲得更大體系的電導。由無序介觀導體的標
度理論，能夠給出類似臨界現象中，由無序誘導的
從侷域態到非侷域態相的轉變。通常稱爲侷域態-
非侷域相變[19]。
區別於侷域半徑比系統尺度小的強無序情形，
在低溫下，由量子干涉對經典輸運的修正效應被認
爲是弱侷域問題。在弱侷域情形，侷域化長度比系
統的尺度大。當然，在系統的介觀屬性（ L < Lφ ）
下，增大系統的尺度將表現出強侷域特性。弱侷域
效應可以由量子干涉引起的背散射增益來解釋。它
物理雙月刊（廿八卷五期）2006 年10 月
759
的意思是，兩個相等機率幅之和的量子相干機率比
對應兩機率的非相干之和大。比如，電子在固體中
擴散運動時，會以一定的概率返回它的出發點，其
軌道的自交形成一個閉合圈（圖5）。這種路徑稱之
爲閉合路徑。由時間反演對稱性，我們知道沿同一
閉合路徑的逆轉也是經典運動方程的解，也就是說
兩條路徑是等機率的。假設所有散射爲彈性散射，
可證明電子受相同的雜質散射，從k1態到k2態和
從k2態到k1態所附加的相位差是相同的。回歸機
率的半經典計算，可獲得兩圈相加的振幅。計算發
現量子力學的回歸機率是它的經典值兩倍。因此，
儘管巨大數量的電子擴散路徑之電子分波間干涉趨
向於相互抵消，但經過時間反演路徑的電子波間干
涉卻相互增強。電子回到途中某一點機率的增加，
意味著它跑出去又兜了回來。因此，參與導電的電
子機率下降，並導致電導率的減小或電阻率的增
加。這種對經典電導率的量子力學改正—弱侷域化
的物理圖像，是量子力學波函數疊加原理，導致在
宏觀可觀察結果的獨特範例。
圖4：含自旋-軌道耦合二維無序系統的能級隨無序
的變化。金屬-絕緣體相變發生在Wc = 8.55。選自
[20]
弱侷域化的出現隱含著量子電導小於它的經典
值。我們來看三維情形[22]。粒子的擴散過程是由
與時間成正比的均方位移來刻劃 ( )2 δ r ∼ Dt，其
中D 是擴散常數。粒子經過t 時間達到位置r 的機
率遵從高斯率：
P( ,t ) (4π Dt ) 3/ 2 exp( 2 / 4Dt) −r = −r 。所以回歸機率
正比於( ) 3/ 2 Dt −。我們把線性尺度爲L 的系統分割
成體積爲3
Ωc = λF 的元胞 (單元)。經典的擴散路徑
通過系統纏繞一次的時間與擴散時間tD = L2 / D
是同量級的。在這段時間內，所劃過的量子元胞數
爲N = vF tDλF2 /Ωc。這N 個量子元胞數中自交的元
胞數，可由時間在弛豫時間τ 和擴散時間tD之間對
所有回歸機率的平均求得：
2 ( ) 3/ 2
tD
N NvF F Dt dt
τ
λ −Δ ∼ ∫ 。假定電導的相對改變正
比於相對數ΔN / N，我們可估算出電導的相對變化
爲 / 2 ( ) 3/ 2
tD
vF F Dt dt
τ
σ σ λ −Δ ∼ −∫ 。
綜合以上（1）、（2）、和（3）的討論，我們瞭
解到當L Lφ 時，可觀測量表現出經典自平均行
爲。爲此，可以把系統分割成長度Lφ 的一些互不關
聯的小段，漲落是依平方相加處理。由此，電導漲
落是按( ) / 2 / d
Lc L 比例減小。當L ≈Lφ 時，介觀金屬
系統表現出電導的普適漲落。當L < Lφ 時，由於載
流子相干性，電導是在整個Lφd 區域定義長程關聯的
函數。
圖5：量子點中電子的閉合路徑示範圖。選自[21]
物理雙月刊（廿八卷五期）2006 年10 月
760
侷域-非侷域相變的隨機矩陣理論描述
由於它與雜質之間的多重散射，無序系統中的
電子表現出無規則的運動特徵。拋開系統中的無序
和與雜質散射，運動的規則和不規則讓我們想到經
典對應下的規則運動和混沌運動。經典的混沌並不
需要系統是無序的。這裏的“混沌”是指一類具有不
可預測行爲的確定性運動。存在這類確定性的隨機
運動根本原因是鄰近軌道的指數型分離，此即，混
沌運動表現出指數型局部不穩定性。這種不穩定性
可由Lyapunov 指數來描述，它反映了運動對初值的
敏感性。
例如，粒子在二維環形球檯和運動場型球檯中
的反彈。它們所對應的經典動力學分別是可積的和
不可積的。可積的系統是指除能量之外，還有其他
的守恆量。系統的運動可以用這些守恆量來刻劃。
相反，不可積系統只有能量是守恆量。二維運動場
型球檯系統是一個典型的不可積哈密頓
(Hamiltonian) 系統。由於它只有不穩定軌道，系統
中幾乎所有的軌道都是混沌軌道，其運動不僅歷經
各態，而且具有混合性。因而，這類哈密頓系統的
混沌運動稱作硬式混沌（hard chaos）。但是，實際
中絕大多數不可積的哈密頓系統積，有穩定的規則
運動，也有不穩定的混沌運動。混沌運動與穩定的
規則運動並存的情形被稱爲軟混沌（soft chaos）。
由於相空間中規則區與混沌區交錯並存的複雜結
構，使得哈密頓系統混沌運動的統計描述變得十分
困難。
圖6：粒子在二維環形球檯和運動場型球檯中的反
彈。選自 [23]。
在涉及經典混沌的量子表現時，我們會問與經
典混沌系統對應的量子系統所具有的特徵是什麽
呢？經典系統中粒子的運動狀態由其座標和動量確
定。軌跡的指數型分離是純經典的概念，不適用於
混沌量子力學。目前所使用的量子可積性定義，是
從經典可積性定義的形式推廣而來。它並沒有明確
地規定出量子可積系統的基本特徵。在量子力學
中，由於測不準原理，運動遵循薛定格方程，單個
量子系統的狀態是用波函數描述。這使得計算可積
和不可積系統能譜的問題，都變成了求解薛定格方
程本徵值問題。
1973 年Percival[24]從量子系統的半經典極限
性質出發，將N 自由度保守系統的量子能譜分解成
規則譜和無規譜兩部分。它們分別反映系統在經典
相空間中的規則運動和混沌運動。規則譜中的量子
態能夠用對應守恆量的量子數標記。而屬於無規譜
的量子態，除能量以外，不具有其他可辨認特徵。
由於無規譜的能級分佈沒有明顯的規律，描述這種
能譜的分佈必須採用統計的方法。儘管不同系統的
能級分佈規律各不相同，但它們將顯示一些普遍的
統計規律特徵，其中的某些特徵與系統是否有混沌
有著密切關係。然而，通常平均能級密度，與系統
的混沌行爲之間並不存在明顯的關聯。我們可以簡
單地用運動場球檯系統的量子能譜說明這點。該系
統的平均能量密度爲：
ρ (E) = (mA/ 2π 2 )(1−L 2 / 2mE / 2A)，其中A是
球檯場邊界圍的面積， L 是邊長。它與邊界形狀無
關，因此，由它並不能觀察到規則和混沌運動的區
別。但是，它是具有不規則譜的各態，歷經混沌運
動的兩自由度保守系統。爲了揭示混沌與能譜特徵
間的聯繫，需要討論能譜相對於其平均密度的漲落
變化。
描述能譜漲落的一個重要統計量，是能級間距
的分佈函數。能級間距分佈的具體形式，取決於能
譜上相鄰能級間的關聯特徵。如果能譜的能級排列
是完全無規的，各相鄰能級間無關聯，所對應的能
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級間距的分佈是泊松分佈。上世紀50 年代人們在研
究複雜核能譜的統計性質時，發現核能譜中具有小
間距的機率比泊松分佈所要求的小，意識到相鄰能
級間有某種“排斥”效應的存在。Wigner 和Dyson 從
理論上認爲不能把能量本徵值看作隨機變數，並建
立了隨機矩陣理論[25]。隨機矩陣理論是把量子系
統的哈密頓量H的N × N 個矩陣元看作隨機變
數，由它的機率分佈P(H)dH給出系統能譜的統計
描述―系綜密度分佈。隨機矩陣理論中的系綜密度
分佈P(H)的形式建立在兩個基本假設假設上：
P(H)的形式與基態的選取無關； H的各矩陣元作
爲隨機變數是相互獨立的。由此可以推出哈密頓量
H 的分佈函數具有指數形式：
() {2} P H ∝ exp −C ⋅H tr ，其中C 是與能量標度有
關的數。由系綜分佈我們可以唯一地確定本徵值
{ } Ei 的機率分佈函數{ } P Ei 。通常的高斯系綜
(Gaussian ensemble)是指上式中的指數爲：
C ⋅tr{H2} = cE2，其中參數c與能級間的平均間隔
Δε (spacing)有關。根據系統是否具有時間反演對稱
性，它們可以被分成稱爲高斯正交(orthogonal)系綜
（GOE）(哈密頓量是實對稱矩陣) 和高斯么正（歸
一） (unitary) 系綜（GUE） ( 哈密頓量是複厄米
-Hermitian-矩陣)兩大類。含自旋-軌道耦合的系統屬
第三類，它是由辛(symplectic)系綜（GSE）來描述。
利用由矩陣元到本徵值變量代換的雅克比
(Jacobian)行列式，能夠把分佈表示成Wigner-Dyson
猜測（小能級間隔）與泊松分佈（大能級間隔）的
普適組合形式， 即
{ k } i j exp ( n )
i j n
P E E E V E β
>
∝ −−Π Σ 。這裏所談
的普適性是指能級的統計分佈函數只依賴於β 的
取值對稱類。也就是說，哈密頓量對稱性所屬的隨
機矩陣，其所對應的普適類完全地決定了系統的能
級統計：高斯正交系綜（β =1）、高斯么正（歸一）
系綜（β = 2）、辛系綜（β = 4 ）。機率分佈函數
{ } P Ei 包含了能級分佈和能級間關聯的全部資
訊。讓我們回過頭來看雅克比因數i j
i j
E E β
>
Π −，它
反映了對相鄰能級産生一個有效排斥。能級靠近時
能級差Ei −Ej小，相應的機率小，說明不喜好能級
太靠近，能級排斥是量子混沌系統所獨有的。可積
系統的非關聯譜中不會有這種能級排斥。儘管上面
我們僅僅用本徵能譜{ } Ei 來說明混沌運動，但事實
上，一個保守的哈密頓量子系統的混沌運動特徵也
可以在本徵態中描述。建議有興趣的讀者閱讀文獻
[15,18,26]。
圖7：泊松分佈和Wigner-Dyson 分佈。選自 [22]。
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金屬中電子態是擴展態，這時能級排斥強。其
能級間隔的分佈函數近似地遵從Wigner-Dyson 猜
測。反過來，在絕緣區，由於電子被侷域，所以不
期望有能級排斥，相應的能級排斥被壓制，能級間
隔的分佈變成高斯型。因而，我們會很自然的産生
這樣一個問題： “當系統經歷侷域-非侷域相變
（Anderson 相變）時，能級統計的性質是如何改變
的？”。回答這個問題可以基於Shklovskii 等人1993
年的一個結論[27]。他們證明了在發生Anderson 相
變處，能級間隔分佈變得與尺度無關。這樣就使得
能夠從接近Anderson 相變時的能級間隔分佈，與尺
度的依賴行爲中獲取侷域化長度的臨界指數。
Evangelou 和Hofstetter 等人 [28] 在分析臨界點處
的能級統計時發現儘管Wigner-Dyson 猜測和高斯
型的分佈是與尺度無關，但不同類系統的表現形式
是不同的。
上面我們討論了封閉系統的混沌現象。對於無
界動力學系統的混沌表現爲散射混沌運動。存在著
兩類不同性質的經典散射運動：規則散射和無規散
射。粒子通過與電極耦合的導體中的穿隧可看成爲
散射問題。其散射態可以用隨機矩陣理論來描述，
從而揭示電子在經典混沌系統的穿隧中，其經典混
沌的量子表現。介觀系統中的混沌動力學研究，是
開始於把隨機矩陣理論應用到量子輸運問題
[29]。對無界系統來講，比如說穿過微腔的輸運問
題，我們需要考慮與電極的耦合。哈密頓量將由三
部分組成，
open ij
ij
H E i H j
α
=Σα α +Σ
*
i i
i
i wα wα i
α
+Σα + α ，其中矩陣w描寫微腔
中的i 態與電極中能量爲E 的散射態α 間的耦
合。散射矩陣可由H 和w 表示成：
( ) ( )1
S E 1 2π iw E H iπ ww w
+ + −= −−+ 。對於理想的
無反射耦合，散射矩陣的分佈是Dyson 環（circular）
系綜，即P(S ) =常數。同樣，由散射矩陣是實對
稱矩陣，還是么正（歸一）矩陣，可以把它爲區分
爲正交或么正（歸一）系綜。
圖8：無界動力學系統的散射混沌運動。（a）有雜質；(b)
邊界無規則。選自 [29]。
隨機矩陣理論現在已被廣泛地應用於固態物理
的許多問題中，其中包括細小顆粒的能譜、介觀系
統的電導漲落、介觀環的持續電流等方面[29]。比
如，在量子霍爾效應（Hall effect）的能級統計研究
中，人們發現處在最低朗道 (Landau) 能級的電
子，以及破壞時間反演，但保持自旋轉動不變的無
序系統中，准粒子的能級間隔分佈都遵從高斯么正
（歸一）系綜[30]。
退相干問題
根據量子疊加原理，疊加性要求取絕對值平方
前要對所有路徑的波幅相干地相加。在經歷非彈性
過程，或存在有其他不被與電子一起測量的動力學
自由度相耦合時，電子的相干性就要被破壞。所謂
被破壞，就是講機率趨向于變成等於平方振幅的非
相干相加。從而，所觀測到的就是宏觀電子系統的
經典性爲。因此，非彈性過程，或實驗中與那些與
其耦合而又不被測量的大量自由度，是破壞相位相
干的根源。通常，在足夠低的溫度，電子相干運動
可達到幾個微米的尺度。在尺度與相位相干長度可
比擬的介觀電子系統中，電子運動充分地展現相位
相干，會出現弱侷域化。弱侷域的強弱依賴于對求
和
2
i i P = Σ A 有貢獻的閉合路徑數目和這些閉合
路徑的長度是否小於相位相干長度。因此，弱侷域
效應的幅度，可以用來間接地推斷出相位相干長度
Lφ ， 或相位相干時間τφ （τφ 是描述電子變得不相
干所經歷的時間[3]）。我們知道高溫時，退相干主
物理雙月刊（廿八卷五期）2006 年10 月
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要是由電子-聲子相互作用引起的。但在低溫時，由
於聲子被凍結。因此，電子-聲子相互作用很小。這
時低維系統中的退相干主要機制是電子-電子散
圖9：相位相干時間τφ 隨溫度的變化。選自 [32]。
射。任意給定的電子將感受到其他所有電子産生的
漲落電場，其結果使它的相位在某一段時間τφ 後被
攪亂。理論上預言低溫時相干時間τφ 按1 Tβ
τφ−∝ 趨
於無窮，其中β 是某個正數。但是早期林志忠等人
[3]和最近Webb 等人[31]的實驗結果顯示，在T →0
的極限下，非常多金屬和半導體樣品中的1
τφ−趨向
某個飽和值。是什麽機制導致T →0極限下的這一
飽和現像，是當今低維退相干物理研究中仍在爭論
和探索的熱門問題之一。
第二部分 介觀系統中電輸運幾個例子
在前一部分中，我們通過比較系統尺度和相干
長度的相對大小， 簡單地介紹了介觀物理中
Aharonov-Bohm 效應、量子漲落、和弱侷域等幾個
重要概念。然而，我們知道平均自由程是描述載流
子在傳輸中下次被碰撞的長度量。當系統的尺度L
小於，或與載流子彈性散射平均自由程l 可比擬
時，這時雜質散射可以忽略。載流子進入導體就好
像進入到彈道一樣。因此， 系統稱爲處在彈道
（ballistic）區。下面我們用幾個具體例子來說明處
在彈道區的介觀系統中的電輸運行爲。
量子化電導（量子點接觸）
我們想像一個由兩電子庫(reservoir)間的金屬
節流孔組成的系統，它可被看成是Sharvin 在1965
年提出的點接觸[33] （ quantum point contact -
QPC）。實驗室中人們現在利用力學的方法，能夠以
可控的方式製備出單個原子的接觸結。在量子點接
觸研究中的突破是1988 年的一個實驗。實驗發現二
維電子氣上做出的點接觸的電導是以2e2 / h爲單位
量子化的[34]。它所反饋給我們的是這樣一個訊
息：量子點接觸，是一個電導直接與透射性質相聯
繫的系統。點接觸系統透射率Tn的量子化台階不是
0 就是1。有關量子點接觸和有關彈道輸運的詳細理
論，請參考[5]。
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圖10：量子點接觸和量子化電導台階。選自[28]。
庫侖阻塞（Coulomb blockade）
在凝聚態的能帶理論中，只要電子的軌道足夠
的擴展，電子間的關聯能通常可被忽略。關聯能是
同一軌道上，兩個自旋反向電子間的庫侖排斥能。
但是對於量子點，受邊界的限制，軌道成爲侷域的。
我們來看一個隧道結的例子。兩邊電極的電荷分別
爲−Q和Q，當一個電子從一個電極穿隧到另一個
電極後，相對應的電荷分別變成−Q + e 和Q −e 。
那麽，我們要問一個問題：穿隧後系統的能量是增
加還是減少？對超小的隧道結，電子穿隧是由關聯
效應導致的電荷轉移。穿越勢壘的穿隧就好似消滅
一對電子-空穴對一樣。電荷爲−Q電極中的一個電
子，和電荷爲Q電極中的一個空穴同時消失，導致
它們的電荷分別爲−Q + e 和Q −e，這等價於電容
施放一個單位的電荷。與此電荷轉移相伴隨發生
的，是其靜電能由Q2 / 2C 變成( )2 Q−|e| / 2C 。我們
假想穿隧導致湮滅單位電荷的這一事件，是發生在
極板電荷處於−e / 2 和e / 2 之間（ 即
−e / 2 < Q < e / 2）。比較湮滅前後能量，我們發現
能量是增加的。實驗上，這種能量增加的過程並沒
有被觀測到。然而，無論一個電子從電荷大於e / 2
還是一個空穴從電荷小於−e / 2發生一個電荷的穿
隧，根據庫侖排斥性，能量總是減小的。實驗中觀
測到這種能量減小的過程。這種電流在電壓
−e / 2C 和e / 2C 間被壓制的現象稱爲阻塞
（blockade）。對應的穿隧電導被壓制現象稱爲庫侖
阻塞（Coulomb blockade）[35]。那麽，究竟這種靜
電能變化所導致的現像是什麽？把隧道結兩極板與
外電路相聯接，外電路的電流將對極板充電，結上
的電荷線性地增加。在充電沒達到e / 2之前，並不
發生結穿隧，結壓降隨著電荷的增加線性地增加。
當達到e / 2時，穿隧發生。穿隧一個單位電荷的同
時，極板電荷立即回落到−e / 2。相應的結壓降也
隨之減小。週而復始地重複上述過程，結電壓將呈
現出週期性鋸齒狀的震盪。庫侖阻塞是1994 年Yano
在多晶結構Si 超薄膜中第一次觀測到的。
介觀超導體（Andreev 反射）
上面所用的隧道結可以看成是作一種介觀複合
結構。作爲異質介觀複合結構的例子，超導體和正
常金屬介面的Andreev 反射，為我們提供了一個簡
單易懂地瞭解臨近效應的實際例子。與鐵磁異質複
合結構的近場效應不同（自旋的累積和自旋矩的產
生），此時的臨近效應是電子庫伯對（cooper pairs），
從超導體中洩露到正常金屬時所出現的現象[36]。
能量處在超導體能隙的電荷，穿過正常金屬和超導
體介面的微觀過程，被稱爲Andreev 反射。
圖11：正常金屬和超導體介面 Andreev 反射。選自[36]。
我們設想正常金屬費米能量之上，但E < Δ ，
的一個電子射向正常金屬-超導體介面。由於超導體
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激發譜的能隙，超導體中不存在能量E < Δ 的電子
態。所以， 電子波函數在超導相干長度
（ξs = vF /πΔ ）範圍內指數地衰減[37]。這意味著
具有這樣能量的電子被反射。但是，1964 年Andreev
證明了憑藉反射過程，能量E < Δ 的輸運依然可以
發生[38]。Andreev 反射，又可以看成是電子從正常
金屬射到超導體，而兌換成一個空穴的過程，這是
由於進入超導體的是電荷爲2e 的庫伯對。根據BCS
理論，最可能的配對是由兩個動量反向的電子組
成。在超導體中，除了能隙之外的准粒子態，當正
常金屬費米面處在超導能隙中時，兩粒子能級是簡
並的。設想正常金屬費米面處的一個電子，入射到
正常金屬-超導體介面[39]，這個入射電子需要另一
個動量相反的電子與它攜手進入到超導體。由於産
生一個電子等價於呈現一個空穴，而動量守恆要求
空穴沿電子入射方向的反方向反射，結果是從介面
發射出一個能量爲−E 的空穴，這個過程的能量是
守恆的。在有限溫度情形，只要能量的絕對值不大
於超導能隙，能量即使高於或低於費米面的電子都
可能被Andreev 反射。理解與超導相接觸導體的
Andreev 電導時，需要對電子和空穴的散射性質有
所瞭解。爲此，我們來考察倒反射（retro-reflection）
現象。電子和空穴間小的能量差（ 2E ）意味著電
子和空穴波矢的長度幾乎相等， 其差別爲
δ k = 2E / vF 。所以電子的波矢爲
ke = k f + E / vF ， 而空穴的波矢爲
kh = k f −E / vF 。Andreev 反射也是一個位相相干
的過程。在入射的電子和反射的空穴之間，它們的
相位有著確定的關係：
( ) arccos / h e s E ϕϕϕ= + −Δ ，其中s
ϕ是超導凝聚相
位。鑒於Andreev 反射的量子特徵是相位共軛，反
映在空穴的散射正好是電子散射的共軛。由此對應
的Andreev 電導可以表示成類似Landauer 公式的形
式， 2(2 2 / ) n2 / (2 n )2
n
G = e h ΣT −T 。一旦我們知道
了透射本徵性質，就可以得到電導。
圖12：Andreev 束縛態。選自[36]。
事實上，系統中如果僅有一個超導體時， s
ϕ可
以利用恰當的規範變換把它消除，所以它不起什麽
作用。然而，對含兩個超導體系統的Andreev 束縛
態情況就不是這樣了。這時出現依賴於兩超導相位
差（ϕs1 −ϕs2）的干涉現象。舉個例子，我們來看
看兩超導體之間夾著一片正常金屬材料構形（ SIS
結）。假定費米面之上能量爲E（ < Δ ）的電子從左
邊的超導體（1）-金屬介面向右運動。經歷距離L 到
達右邊的超導體（2）介面。發生Andreev 反射後，
有一個能量爲−E 的空穴沿著原來電子的路徑反向
到達超導體1，再次發生Andreev 反射。如此周而
復始的循回使得2e 電荷在兩塊超導體間轉移。如果
一個循環所需的相位是2π 整數倍的話[41]，即得
到：
( ) ( ) ϕs2 −ϕs1 + ke −kh L −2arccos E / Δ = 2π n ，完整
的量子描述就可以看成電子-空穴形成一個束縛
態，稱爲Andreev 束縛態。如果位相差ϕs2 −ϕs1不
爲零，時間反演對稱性被破壞。束縛態在兩個相反
方向所攜帶超流的佔有機率不同，從而，有超流通
過SIS （ superconductor-insulator-superconductor ）
結。
第三部分 量子點物理
在第二部分中，我們就介觀系統中的單電子輸
運行爲，舉了兩個特殊的例子。它們的性質可歸類
於彈道輸運。但是，更複雜的量子現象可以來自定
域於受限系統中的侷域態，和導綫中的擴展態之間
的交換作用或耦合。本部分我們用與兩電子庫連接
的量子點作爲例子進行説明。
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金屬或半導體量子點是典型的介觀系統。量子
點系統被看作是研究量子相干現象的“實驗平臺”，
它的電子輸運爲我們展現了一系列非常複雜的量子
相干現象。比如：與電極強耦合下量子點中的近藤
效應、含量子點的多連通幾何構型系統的
Aharonov-Bohm 震盪、和多通道輸運中的Fano 共
振現象等等。下面我們將沿著發展的歷史對它們做
一一的介紹。
近藤（Kondo）效應
相對而言，當晶格上的原子振動微弱時，電子
更容易在金屬晶體中穿行。因此，通常被認爲純金
屬的電阻總是隨著溫度的降低而減小，並趨向某一
飽和值(稱爲剩餘電阻)。這個飽和值是由材料中晶
格缺陷、非侷域、或顆粒邊界等客觀因素所引起的
背散射相關的阻值。然而，1930 年在含有磁性原子
的樣品中，發現其電阻在溫度降低的過程中，大約
在10 到20K 處有個極小值，而後又隨著溫度的降
低增大10% 左右，再達到飽和值。顯然，這個電
阻的極小效應是與少量磁雜質有關。該電阻再增大
的行爲並不涉及到相變。這一現象反映了，存在一
個由材料的低溫電子特性所決定的參數，被稱之爲
近藤溫度（Kondo temperature），它表徵達到這個溫
度時電阻開始增大。1964 年近藤[41]在考慮磁性雜
質與導電電子間自旋相互作用時，發現磁性離子雜
質的散射確實隨溫度的降低變得強起來。對大多數
的散射問題，在利用玻恩（Born）近似計算散射時，
常常進行到微擾展開的一階項即可。通常二階項不
會帶來新的物理。近藤的研究發現，對磁性離子雜
質的散射，第二階玻恩近似項隨著溫度的降低會變
得比第一項大。導致電阻在溫度降低時“對數”地增
大。這就解釋了極小值的出現。隨後，進一步降低
溫度時導電電子背景中的磁性離子會被導電電子所
屏避，從而失去它的磁矩，使得電阻趨向飽和值。
有關近藤效應問題的理論解析解可參閱文獻[42]。
我們要重申近藤效應只對有磁性離子情形下出
現，即雜質中電子的總自旋不爲零。1961 年安德森
（Anderson）[43]提出一個描寫金屬中磁性雜質的
簡單模型。該模型中雜質只有一個能量爲E 的電
子。如果E 比金屬的費米能高，那麽這個電子可以
從雜質穿隧出去。相反，它只好待在雜質裏。這個
圖像中雜質是自旋S=1/2 ，它的z 分量要嘛朝上要
嘛朝下。但是，交換作用過程能夠使雜質的自旋翻
轉，與此同時在費米海中産生一個自旋激發態。從
經典力學角度來看，如果不對系統附加能量的話，
從雜質中提取一個電子的過程是禁戒的。但是在量
子力學中，由海森堡不確定性原理得知，存在著一
個時間尺度h / E ，使得在其之內，必定有另一個電
子從費米海中穿隧回雜質。我們知道海森堡不確定
性原理並不涉及這個跑回雜質的電子自旋，所以它
的自旋z 分量可以與原來相反。結果，雜質的初態
和末態具有不同的自旋。這種自旋的交換本質上改
變了系統的能譜。集合許多上述這樣的過程在一
起，就在費米面處呈現出一個新的態--近藤共振
態。由於近藤態是固定出現在費米能處，所以它總
是共振的。該態的強散射加大了電阻。近藤態是由
侷域電子和其他自由電子態間的交換過程産生的。
因而，近藤效應是多體效應。
圖13：近藤效應。(a)體材料，(b)量子點。選自[44]。
鑒於量子點小的結構特徵和它的電子性質與真
實的原子相類似，從而被看作是人造原子。人們利
用閘極電壓能夠控制量子點中的電子數目。假定奇
數個電子被囚禁在量子點中，量子點的總自旋就爲
S=1/2 。把這樣的量子點與外電極相聯接，就構成
一個類似於二極體的器件。這等效於把量子點嵌入
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到大的費米海中。因此，能夠在這樣的類二極體結
構中觀測到近藤效應。
圖14：量子點結構示意圖。選自[28]。
圖15：近籐共振態示意圖。選自[44]。
量子點和實際金屬的主要區別是它們的不同幾
何。金屬中電子用平面波描述，雜質散射後使得與
不同動量的電子波混合起來，這種動量的轉移導致
了電阻的增大。然而，在量子點中，所有電子都要
橫穿量子點。看起來就好像量子點中沒有電子軌
道。因而，近藤共振更容易與屬於兩個電極的態混
合，這一混合導致了電導的增大[45]。也就是說，
量子點中的近藤效應，正好與大塊金屬中的近藤行
爲相反。量子點的優點在於其參數的可調性。外界
作用能夠改變其離散能級的結構，和囚禁在量子點
中的電子數目。在近藤區，量子點的電導僅僅是溫
度和近藤溫度比率的函數。由於定義量子點近藤溫
度的參數可以通過外加條件來改變，這使得我們可
以通過實驗來證實它的普適性。實驗證實了電導隨
溫度的降低而增加，並在極低溫時，趨向電導的量
子極限2e2 / h [44,46] 。
正是由於人造量子點的可控優越性，使得關於
量子點近滕效應的故事至今還在繼續著。比如說，
人們會問，利用外磁場解除量子點中的自旋簡並，
是否導致量子點能態密度的近藤峰劈裂，進而使得
近藤效應被壓制[47]。最近，在自旋電子學的影響
下，人們正在關注另外一個有趣的問題，此即，當
能量連續的傳導電子，自身被形成自旋相關的束縛
態後，對近藤效應的影響[48]。研究中發現兩鐵磁
電極的相對極化取向，直接影響著該複合量子點系
統的近藤效應行爲。鐵磁電極在量子點中誘導出有
效磁場。當兩鐵磁電極的極化方向反平行時，也就
是說它們的磁化方向非共線時，它們在量子點中生
成的有效磁場相互抵消。等價地，兩電極的自旋極
化電子費米面處呈現相同的近藤共振態，自旋極化
因數的平均值爲零，從而依舊表現出近藤效應。但
是，當兩鐵磁電極的極化方向平行時，也就是說它
們的磁化方向共線，它們在量子點中將産生有效磁
場，侷域能級對自旋朝上和朝下的佔據會不相同。
量子點中佔多數的自旋多子（majority spin）的電子
獲得能量，由於它在電極和量子點間比自旋少子
（minority spin）的遊動性更大。因此，就像動能的
圖16：量子點和鐵磁電極耦合的近籐共振態。選自[49]。
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交換作用情形相同，自旋多子相對穩固。從而使得
量子點中能級出現Δε 的能級差，自旋簡並被解
除。微擾的計算分析表明，自旋劈裂時正比於兩電
極中自旋極化因數的平均值。當偏壓很小時
（ eV < Δε ），自旋的劈裂抑制低能自旋翻轉散射
過程。從而導致與鐵磁電極耦合的量子點中近藤共
振態被劈裂，使得近藤效應被壓制。
Aharonov-Bohm 干涉儀
介觀導電結構的另一個優點，在於用它有可能
直接地研究金屬或半導體Aharonov-Bohm 環中電
子不同路徑的相干性。實驗中“哪條路徑?”干涉儀
（ “hich path”interometer ） 是由一個
Aharonov-Bohm 環和嵌入到其中一個臂上的量子點
所組成。電子可以通過上臂或下臂穿越介觀環。實
驗上觀測了電子通過量子點的相位移，並演示了電
子的相干輸運[50]。通常在對電導的測量中，人們
無法測量到相位的演化。但是這一實驗反映了一個
非常重要的結果， 相位的演化能夠通過
Aharonov-Bohm 干涉儀來瞭解。Aharonov-Bohm 環
的電導是穿過環中央磁通的函數。當量子點被調到
共振時，可以觀測到以h / e爲週期的震盪電導，並
給出量子點共振穿隧結構的相位演化。這就直接地
證明了通過量子點的電子輸運是具有相干性。後來
的實驗還在Aharonov-Bohm 干涉儀的上下兩臂上
各嵌入一個量子點，構成相干的兩個耦合量子點結
構[51]。由於期望自旋單態和三重態具有不同的
Aharonov-Bohm 相位，所以從實驗中可以提取到與
磁場有關的穿隧劈裂，和與兩量子點間相干耦合有
關的近滕效應，以及RKKY 效應，其中RKKY
（Ruderman-Kittel-Kasuya -Yosida）相互作用，已經
在與一個開放量子點間接耦合的兩個量子點系統中
被觀測到[52]。其實，RKKY 相互作用在低維系統
中被觀測到並不是偶然的。對於低維系統，其費米
波長比較長，而且RKKY 相互作用減弱可能性比較
小。那麼，對於Aharonov-Bohm 環情形，干涉效應
導致電導是磁通的函數，此時電子-空穴激發態將可
能環繞著磁通。因此，可利用磁通來控制RKKY 相
互作用。這種與磁通有關的RKKY 相互作用能夠把
兩量子點自旋糾纏起來，使得自旋態依賴於穿過的
磁通。零磁通或整數磁通量子時，兩臂傳播的電子
波再彙集時是相長干涉，此時在系統中誘導出最大
的相互作用。對鐵磁耦合情形，低溫下形成自旋三
態，這時近籐效應導致電導增加。但是，對反鐵磁
耦合時，低溫下形成自旋單態，電導卻被壓制。與
整個磁通情形不同，當穿透的是半個磁通時，相消
干涉導致RKKY 相互作用被撤除。原本期望電導被
壓制，但計算發現的RKKY 相互作用特徵行為為：
Aharonov-Bohm 震盪的相位在反鐵磁耦合情形下有
一個π 的相移，而當耦合是鐵磁的情況時,電導會在
半整數磁通處出現一個額外的極大值。這方面的研
究仍在探索中。
當然，固體環境中電子相干性的破壞是不可避
免的。量子點輸運的相位測量也爲研究介觀結構中
退相干的根源提供了機遇。一臂嵌入量子點的
Aharonov-Bohm 環不只可用來測量退相干率，而且
可直接通過修正與量子系統耦合的環境來控制退相
干率。Aleiner 等人和Levinson 提出一種借助
Aharonov-Bohm 干涉儀，探測通過電子量子點穿隧
的退相干性[53]。假設在下臂上嵌有一個電子點的
Aharonov-Bohm 環旁，放一條有量子點接觸（QPC）
構型的導線， 使得量子點接觸置於接近量子點
（QD）。當電子通過下臂並穿隧通過量子點時，這
圖17：“哪條路徑?”干涉儀結構圖。選自：[53]。
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個額外電子的靜電場，將改變與之相鄰的量子點接
觸的透射係數，也就改變了導線的電導。電流的變
化就能夠測出電子到底是走環的哪一條路經。通過
對Aharonov-Bohm 震盪的壓制，人們可以檢驗哪條
路徑引起退相干。退相干率可由橫跨量子電接觸的
偏壓和透射係數確定。
電子在量子點系統中的Fano 共振輸運
前面談到的利用Aharonov-Bohm 干涉儀，能夠
使我們瞭解到介觀系統中，電子的相位相干輸運特
性和檢測退相干效應。但是，就同樣一個結構，還
可以使我們觀測到另一個與電子關聯特性相聯繫的
有趣現象--Fano 共振輸運。
系統於電子庫的耦合強弱，對其電子輸運有著
顯著的影響。對量子點系統來講，量子點與電極的
耦合直接影響著觀測到的不同量子效應。當量子點
與電極的耦合較弱時，相當於庫倫阻塞區，電子輸
運的特徵通常表現出Breit-Wigner 共振行爲[54]。相
反，量子點與電極的耦合非常強時，使得量子點中
的電子與電極中的導電電子關聯。這時，系統處在
近藤區時 [47]，考慮量子點和電子庫的多電子間關
聯，電子的輸運表現出近藤效應。
那麽介於二著之間某個強度的耦合時，情況會
是什麽樣呢？實驗上在這種適中的耦合強度下，觀
察到單電子電晶體的電導峰呈反對稱線形 [55]。這
預示某種相干干涉發生。能引起反對稱線形的干涉
隱含著一種可能性，即在每個能量下，電子存在著
兩條相互干涉的路徑，其中一條是共振通道，而另
一條是非共振的。
電導峰的反對稱線形，使我們回想起在高激發
光譜中的“自電離共振”現象。在高激發光譜的研究
中，Beutler[56]發現通常多電子體系能譜結構的特
點，是既非純粹離散的，也非完全連續的。對於一
個嵌入在連續譜中的純粹“自電離共振態”，在接近
共振能量的某能量，使得連續區以下的吸收譜可以
忽略，從而産生“透明”的“躍遷窗口”，這在光學中
被稱爲自電離共振。自電離是一種關聯效應，當一
個離散能級被埋在連續能態中時，兩者之間相互耦
合，在離散能級的周圍出現共振態。1961 年 Fano
[57]提出在這樣的系統中，從任意初態的躍遷有兩
種方式，要嘛直接地通過連續能態，要嘛通過共振
的能級，它們相互干涉。干涉的後果導致躍遷機率
呈現反對稱線條形狀。Fano 還具體給出了描述躍遷
機率非對稱線型的簡單解析公式：
(ε 
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