對於在感興趣的地球附近導航，慣性坐標系XiYiZi(簡記為i系）定義為相對星體無旋轉運動的右手坐標系
第1章 坐標系及坐標變換 慣性導航系統要求精確定義一系列參考坐標系，並在不同坐標系之間進行測量量和計算量的變換。這些參考坐標系共計有9個。其中，5個與地球幾何形狀相關，並涉及慣性參考系； 第6個是運載體坐標系。這6個參考坐標係都是右手正交坐標系。還有3個附加坐標系分別用來定義平台、陀螺儀及加速度計的一組軸。其中，平台坐標係是正交右手坐標系，而陀螺儀和加速度計的坐標軸由它們各自物理上的敏感軸定義，通常是非正交的。因此，將陀螺儀和加速度計非正交坐標係與正交的平台坐標系相聯繫，需要進行特殊處理。 在這一章中，首先，參考文獻［71，1，2］，將定義這些需要的參考坐標系和介紹各種變量在不同坐標系之間變換的必要算法； 其次，討論描述動坐標系之間幾何關係的運動微分方程，包括歐拉角微分方程、方向餘弦矩陣微分方程及四元數微分方程； 最後，介紹旋轉矢量微分方程和方向餘弦矩陣與四元數的解算方法，以及動坐標系中的比力積分增量計算。 1.1坐標系定義 1. 慣性坐標系 慣性坐標係是適用牛頓運動定律的參考坐標系。因此，慣性坐標係是無加速度的，但是可能處於勻速直線運動狀態。原則上，慣性坐標系的原點可以是任意的，坐標軸指向三個互相垂直的方向。所有慣性傳感器都是相對慣性坐標系進行測量，但沿著儀表敏感軸分解。 對於在感興趣的地球附近導航，慣性坐標系XiYiZi(簡記為i系）定義為相對星體無旋轉運動的右手坐標系。其原點在地球質心，Xi軸落在地球赤道平面，Zi軸沿著地球自轉軸，Yi軸與Xi軸和Zi軸完成右手正交坐標系，如圖1.1所示。這樣定義的慣性坐標系稱為地心慣性坐標系。 圖1.1慣性、地球、地理及地心坐標系 注意，這裡定義的地心慣性坐標系，通常忽略了太陽、月亮及其他星體的引力，以及由於這些引力而存在的地球軌道運動。因為這兩項效應產生的引力加速度約為10-7|G|量級(G為地球引力加速度），對於實際的慣性導航儀表都是可以忽略不計的。因此，地心慣性坐標系的定義是足夠精確的。 2. 地球坐標系 地球坐標係是原點在地心、坐標軸固定在地球上的右手正交坐標系，記為XeYeZe(或簡稱為e系），如圖1.1所示。在導航初始時刻t=0，地球坐標係與慣性坐標系一致。特別地，由圖1.1可以看出，在t=0時，慣性固定參考子午面、地球坐標子午面及本地子午面是重合的。於是，下列關係式成立： λ′=l-l0+ωiet(1.1） 式中，λ′——黃經； l——由格林威治算起的地球經度； l0——初始地球經度； ωie——地球慣性角速度； t——時間。 地球一天自轉一周、一年繞太陽公轉一周，因此，地球相對慣性坐標系的轉動角頻率為 ωie=1+365.25365.25×242π3600≈7.292115×10-5(rad/s)(1.2） 地球的大地水準面通常近似為一個繞其短軸旋轉的橢球。在任何給定的應用中，必須使用一組相容的地球形狀(即橢球模型）和引力模型參數(參見第2章）。所以，式(1.2）表示的ωie只被認為是近似值。 3. 地理坐標系 本地地理坐標係是相對大地水準面定義的北-東-地正交坐標系，記為NED(或簡稱n系），如圖1.1所示(注意： 也有採用東-北-天地理坐標系定義的）。地理坐標系的原點是慣性平台原點在大地水準面上的投影。 D軸垂直於參考橢球面、指向地球內部，N軸指向真北(即沿地球自轉角速度矢量ωie在垂直於D軸的平面上的投影），E軸水平指向東並完成右手正交坐標系。 4. 地心坐標系 本地地心坐標係與本地地理坐標系密切相關，記為xcyczc(簡稱為c系），如圖1.1所示。它的原點與地理坐標系的原點相同。 zc軸位於地心位置矢量r的反方向，yc軸指向東，xc軸完成右手正交坐標系，位於本地子午面內。 5. 切平面坐標系 切平面坐標係是地球固定坐標系，記為xtgytgztg(簡稱為tg系），如圖1.2所示。切平面是與大地參考橢球面相切的平面。切點為切平面坐標系的原點。該點一般選為著陸地點、導航雷達站，或者某個其他方便的參考點。 xtg軸指向真北，ytg軸指向東，ztg完成右手正交坐標系、指向地球內部並垂直於參考橢球面。 圖1.2切平面坐標系 對於靜止的系統，地理坐標系和切平面坐標係是一致的。當系統運動時，切平面坐標係原點固定，而地理坐標係原點是平台原點在大地水準面上的投影。切平面坐標係經常用於本地導航。例如，相對飛行路徑的導航。 6. 運載體坐標系 運載體坐標係是固連於運載體的參考坐標系，記為xbybzb(簡記為b系）。坐標係原點通常固定在運載體重心。取 圖1.3運載體坐標系 重心為運載體坐標係原點位置，可簡化運動方程的推導。 xb軸沿運載體縱軸、指向前方，zb軸指向運載體底部，yb軸指向右翼(舷）並與xb軸和zb軸完成右手正交坐標系。雖然上述坐標軸方向定義不是唯一的(見圖1.3），但是，對於航空和航海運載體應用是典型的。 7. 平台坐標系 在慣性導航應用中，存在兩種系統： 平台式系統和捷聯式系統。在捷聯式系統中，慣性測量組合(IMU）固連在運載體上，參考坐標軸名義上與運載體軸一致。在平台式系統中， 平台坐標系記為xPyPzP(簡稱為P系）。其原點可以是平台台體上的任意一點，通常定義在加速度計的位置。運載體坐標係原點和平台坐標系的原點可以相距一個常數矢量。平台坐標系xPyPzP被初始化為與所選擇的導航解算坐標系(如i系、n系及e係等）一致。在初始化之後，平台名義上維持與導航解算坐標系一致。實際上，由於陀螺漂移誤差，平台坐標係將逐漸偏離導航解算坐標系。 8. 慣性儀表(陀螺儀和加速度計）坐標系 安裝在平台上的慣性傳感器將沿儀表敏感軸分解它們相對慣性空間的測量值。在大多數係統中，儀表敏感軸名義上與平台軸一致。在某些情況下，冗餘儀表組的敏感軸故意相對平台軸斜置，以達到故障檢測目的。 對於任何一種情況，在實際條件下由於存在安裝誤差(失準角），完善的對準是不可能的。陀螺儀和加速度計的參考坐標軸是沿著儀表敏感軸的。由於存在安裝誤差，陀螺儀坐標系(記為xGyGzG，簡稱為G系）和加速度計坐標系(記為xayaza，簡稱為a系）相互之間，或者與平台坐標系xPyPzP之間不會完全一致。進一步，陀螺儀坐標系和加速度計坐標系本身不可能假設是正交的。辨識慣性儀表坐標係與平台坐標系之間變換的失準角矩陣是慣性測量組合標校過程的主要目的。 1.2坐標變換矩陣 坐標變換矩陣亦稱為方向餘弦矩陣，它的元素為兩個參考坐標系的軸與軸之間的夾角餘弦。由於正交性限制，方向餘弦矩陣為正交矩陣，逆矩陣等於轉置矩陣，每行(列）元素的平方和等於1，不同行(列）的對應元素乘積之和等於0。因此，方向餘弦矩陣中的9個元素具有6個限制條件，只含有3個獨立變量。 通過參考坐標系的平面旋轉，可用旋轉角(即歐拉角）定義正交坐標系之間的變換矩陣——方向餘弦矩陣。換句話說，第一參考坐標系xayaza連續旋轉三次便可產生第二參考坐標系xbybzb： 第一次繞xa軸旋轉α1角，第二次繞旋轉後的y′軸旋轉α2角，第三次繞第二次旋轉後的z″軸旋轉α3角，最後產生第二參考坐標系xbybzb，如圖1.4所示。 圖1.4方向餘弦矩陣定義 根據圖1.4，每次旋轉的變換矩陣和歐拉角之間的關係可用符號表示如下： 第一次 ［α1］x=100 0cosα1sinα1 0-sinα1cosα1(1.3） 第二次 ［α2］y′=cosα20-sinα2 010 sinα20cosα2(1.4） 第三次 ［α3］z″=cosα3sinα30 -sinα3cosα30 001(1.5） 這三個平面旋轉矩陣都是正交矩陣。這三個正交矩陣的連乘積便將第一參考坐標系xayaza與第二參考坐標系xbybzb聯繫在一起。即由第一參考坐標係到第二參考坐標系的坐標變換矩陣可表示為 Cba=［α3］z″［α2］y′［α1］x =cosα3sinα30 -sinα3cosα30 001cosα20-sinα2 010 sinα20cosα2100 0cosα1sinα1 0-sinα1cosα1 =cosα2cosα3sinα1sinα2cosα3+cosα1sinα3-cosα1sinα2cosα3+sinα1sinα3 -cosα2sinα3-sinα1sinα2sinα3+cosα1cosα3cosα1sinα2sinα3+sinα1cosα3 sinα2-sinα1cosα2cosα1cosα2(1.6） 注意： 方向餘弦矩陣Cba由連續旋轉矩陣［α3］z″［α2］y′［α1］x定義。由於矩陣乘積不可交換，方向餘弦矩陣與旋轉次序有關。例如，先繞xa軸旋轉90°再繞旋轉後的y′軸旋轉90°，可得 Cba=00-1 010 100100 001 0-10=010 001 100 而先繞ya軸旋轉90°再繞旋轉後的x′軸旋轉90°，則有 Cba=100 001 0-1000-1 010 100=00-1 100 0-10 由此可見，二者將產生不同的旋轉結果。 1. 慣性坐標系—地球坐標系 參考圖1.1所示幾何關係，由慣性坐標系XiYiZi到地球坐標系XeYeZe，只需要經過一次平面旋轉： Cei=［ωiet］Zi=cosωietsinωiet0 -sinωietcosωiet0 001(1.7） 反之， Cie=［-ωiet］Ze=cosωiet-sinωiet0 sinωietcosωiet0 001(1.8） 2. 慣性坐標系—地理坐標系 參考圖1.1所示幾何關係，由慣性坐標系XiYiZi到地理坐標系NED，必須經過連續兩次平面旋轉。 第一次： ［λ′］Zi=cosλ′sinλ′0 -sinλ′cosλ′0 001 第二次： -π2+LY′i=cosπ2+L0sinπ2+L 010 -sinπ2+L0cosπ2+L =-sinL0cosL 010 -cosL0-sinL 於是，由地心慣性坐標係到地理坐標系的坐標變換矩陣為 Cni=-π2+LY′i［λ′］Zi =-sinL0cosL 010 -cosL0-sinLcosλ′sinλ′0 -sinλ′cosλ′0 001 =-cosλ′sinL-sinλ′sinLcosL -sinλ′cosλ′0 -cosλ′cosL-sinλ′cosL-sinL(1.9） 式中，L——地理緯度； λ′=l-l0+ωiet——黃經。 反之，由地理坐標係到地心慣性坐標系的變換矩陣為 Cin=-cosλ′sinL-sinλ′-cosλ′cosL -sinλ′sinLcosλ′-sinλ′cosL cosL0-sinL(1.10） 3. 地球坐標系—地理坐標系 參考圖1.1所示幾何關係，由地球坐標系XeYeZe到地理坐標系NED，必須經過連續兩次平面旋轉。 第一次： ［λ］Ze=cosλsinλ0 -sinλcosλ0 001 第二次： -π2+LY′e=cosπ2+L0sinπ2+L 010 -sinπ2+L0cosπ2+L =-sinL0cosL 010 -cosL0-sinL 於是，由地球坐標係到地理坐標系的坐標變換矩陣為 Cne=-π2+LY′e［λ］Ze =-sinL0cosL 010 -cosL0-sinLcosλsinλ0 -sinλcosλ0 001 =-cosλsinL-sinλsinLcosL -sinλcosλ0 -cosλcosL-sinλcosL-sinL(1.11） 式中，λ=l-l0=λ′-ωiet，為本地地理經度與原點地理經度之差。如l0=0，則λ就是地理經度。 反之，由地理坐標係到地球坐標系的坐標變換矩陣為 Cen=-cosλsinL-sinλ-cosλcosL -sinλsinLcosλ-sinλcosL cosL0-sinL(1.12） 比較式(1.9）和式(1.11），不難發現，由i係到n係與由e係到n系的坐標變換矩陣在形式上是完全相同的，只是將黃經λ′改為地理經度變化量λ。當然，它們的逆(轉置）矩陣式(1.10）和式(1.12）在形式上也是相同的。 進一步，我們可以將坐標變換矩陣Cne分解為Cne=CniCie，並利用式(1.8）和式(1.9）經過矩陣相乘運算，也可以推導出坐標變換矩陣Cne，其結果與式(1.11）完全相同。這裡不再重複，留給讀者練習。 4. 地理坐標系—運載體坐標系 姿態角是運載體坐標系xbybzb和地理坐標系NED之間的三個夾角，它們定義如下： 航向角(ψ)——運載體縱軸xb與北向軸(N)之間的夾角，在水平面測量，順時針為正； 俯仰角(θ)——運載體縱軸xb與水平面之間的夾角，在垂直面中測量，抬頭為正； 橫滾角()——運載體橫軸yb與水平面之間的夾角，在橫截面測量，左邊抬起為正。 注意，航向角、俯仰角及橫滾角是航空領域對飛機姿態角的定義。在航海領域，艦船的姿態角定義與飛機的相同，但按習慣稱呼不同，分別叫做航向角、縱搖角及橫搖角。 根據姿態角的這些定義，可以畫出運載體坐標系xbybzb與地理坐標系NED之間的幾何關係，如圖1.5所示。根據圖 圖1.5運載體姿態角定義 示幾何關係，地理坐標系NED通過連續旋轉航向角ψ、俯仰(縱搖）角θ，以及橫滾(橫搖）角，便可得到運載體坐標系xbybzb。其中： 第一次旋轉 ［ψ］D=cosψsinψ0 -sinψcosψ0 001 第二次旋轉 ［θ］y′b=cosθ0-sinθ 010 sinθ0cosθ 第三次旋轉 ［］x″b=100 0cossin 0-sincos 因此，由地理坐標係到運載體坐標系的坐標變換矩陣為 Cbn=［］x″b［θ］y′b［ψ］D =100 0cossin 0-sincoscosθ0-sinθ 010 sinθ0cosθcosψsinψ0 -sinψcosψ0 001 =cosψcosθsinψcosθ-sinθ -sinψcos+cosψsinθsincosψcos+sinψsinθsincosθsin sinψsin+cosψsinθcos-cosψsin+sinψsinθcoscosθcos(1.13） 反之，由運載體坐標係到地理坐標系的坐標變換矩陣為 Cnb=cosψcosθ-sinψcos+cosψsinθsinsinψsin+cosψsinθcos sinψcosθcosψcos+sinψsinθsin-cosψsin+sinψsinθcos -sinθcosθsincosθcos(1.14） 在已知方向餘弦矩陣Cnb=［Cij］的條件下，可以通過矩陣的第一列和第三行元素計算姿態角如下： =arctan2(C32,C33) θ=arctan2(-C31,C232+C233) ψ=arctan2(C21,C11)(1.15） 式中，arctan2(·,·)表示二元素反正切函數。當θ→±90°時，矩陣元素C11、C21、C32及C33同時趨近於零，二元反正切函數是不確定的。這時，可以按其他條件任意選擇或ψ，另一個角度由下列ψ與的差或和來確定： θ→+90°時，ψ-=arctan2(C23-C12,C13+C22) θ→-90°時，ψ+=arctan2(C23+C12,C13-C22)
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