隨機作用力和位置無關，但F(t)均值為零
朗之萬方程(Langevin’s equation) 描述布朗運動
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粘滯阻力仍來自介質分子對顆粒的碰撞，將顆粒看作半徑為a 的小球，在粘滯系數為η的流體中運動，則有
上式稱為斯托克斯公式(stokes’s law)。
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當不存在其它外力時F’(t)=0，朗之萬方程為
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將上式對大量顆粒子求平均，即把大群顆的運動方程相加然後用顆粒數去除，加一橫線表示求得的平均值。注意求平均與對時間求導數的次序可以交換，即
與t成正比是隨機過程的典型結果
另解
且由能量均分定理 
得 
C 為積分常數，
所以γ-1 為系統的特徵時間常數。
所以γ-1 為系統的特徵時間常數。
假定在系統中的每一個粒子開始運動於x=0在t=0，故x為從初始位置的位移量，常數C可得 : 0=C + k T/α C=-Kt/α 代入
再次積分可得最後結果
If t <γ-1 則 
If t <<γ-1可得 
t >>γ-1 ,e –γt -> 0，則簡單可得
for t >>γ-1 可得 
而由擴散方程(diffusion equation) 可導出<x2>=2Dt，這樣的關係式比較可得到擴散的相對係數
從這個關係我們可以得到 
設布朗顆粒是半徑為a的小球，
, 則
, 則
布朗顆粒(膠體物質)的密度ρ為1.19×103kg.m-3,
a的平均值為3.67×10-7m，
液體介質(水)的粘滯係數η為1.14×10-3Pa.s。
α/m=3.2×107s-1。因此在短的時間後(例如t >10-6s)，則上式的第二項便可以忽略
如果假設所有的粒子在t=0時都處在x=0處，即x描述顆粒的位移，便得C2=0
在一維中以n(x , t)表布朗顆粒的密度，以J (x , t)表布朗顆粒的流量(單位時間內通過單位截面的顆粒數)。菲克定律給出(diffusion equation)
兩式聯立，得 
此為擴散方程，設t=0時，顆粒均位在x=0處，即
n(x,0)=Nδ(x)
擴散方程在初始條件下的解為
上式表明，顆粒的密度分佈是與t有關的高斯分佈，隨著t的增加，顆粒逐漸向兩邊擴散。由上式可求得顆粒位移平方的平均值 
上式與朗之萬理論的結果
若粒子帶電荷e 且處在一均勻電場ε中，則朗之萬方程變為 
將兩邊取平均值，且考慮穩定態時d
/d t =0,使得 
/d t =0,使得
這証明了
αε。這遷移性(mobility)μ
/ε, 可得
αε。這遷移性(mobility)μ/ε, 可得
遷移性μ和擴散係數D (D =
)均有α，我們以此連結這二個係數(μ，D)
)均有α，我們以此連結這二個係數(μ，D)
Einstein relation
對於狀態變數p1…p n 在偶然選定的一個時刻處於一個n重的無限小區域(dp1 …d p n)中的機率，下列方程成立
(1) 
用Adα來表示在偶然選定的一個時刻參數α的值處在α和α+dα之間的機率。於是
(2) 
(I) 
對於在一個偶然選定的時刻α的值處於α和dα之間的機率，有一個類似於方程(2)的關係式:
在N個體系中，有
(I a) 
個體系的參數α的值在一偶然選定的時刻落在α+dα之間。
如果有一個力F作用在一個半徑為a的球上，而這個球是懸浮在摩擦係數為k的液體中的，那末它就會以速度F/6πka運動著。因此我們可以置 
如果有動量矩D作用在一個半徑為a的球上，這個球能夠在摩擦係數為k的液體中繞軸旋轉的角速度是 
我們從而必須置 
因此我們得到
關於
公式有效的極限
公式有效的極限
所選取的時間t愈短，這個假定就愈難站得住腳。如果確實在時間z=0時，變化速度的瞬時值是
又如果在以後的某個時間間隔內，變化速度β不受不規則的熱過程的影響，而β的變化僅僅取決於被動阻力(1/B), 那末，對於dβ/dz，這樣的關係式會成立：
這裡，μ是由μ(β2/2)應該對應的變化速度β的能量這一規定來定義的。因此，比如在懸浮球的平移動的情況，μ(β2/2)就是球的動能連同被球帶動的液體的動能。由積分得到
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