第三章【股價變動過程及Ito 定理】 3.1 Wiener Process
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第三章【股價變動過程及Ito定理】
3.1 Wiener Process
由實證得知，股利、利率及匯率變動過程呈現隨機行為而無法預測，它的變
動過程可用一種隨機過程(Stochastic Process)來代表。其中一種是Wiener
Process又稱Standard Browian Motion(標準步朗運動)，因此Wiener過程是
random walk 的極限型態。如果把”位置”看成是股票價格，則股價在連續時
間下的隨機走步正是Wiener Process。
1. Random Walk:
1. 擲硬幣 (離散 random walk)
= +1 i R (正面) ； = −1 i R (反面)
0
2
1 1
( ) =
−
\ = i E R
1 ( ) [ ( )] 1 0
2
(1 0) ( 1 0)
( ) 2 2
2 2
= = − = −
− + − −
= i i i Var R E R E R
( ) = 0 i j E R R (表示第i 次投擲不受第j次影響)
2. 令i S 為投擲第i 次後之總金額
( 0 0S = ,表示一開始的金額=0)
( ) ( ..... ) ( ) ( ) ... ( ) 0 1 2 1 2 = + + + = + + + = i i i E S E R R R E R E R E R
( ) ( ) [ ( )] ( ) [( ... ) ] 2
1 2
2 2 2
i i i i i Var S = E S − E S = E S = E R + R + + R
= ( ) ( ) ... ( ) 2 2
2
2
1 i E R + E R + + E R
=1+1+…+1 = i
*註: (1.) [ ( )] 0 2 = i E S
(2.) ( ( ) = 0) i j QE R R 兩兩相乘項=0
0
1
-1
1 2 3 4 5 6
2
3. 若已投擲5 次，則6 次投擲之預期金額
6 1 2 5 5 E(S│R ,R ,...,R ) =S (條件期望值)
1 2 6 1 2 5 5 6 5 E(R + R +...+ R│R , R ,...,R ) = S + E(R ) = S
4. random walk 之特性
a. Markov property (馬可夫特性)
( S , ,..., ) ( S ) 1 2 1 =1 ⇒ =
i i i i E S│ S S E S│
即:表示i 次投擲之總金額只跟前一次(i-1)次總金額有關。
b. Martingale (平賭)
j j 6 5 5 E(S S , j i ) S , : E(S S ) S i ⇒ │ < = 例│ =
即:表示給定5 次投擲後確定總金額資訊下,則未來6 次投擲的期望總金額為目前確定擁
有的金額。
5. Quadratic Varition
Σ
=
− −
i
j
j j S S
1
2
1( )
S 1 1 1 − = ± = − │ ││ │ j j Q S (第j次投擲金額不是+1 就是-1)
S S i
j j \ − = + + + =
− Σ( ) 1 1 ... 1 2
1
※ Continuous-Time random walk ⇒ Wiener Process (Brownian Motion)
(即時間切得很細時，原本離散時間的random walk,會是連續時間的布朗運動。)
令 (1.) t 時間投6 次⇒每次花
6
t
時間投擲
(2.) 正反面結果=
6
6
t
( ) S
6 j 1
t
S
t
j ± ⇒ − = ± = − 每次│ ││ │
t
t
S S
j
j j \Σ − = × =
=
−
2
6
1
2
1 )
6
( ) 6 (
一般化: t
n
t
S S n
n
j
j j Σ − = × =
=
−
2
1
2
1 ( ) ( )
當n 愈大 →
n
t
n
t
愈小, (每次花的時間愈少)
3
⇒ ®¥ ( ®0)
n
t
n ,則為Continuous-Time Brownian Motion
\E(S(t)) = 0 Var(S(t)) = t
其中S(t)表示時點t,投擲硬幣之總金額
2. Wiener Process的定義:
給定(Ω,F,P),W=﹛ t W :tÎ〔0,T〕﹜是一個Wiener Process
要符合下列條件:
I. 有限時間
II. 連續的隨機過程(不同時間下,各種不同狀態的過程) 二維度
III. Markov (馬可夫) E( x(t)│x(t-1), x(t-2), … ,x(0) ) =E( x(t)│x(t-1) )
IV. Martingale (平賭) E(x(t│) x(t -1)) = x(t -1)
V. Quadratic Variation 二次變異
x t x t t j
n
j
j − ® −
=
Σ 2
1
1
[ ( ) ( )] 從0開始，P( 0 W =0)=1 。
連續寫法: dx S x t x x t t
t
∫ ( ) = ( ) − (0) = ( ) = 2 2 2
0
2 註: x (0) 0 2 =
VI. 在兩個不重疊的時段，Dt及Ds，W的增量t DW 及s DW 是獨立的。
此處t DW = t W - t−1 W
s DW = s W - s−1 W
4
VII. 其增量符合平均為0，變異數為時間段落的常態分配。
t W - s W ~N(0,t-s) for 0 £s<t
故Wiener Process是一個 stationary and independent incremental Normal
Distribution with mean 0 and variance equal to time span.
3. Wiener Process的特性及相關概念:
I.
t W 的邊際分配為N(0,t)
從定義得知t W = t W - 0 W ~N(0,t)
故E( t W )=0 E( 2
t W )=t
註1: 從Wiener Process 定義得知
E( t W - s W )=0
Var( t W - s W )=E( t W - s W ) 2 =t-s
註2:E( t s WW )=s, 0 £s<t
而E( t s WW )是來自於Cov( t s W ,W )= ( ) ( ) ( ) t s t s E WW − E W E W
= E( t s WW )
5
Q E( t s WW )=E〔( t W - s W + s W ) s W 〕
=E( t W - s W ) s W +E( 2
s W )
=0+s=s
II.
t1 W , t 2 W ,… tk W 的聯合機率密度函數等同於t1 W , t 2 W - t1 W ,…, tk W - tk −1 W
Õ=
−
−
−
−
− −
−
=
k
i i i
i i
i i
t t k t t
x x
t t
f x x
k
1 1
2
1
1
... 1 2( )
( )
exp
2 ( )
1
( ... )
1 p
，這裡0 0 0 t = x =
III. Wiener Process是martingle:
證明:若0£s<t
E( t W s F )=E( t W - s W + s W s F )=E( t W - s W ) s F + s W
=E( t W - s W )+ s W
= s W
IV. Wiener Process的樣本路徑是連續的，但任一點皆不可微分
因為 t dW =W(t + dt )-W(t )~N(0, dt )
故 t dW = dt ε t , ε t ~N(0,1)
而
dt
dWt =
dt
d dt t ( e )
=
dt
1
ε t
6
當dt 趨近於0 時，
dt
dWt 會無窮大，這意謂在很短時間內， t W 的變動是
無窮大的，亦即t W 是不可微分的，故Wiener Process 的樣本路徑是非常
崎嶇的。
4. Generalized Wiener Process
t dX =a dt +b t dZ
a dt 為隨時間成長部分
b t dZ 為無法預測部分，這裡t dZ 為隨機項
E( t dX )=E(a dt +b t dZ )= a dt +bE( t dZ )=a dt
Var( t dX )=Var(a dt +b t dZ )=b 2 Var( t dZ )=b 2 Var(ε dt )= b 2 dt
\ t dX ~N(a dt , b 2 dt )
4. Stochastic Integral (隨機積分)
定義: ( ) ( ) ( )
0
w t f z dx z
t = ∫ …….(1)
註: f(z):與時間z 有關的函數；dx(z):布朗運動
將(1)式對t 微分,dw(t) = f(t)dx(t)，其中 dx(t)表示x 的增量，且服從常態
分配N( 0 , dt )
隨機微分方程式: dw(t) = g(t)dt + f(t)dx(t)
加入趨勢項
7
5. Ito integral
1. 定義: 若有一函數為X(t)，而積分源為Brownian Motion，則積分式可
寫成
∫T
X t dB t
0
( ) ( )，舉例來說:如果X(t)=1，則其Ito integral為
( ) ( ) (0) ( )
0
dB t B T B B T
T
∫ = − = ；若將此概念做推廣，令X(t)為一常數C， 其
Ito integral 為C[B(T) − B(0)]。
而Ito Intergral 是選擇在時間分割中每一小段的”左端點”作為評估點，而為何要
取左端點呢?以下圖來說明:
如果我們想知道1 t 時的股價，而1 t 左端點也就是前一期0 t 的資訊一定早已被知道，
所以取0 t 的資訊當成是1 t 時股價的評估點，同樣的，我們要預測n+1 t 的股價，也
就必須先知道左端點n t 的資訊，這是因為未來的變化都是建構在現在的資訊之
上。
2、Ito Intergral 的特性:
I. "a ÎR,b ÎR, ∫ +
t
S S S X Y dW
0
(a b ) = ∫ t
S S X dW
0
a + ∫ t
S S Y dW
0
b
II. 0 £ u £t, ∫ t
S S X dW
0
= ∫ u
S S X dW
0
+ ∫ t
u
S S X dW
III. Ito Intergral 是一個martingle
當0£ u £t, E〔u
t
S S ∫ X dW F 0
〕s = ∫ u
S S X dW
0
8
例題: ∫ t
S S W dW
0
=
2
1 2
t W -
2
1
t
所以E〔∫ t
S S W dW
0
u F 〕=E〔
2
1 2
t W -
2
1
t u F 〕
而E( 2
t W u F )=E〔( t W - u W ) 2 +2 t W u W - 2
u W u F 〕
=E〔( t W - u W ) 2
u F 〕+ 2
u W
=t-u+ 2
u W
因此E( 2
t W -t u F )= 2
u W +t-u-t
= 2
u W -u
\原式= E〔
2
1 2
t W -
2
1
t u F 〕=
2
1
E( 2
t W -t u F )=
2
1
( 2
u W -u)
故Ito Intergral 是一個martingle
例題:E〔∫ t
S S X dW
0
〕=E〔∫ t
S S X dW
0
0 F 〕= ∫ 0
0
S S X dW =0
IV. E〔∫ t
S S X dW
0 ∫ t
S S Y dW
0
w
u F 〕=E〔∫ t
w
S S u X Y dS F
0
〕
對u=0，則此特性意謂:E〔∫ t
S S X dW
0 ∫ t
S S Y dW
0
〕=E〔∫ t
S S X Y dS
0
〕
這就是兩個Ito Intergrals的共變異數。
例題:求Var(
0
t
∫ XS dWS )
Sol:因為 E〔
0
t
∫ XS dWS 0 F 〕= ∫ 0
0
S S X dW =0
故Var(
0
t
∫ XS dWS )=E〔
0
t
∫ XS dWS 0
t
∫ XS dWS 〕=E〔∫ t
S X dS
0
2 〕
9
6. It oˆ Lemma
衍生性商品價格變動過程可由Itoˆ Lemma 來推導，在過程中須先對泰勒展
開式有所認知。
1. 泰勒展開式:
) (x f =Σ
¥
=0 !
(0)
K
k
k
x
k
f
在0 的位置展開
® f (x + 0) = + − +
¢¢
+ ¢ + − + 2 ( 0 0)
2!
(0)
(0) (0)( 0 0) x
f
f f x …
同理
( ) ...
2!
( )
( ) ( ) ( )( ) 2 + − +
¢¢
+ = + ¢ + − + dx x x
f x
f dx x f x f x dx x x
( ) ...
3!
( )
( )
2!
( )
( ) ( ) 2 3 +
¢¢¢
+
¢¢
= + ¢ + dx
f x
dx
f x
f x f x dx
所以 ( ) ...
3!
( )
( )
2!
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 +
¢¢¢
+
¢¢
= + − = ¢ + dx
f x
dx
f x
df x f dx x f x f x dx
2. 內容:
假設某隨機變數x 的變動過程可由Itoˆ Process 表示:
dx ax dt bx dW t t = +
令x 為某種衍生性商品價格(如:買權.賣權.期貨)
df (x, t) = f (dx + x, dt + t) − f (x.t)
...
2
1
2
2
2
1 2
2
2 2
2
2
2
+
¶
¶
+
¶ ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
= dt
t
f
dxdt
x t
f
dx
x
f
dt
t
f
dx
x
f
2 ( )
2
1
f dx f dt f dx x t xx = + + ...............此為衍生性商品價格變動過程
10
註1：在連續時間下(Dt ®0 )
dx × dt = 0
0 2 dt =
及其他高次項也會等於0
※在此例子可歸納出一個簡單的表格，在衍生性金融商品中的評價應用中相當廣
泛。
dt t dW
dt 0 0
t dW 0 dt
註2： t t t t dx = μx +sx dW
t t t t t t dx x dt x dW x dtdW 2 2 2 2 2 2 2 2 ®( ) = μ +s ( ) + 2μ
x dt t
2 2 =s
( ) 0 3 ® = t dx , if n³ 3
因此，衍生性商品價格變動過程可改寫成:
2
2
2
( )
2
1
( , ) dx
x
ft
t
f
dx
x
f
df x t
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
2
2
2
( )
2
1
( ) t t t t t t x dt x dW
x
f
dt
t
f
x dt x dW
x
f
μ s μ +s
¶
¶
+
¶
¶
+ +
¶
¶
=
t t t t x dW
x
f
x dt
x
f
x
x
f
t
f
μ s s
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
= )
2
1
( 2 2
2
2
例題：假設股價變動過程為t dS = t μS dt + t dW ，設f=㏑ S，此為一衍生性商品，
其隨機變動過程可由Itoˆ Lemma 求得
11
= 0
¶
¶
t
f
，
S
f
¶
¶
=
S
1
， 2 2
2 1
S S
f
= −
¶
¶
，
接這些微分代入Itoˆ Lemma 中
d ㏑ S=〔2
2
1 1 1
0 ( ) ( ) ( )
2
S S
S S
μ s
−
+ + dt +(
S
1
) t sSdW
2
( )
2
dt dWt
s
= μ − +s
代表瞬時變量d ㏑S為期望值為 )dt
2
(
2 s
μ − ，變異數為 dt 2 s 的常態分配
即為d ㏑S~N〔)dt
2
(
2 s
μ − , dt 2 s 〕
此隨機變動過程隱含股價的動態變動過程。
若時間是從現在t 到未來時間T
對d ㏑ t S = t dt sdW
s
= μ − ) +
2
(
2
積分
∫
T
t
d ㏑ t S = ∫
T
t
d ㏑ v S = ∫
T
t
)dv
2
1
( 2 μ − s + ∫
T
t
s dWt
⇒㏑ T S -㏑ t S = [ ] T t μ − s )(T − t) +s W −W
2
1
( 2
告訴我們: ㏑ T S ~N〔㏑ t S + )( )
2
1
( 2 μ − s T − t , ( ) 2 s T − t 〕
⇒ T S = t S exp〔[ ] 1 2
( )( )
2
T t μ − s T − t +s W −W 〕
這說明了股價本身為對數常態分配
例題：
股票遠期契約價格( ) ( , ) r T t f S t S ke − − = − ，求該遠期契約的價格變動程式
解:
step1: r (T t ) rke
t
f − − = −
¶
¶
， = 1
¶
¶
S
f
， 0 2
2
=
¶
¶
S
f
Step2: 由Itoˆ Lemma
df
12
( ) 2
2
1
df (S, t) f dt f dS f dS t S SS = + +
( ) 0 ( ) = − + + − − rke dt dS r T t
( ) ( ) ( )
t
r T t = −rke dt + μSdt +sSdW − −
t
r T t = μS − rke dt +sSdW − − ( ) ( )
若兩資產之動態過程
dt dxt
S
dS
1 1
1
1 =u +s
⇒ ⇒ dx × dx = rdt
1 2 考量兩資產有相關
dt dxt
S
dS
2 2
2
2 =u +s
若( , , ) S , , ? 1 2 1 2 v S S t 受S t影響，則dv =
利用Ito’s Lemma
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 1
1
2
2
2
1
1
[ ( ) ( ) ( )
2
1
dt
t
v
dS
S
v
dS
S
v
dt
t
v
dS
S
v
dS
S
v
dv
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
2 2 2 ] 2
2
2
1
2
1 2
1 2
2
dS dt
S t
v
S t
v
dS dS
S S
v
¶ ¶
¶
+
¶ ¶
¶
+
¶ ¶
¶
+
dS dS S S dt
dS S dt dx
dS S dt dx
t
t
s s r
u s
u s
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1 1
( )
( )
× =
= +
= +
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