Antiderivatives and Indefinite Integrals 反導數和不定積分

到目前為止在文中，你應該對這個問題感到興趣：給定一個方程，找到他的反導函數。在微積分中有很多重要的運用牽涉到相反的問題：給定一個方程的反導函數，找到這個方程。舉列來說

f'(x) = 2 g'(x) = 3x² 和 s'(t) = 4t

你的目標是定義這些方程 f, g 和 s 。透過有根據的猜測，你可能得到以下的結果。

$\begin{displaymath}\begin{aligned} & f (x) =2x & \quad & \hbox{因為} &\quad & \f... ...&\hbox{因為} &\quad & \frac{d}{dx}[2t^{2}]=4t \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

給予一函數 f ，求出一函數 F 使得 F' = f 。若這樣的函數存在，則它稱為 f 的一反導函數 antiderivative。

-0.2cm定義反導函數

函數 F 稱為 f 的反導函數，假如針對定義域上的每一個點 x，我們有

F'(x) = f (x)

如果 F(x) 是 f (x) 的一個反導函數，則 F(x) + C ， C 是任意常數，亦為 f (x) 的反導函數，舉例來說：
F(x) = x³ G(x) = x³ - 5        和        H(x) = x³ + 0.3

都是 3x² 的反導函數，因為每個的微分都是 3x² 。當事實表明，所有 3x² 的反導函數都是以 x³ + C 型式存在。也就是說反導函數並非唯一，而是一群常數項不同的的方程式

反導函數及不定積分的符號

求反導函數的過程也稱為積分，這個符號
$\displaystyle \int$     稱為積分符號

這個符號

$\displaystyle \int$ f (x)dx     稱為不定積分符號

f (x) 的不定積分，也可以說是 f (x) 的反導函數群，如果 F'(x) = f (x) 對於所有的 x ，則我們可以寫成下面的型式：

$\displaystyle \int$ f (x)dx = F(x) + C

f (x) 是被積分函數，而 C 則是不定積分常數。 dx 則是不定積分中變數的變化量, $\int$ f (x) 則是 f 根劇 x 的反導函數而 ${\frac{dy}{dx}}$ 是 y 根據 x 的導函數

-0.2cm反導函數的積分符號

$\displaystyle \int$ f (x)dx = F(x) + C

C 是任意的常數， F 是 f 的反導函數，如果 F'(x) = f (x) 對於所有在 f 定義堿裡的 x 都成立

範例 1
反導函數的符號
使用積分符號，我們可以利用本章節最一開始給定的三個例子寫出他們的反導函數

(a)

$\int$ 2dx = 2x + C

(b)

$\int$ 3x²dx = x³ + C

(c)

$\int$ 4tdt = 2t² + C

尋找反導函數

利用積分和微分的關系我們可以找到下面的式子
$\displaystyle {\frac{d}{dx}}$ [ $\displaystyle \int$ f (x)dx] = f (x)     �L分�O積分的反�B算�C

$\displaystyle \int$ f'(x)dx = f (x) + C      積分�O�L分的反�B算�C

根劇微分和積分的相反關系我們可以得到下面的一下常用的公式

-0.2cm基本積分公式

1.

$\int$ kdx = kx + C      k�O常數常數定理

2.

$\int$ kf (x)dx = k $\int$ f (x)dx      常數乘法定理

3.

$\int$ [f (x) + g(x)]dx = $\int$ f (x)dx + $\int$ g(x)dx      積分�M定理

4.

$\int$ [f (x) - g(x)]dx = $\int$ f (x)dx - $\int$ g(x)dx      積分差定理

5.

$\int$ xⁿdx = ${\frac{x^{n+1}}{n+1}}$ + C n $\neq$ -1      指數定理

確定 Simple Power Rule 不能使用在 n = - 1 的情況下，所以你不能用 Simple Power Rule去計算

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{1}{x}}$ dx

要計算此積分必須使用 Log Rule

範例 2
找尋不定積分

(a)

$\int$ 2dx = 2x + C

(b)

$\int$ 1dx = x + C

(c)

$\int$ - 5dt = - 5t + C

範例 3
找尋不定積分

$\displaystyle \int$ 3xdx

解

$\begin{displaymath}\begin{aligned} \int 3x = 3 \int x dx\\ & = 3 \int x^{1} d... ...{x^{2}}{2} ) + C \\ & \frac{3}{2} x^{2} + C \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

在找尋不定積分的過程中，也許會找到不同的或較為複雜的常數如例題 3 我們可以改寫成
$\displaystyle \int$ 3x = 3 $\displaystyle \int$ xdx = 3( $\displaystyle {\frac{x^{2}}{2}}$ + C) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ x² + 3C

然而 C 可以是任何的常數，如果我們把所有的常數都整合成一個C，你可以寫成簡單的 ${\frac{3}{2}}$ x² + C 。

範例 4
先改寫後再積分
求反導函數

(a)

$\int$ ${\frac{1}{x^{3}}}$ dx

(b)

$\int$ $\sqrt{x}$ dx

解

$\begin{displaymath}\begin{aligned} &\text{給定積分式子} &\qquad & \text{整理} &\... ... + C &\qquad &\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3C\\ \end{aligned}\end{displaymath}$

使用五個基本的積分規則，你可以對任何多項式做積分，我們來做幾個題目

範例 5
多項式的積分

(a)

$\int$ (x + 2)dx

(b)

$\int$ (3x⁴ - 5x² + x)dx

解

(a)

使用積分和定理

$\begin{displaymath}\begin{aligned} \int (x+2) dx & = \int x dx + \int 2 dx\\ & = \frac{x^{2}}{2} + 2x + C \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

(b)

使著使用每個積分基本定理

$\begin{displaymath}\begin{aligned} \int ( 3x^{4} - 5x^{2} + x ) dx &= 3 \frac{x... ...} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

範例 6

求

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{x+1}{\sqrt{x}}}$ dx

解     將原本的分數分成兩個，將兩個分數均寫成指數型式

$\begin{displaymath}\begin{aligned} \int \frac{x+1}{ \sqrt{x} } dx & = \int ( \fr... ...2}{3} x^{ \frac{3}{2}} + 2x^{ \frac{1}{2}} + C\\ \end{aligned}\end{displaymath}$

特殊解

你己經知道方程有很多解決辦法，而每一個答案只是常數項的不同而己這表明了一個 f 的任兩個反導函數的圖型在垂直方向有所不同。圖 5.1 顯示下列反導函數的幾個形式

y = F(x) = $\displaystyle \int$ (3x² - 1)dx = x³ - x + C

這些反導函數是 ${\frac{dy}{dx}}$ = 3x² - 1 的解
在積分的運算過程你被給定很多的資訊去計算特別的解為了達成這件事，你需要知道 F(x) 中一個 x 的解 (這個訊息被叫為起始條件) 例如，在圖 5.1 只有一修曲線透過點 (2.4) ，為了找到這條曲線，使用下列訊息。

$\begin{displaymath}\begin{aligned} F (x) & = x^{3} - x + C \\ F (2) & = 4 \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

透過在這個一般的解決辦法方面使用起始條件，你能確定那

F(2) = 2³ - 2 + C = 4

暗示那

C = - 2

因此，特解為

F(x) = x³ - x - 2

範例 7
找尋特別解
求

F'(x) = 2x - 2

的一般解，並找到一個特別解滿足

F(1) = 2

解     開始積分找到一般解

$\begin{displaymath}\begin{aligned} F (x) & = \int ( 2x - 2 ) dx \\ & = x^{2} - 2x + C \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

使用起使條件 F(x) = 2 ，你可以寫成

F(1) = 1² - 2(1) + C = 2

我們得到C=3，所以特別解是：

F'(x) = x² - 2x + 3

這個解決辦法在圖 5.2 被圖示顯示。注意到每條灰色的曲線描述一個方程式

F'(x) = 2x - 2

的解決辦法不過黑色的曲線是透過點 (1.2) 的唯一的解決辦法，這表示

F(x) = x² - 2x + 3

是這唯一滿足起始條件的解

F(x) = x² - 2x + 3

應用
在第二章節，你使用一般位置對一個下降的物體起作用，

s(t) = - 16t² + v₀t + s₀

當 s(t) 表示高度 (英尺) ，且 t 是表示時間 (秒) .在下一個例子裡，綜合用來得到這個功能。

範例 描述一個位子的方程

如圖 5.3 中所示，一個球在離地面 80 英尺以初速 64英尺/秒被拋出描述時間 t 與高度 s 的位置關係。試問球何時擊地？
解     令 t = 0 為起始時間，我們可以得到兩個起始條件

$\begin{displaymath}\begin{aligned} s (0) & = 80 \\ s' (0) & = 64 \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

因為加速度由於重力是每秒-32英尺/秒，你有如下內容。

$\begin{displaymath}\begin{aligned} s'' (t) = 32 \\ s' (t) & = \int -32 dt \\ & = -32t +C_{1} \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

使用起始速度你可以計算 C1 = 64

$\begin{displaymath}\begin{aligned} s' (t) & = -32t + 64 \\ s (t) &= \int ( -32t + 64 ) dt \\ & = -16t^{2} + 64t +C_{2} \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

使用起始高度，可以得到 C2 = 80，因此這個位置方程是：

s(t) = - 16t² + 64t + 80

找到球擊地的時間，讓這個位置方程等於 0 且解這個方程

$\begin{displaymath}\begin{aligned} -16t^{2} + 64t + 80 & = 0 \\ -16 ( t + 1 ) ( t - 5 ) & = 0 \\ t& = -1 \qquad t = 5 \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

因為時間一定為正，所以你可以計算球擊地的時間是丟被拋出去後 5 秒

範例 9

製造 x 個單位的產品，所需花費列式如下

$\displaystyle {\frac{dC}{dx}}$ = 32 - 0.04x

其中製造一個單位需花費 50 元。請求出製造 200 個單位需要花費多少?

解     先將 ${\frac{dC}{dx}}$ 積分，求出函數 C

$\begin{displaymath}\begin{aligned} C & =\int (32-0.04x) dx \\ & =32x-0.02x^{2}+k \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

用初始條件，當 x = 1 時， C = 50 代入去解 K

$\begin{displaymath}\begin{aligned} 50 & =32 (1) -0.02 (1) ^{2}+k \\ 18.02 & =k \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

所以

C = 32x - 0.02x² + 18.02

當 x = 200 時

$\begin{displaymath}\begin{aligned} C & =32 (200) -0.02 (200) ^{2}+18.02 \\ & =5618.02 \\ \end{aligned}\end{displaymath}$

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math 2005-10-10

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Saturday, July 13, 2013

math01 f (x) 的不定積分，也可以說是 f (x) 的反導函數群，

Antiderivatives and Indefinite Integrals 反導數和不定積分

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