u ( x , t )即為所求的位移函數(displacement function)
PDE-1
偏微分方程式（Partial Differential Equations）
到目前研究之物理系統主要都是以常微分方程式敘述。現在本章將一些特殊物理現象之描述
用偏微分方程式加以分析，在物理工程上，一些參數值假設常導成常微分方程式，而連續分佈量
之假設（譬如：一個場）常導致偏微分方程式（簡稱PDE），例如變形的固體、電磁場、流體力
學、空氣動力、污染物之擴散、振動及熱傳導等等。本章將作PDE 的基本觀念介紹，然後用變
數分離法配合傅氏級數之展開解一些工程上常見的線性PDE，當然若處理非線性PDE 唯有靠數
值分析（譬如：有限差分法或有限元素法）來求其數值解了。因工程上所遭遇之問題以二階線性
PDE 居多數，故以下各節中將逐步導論述種重要PDE 之建立及其解法。
▓偏微分方程式的概念（Concepts of P.D.E）：
PDE 的基本名稱：含有二個或二個以上自變數之函數的一個或一個以上偏導述所組成之方程式，
稱為偏微分方程式。
例如： 2 2 0
2
2
2
u x
y
u
u
x y
u
xy
x
u
u
其中u=（x , y）為x , y 的函數。其階、次、齊次之判斷如下：
1.最高階偏導數的階，稱為此PDE 之階（order）。而最高階偏導數的次，稱為此PDE 的次
（degree）。上式為二階一次PDE。
2.每一項中只含函數或含偏導數且為一次者，稱為線性PDE，否則稱為非線性。上式為非線
性PDE。
3.每一項皆含有函數或其偏導數者，稱為齊次PDE，否則稱為非齊次PDE。上式為非齊次
PDE。
▓工程上常見的線性二階PDE：
一維波動方程式： 2
2
2
2
2
x
u
c
t
u
,即要求出函數u(x,t)=?
一維熱傳導方程式： 2
2
2
x
u
c
t
u
,即要求出函數u(x,t)=?
二維Laplace 方程式： 0 2
2
2
2
y
u
x
u
,即要求出函數u(x,y)=?
二維Poisson 方程式： ( , ) 2
2
2
2
f x y
y
u
x
u
,即要求出函數u(x,y)=?
三維Laplace 方程式： 0 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
,即要求出函數u(x,y,z)=?
其中c 為參數，t 為時間，而x、y、z 為直角座標。除了二維Poisson 方程式為非齊次方程式，
其餘皆為齊次P.D.E。
◎One-DimensionWave Equation（一維波動方程式）：
求解PDE 的方法有：
PDE-2
變數轉換法
傅利葉級數法
拉卜拉式法
分離變數法
4.
3.
2.
1.
u 拉開後
t=0 彈性弦(拉開前)
A B x
x=0 x=L
L=弦長
Given:
最初條件( ,0)......... ( ,0) ( )..., 0
邊界條件( . )......... ( , ) 0...., ( . ) 0
運動方程式..............
0
2
2
2
2
2
t t
u
u x u x f x
B C u o t u l t
x
u
c
t
u
(Boundary Condition) & (Initial Condition)
其中u ( x , t )即為所求的位移函數(displacement function)
任意時間（0 振動停止之時間）
任意一位置（0 與L 之間）
Solution：Assume u ( x , t ) = F( x ) * G( t )
則
F G
x
u
F G
t
u
2
2
2
2
代回M.E(運動方程式) (Motion Equation)
F GC2 FG ,
( )
( )
( )
( )
2 F x
F x
C G t
G t
=定值=比例常數=k
只討論此項
無物理意義
0....
0
0....
當k<0 時才存在有價值解答(不為零的解)，令k=-P2
We obtain,
( ) 0............(2)
0...................(1)
2 2
2
2 2
P G CP G
C G
G
P F P F
F
F
(O.D.E)
由(1)式D2 P2 0....D pi (共軛虛根) 通解F(x) Acos pxbsin px.. B.C(空間變數)
D2 (CP)2 0 G(t) Ccos pt Dsin pt.. I.C(時間變數)
先看滿足B.C
( , ) 0 ( ) cos sin 0 sin 0
(0, ) 0 (0) cos0 0 0 0
u l t F l A pl B pl B pl
u t F A Bsion A
0..強迫sin 0 1.2.3..... (為多值)
l
m
B pl pl m m p
PDE-3
( ) sin m 1.2.3........
l
m x
F x B m
,
l
x
F x B
l
x
F x B
l
x
F x B
3
( ) sin
2
( ) sin
( ) sin
3
2
1
u ( x , t ) = F( x ) * G( t ) , 0 0 0 0
t t F G F G G
t
u
又GCCP(sin pt)DCPcos pt ,t=0 代入CP0DCP10 D 0
( ) cos m 1.2.3........
l
m x
G x C m
,
l
t
G t C
l
t
G t C
l
t
G t C
3
( ) cos
2
( ) cos
( ) cos
3
2
1
可以找出滿足M.E 及2 個B.C 及1 個I.C 的解
........ 3 . 2 . 1 cos sin ) ( ) ( ) , (
m
l
m t
C
l
m x
u x t F x G t B m m m
( , ) sin cos m 1.2.3........
l
C t
l
m x
u x t E m
m
又I.C. u(x,0) f (x).得( ) sin 1
l
m x
f x E
l
m x
f x
E
sin
( )
常數(不符合要求)
.
3
cos
3
( , ) sin
.
2
cos
2
( , ) sin
( , ) sin cos .
3
2
1
l
t
l
x
u x t E
l
t
l
x
u x t E
l
t
l
x
u x t E
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u
….…………..(1)
疊加原理（Superposition Principle）:
若u1 為(1)式的第一解, u2 為(1)式的第二解
即2
1
2
2
2
1
2
x
u
c
t
u
….……..(2), 2
2
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u
….……..(3)
(2)+(3) 2 1 2 1 2
2
2
2 1 2
2
( ) (u u ) u u
x
u u c
t
亦是(1)式的一個解
設所求的( , ) ...... 1 2 3 u x t u u u
PDE-4
1 1
( , ) ( , ) sin cos
m
m
m
m
m l
C t
l
m x
u x t u x t E
I.C ). ( ) 0 , ( x f x u 代入，
1
( ) sin
m
m l
m x
f x E
In Fourier Series , we know
1
( ) sin
m
m l
m x
f x B
L
m xdx
L
m
f x
L
B
0
( ) sin
2
(定積分→常數) ,即 L
m xdx
L
m
f x
L
E
0
( )sin
2
ex.（90）中央
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