氫原子內的電子能階。當n = 1 時，E1稱之為基態能量(ground state energy)。而當n = ¥
時E¥ = 0，此時代表電子已經脫離氫原子核的範圍，或稱之為游離狀態
普通物理實驗講義
2013-02-25 1 / 6
原子光譜與普朗克常數
目的：
本實驗中將實際進行光譜量測。除了接觸光譜測量所需之光學系統與技巧之外，並由實驗數據推
算普朗克常數的過程，加強對於Bohr的氫原子模型的了解。
原理：
本實驗是利用｢光譜儀｣觀察原子光譜。實驗中所觀察的光譜，是由氫氣放電管所輻射出來
在可見光範圍的｢巴爾麥系列｣（Balmer series）譜線。利用所觀測的光譜線波長，可以推算｢蒲朗
克常數｣（Plank's constant） h 的值。
A. 氫原子模型
波爾(Bohr)在1913 年提出一個理論模型，來解釋氫原子內部的結構。他的主要假設是：
1. 原子中的電子在庫倫力下，以圓形軌道圍繞原子核運動。
2. 電子運動的軌道周長，因需符合駐波的條件而被量子化。其相關的角動量L等於nh 2p 。
3. 如果電子由一個能量較高的軌道（能量為Ei）跳至能量較低的軌道（能量為Ef），會以電磁
波的方式釋放出能量。其頻率為( ) i f n = E - E h。
根據Bohr的模型，電子環繞原子核的向心力即為彼此之間的庫倫力。所以
2 2
2
0
1
4
e mv
pe r r
= (1)
m 為電子質量，v 為電子的運動速度，r 為軌道半徑。而電子的角動量L 為L = mvr，而且角動量
需符合駐波的條件，所以2 , 1,2,3..... n L = mvr = nh p n = 。根據以上的想法，而電子在的第n 層軌
道的總能量En，可以用電子的動能與位能的關係來表示為
2
2
0
1 1
2 4 n
n
e
E mv
pe r
= - (2)
結合(1)式與角動量的結論化簡之後，總能量En又可改寫為
4
2 2 2
0
1
, 1, 2,3....
8 n
me
E n
e h n
= - = 。(3)
(3)式即為氫原子內的電子能階。當n = 1 時，E1稱之為基態能量(ground state energy)。而當n = ¥
時E¥ = 0，此時代表電子已經脫離氫原子核的範圍，或稱之為游離狀態。如果電子由n = ¥ 之能
階躍遷進入氫原子內n = 1 的電子能階，則可能會釋放出的能量為
4
1 2 2
0
~ 13.6 eV
8
me
E E E
¥ e h D = - =
約相當於波長 91 nm的紫外光能量。
本實驗將觀察氫原子光譜中的｢巴曼系列｣(Balmer Series)。此系列為電子由n > 2 的能階躍
遷至n = 2 的能階時，所輻射出的電磁波。其波長涵蓋可見光的範圍，用肉眼即可觀測。此系列
的譜線波長，如表一所示。譜線波長的關係為
4
2 3 2 2
0
1 1 1
, where 2
8 2
me
n
l ce h n
= - >
. (4)
普通物理實驗講義
2013-02-25 2 / 6
表一、氫原子光譜的｢巴曼系列｣(Balmer Series)波長表。
Transition of n 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2
Name H- H- H- H- H- H- H-
Wavelength (nm) 656.3 486.1 434.1 410.2 397.0 388.9 383.5
B. 光譜儀
（部分內容摘譯自PASCO: “Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific
Model SP-9268A - STUDENT SPECTROMETER”）
光譜儀可以將各色光分開的原因，是利用｢光柵｣（grating）或是｢稜鏡｣（prism）的色散特
性，將光束中各個不同波長的光偏折到不同的角度上。
本實驗所使用的光譜儀，其光路簡圖如圖一所示。將送入光譜儀進行測量的光束，由光源
（light source）出發，經過｢準直器｣（collimator）後成為一平行光束（parallel beam）。此平行
光束會以較小的發散角前進，使光束的強度比較不會因為行進距離而衰減。當此光束照射到光柵
（或稜鏡）之類的｢色散元件｣（dispersion element）之後，光束將依波長的差異而被偏折到特定
角度。
在色散元件之後，有一個望遠鏡（telescope）可以收斂原來經過準直的平行光束。而準直器
前方的｢狹縫｣（collimator slit），會被觀察者的眼睛成像在視網膜之上。當要進行光束波長的測
量時，則需要轉動望遠鏡的角度位置，使望遠鏡對準狹縫。然後利用光譜儀的角度位置，再進一
步推算所對應之波長。望遠鏡是否已經對準，可以利用視窗內垂直方向的黑色細線(vertical cross
hair)來做為依據。
光譜儀的照片如圖二所示。光束在進入光譜儀時，首先需要通過｢狹縫｣（collimator slit）。
此狹縫的位置在Slit plate 的中央，其方向應該為上下的方向。此狹縫的寬度可以利用｢Slit width
adjust screw｣來調整。原則上，狹縫寬度越細小，波長測量的精準度會比較高，可是通過的光強
度會比較弱，較不好觀測。因為本實驗所使用的光源是一個細長狀的發光體，建議一開始的時
候，可以嘗試移動整個光譜儀，直到進入的光束最亮最多的位置，再進行後續的調整。
光束在通過 collimator 之後，將照射到色散元件—光柵。光柵擺設的位置，以光柵可以容
納全部的光束截面為原則。光柵平面的角度，必須垂直光束的行進方向。光柵下方的｢Spectrometer table｣有三個旋鈕可以調整光柵的傾斜角度。光柵如果有傾斜的情形，可能會使後方
的繞射無法維持水平，使 telescope 的對準動作產生困擾。Spectrometer table 的高度，也可以下
方支撐桿的伸長程度進行調整。
當光束通過色散元件之後，隨即進入｢Telescope｣。建議在光譜儀架設初期，先將｢Eyepiece｣
圖一 光譜儀的光路圖
普通物理實驗講義
2013-02-25 3 / 6
內的黑色細線對準光束沒有被光柵偏折的透射部分。此部分即所謂之｢中央亮帶｣，或｢第零階繞
射的光點｣。此時，｢游標尺｣(Vernier scale)上的角度讀數，將為之後實驗的角度位置原點。黑色
細線(vertical cross hair)如果有傾斜，可嘗試旋轉｢Eyepiece｣的角度進行修正。如果狹縫的影像不
夠清楚，可以利用Collimator 或Telescope 上的Focus knob 進行焦距的調整。
光譜儀上的角度游標尺，其精度為｢1 minute of arc｣( or 1/60 degree)。例如圖三的讀數為
155°15’或是155 + 15 ´ 1/60 度。
如果光譜儀所測量到某個單色光束的角度為q，而所使用的光柵上的線條間隔為a，則該光
束的波長為
a sin
m
l = q 。m為繞射階數。若光柵為300 lines/mm，則a = 3.3´10-3mm。
建議在zero diffraction 的位置兩側，都要進行繞射角度的測量。其角度位置應該是一樣的，
可以利用此結果確認實驗設備的功能是否正常，如圖四所示。
圖三 角度游標尺的刻度
圖二 光譜儀
普通物理實驗講義
2013-02-25 4 / 6
實驗儀器：
1. 氫氣放電燈具，一座
2. 光譜儀，一座
3. 光柵，一片
4. 水平儀，一個
5. 手電筒，一個
注意事項：
※ 氫氣放電燈開啟後，燈座的接點處會有高電壓。請勿接觸，避免觸電！
※ 嚴禁用手指碰觸氫氣放電燈管。
實驗內容：
A. 架設光譜儀與氫氣放電燈
1. 將氫氣放電燈與光譜儀的 slit 大致對準後，即可開啟氫氣放電燈的電源。
※ 此氫氣放電燈之電源為數千伏的高壓電，比較有｢觸電｣的風險。
※ 請在電源開啟前，將此放電燈之周圍淨空。電源開啟之後，此高壓放電燈座請盡量
不要移動
※ 放電燈管嚴禁用手碰觸。切記 !
2. 氫氣放電燈管放電之後，可以被本實驗運用來觀察的放電區，是位於燈管中央長約 2 ~ 3
cm、寬度約為1 mm的細長放電部分。
此段放電區的顏色的正常顏色是紫色的。當燈管老化時，部分放電區的顏色則開始會偏
白，呈紫色放電的區域會逐漸縮短。
因此，建議在進行燈管與狹縫的對準工作時，請留意放電燈管的紫色放電區域與狹縫是
否對準。
3. 在進行放電燈與 slit 的對準步驟時，建議可以先以肉眼直接透過 collimator 觀察。移動
二者的相對位置，直到透過的光強度最亮為止。
有必要時，可以將 slit 的角度做適當的旋轉，使其與燈管的方向重合。
此放電燈的光強度較弱，以肉眼直視尚不至於有立即的傷害。
4. 以 telescope 對準 collimator，並經由 eyepiece 中的 vertical cross hair 對準 slit 的影像。
圖四 繞射角度的測量圖
普通物理實驗講義
2013-02-25 5 / 6
對準的操作，建議利用光譜儀上的 lock screw 與 fine adjust knob，比較能夠精細調整。
此步驟另請注意下列兩點：
☉ 可再度觀察 slit 的影像是否有傾斜，並進行微調。
☉ Slit 寬度也是可以調整的。Slit 較細的話，比較利於 cross hair line 的對準，這樣子
測量出來的角度比較準確。可是 slit 太細的話，透過的光會比較少、亮度不夠，對
於天生就比較暗的譜線，就不利於觀察。因此，在兩者的影響之下，請自行決定一
個適當的 slit 寬度，以進行後續實驗。
5. 對準之後，紀錄角度游標尺的刻度。此為角度位置的｢原點｣。
☉ 之後實驗的觀測結果，全部都是以此原點來記錄觀測的角度數值，所以請確實做好
此原點的對準工作。
6. 將 grating (光柵) 放置於光譜儀中央之 spectrometer table 。放置時，請注意下列幾點：
☉ 請紀錄 Grating 的規格。(?? lines/mm )
☉ 請確定 Grating 使入射光色散的方向是正確的，才可以利用telescope移動角度的方
向來進行觀測。
☉ 請留意 Grating 的平面，需要與入射光的方向垂直。
☉ 利用 Spectrometer table 下方的旋鈕與支撐桿，可以調整 Grating 的高度與傾斜角
度。
☉ 實驗中可能觀察到的光譜，可以參考下列網址的照片。
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Visible_spectrum_of_hydrogen.jpg
B. 光譜測量
1. 將 telescope 往某一側移動，並尋找所有出現的光譜線。
(移動 telescope 時，請留意角度游標尺是否有移動。正確的情況是只有附尺移動，主尺
的部分是必須鎖定不可以移動的。)
2. 以 telescope 內黑色的 cross hair line 對準其中某一譜線之後，紀錄｢角度｣、｢繞射階數
m｣。請儘量觀察到m 最高的階數。
☉ 繞射階數m 的數值，是依照多狹縫繞射的原則來判讀的。
角度原點是對準所謂光柵繞射的｢中央亮帶｣，這個時候的m = 0，或可形容為此色
光的｢第零階繞射｣。
當 telescope 的角度位置，由原點持續增加至某個色光譜線出現第一次時，則此時
為此色光的m = 1，或可形容為此色光的｢第一階繞射｣。
如果再持續往更大的角度移動，則這個色光的譜線還會再度出現，不過可能會比較
暗一些。出現第二次時，則m = 2，或可形容為此色光的｢第二階繞射｣。以此類推更
高的繞射階數。
在角度原點的兩側，通常m 的數值是以正、負號來進行區分。為了方便，通常考
慮在遵守光柵分光的關係式
a sin
m
l = q 的規則下，維持l 是大於零的數值，再來決
定不同側的角度所關聯的m 值正、負號。
☉ 進行某一個角度的測量時，請重複三至五次，以取得平均值與誤差。
☉ 也請記錄觀察到的譜線，所有相關之任何特徵。如顏色、亮度等等。
☉ Slit 的寬度可以在正式進行測量之前進行修正。較細的 slit，較容易以 vertical cross
hair 對準，測量的精準度會比較好。但其缺點是可通過的光會比較少，亮度不夠的
時候也不利於觀測。
3. 將 telescope 移往另一側，並重複上述步驟。
No comments:
Post a Comment