伽利略变换式意味着t=t"，在这里我们定义了一个与参考系无关的绝对的时间。实际上，绝对时间的假设还必然会引出长度具有绝对性的结论，即物体的长度也与参考系无关。经典力学正是建立在这样一种绝对时空观基础上的，而伽利略变换就是它的具体体现。

伽利略变换式意味着，在这里我们定义了一个与参考系无关的绝对的时间。实际上，绝对时间的假设还必然会引出长度具有绝对性的结论，即物体的长度也与参考系无关。经典力学正是建立在这样一种绝对时空观基础上的，而伽利略变换就是它的具体体现。

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§2.5  伽利略相对性原理和非惯性系

一 伽利略相对性原理

对于一个封闭船舱内所发生的现象，伽利略曾生动地描绘道：“即使船运动得相当快，在跳跃时你也将和以前一样。在船底板上跳过相同的距离，你跳向船尾也不会比跳向船头来得远，虽然你跳在空中时，脚下的船底板向着你跳的相反方向移动。……水滴将像先前一样滴进下面的罐子，一滴也不会滴向船尾。”

在一个相对于惯性系作匀速直线运动的参考系内部，所发生的一切力学过程都不受系统作匀速直线运动的影响。

不可能利用在惯性系内部进行的任何力学实验，来确定该系统作匀速直线运动的速度。

伽利略相对性原理(力学相对性原理)：力学定律在所有惯性系中都是相同的。

推论：相对于一惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系。

力学规律对于一切惯性系都是等价的，不存在特殊的绝对的惯性系。

 

二 伽利略变换

上述等价性并不是说在不同的惯性系中所看到的现象都是相同的。同一物体的运动轨道和运动速度，在不同惯性系中看来显然可以是不同的。

我们有必要建立关于一个事件在两个惯性系中的两组时空坐标之间的变换关系。

 

事件：某一时刻发生在空间某一点上的一个事例。

在四维时空空间中，一个事件对应于一个时空点。

 

在§1-2中讨论相对运动时，我们导出了质点在两个相互作平移的参考系(惯性系或非惯性系)中的位矢、速度和加速度之间的变换关系式。

现在，我们来讨论两个相对作匀速直线运动的惯性参考系和之间的变换关系。

由于坐标轴的取向可以任意选择，我们取x和轴沿相对速度的方向。若把矢量式[(1.24)和(1.25)]

 

和  

写成分量形式，并将时间关系也明确地表达出来，即得两惯性系和之间的时空坐标变换关系式为：

 

该变换称为伽利略变换，它给出了同一时空点在惯性系和中时空坐标之间的变换公式。

绝对时空观：伽利略变换式意味着，在这里我们定义了一个与参考系无关的绝对的时间。实际上，绝对时间的假设还必然会引出长度具有绝对性的结论，即物体的长度也与参考系无关。经典力学正是建立在这样一种绝对时空观基础上的，而伽利略变换就是它的具体体现。

图2 - 14 伽利略变换

在涉及到运动速度接近或等于光速的物理过程时，必须用相对论及其时空观来取代经典力学及其时空观，这时就要用洛伦兹变换来取代伽利略变换。

力学规律对于一切惯性系的等价性：根据伽利略变换，可得速度和加速度的相应变换式分别为：

  ,

  .

由此可见，在不同的惯性系中，牛顿第二定律不仅有相同的形式，而且F, m和a各量都保持不变。同时，在伽利略变换下，动量守恒定律以及其他动力学规律的形式也都保持不变。

 

三 非惯性系

惯性系：研究地面上一般物体在不太长时间内所进行的力学过程时，可以把地球看成是近似程度相当好的惯性系。

非惯性系：在要求较高精度的问题中，特别是在研究大气环流等大尺度的运动时，我们必须考虑到地球的非惯性系因素的影响。

牛顿运动定律只在惯性系中成立。原则上，我们可以以惯性系为基础，处理在非惯性系中物体运动的力学问题。

目标：用普遍的物理考虑(引进惯性力的概念)，使我们能够用统一的(牛顿运动定律)形式来处理非惯性系和惯性系中物体运动的力学问题。

出发点：具体讨论非惯性系相对于惯性系的运动。

固联在地面上的参考系，其原点O随着地球的自转而绕地轴C作圆周运动，其坐标架的运动可以分解为随原点的平移和围绕原点的转动两部分。

一般而言，一个参考系的运动，可以看成是由两部分组成的：

1 ) 跟随原点的平移，即固联在参考系上的任一直线在各时刻的方向始终保持平行的运动；

2 ) 坐标轴围绕原点的转动。

图2 - 15 坐标架的运动分解为平移加转动

几点结论：

1 ) 加速平移的后果是产生惯性力，

2 ) 转动的后果是产生惯性离心力和科里奥利力。

惯性力与质点的速度无关，而科里奥利力却依赖于质点的速度。

 

四 加速平移参考系中的惯性力

假设非惯性系相对于惯性系S以加速度平移，则质点在系和S系中的加速度和a满足式

  .

在惯性系S中，牛顿运动定律成立，我们有

              .

在非惯性系中，牛顿第二定律的上述表达式可以写为

                或               .

如果我们设想有一个附加的力 ¾¾ 惯性力

             

作用在质点上，则在非惯性系中，牛顿第二定律又在形式上恢 复了，即

  .

式中是质点在非惯性系中所受到的总有效力，它是物体之间的相互作用力F 与惯性力F_i 的合力。

由于惯性力的引入，使我们能够利用相同形式的运动方程来描述物体在惯性系和非惯性系中的运动。

惯性力的重要特征是它的大小与物体的质量成正比，这一特征使惯性力与引力类似。

实质上，在非惯性系中惯性力的效应，从惯性系来看完全是惯性的一种表现形式。

 

五 惯性离心力

水平圆盘以匀角速w 绕过圆心的垂直轴转动，质量m的小球用长度R的绳子与转轴相连，“静止”在圆盘上（为此，必须设法使小球具有当地的切向速度）。

由圆盘外(惯性系)的观测者1看来，小球m以匀角速w 随盘转动，绳子施于小球的拉力提供了小球作匀速圆周运动所需要的向心力，即

  .

若以圆盘这个非惯性系为参考系，小球是静止的。

由随圆盘一起转动的观测者2看来，除了绳子拉力F外，可以设想小球还受到了惯性离心力F_i的作用，F_i与F大小相等，方向相反，使小球得以“平衡”。于是，在圆盘参考系中的观测者2看来，惯性离心力F_i的引进使牛顿第二定律(既使在非惯性系中)在形式上仍然成立，即

  ,

  .

图2 - 16 惯性离心力

 

六 科里奥利力

如果物体相对于匀角速转动参考系在作相对运动，那么在该转动参考系中的观测者看来，物体在受到惯性离心力作用的同时，还将受到科里奥利力的作用。

( 1 ) 科里奥利力的起因

在绕垂直轴O以匀角速w 转动的圆盘上，一质点m以速度沿半径OC相对于圆盘作匀速移动。

1 ) 惯性系

由圆盘外惯性系中的观测者来看，质点m同时参与了两个运动：以速度相对于圆盘的运动，以及随圆盘的运动。

在时间内，质点m由A点运动到了B点，所经过的距离为; 与此同时，圆盘相对于惯性系转了一个角度，半径OC转到了，因而质点m实际上到达了点。

分析：

如果圆盘不转，在末质点到达B点。

如果质点相对于圆盘不动，则在末质点到达点。

质点m同时参与了两个运动，似乎在末质点应该到达点// AB)，但实际上质点到达了点，为什么？

原因：

质点m在沿直径移动的过程中，距转轴O的距离r在不断地增大，质点因圆盘转动而获得的切向速度也在不断地增大(切向加速度切向力)。

切向加速度的估算：

图2 - 17 科里奥利力

质点m在内所走过的附加路程为

  ,

在极限情况下，可以应用匀变速直线运动公式，即

  .

比较以上两式，可得

  ,

其方向与质点相对于圆盘的速度垂直并指向右。

切向力F_t 的来源：

为使质点m获得这个切向加速度，必须对它施加一个向右的切向力

  .

实际上，人们常把质点m放在圆盘上的径向方槽中，该切向力是由槽壁提供的。

如果我们不设法约束质点m，则该质点非但不可能沿半径相对于圆盘作匀速直线运动，甚至不可能随圆盘一起转动。

在圆盘从静止开始到匀速转动起来的过程中，为了使质点随之运动，必须对质点施加向心力和切向力；为使质点相对于圆盘运动，还必须施加这里所指出的切向力

  ，

同时施加使其相对于圆盘运动的其他力。在匀角速转动的圆盘这个非惯性系中的观测者看来，情况又将如何？

2 ) 非惯性系  科里奥利力

在匀角速转动的圆盘这个非惯性系中的观测者看来，质点m所作的是沿半径的匀速直线运动。

必须设想有一个附加的力(科里奥利力)F_C与槽壁施加的切向力F_t 平衡，它的大小为

  ,

其方向与质点m相对于圆盘的速度垂直但指向左，使得

  .

( 2 ) 科里奥利力的普遍表达式

在普遍的情况下，当质点m以任意取向的速度相对于转动参考系运动时，科里奥利力可用以下矢量式表示：

  ,

式中的矢量w 是转动参考系的角速度，表示矢量与w 的矢积。

图2 - 18 右手螺旋法则

1 ) 科里奥利力的方向：

矢量w 以及的方向均由右手螺旋法则确定。

2 ) 科里奥利力的大小：

由上式可得，科里奥利力的大小为

  ,

其中q 是矢量与w 之间的夹角。

      

图2 - 19 北半球F_C          图2 - 20 信风           图2 - 21 旋风

3 ) 科里奥利力的应用：

如图2 - 19所示，无论物体向哪个方向运动，

地球北半球上，F_C总是指向物体行进方向的右侧；

地球南半球上，F_C总是指向物体行进方向的左侧。

由此可以说明，为什么在北半球河流右岸被冲刷得比较严重，以及在赤道附近信风(见图2 - 20)和在北半球上旋风(见图2 - 21) 的形成的原因。

为了证实地球的自转，1851年傅科在巴黎万神殿的圆拱屋顶上悬挂了一个长约67 m的大单摆，摆锤是质量为28 kg的铁球。尽管相对于惯性系(例如日心参考系)来说，单摆的摆动平面是保持不变的，但人们在地面上观察时却发现，傅科所悬挂的摆的摆动平面不断地在作顺时针方向的偏转，这就是著名的傅科摆。

图2 - 22 摆面轨迹

可以证明，在纬度j 处的傅科摆，由于地球自转，其摆面每天转过的角度是弧度。在北京天文馆里的傅科摆的摆长为10 m, 其摆动平面每隔37 h 15 min转动一周。

本章习题(共9题)：2 - 3，4，7，9，10，13，15，18，20.