圓盤轉速=旋度, 若F1、F2、F3 的導函數存在, 定義F 的旋度

http://www.amath.nchu.edu.tw/~tdoc/lecture/Ch23/23-3%E6%97%8B%E5%BA%A6%E8%88%87Laplacian%E9%81%8B%E7%AE%97%E5%AD%90.pdf

2-1 導函數的介紹

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授課內容

1.

導函數的概念昰牛頓為了解決瞬間速度的問題而導出。 假設一物體沿著直線 ...

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CH3---導函數

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第三章導函數. 1.導函數:即是某函數之斜率函數。該函數的求法係利用求極限的手. 段,求取曲線上之斜率. 定義:導函數的物理意義就是斜率，是故只要取高除以底之 ...

http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ocw_files/100S111/100S111_CS57L01.pdf

23-3 旋度與Laplacian運算子

旋度（Curl）

已知 為可微分函數 zyxF,,

1.旋度定義與計算：

kRjQiPkzjyixF

或 RQPzyxkjiF

展開得

kyPxQjxRzPizQyRRQPzyxkjiF

2.旋度之物理意義：

圓周運動：

考慮一旋轉之圓盤，轉速為kji321

則在圓盤上任一點P，其位置向量kzjyixr處之速度向量為

kzjyixkjirv321

或

kxyjzxiyzzyxkjirv211332321

2. 圓盤轉速：即為旋度

若已知圓盤之任一點P處之速度場，為kxyjzxiyzv211332

則此圓盤之轉速為

22321211332kjixyzxyzzyxkjiv

3.定義：非旋場（Irrotational field）

若，則稱0FkzyxRjzyxQizyxPzyxF,,,,,,,,,稱為非旋場(Irrotational field)，又稱保守力場（Conservative Field）。

Compute the curl of the vector kxyzjxiy222

解答：

已知 kxyzjxiyF222

代入旋度定義 22422ijkFxziyzjxyzyxxyz 

Laplacian 運算子

Laplace 運算子定義 kzjyixkzjyix

得 2222222zyx

定義：Laplace方程式

若，則稱為Laplace方程式。 02

其中函數zyx,, 稱為諧和函數(Harmonic Function)。

若 2yz，請證明222110rr

解答:

先求梯度 rrrrr32111

再取散度 333111rrrrr 

433333330rrrrrr

Let vector kzjyand . ixr222zyxr

Find nr2，0r，for ,3,2,1n

解答：

依定義 nnrr2

其中梯度 11nnnnrrnrrnrnrrr 

代入 rnrrnrrnrrnnnn2222

3223nnnnrrrnr

21nnnr

Let f be a scalar field and F is a vector field. Indicate which of the following are scalar fields, vector fields, or meaningless. (a)curlF(b)(c)cu curlgradfrlcurlF

解：

(a) vector field

(b) vector field

(c) vector field

Show that0divfg

解：

fgfgfgfgfgfgfgyzzyxzzxxyyxijk

因此

fgfgfgfgfgfgdivfgxyzzyyxzzxzxyyx

0

Let236uxy, Evaluate (a) u (b) u

解：

(a)

2326uuyx

(b)

為零運算子其結果為0 u

求 C22xCyeixyzjxzk

解：

22xijkCxyzyexyzxz

22xxyixzjyzyek

練習題：

1. u is a scalar field and is the Laplacian operator. Evaluate 2u2for yxeyxu,

解答：

已知 22222yuxuu

代入 yyyyxexexeyxexu022222

2.計算，其中rsin2 222zyxr。

解答：

依定義 rrsinsin2

其中梯度 rrrrrrcoscossin

代入 rrrrrrrrrrcoscoscossin2

其中 rrrrrrrrrrrr32cossincossincos

代入得 rrrrrrrrrcos3cossinsin32

整理得 rrrrcos2sinsin2

3.函數是否為諧和函數（Harmonic Function） ? 233,xyxyxu

解答：

已知 233,xyxyxu

則 066,22222xxyuxuyxu

故函數為諧和函數。233,xyxyxu