3.3.3 速度迁移概率与Fokker-Planck 方程
我们现在利用 Markov 过程的扩散性质和迁移概率的概念来讨论速度空间
的扩散过程。
从 Brownian 运动的朗之万方程
d
dt
V V f （3.25）
出发，我们可以形式地得到这个方程的解
( )
0
0
( )
t
V V e t d e t f ，
并得到所谓“长期解”
( )
0
0
( )
t
U V V e t d e t f 。 （3.48）
从这个“长期解”我们可以定义速度迁移概率
( ;t) e (t )。 （3.49）
由中心极限定理，我们得到速度空间的“位置”概率密度
2
2
3/2 3
2
2
( ) 3
2
U
U W e
U
U 。 （3.50）
而这里的均方“位移”显然是
2 2
0
U V V e t
d d ( )f ( ) ( )f ( )
d d ( ) ( ) f ( )f ( )
d d ( ) ( ) 2D ( )
2 2 2
0
( ) 1
2
t
D d D e t
。（3.51）
这里用到了“随机力”f ( )具有Gaussian 概率分布形式的假设。即其关联函数
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) i j B ij f f k T D 。
则（3.50）可以写成
2
0
2
3/2 | |
2 1
2 ( , )
2 1
t
t
B
m e
k T e
t
B
W t m e
k T e
V V
V 。 （3.52）
显然，其长时间行为即为 Maxwellian 分布；弛豫时间则为1/ 。
对（3.52）作微分运算，得到，
2
2
2 W 3 W W D W
t
V
V V
2
2
2 ( W) ( DW)
V
V V
。 （3.53）
这个方程被称为 Fokker-Planck 方程。显然（3.52）是Fokker-Planck 方程的
Green 函数解。对比（2.18），显然有
v
V ， 2
2
D
v v
。
这就是为什么我们称（2.18）右边第一项为“摩擦力”，第二项为“速度空间扩
散”。
3.3.4
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