Monday, February 24, 2014

pde 卫生巾 鸭舌帽 用矩阵的理论来讨论n 元二次齐次多项式，即所谓的二次型, 正定阵就是对称双线性函数的矩阵


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第八章

course.shufe.edu.cn/jpkc/jcjx/gdds/skjyPDF/ch8.pdf - 轉為繁體網頁
本章将利用矩阵的理论来讨论n 元二次齐次多项式，即所谓的二次型. ... （2）. 将f 化成标准方程. (1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程 .... 子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式. (2) ...


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第五章 二次型 讲2周

210.44.176.183/jpkc3/lxy/.../第五章%20%20二次型.ppt‎

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在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程为 ... （2）. 把方程（1）化成标准型。 二次齐式在其它学科如物理、力学中也经常用到。

  • 第10问：二次型的标准型和规范型考研资料下载-跨考考研

    d.kuakao.com/pub/shuxue/111943.html‎

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    2013年11月5日 - 《第10问：二次型的标准型和规范型》由跨考教研团队精心整理，希望考生们能够从中找到自己所需要的资料，跨考下载频道预祝各位考生都能取得优异 ...

  • 化二次型为标准型的方法_百度文库

    wenku.baidu.com/view/e7434671a417866fb84a8e77.html - 轉為繁體網頁
    2011年11月18日 - 本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一， 二次型的基本问题是 ...

  • 化二次型为标准型的方法_百度文库

    wenku.baidu.com/view/d677bdc4da38376baf1fae25.html - 轉為繁體網頁
    2012年12月17日 - 化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是ax ? 2 b x y ...

  • 把二次型化为标准型_搜索_中华文本库

    www.chinadmd.com/search.do?nkey=把二次型化为标准型‎

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    超過 10 筆 - ... 医药文本 · 办公文本 · 科技文本 · 考试文本. 把二次型化为标准型.
    化二次型为标准型的方法_免费下载.
    二次型化为标准形的几种方法.
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    化二次型为标准形的雅可比(Jacobi)方法1 1 引入

    220.161.122.70:8000/jpkc/.../2011514195230878.pdf‎

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    我们将研讨用双线性函数化二次型为标准形的新方法及其在判定二次型的正定性. 问题上的应用。 ... 化二次型X. ⊤. AX 为标准形的问题可以归结为上述中心问题？
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    第5章

    math.shu.edu.cn/jpkc/.../高等代数多媒体课件%5Cch5.ppt‎

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    二次型. 更一般的问题： 数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题→ 本章中心问题: n元二次 ...
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    第九章二次型

    sxx.scun.edu.cn/jpkc/gdds/uploadfiles/9.doc‎

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    一般的n 元二次型化为标准型问题在很多工程问题中有广泛的应用,而n 维欧氏空间 .... 问题：任给F上一个二次型能否象解析几何中讨论有心（中心与原点重合、或否）二 ...

  • 2013考研高等数学长线基础02-标准二次型与化为标准二次型方法ok ...

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    2013考研高等数学长线基础02-标准二次型与化为标准二次型方法ok[
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    第八章

    course.shufe.edu.cn/jpkc/jcjx/gdds/skjyPDF/ch8.pdf - 轉為繁體網頁
    本章将利用矩阵的理论来讨论n 元二次齐次多项式，即所谓的二次型. ... 在解析几何中, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线的一般方程是. 2 ... （2）. 将f 化成标准方程. (1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用

    • 正定矩阵怎么理解较好？
    whale|抛砖引玉的砖

    来自: whale|抛砖引玉的砖 2008-12-22 19:51:54

    10人 喜欢
    • Hwa:欧迪在哪儿？

      Hwa:欧迪在哪儿？ 2008-12-22 19:52:51

      讨论线代的人好多啊
    • Hwa:欧迪在哪儿？

      Hwa:欧迪在哪儿？ 2008-12-22 19:53:37

      特征值都大于零，多好看啊
    • whale|抛砖引玉的砖

      whale|抛砖引玉的砖 2008-12-22 19:53:49

      是啊
      我的悟性比较差，如果大家都来讨论的话，就会比较清楚点
    • Hwa:欧迪在哪儿？

      Hwa:欧迪在哪儿？ 2008-12-22 19:56:22

      没想过为什么要发明，但是满秩的东西就是很好嘛，算起来也很好算，看着就爽
    • 四爷

      四爷 (……) 2008-12-23 14:17:32

      为什么？其实矩阵这套东西，就是先发明出来，然后才发现有用的
    • whale|抛砖引玉的砖

      whale|抛砖引玉的砖 2008-12-26 13:51:53

      谢谢ls的关注，我想知道这样做的目的和意义是什么
    • arinya

      arinya 2008-12-26 14:56:44

      如果我们认为正定二次型是椭圆，那么这种说法不知道是否能赋予你意义？
    • arinya

      arinya 2008-12-26 14:58:49

      楼主很有想法，希望能将这些问题整理一个答案出来。本来我有一点笔记，今天找了一下，想起来前几天认为可能没有用，将它删除了。
      后悔中……
    • Being-Human

      Being-Human 2008-12-27 15:20:07

      唉，不懂。

      想当初研究一篇论文，其中的矩阵运算，看了一年多愣是没看懂。从此对自己有了更实际的评价。

      含泪奔过
    • 敛秦

      敛秦 (彟龘瞾) 2008-12-27 15:27:03

      一个欧氏空间的本质？判定后，可以就对矩阵作其它分析，结果就能给出此空间中的规律，并且可以信任结果是此空间内普适的？
    • 楚天舒

      楚天舒 2009-01-22 03:56:26

      特征值反映了矩阵的很多本质东西，
      正定矩阵在计算上有很多很好的性质。
    • newone

      newone (认真是美德) 2009-01-24 00:07:46

      物理上有应用

      数学上就按定义理解,正定矩阵,就是正定的矩阵,很清楚么~~~
    • eulen

      eulen (好吧我承認哥是個重口味怪蜀黍) 2009-01-24 22:11:14

      LS的，不对称咋定义的正定？
    • Everett

      Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:35:35

      我来说一个正定矩阵在物理上的应用。

      物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。

      作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。

      好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
      为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
      作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。
    • Everett

      Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:59:48

      嗯，还有一个例子，就是量子力学。

      量子力学的数学基础之一是Hilbert空间。Hilbert空间是一个内积空间。向量和自己的内积也是二次型，一般都是正定的。更装逼一点地说，就是Hilbert空间的度规是正定的。但是在相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波函数和自己的内积可以是负的，整个量子力学的测量理论都要为此而改写。

      一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
    • 鸟枪换炮

      鸟枪换炮 (天子万年百姓花钱) 2009-01-24 23:02:28

      以后学了高维概率论就知道了，有些重要分布（e.g.正态分布）一般必须定义于正定矩阵，最次也得是非负定的。

    • [已注销] 2009-01-25 09:18:49

      这个就...ls还是把它当作线代习题证明一次吧.
    • eulen

      eulen (好吧我承認哥是個重口味怪蜀黍) 2009-01-25 17:49:04

      2009-01-25 01:08:47 瘦头陀|我在顺义有棵树 (北京) 　　2009-01-24 22:11:14 eulen≡猫头鹰枭|人在天津 (天津) 　　
      　　LS的，不对称咋定义的正定？
      　　
      　　嗯？我记得定义是说一个矩阵，对于任意非零向量，左右分别乘上向量的转置和向量本身，永远大于零，这就是正定了，不需要对称的。

      ---------------------------------
      我看到的定义是对称阵然后才分别左乘再右乘。。。。
    • 栋栋

      栋栋 2009-01-25 19:20:29

      平稳随机过程的自相关函数也是正定的
    • 楚天舒

      楚天舒 2009-01-25 23:46:31

      正定矩阵的重要性看来是在实践中发现discovered，而不是发明invented的。一切人为的东西都难免有斧凿的痕迹，只有上帝创造者乃自然天成。
    • 荒野大嫖客

      荒野大嫖客 (Je pense donc je suis!) 2009-12-20 15:59:46

      我建議從雙線性函數的角度來看,
      因為不論是二次型還是正交變換, 實際上都可以統一的理解到雙性性函數來, 而進一步的, 我們就會想到會不會和算子有關? 會不會有空間的理論有關, 那麼由此引出用特徵值來描繪一下:
      A正定 iff. 其每個特徵值均為正數!
      為什麼呢? 比如\lamda是特徵值, 那麼\alpha^{'}A\alpha=\alpha^{'}\lamda\alpha, 整理成\lamda的式子就得到了.
      好了, 再進一步, 我們又知道, 對於對稱矩陣而言, 一定正交相似於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n}, 那麼對於正定矩陣呢?
      首先, 可以看到正定矩陣正交合同於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n};
      然後, 再看看, for each k\ge2, 一定有A=B^k, 其中B為正定矩陣

      當然, 如果你還記得矩陣的QR分解, 那麼除了你先前明白的正定陣可以表為P^{'}P, P為可逆陣, 還可以進一步的發現正定陣可以表為R^{'}R, R為正線上三角陣

      至於說到應用, 別的不說, 就來談談比較兩個簡單的數學應用好了:
      1.分析裡講到的多元函數極佳法的原理;
      2.解析幾何對二次曲線的分類討論
      etc...

      如果你是念數學科的, 建議你多看看泛函方面的知識, 如果實在不行, 看看矩陣論之類的書應該也行
    • 楚天舒

      楚天舒 2009-12-21 09:23:51

      正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
      半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
      不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。

      线性代数的理论在历史上发展的比较晚。而线性几何则很久了。
    • songtao

      songtao (初恋的感觉真好，哈哈~) 2009-12-21 11:33:46

      这个讨论我喜欢。
    • [已註銷]

      [已註銷] 2009-12-21 17:42:19

      2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
      正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
      半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
      不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
      ------------------------------------------------------------------------------------------------------
      這個比較有趣。
    • whale|抛砖引玉的砖

      whale|抛砖引玉的砖 2009-12-22 19:21:12

      2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
      正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
      半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
      不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
      ----------------
      good!
    • 王柯羅

      王柯羅 2013-12-08 23:17:23

      对多维函数的极大值和极小值的判断有用。
    • 牧城的格致传说

      牧城的格致传说 (客里似家家似寄) 2013-12-09 10:30:29

      @Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。” 貌似闵氏度量是负定的。特征值的trace才是正定的。前者表明时空是不一样的，后者说明因果律只在小于或等于光速下适用。这个例子有点欠妥。

      正定矩阵其实物理上的地位还远不如幺正和厄米（厄米的exponential是幺正，或者说幺正的生成元是厄米，所以这俩焦不离孟）。其实正定矩阵本身就是厄米矩阵的一种，只不过其本征值都是正的实数。厄米矩阵的本征值是实数。因此类比数域的话，在矩阵中，正定矩阵相当于正实数，厄米矩阵相当于实数，而幺正就相当于复数了。所以一般学习的话都是先学正定矩阵，随后推广到厄米，再推广到幺正。
    • Aikilis

      Aikilis (头像不是本人。) 2013-12-09 11:39:12

      如果f(x,y)满足f(ax+by,z)=af(x,z)+bf(y,z)，且f(x,y)=f(y,x)。就说f是对称双线性函数，

      事实上引入双线性函数是为了对点积进行抽象，你验证下点积是不是符合这两个性质？但是除此之外，点积还要满足f(x,x)>0，除非x=0，那么满足这个条件的对称双线性函数就叫做正定的。所以正定对称双线性的引入是为了在线性空间中引入度量成为所谓的欧氏空间。

      你要注意到，一个双线性函数，实际上完全由它在线性空间的基处的值决定，也就是f(bi,bj)的值决定了整个f(x,y)。自然我们可以把f(bi,bj)排成矩阵，那么这个矩阵就完全决定了这个双线性函数。

      正定对称双线性函数的矩阵，我们成为正定矩阵。

      这就是背后动机（一种理解）。

      您看看。

      正定阵就是对称双线性函数的矩阵。你知道这点就行了，要在线性空间上引入度量形成欧氏空间
    • 暴走的天气

      暴走的天气 (把你的脸踩在脚下。) 2013-12-09 19:23:42

      都讲了好高深 我粗俗的以为线代一本书都在讲解方程
    • PR

      PR 2013-12-11 22:17:37

      @Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的 @Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。” 貌似闵氏度量是负定的。特征值的trace才是正定的。前者表明时空是不一样的，后者说明因果律只在小于或等于光速下适用。这个例子有点欠妥。 正定矩阵其实物理上的地位还远不如幺正和厄米（厄米的exponential是幺正，或者说幺正的生成元是厄米，所以这俩焦不离孟）。其实正定矩阵本身就是厄米矩阵的一种，只不过其本征值都是正的实数。厄米矩阵的本征值是实数。因此类比数域的话，在矩阵中，正定矩阵相当于正实数，厄米矩阵相当于实数，而幺正就相当于复数了。所以一般学习的话都是先学正定矩阵，随后推广到厄米，再推广到幺正。 ... 牧城的格致传说
      是的，一阶Hermitian矩阵其实就是实数，一阶正定阵就是正数，半正定就是非负数

    • 静听佩鸣 2013-12-26 14:02:58

      xTAx > 0嘛，正定矩阵就是这么来的吧，是说左边的式子一定是正的

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