从 Brownian 运动的Einstein 分析认为这种类型的运动是一个典型的无规
行走问题。最简单而又普遍的系统描述无规行走问题的理论是Markov 理论。
即把Brownian 粒子的无规行走看成一个Markov 过程来分析。
Markov 过程理论基于下面两个主要定理：
Markov 定理：
如果 N 很大，则有：
1）总的均方位移是每一步均方位移的N 倍；
X 2 N x2 ； （3.42）
2）其位置概率密度
2
2
3/2 3
2
2
( ) 3
2
X
X
NW e
N 步无规行走的位置概率密度的Fourier 系数( ) N w k 等于每步无规行走的位
置概率密度的Fourier 系数( ) i
k 的乘积：
1
( ) ( )
N
N i
i
w
k k 。 （3.41）
中心极限定理：
如果 N 很大，则有：
1）总的均方位移是每一步均方位移的N 倍；
X 2 N x2 ； （3.42）
2）其位置概率密度
2
2
3/2 3
2
2
( ) 3
2
X
X
NW e
X
X 。 （3.43）
3.3.2 迁移概率与Markov 扩散
在（3.41—42）中，如果我们写N (t t)，满足t t；其中 是粒子“迁
移率”。则，得到“扩散系数”
| |2
6
D
x x 。 （3.44）
代入（3.43），有因为粒子迁移而形成的位置概率密度——迁移概率
( ) N W X
3/2 | |2
( , ; , ) 1 4 ( )
4 ( )
t t e D t t
D t t
x x
x x ； （3.45a）
以及
W(x,t) dx (x,t;x,t)W(x,t)。 （3.45b）
这就是 Einstein 的理论分析的（3.23）。
如果这个过程是 Markov 过程，则有
(x,t;x,t) (x,t;x,t) （3.46）
或者说：“正碰撞”和“逆碰撞”造成的位置迁移的概率相等。
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