Sunday, February 23, 2014

余切空间 余切丛---相空间 从矢量到函数的一个映射,这就是对矢量取内积。一般情形下,是两个相互对偶的矢量之间才能定义内积(除非对偶矢量等同于矢量自身)。由一组正交完备的矢量张成一个空间,则与之对偶的一组正交完备的对偶矢量张成的空间,称为对偶空间

为什么要余切空间(顺便to Omni兄)
用户登陆 | 刷新本版嘉宾: 萍踪浪迹 季候风 星空与道德 gage


星空浩淼
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为什么要余切空间(顺便to Omni兄)


这里我是以自己理解的方式凭借记忆写出来的,好在这里有数学嘉宾和其它数学高手做纠正与补充。我写的优点是通俗易懂,深奥的我也写不出来:-)。萍踪回复Omni过于简略,所以我就罗唆一回。

以三维空间为例。对于平直空间,可以用一个坐标系(X,Y,Z)描述,X,Y,Z代表三根坐标轴。对于一般流形(一句话描述之:在每一点只存在一个唯一的切线或者切平面的玩意儿。因此折线之类的东东,即使连续,也不是流形),只能采用局域坐标系来描述,此时通常在平直空间中讨论的量A,需要换成它的微分dA来代替。

我们既要跟矢量打交道,还要跟数量或者更一般地,跟标量函数打交道。此时我们要考虑一个从矢量到函数的一个映射,这就是对矢量取内积。一般情形下,是两个相互对偶的矢量之间才能定义内积(除非对偶矢量等同于矢量自身)。由一组正交完备的矢量张成一个空间,则与之对偶的一组正交完备的对偶矢量张成的空间,称为对偶空间。

(矢量概念可以推广到一般的抽象空间,比如平方可积的函数空间,此时矢量x,y之间的内积如果记做y(x)=<y,x>,此时y(x)又称为关于x的泛函,因此量子力学中通常所说的波函数ψ(p)=<p|ψ>,其实是Hilbert空间spaned by {|ψ>}中的泛函,也可以看作|ψ>在p表象中的具体表示。)

因此,你不难理解,为什么四维时空矢量有协变和逆变之分,二者是对偶的,它们之间的指标收缩(协变指标和逆变指标之间的收缩)对应时空矢量之间的内积。

下面用d/dx表示对x的偏微分(如此类推),而dx是x的微分(and so on)。我们知道,对于三维空间中的坐标函数A(x,y,z),我们有:
dA=(dA/dx)dx+(dA/dy)dy+(dA/dz)dz
=矢量(dA/dx,dA/dy,dA/dz)和矢量(dx,dy,dz)之间的内积。
其中(dA/dx,dA/dy,dA/dz)是A的梯度矢量,抽掉A,是梯度矢量(算子):
(d/dx,d/dy,d/dz)
它与矢量
(dx,dy,dz)
构成一对对偶矢量。

由于在微分几何中,在局域坐标系中讨论问题,总是跟某个量的微分打交道,因此在现代微分几何中,干脆直接用坐标的偏微分(d/dx,d/dy,d/dz)或微分(dx,dy,dz)作为基矢量,来对某个矢量进行展开。如果流形上的切空间,是指用坐标基(d/dx,d/dy,d/dz)张成的空间,那么流形上与之对应的余切空间,是指用坐标基(dx,dy,dz)张成的空间。二者是相互对偶的空间。两个空间中的矢量之间可以定义内积(或者定义张量之间的指标收缩)。

利用基矢(d/dx,d/dy,d/dz)和(dx,dy,dz),以及它们之间的张量积,构成张量基,可以对张量进行展开(如同展开一个矢量一样)——我们通常所谈到的张量,是张量的分量表示,只是张量的一个分量,将各个分量与对应的张量基相乘,再相加,才是一个张量整体,才是张量按照张量基展开的表达式。

用协变基矢(d/dx,d/dy,d/dz)及其张量积(如d/dx×d/dy)展开的张量,是逆变张量;用逆变基矢(dx,dy,dz),及其张量积(如dx×dz)展开的张量,是协变变张量;两种张量是对偶的。一般情形下,是同时用两种张量基展开的混合张量。

(以上也许有些细节没有说对,甚至刚好说反了,但大体上有那么个意思就行吧)


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发表时间:2006-08-01, 09:02:40  作者资料
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Re: 为什么要余切空间(顺便to Omni兄)


写得很详细~


漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥


发表时间:2006-08-01, 12:07:08  作者资料
gage
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Re: 为什么要余切空间(顺便to Omni兄)


客栈的文集中有一篇季候风老兄写的,大概叫做数学物理辞典之类的,里面有一个对应关系

余切丛---相空间


繁星满目的夜晚,我举头四望,却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计,却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
多普勒说,你们都是红眼病。
阿基米德说,给个支点,你就要和整个地球上的人抬杠。


发表时间:2006-08-01, 13:36:39  作者资料
Omni
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Re: 余切空间


星空兄关于挠率和余切空间的介绍确实非常通俗易懂,等我有时间重读Penrose后再来进一步请教。。。而数学上的余切丛和物理上的相空间之间的对应关系也挺有意思,希望在Penrose接下来的章节中有所涉及。


海天一片,对景愁怀倦。心似木船独飘零,惆怅远景难见。
命里沉浮谁主,流年似水空度。浩翰烟波如故,当时容颜何处。


发表时间:2006-08-01, 22:28:20  作者资料
星空浩淼
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Re: 为什么要余切空间(顺便to Omni兄)


而数学上的余切丛和物理上的相空间之间的对应关系也挺有意思,希望在Penrose接下来的章节中有所涉及。
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相空间是由以三维动量和坐标(x,y,z)一起构成的六维空间
在量子力学中,动量算符对应(-id/dx,-id/dy,-id/dz)
而余切丛对应底流形与余切空间二者的乘积空间:余切丛=底流形×余切空间
如果底流形是三维的(x,y,z),则余切丛是六维的。

估计数学上的余切丛和物理上的相空间之间的对应关系,就是这么来的。到底怎样,还得让
季候风兄科普一把。


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发表时间:2006-08-01, 22:52:14

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