Sunday, February 23, 2014

green01 旋度 散度 Jacobian two1 lin01 五次及高次方程根式可解若且唯若它的Galois 群可解, 「體」(field) 與「群」(group) 的概念

方程根式可解若且唯若它的Galois 群可解, 當然我們在這

裡不解釋什麼叫群, 什麼是Galois 群。Abel 與Galois 不僅解決了三百年來無法解決的著名

難題, 更重要的是: 為了解決這個問題, 他們建立起了「體」(field) 與「群」(group) 的概念




group as expressed in different coordinate systems


http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d301/30103.pdf


http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_4_03/page2.html


 C 為包含在 ${\mathcal{R}}$ 內之任意分段平滑之 Jordan 曲線。


"微積分第二講" 龔昇


微积分五讲龚升_百度文库

wenku.baidu.com/view/c5f7cfd1240c844769eaee90.html?from=related
2011年6月23日 - 25-35 微積分五講一一第一講回顧中學數學龔昇· 張德健一. ...... b] 上Riemann 可積, 且記極限值為b f (x)dx a 而Sn 稱為「黎曼和」(Riemann sum)。




Green 定理與應用 （第 6 頁） 林琦焜


這定理告訴我們要計算積分值 $\int_a^b f(x)dx$ 僅需求得函數 f


雅克比(Jacobian)矩阵_彭乾坤_新浪博客

blog.sina.com.cn/s/blog_5ea558b60100fj4v.html‎
轉為繁體網頁
2009年9月2日 - 在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列 ... 它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以 ...
之原函數 (primitive, 或 antiderivative) F 即可。另外也說明了底下之事實：
一個函數之微分的積分值等於該函數之邊界值的差。
換句話說方程式(1)把區間的積分與作用於其「零維」(zero dimension) 邊界之上的「積分」（零維的積分是該點之值）連繫起來，這零維的邊界是兩個端點 a 與 b





Green 定理與應用 （第 6 頁） 林琦焜
 
．原載於數學傳播第二十一卷第四期
．作者當時任教於成功大學數學研究所
‧對外搜尋關鍵字


 
六、線積分的微積分基本定理
在第五節我們引進了位能函數 (potential function) $ F=\nabla \phi$ 之概念，實際上可經由全微分 (total differential) 來理解

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} F\cdot d \overrightarrow{r} = P d... ...r} = \nabla \phi \cdot \overrightarrow{r} = d \phi \eqno{(30)} \end{displaymath}


因此

\begin{displaymath} P= \phi_x, \; Q=\phi_y, \quad \Rightarrow{} \quad P_y = Q_x \end{displaymath}


換為微分方程的語言則是「正合」(exact)。 線積分的微積分基本定理： 假設 $\phi$ 為一可微分函數，且其梯度 $\nabla \phi $ 為連續， $\overrightarrow{r}$ 為連接 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 兩點之任意曲線，則

\begin{displaymath} \int_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{b}} \nabla \phi \... ...\phi(\overrightarrow{b})-\phi(\overrightarrow{a}) \eqno{(31)} \end{displaymath}


這定理的物理意義（電學的角度）：沿著電場上兩點間任一曲線電場所作的功為兩點的電位差，由 Green 定理可知若 $ F=\nabla \phi$，C1,C2 為連接 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 之任意兩條曲線則

\begin{eqnarray*} \oint_C F\cdot d\overrightarrow{r} &=& \int_{C_1} F \cdot d \... ...l{R}} \nabla \times (\nabla \phi) \cdot \overrightarrow{k}dxdy=0 \end{eqnarray*}


因此

\begin{displaymath} \int_{C_1} F \cdot d \overrightarrow{r} = \int_{C_2} F \cdot d\overrightarrow{r} \end{displaymath}


即線積分與路徑無關 (path-independent)，換句話說，將一物體（或質點）由位置 $\overrightarrow{a}$ 移至位置 $\overrightarrow{b}$，力對物體（質點）所作的功，僅和物體（質點）起點位置及終點位置有關，而與其運動所遵循的運動路徑無關，此時我們稱向量場 F 為保守的 (conservative)，而 $\phi$ 則稱為 F 之位能函數，這定理也告訴我們

\begin{displaymath} \phi(\overrightarrow{x})-\phi(\overrightarrow{a})= \int_{\ov... ...}^{\overrightarrow{x}} F \cdot d\overrightarrow{r} \eqno{(32)} \end{displaymath}


即位能函數可藉由保守力的線積分而得。



  


 
動能定理：
$\overrightarrow{r}(t)=(x(t),y(t))$ 可視為位置向量函數，則速度與加速度分別是：

\begin{displaymath} \begin{array}[b]{lll} \overrightarrow{v}(t) = & \frac{d\over... ...2x}{dt^2} , \frac{d^2y}{dt^2} \right ) \end{array} \eqno{(33)} \end{displaymath}


設物體的質量為 m，其所受外力的合力為 F，則由牛頓定律知

\begin{displaymath} F=m \overrightarrow{a}= m \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} \eqno{(34)} \end{displaymath}


則對 F 而言從 $\overrightarrow{r}(t_1)$ 至 $\overrightarrow{r}(t_2)$ 所作的功為

\begin{eqnarray*} W&=&\int_{\overrightarrow{r}(t_1)}^{\overrightarrow{r}(t_2)} F... ...rrightarrow{v}(t_1)\vert^2 \qquad\qquad\qquad\qquad \eqno{(35)} \end{eqnarray*}


其中 $\frac{1}{2}m \vert\overrightarrow{v}(t)\vert^2$ 為動能 (kinetic energy)， 因此(35)式就是「動能定理」，其物理意義：
合力對物體所作的功等於動能的改變量。
如果 F 為一保守力場， $F=-\nabla \phi$ 則由線積分的微積分基本定理知：

\begin{displaymath} W= -\phi(t_2)+\phi(t_1) \eqno{(36)} \end{displaymath}


則(32)式改寫為

\begin{displaymath} \phi(t_1)+\frac{1}{2}m \vert\overrightarrow{v}(t_1)\vert^2 ... ...)+\frac{1}{2}m \vert\overrightarrow{v}(t_2)\vert^2 \eqno{(37)} \end{displaymath}


其中 $\phi$ 為位能 (potential energy)，因此(37)式就是能量守恆定律 (conservation of energy)。 		  


 
散度之物理意義：
有了速度的概念之後，我們覺得這是很好的時機來闡釋散度 (divergence) 的物理意義。我們可以這麼想像：假設正在喝咖啡，將奶精倒入杯內，最初形成的圖形為 $\Omega_0$，而後經由攪拌或其他因素使得 $\Omega_0$ 變化，其位置向量為 $(x(t),y(t))=(\xi,\eta)$，速度則為 $\overrightarrow{v}(t) = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})=(u,v)$，經過 t 時間之後 $\Omega_0$ 轉換為 $\Omega_t$，我們有興趣的問題是 $\Omega_0$ 與 $\Omega_t$ 兩者之面積變化為何？（實際上牛頓力學本身就是一種座標變換）我們看其中一小塊 $(dV_0 \rightarrow{} d V_t)$ 兩者關係為

\begin{displaymath} dV_0=dxdy=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\xi,\eta)}d\xi d\eta \\ =J(t)d\xi d\eta = J(t)dV_t \eqno{(38)} \end{displaymath}


其中 J(t) 就是 Jacobian

\begin{displaymath} J(t)= \left \vert\frac{\partial(x,y)}{\partial(\xi,\eta)} \r... ... \\ \end{array} \right \vert = \frac{dV_0}{dV_t} \eqno{(39)} \end{displaymath}




因此 $\Omega_0 \rightarrow \Omega_t$ 之變化情形，等於是探討 J(t) 的變化，我們假設 $J,J^{-1} \neq 0$，即沒有退化的情形（可設 $0<J<\infty$）：由全微分 (total differential) 知

\begin{displaymath} \frac{d}{dt}(\frac{\partial x}{d \xi})= \frac{\partial}{\par... ... \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \xi} \end{displaymath}


同理可得

\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} ( \frac{\partial x}{\partial \eta}) &=& \frac{\pa... ...+ \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{eqnarray*}


J(t) 對 t 微分並利用行列式之性質可得

\begin{eqnarray*} \frac{d J}{dt}&=& \left \vert \begin{array}{cc} \frac{d}{dt}\f... ...al y} \right ) J(t) \\ &=& \nabla \cdot \overrightarrow{v} J(t) \end{eqnarray*}


所以 J(t) 滿足一階微分方程； Euler 展開公式：

\begin{displaymath} \frac{d J}{dt}= (\nabla \cdot \overrightarrow{v})J \quad \Lo... ...rac{d \ln J}{dt} = \nabla \cdot \overrightarrow{v} \eqno{(40)} \end{displaymath}


這公式稱為 Euler 展開公式 (Euler expansion formula)，由微分方程知

\begin{displaymath} J(t)=e^{t(\nabla\cdot\overrightarrow{v})} J(0) \eqno{(41)} \end{displaymath}


由此式顯然可得

\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow J(t) > J(... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 252}} \end{eqnarray*}


因此我們稱一流體為不可壓縮 (incompressible) 其真實意義：
流體經過任何的變換其形狀雖然改變了，但其面積（或體積）卻始終保持不變。
  


 
旋度之物理意義：
由例題3 的經驗知線積分

\begin{displaymath} \oint_C F \cdot d \overrightarrow{r} = \oint_c udx +vdy = \int \!\! \int_{\mathcal{R}} (v_x-u_y)dA \end{displaymath}


為向量場 F=(u,v) 環繞封閉曲線 C 之環流，利用等式

\begin{eqnarray*} v_x - u_y &=& \mbox{curl} F \cdot \overrightarrow{k}= \nabla \... ...\ u & v &0 \\ \end{array}\right \vert \cdot \overrightarrow{k} \end{eqnarray*}


我們可將前一式表為

\begin{displaymath} \oint_C F \cdot d \overrightarrow{r} = \int \!\! \int_{\mathcal{R}} (v_x-u_y)dA \end{displaymath}


假設 $\mathcal{R}$ 為包含 P0(x0,y0) 之區域，則

\begin{displaymath} \frac{1}{\vert\mathcal{R}\vert} \oint_C F \cdot d \overrightarrow{r} \end{displaymath}


表示單位面積之環流，因此

\begin{eqnarray*} \mbox{curl} F \cdot \overrightarrow{k} &=& \nabla \times F \cd... ... \int_{\mathcal{R}} (\nabla \times F \cdot \overrightarrow{k})dA \end{eqnarray*}


所以向量場 F 之旋度 $\nabla \times F$（在 (x0, y0) 之旋度）就是單位面積產生最大環流的量且其方向垂直於 $\mathcal{R}_0$ 。



  



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實數系的建構
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Green定理與應用
棣美弗定理與Euler公式
凸函數、Jemsen不等式與Legendre變換
數、十進位與Cantor集
從三角求和公式到Fourier級數
Weierstrass逼近定理
談加減消去法
從等比級數談起
凸函數、Jensen不等式與Legendre變換


雅克比(Jacobian)矩阵

(2009-09-02 20:26:32)
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雅可比矩阵
 

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。
 
目录
 
 
雅可比矩阵
雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
假设F:Rn→Rm 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
此矩阵表示为：
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu ，或者 雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,...,m)表示的
如果p是Rn中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由JF(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。在此情况下，由F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近与p
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu}-
 
编辑] 例子
由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R3
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
此坐标变换的雅可比矩阵是
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
R4的f函数:
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
其雅可比矩阵为:
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。
编辑] 在动态系统中
考虑形为x' = F(x)的动态系统，F : Rn → Rn。如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值来决定。
编辑] 雅可比行列式
如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点具有反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。
例子
设有函数F : R3 → R3，其分量为：
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
则它的雅可比行列式为：
雅克比(Jacobian)矩阵 - luoyiweiran - chully.xu
 
从中我们可以看到，当x1和x2同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1 = 0和x2 = 0时以外。




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