3.1.3 Brownian 运动的Langevin 模型
我们在这里再介绍 Langevin 的理论模型。
从 Stokes 定律出发，考虑Brownian 粒子受到液体分子碰撞引起的“拖拽
力”V（ 是拖拽系数）和分子热运动引起的随机碰撞的作用，我们得到
其中F(t)是随机力。广义地，这个方程的右边可以都写成与随机相互作用有关的
形式（其实“拖拽力”本身就是微观随机相互作用“平均”后“残留”下来的
那部分），或者F(t)把分成确定和随机的两部分。这样的方程则成为“广义朗之
万方程”。
为了求解这一具有统计随机性的物理过程，Langevin 提出的基本假设是：
1）Brownian 粒子受到液体分子碰撞作用是无规的热碰撞，即对随机力的
统计平均F 0；
2）粒子位置与无规碰撞作用力之间统计独立，即Xf 0；
3）Brownian 粒子与液体分子间达到热平衡，即2 / 2 / 2 B M V k T （为简
单起见，我们只考虑一维运动）。
因为朗之万方程（广义上就是 Newton 第二定律中的力包含“随机相互作
用”）的物理直观性，可以直接计算“粒子”的随机运动轨迹的“平均”，所以
可以利用“物理直观”来描述很多随机过程。比如用这个方程及其发展的方法
计算湍流和随机过程的关联。更多的应用可以参考如：W. Coffey, Yu. P.
Kalmykov, J. T. Waldron，《The Langevin Equation: with Applications to
Stochastic Problems in Physics, Chemistry, and Electrical engineering》，
World Scientific, 2004。
3.2.1 扩散系数的Einstein 理论
Brownian运动的Einstein模型得到X 2 2Dt 。这里的扩散系数D与
那些物理量有关呢？
Einstein 首先从热力学出发，假设 是悬浮粒子的密度，则在动力学平衡下
(X )使得对于悬浮粒子位置X 的任意变分 X 有自由能的变分
F E T S 0； （3.32）
这里 E 是悬浮粒子的内能，即如果假设关于X 的对称性，以及系统被约束在
X 0与X L之间，有
0
( )
L
E K X XdX 。 （3.33）
而
0
L
B S k XdX
n X
， （3.34）
这里 n 是水溶液的密度；有
B K k T
n X
， K p 0
X
。 （3.35）
可见 K 是单个悬浮粒子受到的水溶液的某种作用力，这种力与溶液对悬浮粒子
的“渗透压”p 达到动力学平衡。根据Kirchhoff, Lectures on Mechanics, 可
以知道动力学平衡时这个力K 就是粘滞系数为 的溶液对半径为0 r ，速度为
0 K / 6 r 的悬浮“颗粒”的“拖拽力”。则从（3.35）可以得到单位时间通过某
一X X0截面的悬浮粒子数为
0 0
0
6 6
B K k T
r rnX
。 （3.36）
其第二项正是悬浮粒子数沿 0 X X 方向的“扩散”D / X 。于是有粒子“扩
散”系数
0 6
B B D k T k T
r n
。（3.37）
这里 是拖拽系数。这与Langevin 的结果（3.30）是相同的。
3.2.2 涨落—耗散定理
方程（3.31）及（3.37）中的“扩散系数”
/ B D k T ， （3.38）
其中 是表征系统微观分子的“涨落”引起的粘滞（或者摩擦），即Brownian
粒子的扩散过程是由于液体分子的涨落过程引起的阻尼过程。而阻尼本质上是
耗散过程。关系式（3.38）将涨落与耗散过程联系在一起，所以被称为“涨落—
耗散定理”。
一般地，任何一组热力学量{ξ}对平衡的涨落ξξ 可以写成
2 1
0
B
B
k S k
D
ξ ξ
ξ ξ
（3.39）
的形式。其中下标“ 0 ”表示系统的热力学平衡态， S 则是系统的熵，而D 则
是“扩散系数”。这个关系可以看成是涨落—耗散定理的一般热力学表示。
对于近平衡态统计物理学，经常可以用到这个定理的各种形式。例如，由准
线性的静电扰动理论可以得到带电粒子在速度空间的“扩散”系数
2 | |2 DQL Re k
e k k
e i E
m k
。 （3.40）
（具体推导见《高等等离子体物理（II）》。）这是涨落—耗散定理的一个典型例
子：带电粒子在速度空间的“扩散”（耗散过程）系数与系统的扰动静电“涨落
谱”| |2 k E 成正比。
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