海森伯在玻恩教授系里工作! 他请玻恩看他的
文章并请假去剑桥被邀请作一个月演讲! 玻恩学过
矩阵的数学课，看出海森伯从里兹组合规则凑出的
乘法规则恰是矩阵的乘法规则! 玻恩考虑一维的保
守系，用正则坐标和动量与哈密顿正则运动方程，但
物理量皆用矩阵表示! 对保守系有能量守恒，因此哈
密顿量必须是对角矩阵! 玻恩知道，矩阵的乘法一般
是不满足交换律的! 从索末菲的作用积分的量子化
条件玻恩对应出正则动量与正则坐标的对易矩阵
（即颠倒秩序的两个乘积之差）的对角元均相等，为
虚数，并含有普朗克常量除以圆周弧度! 他先猜想这
对易矩阵的非对角元全为零! 他请助手约当参加合
作，约当几日内便从正则运动方程证明出这个对易
矩阵对时间的导数为零，所以是个对角矩阵，如玻恩
所猜想! 这样，矩阵力学有了自己的量子化条件，简
称为对易关系! 以玻恩和约当二人署名的这篇文章
给出简谐振子的矩阵力学处理和对电磁场的量子化
处理，再次证明了关于黑体辐射的普朗克公式! 在
"#$% 年"& 月底，玻恩应邀去’() 讲课之前，玻恩与
约当紧张合作，并于这时在哥本哈根的海森伯通讯，
完成了以玻恩、海森伯和约当三人署名的文章! 在这
篇文章中，对应经典力学中原则上可用正则变换求
解，给出矩阵力学中原则上可用相似变换求哈密顿
矩阵的对角化；发展了矩阵力学中逐步近似的微扰
理论，包括直接导出克拉默斯* 海森伯色散公式；把
对易关系推广到多个自由度! 这三篇文章奠定了矩
阵力学! 三人署名的第三篇，印出时间为"#$+ 年! 注
意，由于对易关系的出现，海森伯的矩阵不可能是有
限的行或列，这表明体系有无穷多个能级! 对无穷行
列的矩阵，乘法不一定满足结合律! 但如每行只有有
限个元不等于零时，则可证明结合律成立!
第二条通向量子力学的路———波粒二
象性
爱因斯坦于"#"+—"#"1 年从分子与辐射间的
动平衡角度给普朗克公式一个新的证明! 这证明想
象丰富，富于启发! 考虑分子高低两个能级和其间的
相应跃迁频率的辐射! 爱因斯坦引入如下三种跃迁
机制：即自发辐射，吸收和诱发辐射，并假设在后两
种机制中，其单位时间的跃迁几率与辐射能量密度
对频率的分布函数成正比! 在热平衡时，注意处于两
能级的原子数分别与相应的玻尔兹曼因子成正比，
则从能量转移的细致平衡容易导出普朗克公式和上
述三种跃迁的比例系数间两个关系式（这关系式在
量子力学建立后都得到特别是狄拉克的理论验证）!
根据狭义相对论，爱因斯坦还想象辐射量子不仅具
有能量，而且具有单方向的动量，分子在吸收或发射
辐射时，虽然总动量守恒，但辐射与分子间有动量转
移! 根据上述三种跃迁，利用他在布朗运动中处理随
机过程和在电磁理论中运用参考系变换的优势，他
计算了（只需准确到分子速度的一次方）包括上述三
种跃迁的总平均阻力使分子速度的涨落减少的效应
和由于上述三种跃迁都是随机过程而使分子速度的
涨落增加的效应，在分子的玻尔兹曼分布与辐射的
普朗克分布间的热平衡时，它们恰好抵消，而维持分
子速度的麦克斯韦分布不变!
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