3.2李群的基本概念
1.李群-李代数讲义 1634人阅读 | 48KB
2.《李群与李代数》讲义-李世雄编著 2231人阅读 | 52KB
3.微分流型与李群基础(1) 826人阅读 | 166KB
4.3.1三维空间转动变换 3.2李群的基本概念 602人阅读 | 18KB
5.三维旋转群SO(3) 1227人阅读 | 17KB
从李群的定义可以看出：李群既是一个群，同时也是一个微分流形．我们知道，流形是点、线、面以及各种高维连续空间概念的推广，而我们在用机器学习方法分析数据时，所有观测数据都是可以和点、线、面等结构建立起对应关系的．从流形的角度，文献［１—８］给出了大量的工作．李群是一种特殊流形，已被物理学家、化学家广泛使用，这充分说明在大量的物理、化学数据中蕴涵李群规律，因此，用李群方法去分析这些数据的规律已成为一种必然．所以，文献［１０—１２］充分应用计算机科学与人工智能技术方法从机器学习角度出发，引进李群理论，给出了一种机器学习新方法，即李群机器学习的基本概念，为处理这些复杂的数据提供了新途径．
李群的基本概念
一、李群的组合函数
1. 几个概念 李群：是一种连续群，它的每个元素可以用一组独立实 参数在欧氏空间的一定区域内连续变化，要求在参数的 变化区域内，至少在测度不为零的区域内，群元素与参 数值有一一对应的关系 阶：独立实参数的数目 群空间：参数变化范围；群空间维数就是连续群的阶 群元素：群空间的点 欧氏空间：定义实内积的线性空间，即有限维实内积空 间 （V,V）→R(实数) 测度不为零区域：可以简单理解为 维数与群空间维数相 同的区域；边界是测度为零的区域
♣用限制群空间范围的方法来实现在测度不为零的区域内 群元素和参数值 一一对应 如：三维转动群的群空间 取作：半径为π的球体，保证了 ^ 球体内的群元素R(n,ω)与参数值ωa的一一对应关系；在 测度为零的球面上，直径两端的点，即两组不同的参数值， 对应同一个群元素
2. 组合函数： 定义： 设元素R∈G，参数为(r1,r2,...,rg)，简写为 R(r1,r2,...,rg)=R(r); 对群元素的乘积 R(r)S(s)=T(t)，g个参数tj是2g个参数 ri和sk的函数 tj=fj(r1,...,rg;s1,...,sg)=fj(r;s) 则g个函数fj(r;s)称为连续群的组合函数，它完全描写了 群元素的乘积规则
李群的组合函数：是解析函数 在群空间连续可微（导），微积分的整套工具可以用 来深入研究李群，使李群成为至今研究最深入、最成功 的无限群
群的组合函数必须满足如下条件（对应群的四个条件） 封闭性：组合函数定义域：(群空间)×(群空间)，值域 仍是群空间，至少在测度不为零的区域，要求fj(r;s)是单 值解析函数，【即R(r)S(s)=T(t) 一一对应】 结合律： fj[r;f(s;t)]=fj[f(r;s);t] 【即R(r)[S(s)T(t)]=[R(r)S(s)]T(t) 】 恒元参数为ej，它包含在群空间内 fj(e;r)=fj(r;e)=tj 通常为方便 取ej=0，此时R(r)E(e)=T(t)→R(r)=T(t) R的逆元参数记作rj fj(r;r)=fj(r;r)=ej ¯ ¯ ¯ 【R(r)-1R(r)=E(e)=R(r)R(r)-1 】 ¯ ¯
二、李群的局域(Local)性质
1. 邻近元素 在群空间中，邻近的点对应的元素为邻近元素 无穷小元素 因常把恒元的参数选为零，恒元邻近的元素，参数是 无穷小量，称为无穷小元素 注意：不要把无穷小元素看成是一个很小的元素 无穷小量是一个极限过程 无穷小元素与群元素的微分运算相联系
E(e) A(α) A,B是无穷小元素，但不一定很小， B(β) 参数α,β是无穷小量
李群无穷小元素的性质决定了李群的局域性质
2. 局域性质 无穷小元素与任意元素R的乘积，是R的邻近元素 乘积的参数在元素R参数的邻域中 R的邻近元素和R-1相乘，得到无穷小元素 粗略地说，无穷多个无穷小元素相继乘到群元素上，在 群空间表现为 由元素R对应点出发的一条连续曲线
四、李群的整体性质（global）
研究李群的整体性质，就是研究李群群空间的拓扑性质 拓扑学：是数学中的一个重要的基础性分支 它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续 变形下保持不
变的性质，现已称为研究连续性现象的重要 数学分支 拓扑学内容已成为现代数学的常识，它的概念、方法在物 理学、生物学、化学等学科中都有直接广泛的应用 1. 群空间的连通性
(1) 几个概念
李群群元素与群空间内的点相对应，测度不为零区域一一对应
连通性：若群中任意两个元素，它们在群空间内的对应点 可以通过一条完全包含在群空间内的连线连结起来，则此 空间是连通的 简单连续群：群空间是连通的连续群 如 SO(3)群，又称简单李群 混合连续群：群空间分称不相连结的若干片 如 O(3)群，又称混合李群
B A
detR=1 detR=-1
σ ♣李群的局域性质：粗略地说，把无穷多个 SO(3) 无穷小元素相继乘到群元素R上，在群空间表现为由R对 应点出发的一条连续曲线 因此，若在群空间中，代表元素R的点与 E 代表恒元E的点可以通过一条完全在群空间 R 内的连续曲线相连结，则R可表示为无穷多个 无穷小元素的乘积
(2) 群元素 简单李群：群元素可表示为无穷多个无穷小元素的乘积 混合李群：除无穷小元素外，还需在群空间每一个连续片 给出一个特殊元素（包括恒元），它们的乘积才能表示出 任意群元素 如：O(3)群，常取空间反演σ作为非固有转动元素的代表 （detR=-1片），则恒元、空间反演σ与无穷小元素的乘 积可以表示出O(3)群的任意群元素
(3) 线性表示 简单李群：任意元素R的表示矩阵D(R)可由生成元 计算得出 混合李群：还需知道其它代表元素的表示矩阵
(4) 混合李群的群空间中， 包含恒元的那个连续片对应元素的集合构成混合李群 的不变子群 （SO(3)群是O(3)群的不变子群） 其它连续片对应元素的集合构成混合李群不变子群的 陪集 因此， 混合李群的性质完全由其不变子群（简单李群） 和每个连续片（陪集）中的一个代表元素性质决定 今后，我们将重点讨论简单李群的性质 2. 简单李群群空间的连通度 ♣在简单李群的群空间中，元素R的点可与恒元的对应点 通过许多连线相连结 ♣有些连线可以在群空间内互相连续变化，有些则不能
♣属同一组的连线可以互相在群空间内 连续变化，不同组的连续则不能 ♣这些连线分的组数称为群空间的连通度 李群的性质与群空间的连通度有密切关系
E
R
(1) 加法群 实数的集合，定义元素的“乘积规则”为数的加法，元 素满足加法结合律，恒元是零，互逆元素是互为相反数， 集合对加法封闭——构成群 加法群的群元素是实数，参数就是自身，参数（群元素） 在实数轴上连续变化，实数轴就是群空间（一维群空间）， 原点对应恒元（零），在群空间（实数轴）中，代表群元 素的点与代表恒元的
点间所有连线都可以在群空间连续变 化，即只有一组连线 R E
0
加法群的群空间是单连通的 加法群是一阶群，且是阿贝尔简单李群（任两元素相加 可对易），只有一维表示 有无穷多个一维不等价不可约表示，用复数τ标记
D () exp(i), : 复数，：实数 引入(-i)是为了以后方便
(2) SO(2)群 绕x3轴转动任意角度ω的变换 R (e3 , )集合构成李群，称 为二维幺模实正交矩阵群，指数形式 0 i 0
R(e3 , ) exp{ iT3}
两个变换乘积对应参数相加
T3 i 0
0 0
0 0
R (e3 , 1 )R (e3 , 2 ) exp{ i1T3}exp{ i2T3} exp{ i(1 2 )T3} R (e3 , 1 2 )
转动2π角的变换等于恒等变换（恒元）
R(e3 , 2) R(e3 , )R(e3 ,2) R(e3 , )
逆变换——逆元，满足结合律——构成群 SO(2)群是一阶阿贝尔李群（一个参数→转动变换） SO(3)群：群空间是半径为π的球体，直径两端的点对应 同一个元素 SO(2)群参数在实数轴上（-π，+π）之间变化，并且+π 与-π对应同一个元素 E R SO(2)群群空间连通度： 无穷多度连通 -π
0 ω
π
群空间对应R的点与对应恒元E的点 可以直接相连，在实数轴上连续变化
群空间对应R的点与对应恒元E的点 也可以通过包含边界上-π，+π间若干次跳跃的连线相 连，因为-π，+π对应同一个元素 正跳跃：从π跳到-π的跳跃 负跳跃：从-π跳到π的跳跃 跳跃次数：一次正跳跃与一次负跳跃可通过连续变化相互 抵消，连线所包含正跳跃次数减去负跳跃次数称为该连线 的跳跃次数 E R 因此，E到R的连线可以分成 无穷多组，每组用跳跃次数标记 不同组之间连线不能在群空间连续变化 故：SO(2)群群空间是无穷多度连通 -π
0 ω
π
(3) 覆盖群 将SO(2)群的元素与加法群元素建立如下1:∞的对应关系
且这种对应关系对元素的乘积保持不变，则 SO(2)∽加法群 （同态1:∞）
SO(2)群的不等价不可约表示也可表示为与加法群表示相 类似的形式 Dm (e3 , ) exp(im), m : 整数 若m不是整数，表示矩阵与群元素间变成多一对应关系， 不符合线性表示定义，有时称为多值表示 数学中已经证明：当简单李群G的群空间是n度连通时， 它一定同态于另一个群空间是单连通的简单李群，同态对 应关系是1:n，这个单连通的简单李群称李群G的覆盖群； 覆盖群的真实表示是群G的多值表示（加法群是SO(2)群的 覆盖群）
R(e3 , ) 2n
n是任意整数(无穷多个)
(4) SO(3)群 群空间：半径为π的球体，球面上直径两端的点代表同 A’ 一个群元素
讨论其群空
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