3.1三维空间转动变换 3.2李群的基本概念
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第三章
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
三维转动群
三维空间转动变换 李群的基本概念 三维转动群的覆盖群SU(2) 三维转动群的覆盖群 SU(2)群的不等价不可约表示 群的不等价不可约表示 李氏定理 李代数 张量和旋量
♣ 球对称：是物理学中常见的对称性 球对称： 无论经典力学还是量子力学， 无论经典力学还是量子力学，中心力场问题总是最 基本的研究课题 不仅是中心力场容易处理， 不仅是中心力场容易处理，而且很多真实物理系统 都有近似的球对称性质 ♣在球对称系统中，空间各向同性，系统绕通过原点的 在球对称系统中， 在球对称系统中 空间各向同性， 任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维 任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维 空间转动群 ♣因转动角度可以任意，故群元素无限多 因转动角度可以任意， 无限群， 因转动角度可以任意 故群元素无限多——无限群， 无限群 群元素可以用一组实参数来描写 群元素可以用一组实参数来描写 ♣实参数在一定区域内连续变化，且涉及的这些连续参 实参数在一定区域内连续变化， 实参数在一定区域内连续变化 数的函数是解析函数——转动群是连续群，且是连续 转动群是连续群 数的函数是解析函数 转动群是连续群， 群中可以用微积分方法深入研究的一类，称为李群 群中可以用微积分方法深入研究的一类，称为李群
3.1 三维空间转动变换
一、约定
1. 主动观点： 坐标系固定，系统转动 主动观点： 坐标系固定， 2. 矢量： 矢量：
r r
矢量基： 矢量基：
r ea (a = 1,2,3)
ˆ n
其它单位矢量： 其它单位矢量：
二、概念
1. 手征性不变： 手征性不变： 右手坐标系： 右手坐标系： x 左手坐标系： 左手坐标系： y 手坐标系经变换后仍为右（ 右（左）手坐标系经变换后仍为右（左）手坐标系 2. 固有转动： 固有转动： 三维空间纯粹的转动， 三维空间纯粹的转动，即保持坐标系手征性不变的转 动 z x z y
r r r e1 ⋅ (e 2 × e3 ) = 1 r r r e1 ⋅ (e 2 × e3 ) = −1
3. 非固有转动： 非固有转动： 若转动后，再做空间反演， 若转动后，再做空间反演，改变坐标系的手征性 坐标系原点不变， 两类转动都保持 坐标系原点不变， 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形） 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形） 4. 幺模矩阵： 幺模矩阵： 行列式为 1 的矩阵 detA=1
三、三维空间转动群
1. 转动变换 在三维空间建立直角坐标系K，用原点O到空间任意点 在三维空间建立直角坐标系 ，用原点 到空间任意点 r P的位置矢量 r 来描写 点的位置，坐标轴向的单位矢 点的位置， 的位置矢量 来
描写P点的位置 r 量记作 ea , a = 1,2,3 则
x 固有转动要求： 固有转动要求： 坐标系原点不变， 坐标系原点不变，保持空间任意点到原点的距离不变 设转动操作R把P点转到 点 R：P → P' 点转到P'点 设转动操作 把 点转到 变换前后的坐标可用R矩阵联系， 变换前后的坐标可用 矩阵联系，位置矢量变换为 矩阵联系 则
3 r r r ' = ∑ e a x 'a a =1
r 3 r P点位置矢量： r = ∑ ea x a , a = 1,2,3 r z e3 r P a =1 r r r 坐标：x a ↔ r r e1 O e y
2
x1 ' R 11 x 2 ' = R 21 x ' R 3 31
R 12 R 22 R 32
R 13 x1 3 R 23 x 2 ⇒ x a ' = ∑ R ab x b b =1 R 33 x 3
♣坐标的齐次变换保证原点位置不变 坐标的齐次变换保证原点位置不变 坐标的齐次变换保证 ♣距离不变要求矩阵R是实正交矩阵 距离不变要求矩阵 是实正交矩阵 距离不变要求矩阵 （距离与x2联系，两个列矩阵相乘xT x） 距离与 联系，两个列矩阵相乘 ）
x ' x ' = (R x ) (R x ) = x R R x = x x
T T T T T
要求为1 要求为
若在系统上建立坐标系K’ 若在系统上建立坐标系 ’ 实正交： R + R = 1, detR = ±1 r 单位矢量记为 ea ' r 在坐标系K'中的分量保持不变 中的分量保持不变（ 则 r ' 在坐标系 中的分量保持不变（系统与坐标系相 z P’ 对静止）， ），因此有 对静止），因此有 ’ xa 3 3 P r r r
r ' = ∑ e a x 'a = ∑ e ' b x a
a =1 b =1
r ea
x
r r x 'a x a r e 'a
y
3 3 3 r r r r r r ' = ∑ ea x 'a = ∑ e'b x a ⇒ e b ' = ∑ ea R ab 展开，Rab为展开系 展开， a =1 b =1
a =1
r r 相当于 e b ' 按 ea 线性
数
x a ' = ∑ R ab x b
b =1
3
♣坐标系的手征性 坐标系的手征性 用单位矢量的混合积来确定
r r r 右手： e1 ⋅ ( e 2 × e3 ) = 1
r r r 左手： e1 ⋅ ( e 2 × e3 ) = −1
转动变换保持系统的手征性不变， 转动变换保持系统的手征性不变，就是要求固定在系 统上的坐标系单位矢量混合积在变换前后都是1， 统上的坐标系单位矢量混合积在变换前后都是 ，即
r r r e1 '⋅(e 2 '×e3 ' ) = 1 = det R
三维空间转动变换：由行列式为 的实正交矩阵 的实正交矩阵R描写 三维空间转动变换：由行列式为1的实正交矩阵 描写
的实正交矩阵R满足空间转动变换的三个要 ◆行列式为+1的实正交矩阵 满足空间转动变换的三个要 行列式为 的实正交矩阵 保持原点、两点间距离、手征性不变——R对应的是 求：保持原点、两点间距离、手征性不变 对应的是 固有转动 行列式为-1的实正交矩阵会改变系统的手征性 的实正交矩阵会改变系统的手征性， ◆行列式为 的实正交矩阵会改变系统的手征性，说明变 换中包含了空间反演σ 换中包含了空间反演σ——非固有
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
三维转动群
三维空间转动变换 李群的基本概念 三维转动群的覆盖群SU(2) 三维转动群的覆盖群 SU(2)群的不等价不可约表示 群的不等价不可约表示 李氏定理 李代数 张量和旋量
♣ 球对称：是物理学中常见的对称性 球对称： 无论经典力学还是量子力学， 无论经典力学还是量子力学，中心力场问题总是最 基本的研究课题 不仅是中心力场容易处理， 不仅是中心力场容易处理，而且很多真实物理系统 都有近似的球对称性质 ♣在球对称系统中，空间各向同性，系统绕通过原点的 在球对称系统中， 在球对称系统中 空间各向同性， 任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维 任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维 空间转动群 ♣因转动角度可以任意，故群元素无限多 因转动角度可以任意， 无限群， 因转动角度可以任意 故群元素无限多——无限群， 无限群 群元素可以用一组实参数来描写 群元素可以用一组实参数来描写 ♣实参数在一定区域内连续变化，且涉及的这些连续参 实参数在一定区域内连续变化， 实参数在一定区域内连续变化 数的函数是解析函数——转动群是连续群，且是连续 转动群是连续群 数的函数是解析函数 转动群是连续群， 群中可以用微积分方法深入研究的一类，称为李群 群中可以用微积分方法深入研究的一类，称为李群
3.1 三维空间转动变换
一、约定
1. 主动观点： 坐标系固定，系统转动 主动观点： 坐标系固定， 2. 矢量： 矢量：
r r
矢量基： 矢量基：
r ea (a = 1,2,3)
ˆ n
其它单位矢量： 其它单位矢量：
二、概念
1. 手征性不变： 手征性不变： 右手坐标系： 右手坐标系： x 左手坐标系： 左手坐标系： y 手坐标系经变换后仍为右（ 右（左）手坐标系经变换后仍为右（左）手坐标系 2. 固有转动： 固有转动： 三维空间纯粹的转动， 三维空间纯粹的转动，即保持坐标系手征性不变的转 动 z x z y
r r r e1 ⋅ (e 2 × e3 ) = 1 r r r e1 ⋅ (e 2 × e3 ) = −1
3. 非固有转动： 非固有转动： 若转动后，再做空间反演， 若转动后，再做空间反演，改变坐标系的手征性 坐标系原点不变， 两类转动都保持 坐标系原点不变， 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形） 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形） 4. 幺模矩阵： 幺模矩阵： 行列式为 1 的矩阵 detA=1
三、三维空间转动群
1. 转动变换 在三维空间建立直角坐标系K，用原点O到空间任意点 在三维空间建立直角坐标系 ，用原点 到空间任意点 r P的位置矢量 r 来描写 点的位置，坐标轴向的单位矢 点的位置， 的位置矢量 来
描写P点的位置 r 量记作 ea , a = 1,2,3 则
x 固有转动要求： 固有转动要求： 坐标系原点不变， 坐标系原点不变，保持空间任意点到原点的距离不变 设转动操作R把P点转到 点 R：P → P' 点转到P'点 设转动操作 把 点转到 变换前后的坐标可用R矩阵联系， 变换前后的坐标可用 矩阵联系，位置矢量变换为 矩阵联系 则
3 r r r ' = ∑ e a x 'a a =1
r 3 r P点位置矢量： r = ∑ ea x a , a = 1,2,3 r z e3 r P a =1 r r r 坐标：x a ↔ r r e1 O e y
2
x1 ' R 11 x 2 ' = R 21 x ' R 3 31
R 12 R 22 R 32
R 13 x1 3 R 23 x 2 ⇒ x a ' = ∑ R ab x b b =1 R 33 x 3
♣坐标的齐次变换保证原点位置不变 坐标的齐次变换保证原点位置不变 坐标的齐次变换保证 ♣距离不变要求矩阵R是实正交矩阵 距离不变要求矩阵 是实正交矩阵 距离不变要求矩阵 （距离与x2联系，两个列矩阵相乘xT x） 距离与 联系，两个列矩阵相乘 ）
x ' x ' = (R x ) (R x ) = x R R x = x x
T T T T T
要求为1 要求为
若在系统上建立坐标系K’ 若在系统上建立坐标系 ’ 实正交： R + R = 1, detR = ±1 r 单位矢量记为 ea ' r 在坐标系K'中的分量保持不变 中的分量保持不变（ 则 r ' 在坐标系 中的分量保持不变（系统与坐标系相 z P’ 对静止）， ），因此有 对静止），因此有 ’ xa 3 3 P r r r
r ' = ∑ e a x 'a = ∑ e ' b x a
a =1 b =1
r ea
x
r r x 'a x a r e 'a
y
3 3 3 r r r r r r ' = ∑ ea x 'a = ∑ e'b x a ⇒ e b ' = ∑ ea R ab 展开，Rab为展开系 展开， a =1 b =1
a =1
r r 相当于 e b ' 按 ea 线性
数
x a ' = ∑ R ab x b
b =1
3
♣坐标系的手征性 坐标系的手征性 用单位矢量的混合积来确定
r r r 右手： e1 ⋅ ( e 2 × e3 ) = 1
r r r 左手： e1 ⋅ ( e 2 × e3 ) = −1
转动变换保持系统的手征性不变， 转动变换保持系统的手征性不变，就是要求固定在系 统上的坐标系单位矢量混合积在变换前后都是1， 统上的坐标系单位矢量混合积在变换前后都是 ，即
r r r e1 '⋅(e 2 '×e3 ' ) = 1 = det R
三维空间转动变换：由行列式为 的实正交矩阵 的实正交矩阵R描写 三维空间转动变换：由行列式为1的实正交矩阵 描写
的实正交矩阵R满足空间转动变换的三个要 ◆行列式为+1的实正交矩阵 满足空间转动变换的三个要 行列式为 的实正交矩阵 保持原点、两点间距离、手征性不变——R对应的是 求：保持原点、两点间距离、手征性不变 对应的是 固有转动 行列式为-1的实正交矩阵会改变系统的手征性 的实正交矩阵会改变系统的手征性， ◆行列式为 的实正交矩阵会改变系统的手征性，说明变 换中包含了空间反演σ 换中包含了空间反演σ——非固有
3.1三维空间转动变换 3.2李群的基本概念
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转动 非固有转动 ◆实正交矩阵行列式只能取+1或-1，分别对应固有转动 实正交矩阵行列式只能取 或 ， 和非固有转动， 和非固有转动，即 非固有转动元素=固有转动 空间反演σ 固有转动R+空间反演 非固有转动元素 固有转动 空间反演σ
2. 三维空间转动群 ˆ ♣SO(3)群：三维幺模实正交矩阵 R (n , ω)描写绕三维空 群 ˆ 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则， 间 n 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则，它的 集合构成群。（ 。（O：实正交； ：幺模） 集合构成群。（ ：实正交；S：幺模） ♣O(3)群：三维实正交矩阵群 群 SO(3)+空间反演变换σ群 空间反演变换σ 空间反演变换
四、特殊的转动
r 1. 绕x3(z)转动ω角的变换矩阵 R (e3 , ω) 转动ω 转动
给出x-y平面 右手坐标 平面(右手坐标 ●给出 平面 右手坐标) z轴垂直于 面向外 轴垂直于xy面向外 轴垂直于 两个坐标系： ●两个坐标系： K 固定在空间 K’ 固定在系统上 转动变换前， 与 重合 ●转动变换前，K与K’重合 空间某点P在两个坐标系中 空间某点 在两个坐标系中 的坐标为 x1，x2，x3 变换：系统绕x 轴转动ω 系随着转动ω ●变换：系统绕 3轴转动ω角，即K’系随着转动ω角 系随着转动 系统上的P点位置转过 标记为 x’1，x’2，x’3;系统上的 点位置转过ω角到 点 系统上的 点位置转过ω角到P’点
x2
x’2
x2 P’ P
x1
x’1 x1
x3
点在K系中坐标为 ●P’点在 系中坐标为 点在 系中坐标为(x’1,x’2,x’3) K’系中坐标为 1,x2,x3) 系中坐标为(x 系中坐标为
●由图中得到两组坐标的关系
x’2
x2 x’2 P’ x2
x2
P
x1
x1
x’1 x1
x '1 = x1 cos ω − x 2 sin ω x '2 = x1 sin ω + x 2 cos ω x '3 = x 3
将系数写成矩阵
cos ω − sin ω 0 r R (e3 , ω) = sin ω cos ω 0 0 0 1
x3
x’1
x '1 x1 r x '2 = R (e3 , ω) x 2 x' x 3 3
利用物理中常用的泡利矩阵， ●利用物理中常用的泡利矩阵，可将转动矩阵写成矩阵 指数函数的形式 泡利矩阵： 泡利矩阵：
0 1 0 − i 1 0 σ1 = 1 0 , σ 2 = i 0 , σ 3 = 0 − 1
3
三个矩阵之间的关系： 三个矩阵之间的关系：
σ a σ b = δ ab1 + i ∑ ε abc σ c
c =1
ε abc
1 = − 1 0
abc : 123, 231,312 abc : 321, 213,132 others
2 σ a = 1, σ1σ 2 = iσ 3 , Trσ a = 0, Tr (σ a σ b ) = 2δ ab , etc.
矩阵的指数函数用它的级数展开来定义
∞ x2 xn xn e = 1+ x + + ... + + ... = ∑ 2! n!+ n = 0 n! x n −1 x3 x5 x2 x4 x2 n −1 x 2 sin x = x − + − ... + (−1) + ...; cos x = 1 − + − ... + (−1) n + ... 3! 5! (2n − 1)! 2! 4! (2n )!
∞ 1 1 n exp{
2. 三维空间转动群 ˆ ♣SO(3)群：三维幺模实正交矩阵 R (n , ω)描写绕三维空 群 ˆ 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则， 间 n 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则，它的 集合构成群。（ 。（O：实正交； ：幺模） 集合构成群。（ ：实正交；S：幺模） ♣O(3)群：三维实正交矩阵群 群 SO(3)+空间反演变换σ群 空间反演变换σ 空间反演变换
四、特殊的转动
r 1. 绕x3(z)转动ω角的变换矩阵 R (e3 , ω) 转动ω 转动
给出x-y平面 右手坐标 平面(右手坐标 ●给出 平面 右手坐标) z轴垂直于 面向外 轴垂直于xy面向外 轴垂直于 两个坐标系： ●两个坐标系： K 固定在空间 K’ 固定在系统上 转动变换前， 与 重合 ●转动变换前，K与K’重合 空间某点P在两个坐标系中 空间某点 在两个坐标系中 的坐标为 x1，x2，x3 变换：系统绕x 轴转动ω 系随着转动ω ●变换：系统绕 3轴转动ω角，即K’系随着转动ω角 系随着转动 系统上的P点位置转过 标记为 x’1，x’2，x’3;系统上的 点位置转过ω角到 点 系统上的 点位置转过ω角到P’点
x2
x’2
x2 P’ P
x1
x’1 x1
x3
点在K系中坐标为 ●P’点在 系中坐标为 点在 系中坐标为(x’1,x’2,x’3) K’系中坐标为 1,x2,x3) 系中坐标为(x 系中坐标为
●由图中得到两组坐标的关系
x’2
x2 x’2 P’ x2
x2
P
x1
x1
x’1 x1
x '1 = x1 cos ω − x 2 sin ω x '2 = x1 sin ω + x 2 cos ω x '3 = x 3
将系数写成矩阵
cos ω − sin ω 0 r R (e3 , ω) = sin ω cos ω 0 0 0 1
x3
x’1
x '1 x1 r x '2 = R (e3 , ω) x 2 x' x 3 3
利用物理中常用的泡利矩阵， ●利用物理中常用的泡利矩阵，可将转动矩阵写成矩阵 指数函数的形式 泡利矩阵： 泡利矩阵：
0 1 0 − i 1 0 σ1 = 1 0 , σ 2 = i 0 , σ 3 = 0 − 1
3
三个矩阵之间的关系： 三个矩阵之间的关系：
σ a σ b = δ ab1 + i ∑ ε abc σ c
c =1
ε abc
1 = − 1 0
abc : 123, 231,312 abc : 321, 213,132 others
2 σ a = 1, σ1σ 2 = iσ 3 , Trσ a = 0, Tr (σ a σ b ) = 2δ ab , etc.
矩阵的指数函数用它的级数展开来定义
∞ x2 xn xn e = 1+ x + + ... + + ... = ∑ 2! n!+ n = 0 n! x n −1 x3 x5 x2 x4 x2 n −1 x 2 sin x = x − + − ... + (−1) + ...; cos x = 1 − + − ... + (−1) n + ... 3! 5! (2n − 1)! 2! 4! (2n )!
∞ 1 1 n exp{
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