理论力学（二）
勒让德变换有这样一个性质，即如果在x、y平面上的两条曲线是相切的，变换到u、t平面也是相切的，反之亦然。具有这种性质的变换称为接触变换。勒让德变换是接触变换的特殊情形。
勒让德变换
武际可
. §1 勒让德变换的提出
法国数学家、天文学家勒让德（Legendre, Asrien-Marie，1752-1833）出生在一个比较富有的家庭，从小受到良好的教育。18岁时，通过了数学物理的毕业论文答辩。只后在大学教授过数学，31岁时被选入科学院。
1789年法国大革命后，于1790年宣布要对当时相当混乱的度量衡制度进行改革。科学院组成了一个由拉格朗日为首的委员会。委员会建议以从赤道到北极的一千万分之一为长度基本单位――米，这个方案于1791年被法国国民议会通过。于是就要着手实际测量从赤道到北极的长度。勒让德参加了测量，并且是经度局的一名成员。1813年拉格朗日逝世，勒让德接替他成为经度局的主席。他在数学上的贡献，勒让德多项式就是在计算地球形状时的一项创造。
勒让德在数学上的贡献是多方面的，他在解析数论、椭圆函数、几何学、天体力学等方面都有重要的贡献。
1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的。不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应用于许多方面。
勒让德变换是从以下偏微分方程出发的
（1.1）
勒让德像
其中若令,zzpqxy∂∂==∂∂，再令R、S、T仅是p,q的函数。令曲面的切平面为(,)zfxy=
0pxqyzv+−−， （1.2）
则应当有
222220vvvRSTqpqp∂∂∂−∂∂∂∂ （1.3）
（1.2）式在变量x,y与它们的对偶变量p,q之间给了一个变换。把这个变换具体写出来就是对它求微商得
,;,vvzzpqxyxypq∂∂∂∂===∂∂∂∂ （1.4）
考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即
222222ppzzxyxxyqqzzxyxyy⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎜⎟∂∂⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠，222222xyvvppppqxyvvqqpqq⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎜⎟∂∂⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠
于是有
2222222222222222111,,,zvzvzvxqxypqypvvppqvvpqq∂∂∂∂∂∂==−∂Δ∂∂∂Δ∂∂∂Δ∂∂∂∂∂∂Δ∂∂∂∂∂其中＝
这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）。
§2. 勒让德变换
令 2.1 2.2 2.3yyxdyytdxuutduu′′＝（），（）＝＝，（）＝（），（）＝ 2.4 dt。（）
从（2.2）反解出x为t的函数并代入下式
uxty＝－ （2.5）
把这个式子微分得
dddddddddddyyuxttxxxttxxtxx＝＋－＝＋（－）＝，
由此，显然得到u是t的函数，并且对t的导数是x。
（2.5）式确定了变量u、y，x、t之间的一个变换。它把y＝y(x)变到了
ttxuut＝（）＝（） （2.6）
同样，由（2.5）可以得，它定义了另一个与上面变换相反的变换。所以这两个变换是相互的，它们的关系是对等的。yxtu＝－
勒让德变换有这样一个性质，即如果在x、y平面上的两条曲线是相切的，变换到u、t平面也是相切的，反之亦然。具有这种性质的变换称为接触变换。勒让德变换是接触变换的特殊情形。
把以上的思想推广到多变量的情形，设有n个变量的函数，它具有直到二阶以上的连续微商，取新的一组变量12,,,nqqqK12(,,,)nUUqqq=K
(1,2,,)iiUQinq∂==∂K （2.7）
它们组成对原变量的一组变换其雅科比行列式12,,,nqqqK
20ijijQUqqq∂∂=≠∂∂∂
从（2.7）可以把原变量反解出来得
12(,,,)(1,2,,)iinqqQQQin==KK（2.8）
考虑新函数
1nciiiUQqU==Σ ， （2.9）
对上式微分得
========∂=∂∂=−∂∂=−∂∂==∂ΣΣΣΣΣΣΣΣ（＋）－＋（)＋（)11111111ddddddddddnnciiiiiiiinniiiiiiinniiiiiiicnniiiiiiUUQqqQqqUqQQqqUqQQqqUqQqq
由此我们证明了
(1,2,,)ciiUqinQ∂==∂K （2.10）
两个函数U和的关系由（2.9）给出。对应的变量和函数的关系分别由（2.7）和（2.10）给出。它们概括了力学与物理中许多对偶关系。cU
§3 .勒让德变换在力学与物理中的应用
1）.气体的热力学函数
在热力学中，常见的自变量或状态变量有：T、S、p、v四个，即温度、熵、压强与体积。这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量。用体积和熵为自变量表示的内能U（S，v），有
（3.1） ddUTSpv＝－
可以将自变量改变为其对偶的自变量，于是我们还有和内能同一量纲的三个热力学函数F（T，v）、H（S，p）、G（T，p），即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是
d= d = d=-Sdd=+ dHdd=+ dG=-d+dUUTSpdvFUTSFTpvHUPV TSvpGUPVTSSTvp－－－＝＋－ （3.2）
我们看到，这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。所以，勒让德变换实际上是在我们得到了一个不变量后，要得到它的对偶自变量下的不变量的一个重要的变换。
2）.哈密尔顿函数
在分析力学中，我们有描述n自由度系统的拉格朗日第二类方程
d01,2,djjLLjqq∂∂∂∂L&－＝（＝， （3.3）
其中L＝T－U这里L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能，jq（j＝1,2, ，n）为系统的广义坐标。L
如果我们引进系统的广义动量
1,2,jjLpjq∂∂L&＝（＝ （3.4）
可以证明，从上式中我们可以把jq&反解出来作为jp和jq的函数。我们希望引进新的函数H，它是p，q的函数。为此令
（3.5） 1njjjHpqΣ&＝＝
我们把两边进行变分并利用（3.3）与（3.4）得
111111dddddddddddddnjjjjjnnjjjjjjjjjjnnjjjjjjjjjjnjjjjjHHHpqpqLLpqqpqqqqpqqppqpqpqqp∂∂∂∂∂∂∂∂ΣΣΣΣΣΣ&&&&&&&&&&＝＝＝＝＝＝＝（＋）＝（＋）－（＋）＝（＋）－（＋）＝（－＋）
比较等式两边，我们就得到
jjjjHpqHqq∂∂∂∂&&＝－＝ （3.6）
这就是动力系统的哈密尔顿形式的典则方程。我们看到（3.5）也是一个勒让德变换。
另外，由于拉格朗日函数是jq与jq&的函数，按照（3.5）转换为哈密尔顿函数是jp和jq的函数，所以变换是把部分自变量变量jq&变到自变量jp而保持自变量jq不变。由此可以知，勒让德变换可以把自变量中的任意个变量变换到它的对偶量。
3).弹性力学的余能原理
现在我们来讨论弹性体，在（2.9）中，令U为弹性体的势能，它是广义位移q的函数。则就是弹性体的余能。对于弹性体来说，因为自变量是坐标的连续函数，这时（2.9）中的求和号，应当改用积分号。cU
我们知道弹性体的总势能是
1:Tddd2tDDDUvv∗∂Γ⋅∫∫∫∫∫∫∫∫＝（）－－u futu （3.7）
其中是应变张量是应力张量，ΓTf是体力向量场，是位移场，是体积，是表面积，uvsD是体积占据的空间区域，D∂是区域的表面，下标t是表面上给定外力t的部分。
1:Tddd:Tdd2cDDDDDUvvsUv∂∂=Γ⋅⋅Γ⋅∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫－－－＝－u fututu （3.8）
在满足几何约束的条件下，从总势能的变分0Uδ＝可以得到弹性体的平衡方程和应力边条件，可以推出在满足平衡条件下，从余能的变分可以得到弹性体的几何关系与位移边条件。这就是弹性力学的余能原理。0cUδ＝
§4. 广义变分原理
我们来考察式（2.9）把所有的项移到一边，然后用一个函数不是它，即令
=Π=Σ＋－1nciiiUUQq （4.1）
其中U是广义位移q的函数，而是广义力Q的函数。显然对cUΠ求变分，我们得到
δδδδδδδ==Π=∂∂−−∂∂ΣΣ＋－（＋）＝[（＋(）11)]nciiiiicniiiiiiiUUQqqQUUQqqQqq
考虑到δiq与δiQ的任意性，我们就有
∂=∂∂=∂iiciiUQqUqq （4.2）
上式既包含了平衡条件，也包含了几何条件，其中U是应变能，是余应变能。得到的前一个式子是拉格朗日定理，而后一个式子是卡斯提也努定理。cU
对于得到平衡或几何条件来说，相应的广义力与广义位移应当等于零，即（4.2）的左端应当等于零。这时对应的（4.1）应当适当修改为
Π=＋cUU （4.3）
一般说来，对于弹性力学的情形，这就相当于Hellinger-Pranger-Reissner两变量的变分原理。
采用（3.7）和（3.8）的符号，对于弹性力学问题，我们可以把（4.3）写为：
tDDDDDvsvv=∂∗∂Π==Γ⋅Γ⋅⋅Σ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫＋－－（）－－11:Tdd21:Tddd2nciiiUUQqutuu futu （4.4）
如果在余能原理的泛函中，通过本构关系把其中都好应力变换为应变。然后加入上式中。这时，对它进行变分，自变函数是位移、应力和应变。我们就得到三变量变分原理。它和胡海昌变分原理是等价的。
§5 结论
勒让德变换是把一个物理不变量变为其对偶坐标下的不变量。由于在物理中，对偶是一个十分基本的概念，所以勒让德变换对于理解这类问题起着重要作用。
参考文献
〔1〕 菲赫金哥尔茨著，微积分学教程，第一卷第二分册，高等教育出版社，1955，pp.474
〔2〕 武际可、王敏中、王炜，弹性力学引论（修订版），北京大学出版社，2001
〔3〕 V.I.Arnold，Mathematical Methods of Classical Mechanics，Springer-verlage，1978，pp.66，366
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