在哈密顿的表述中,正则坐标qi 组成的位形空间和, qm: 所有自由度的频率是简并的

在哈密顿的表述中,正则坐标qi 组成的位形空间和

正则动量pi 组成的动量空间合成2 n 维的相空间


http://course.zjnu.cn/qm/eWebEditor/uploadfile/%E7%BA%AA%E5%BF%B5%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E5%92%8C%E6%B3%A2%E5%8A%A8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E8%AF%9E%E7%94%9F80a.pdf

在拉格朗日方程的表述中,人们在广义

坐标qi 组成的n 维位形空间里描述运动的轨迹; 而

在哈密顿的表述中,正则坐标qi 组成的位形空间和

正则动量pi 组成的动量空间合成2 n 维的相空间,这

正是后来在统计物理中的做法. 在量子力学中轨迹

已没有意义,共轭的正则变量qi 和pi 构成一对不对

易的算符,它们之间有着海森伯的不确定度关系. 这

些都显示正则坐标qi 和正则动量pi在理论上的平等

地位. 难怪正

以前的变换只限于坐标变换qi → Qi = Qi ( q ,

t) ,在哈密顿表述中坐标和动量是平等的,我们可以

设想正则变量之间的一般变换( q , p) →( Q , P) :

Qi = Qi ( q , p , t) , 　Pi = Pi ( q , p , t) (2. 9)

这是相空间里的“坐标变换”. 当然只有那些保持哈

密顿方程形式不变的正则变量变换才令人感兴趣.

这就要求存在一个新正则变量的函数K( Q , P , t) ,

使得新的运动方程具有下列哈密顿方程的形式:

　Qi

·

=

9 K

9 Pi

　- Pi

·

=

9 K

9Qi

　( i = 1 ,2 , ⋯, n) (2. 10)

这里K( Q , P , t) 起着变换后的哈密顿量的作用,有

人诙谐地把它叫做“卡密顿量(Kamiltonian) ”. 凡满

足上述条件的变换叫做正则变换.

这

是可能的,关键是要找到适当的生成函数. 设这个函数

是F2 ( q , P , t) 型的,并写作S ( q , P , t) ,即S 应满足下

式:

K = H( q , p , t) +

9S

9 t

= 0 (2. 14)

由于

9S

9 qi

= pi [见(2. 11) 式] ,代入(2. 13) 式, 有

H q1 , ⋯, qn ;

9S

9 q1

, ⋯,

9S

9 qn

; t +

9S

9 t

= 0 　(2. 15)

满足此方程的生成函数S 称为哈密顿主函数

(Hamilton’s principal function) , (2. 15) 式称为主函数的

哈密顿- 雅可比(Jacobi) 方程.

满足此方程的W函数称为哈密顿特征函数(Hamil2 ton’

s characteristic function) ,(2. 17) 式称为特征函数的哈密

顿- 雅可比方程.

特征函数W( q , P) 也可作为一种F2 ( q , P , t) 型的

生成函数,不过因为它不显含t ,即9WP9 t = 0 , 这一正

则变换的新哈密顿量与旧哈密顿量相等

作用变量- 角变量

对于作周期运动的保守系统,若变量可以分离,

为每个自由度可以定义一个作用变量

Ji ≡∮pi ( qi ; P1 , ⋯, Pn ) d qi = Ji ( P1 , ⋯, Pn )

( i = 1 , ⋯, n ) (2. 28)

积分在周期Ti 内进行. 上式包含n 个方程,可将n

个变量P1 , ⋯, Pn 反解出来:

Pi = Pi ( J1 , ⋯, J n ) , 　( i = 1 , ⋯, n ) 　(2. 29)

如前选P1 = E = H ,于是(2.29) 式中i = 1 的式子化为

H = H( J1 , ⋯, J n ) (2. 30)

若把J = { J1 , ⋯, J n } 看成新的正则动量, 用w =

{ w1 , ⋯,wn } 代表与J 共轭的正则坐标,

在qi 的一个周期Ti 内积分:

wi ( t + Ti ) - wi ( t) =

9

9Ji∮pi d qi =

9

9Ji

Ji = 1

由(2. 32) 式知wi ( t + Ti ) - wi ( t) =νi ( J) Ti ,于是

νi

( J ) Ti = 1 　或　νi ( J ) =

1

Ti

(2. 34)

即νi ( J ) 是第i 个自由度运动的频率.

qm:
所有自由度的频率是简并的

玻尔对卢瑟福的α粒子“巨散射

(big scattering) ”实验和有核式原子模型深切关注,

1912 年夏他草就了一篇备忘录,讨论原子和分子的构

造,寄给了卢瑟福. 他设定原子中的电子在绕核的圆

环上运动,但他感到经典力学无法确定圆环的大小和

电子运动的周期. 在此备忘录中他初步提出了以下假

设: 电子的动能E 正比于其绕核旋转的频率νe ,

　　E = Kνe (3. 1)

式中比例系数K 具有普朗克常量h 的数量级.

1912 年秋玻尔回到祖国,在哥本哈根大学

玻尔设想,原子是由原子核俘获一个个电子而形成

的. 根据经典电动力学,当一个几乎静止的电子由远

处向原子核降落时发出电磁辐射,其动能随时间增

加而半径随时间减小,它没有一个固定的能量和大

小. 这与自然界原子的事实不符. 玻尔假定,电子有

个最终的稳定轨道,它有一定的大小和能量. 在电子

降落的整个过程中,发射频率ν为电子绕核旋的频

率νe 之半的均匀辐射. 按普朗克的辐射理论,此辐射

的总能量为nhν( n 为整数) . 根据能量法则,电子在

最终稳定轨道上的能量为- nhν,按位力定理,它的

绝对值就是电子的动能E ,即

E = nhν =

1

2

nhν