丁玖 非线性分析 迭代 非线性分析的目的主要是探索任何随时间而变化的量当时间走向无穷大时的“最终性态”。时间是一个连续的自变量，它对应的函数变量往往满足一个微分方程，就像十九世纪末期庞加莱研究“三体问题”以及二十世纪中叶洛伦茨预测天气变化用到的那些根植于牛顿力学的微分方程。研究微分方程的解当时间趋于无穷大时的表现的那部分“动力系统”称为“连续动力系统”。为了把一些复杂的问题简单化一点，我们也可以把时间的长轴分成同等长度的无穷多个时间段，最方便的划分是让时间取所有的正整数值 1, 2, 3, 4, 5, … 。这样，微分方程解的渐近性态就成了“解在时间为 1时的值”所定义的某个函数的逐次迭代之渐近性态。这就是被称作为“离散动力系统”的另一个学科所要做的事。"

[PDF]丁玖《自然的奥秘：混沌与分形》 - 新语丝

www.xys.org/xys/netters/psi2b/dingjiu.pdf

经典牛顿法求解一个未知数的实数方程的思想很简单。方程的解是函数的曲线和x-轴的交点坐标。取解点的一个近似点，在曲线上对应的那点作一条切线，它和x-轴的交点比第一个猜测更靠近解。重复这个过程就得到近似

重复这个过程就得到近似

解的一个序列，可望能收敛到解。如果第一个猜测取得足够好，意思是和未知的解足够接近，那么这个迭代过程是收敛的，而且，收敛的速度很快。
但是如果初始猜测不好，迭代不收敛了，那怎么办？教了多次微积分课本里介绍的牛顿法，有点厌倦标准教法的哈伯德想换换花样。他把目光转向在复数平面上用牛顿法解最简单的三次方程z3 – 1 = 0，即算出1的三个立方根，分别是实数1和两个复数根 (-1 + i √3)/2 和 (-1 - i √3)/2。这三个解在复平面上形成一个等边三角形。给出一个初始点，他让学生们看看牛顿法将引到三个解中的哪一个。
这实际上成了一个标准的具有三个“吸引子”的动力系统问题。哈伯德让计算机决定哪些点走到第一个解，哪些点趋向第二个解，哪些点导致第三个解。这些到达不同目的地的初始点分别用三个不同的颜色区别开来。在粗糙的选点下，牛顿法的动力学果然如他所猜把平面分成三个扇形，但随着选点的越来越精细，他和学生们发现这三个区域的分界线越来越不清楚，三种颜色互相缠绕，只要两种颜色靠近一些，第三种颜色便乘虚而入，挤进来夹在中间，这又引起一连串新的自相似的涌入，似乎没有哪个点可以分开任两种颜色。就这样，美国数学教授哈伯德和修他课的法国学

 

 

轉為繁體網頁

为什么在演讲稿中甚至对大数学家冯· 诺依曼都“颇有微辞”的戴森对. 李天岩-约克 .... 庞加莱曾被无产阶级革命导师和辩证唯物主义哲学家列宁半褒半贬为一. 个“伟大的 ...

"非线性分析的目的主要是探索任何随时间而变化的量当时间走向无穷大时的“最终性态”。时间是一个连续的自变量，它对应的函数变量往往满足一个微分方程，就像十九世纪末期庞加莱研究“三体问题”以及二十世纪中叶洛伦茨预测天气变化用到的那些根植于牛顿力学的微分方程。研究微分方程的解当时间趋于无穷大时的表现的那部分“动力系统”称为“连续动力系统”。为了把一些复杂的问题简单化一点，我们也可以把时间的长轴分成同等长度的无穷多个时间段，最方便的划分是让时间取所有的正整数值 1, 2, 3, 4, 5, … 。这样，微分方程解的渐近性态就成了“解在时间为 1时的值”所定义的某个函数的逐次迭代之渐近性态。这就是被称作为“离散动力系统”的另一个学科所要做的事。"

quantway.lofter.com/post/42866f_179de26

如果我们利用某个关系函数，比如Y=F（X），代入一个X算出一个Y，又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断，这种方法在数学上称为迭代，



"乌拉姆和冯 · 诺依曼考虑了如下的“概率问题”：任取[0, 1] 区间内的一个子区间，记为 [a, b]， 这些迭代点的无穷序列的每个点跳进这个子区间的总的或然率为多少？算出或然率，就要先算出总数为有限的点列中符合要求的那些点出现的“频率”。假如 10000 个点中有 4000 个点进入 [a, b] 子区间，那么频率就是前一个数被后一个数除，等于五分之二。同样的道理，在
x0, x1, x2, x3, x4, x5, … , xn-1
这 n 个点中，若有 k 个点进入 [a, b] 子区间，那么进入该子区间的点的频率为一个分数 k/n。所有迭代点中进入 [a, b] 子区间那些点的或然率就等于 当 所有迭代点的个数 n 越来越大直至无穷时，对应的频率值愈来愈趋近的那个数，如果这个“极限”数的确存在的话。
乌拉姆和冯 · 诺依曼发现，对所有的子区间 [a, b]，这些概率值不光存在，而且等于位于[a, b]上方的一个“曲边矩形”的面积，并且对于“几乎处处”所取的初始点 x0 都一样，即概率值只依子区间而定，而与初始点的选取无关。这个矩形的上边是一条形状像下垂的绳子的曲线，该曲线是他们找到的“概率密度函数”y = 1/{π[x(1-x)]1/2} 的图像。
因此，乌拉姆和冯 · 诺依曼告诉我们：“无序”排列的迭代点列在概率的意义下可以是“有序”的"


这是乌拉姆和冯 · 诺依曼的“非线性分析”在数学分支“遍历理论”的花园中为我们采集的一朵“绚丽的小花”。遍历理论研究“确定性”动力系统诸多的概率统计性质，是集测度论、泛函分析、拓扑学、近世代数等知识于一身的综合性纯数学科目，同时也在物理、生命科学和工程科学中应用广泛，如统计物理、电子线路，以及与我们日常生活密切相关的无线电话，甚至目前最有人气的网络搜索引擎“谷歌”(Google) 的研究也用到它。