g 维数小于等于3时，拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时，Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时，拓扑流形是否可以三角剖分至今（2011年1月）仍是公开问题。 h
牛和植物生长的单手螺旋，所有这些现象都是由于违背了钴60 β 衰变的奇偶性弱相互作用
产生的[33]50。手性定义为非镜面对称，也就是说图像在镜面内确实存在，但是它不能与本
体重合，那么我们就说它具有手性，称为手性体[34]51。从历史的观点看，这个定义并不是
针对于分子结构，而主要被广泛应用于几何体，立体化学对手性体的理解扮演了重要的角色
[35]52。如果一个物体没有对称镜面和镜面旋转轴，那么它就是一个手性体。对称物体具有
平移对称和旋转对称。手性体的对称应用点群来表示， 1 C（没有镜面对称和旋转轴）， n C（一
重或n 对称旋转轴）， n D （一重n 对称旋转轴和二重n 对称旋转轴）。
考虑分子的手性，就要从单个分子的拓扑结构来分析。如果分子能够与自身的镜像重
合，那么它就是非手性分子。所有手性体的结构相同，但是他们的构造是不同的，也就是说
它们原子的排列不同，称为同分异构体。两个同分异构体行为就类似于像与镜像两个对映体。
对映体表现出相同的物理性质例如熔点和手性体相关的性质例如旋光性，只是它们的正负号
相反。而其他一些分子为非同分异构体，如图 1.16 所示，它们表现出不同的物理性质。注
意到非同分异构体的形成至少要包含两个手性基元。它们没必要具有手性中心，但是必须要
有手性轴和手性面[36]53。图1.17 给出了代表性的例子[37]54。
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Thurston 与低维拓扑 (一)
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季候风 发表文章数: 262 内力值: 310/310 贡献度: 3398 人气: 154    |
标题: Thurston 与低维拓扑 (一)
作者: 季候风 这个周末美国拓扑学界的一大盛事就是不世出的天才 William Thurston 60 大寿, 各位大佬和 Thurston 学派的主要人物齐聚于科学圣地普林斯顿, 回顾过去, 展望将来. 近两年来由于丘老先生的热心, 使 Thurston 的大名越洋远波, 不少国人因而得知 Thurston 的主要贡献在于蕴涵 "Poincare 猜想" 在内的 "几何化猜想". 大会上的讨论显示, 几何化猜想被俄罗斯野人 Perelman 攻克已成公论. 想起代数几何学家 Griffiths 在他的<代数曲线>前言中说, Riemann-Roch 定理不应该是代数曲线理论的终结, 而是真正的开始. 我们现在也可以说, "几何化" 不是三维流形理论的终结, 而是一个新的开始, 我们现在解开束缚, 可以完全自由地讨论三维流形的分类问题了. 与我以前听到的相反, Thurston 似乎并没有对 "几何化猜想" 不在他所设计的步骤下被证明这件事感到不快. 而我这次亲眼看到他之后, 觉得他比传说中要和蔼可亲多了, 几乎肯定比传说中的 Grothendieck 更贴近正常人. Thurston 于1967年从 New College of Sarasota, Florida 获得他的生物学士学位. 据他自己所述, 这个学校非常重视独立研究, 所以在本科期间他读了不少数学书. 毕业以后去加州伯克力攻读数学博士. 这个故事可以激励客栈里很多身在其它专业而热爱数学的同修, 专业不是困难, 也不是借口, 呵呵. Thurston 的博士和博士后期间的工作都是关于 "分叶结构" 的. 我其实不是很理解为什么叫 "分叶", 就图像来说好像 "分页" 更合适. 简单说就是什么样的流形是维数统一的子流形的并. 如果流形是闭的, 那么 "低一维的分叶" (codimension one foliation)受到一个比较显然的限制, 就是欧拉示性数必须是0. Thurston 在这个课题上的结果就是: 如果考虑光滑分叶结构, 那么这个限制就是唯一的限制. 也就是说, 只要一个闭流形的欧拉示性数是0, 那么就存在光滑分叶结构. 这个结果是很出人意料的, 本来大家都觉得这个问题的答案应该不可能这么简单. Thurston 就是这样, 他得到的结果总是让所有人大吃一惊. 说到这里有一个故事, 关于 Thurston 和另外一个 Fields 奖得主 Michael Freedman 的. Freedman 毕业以后做了一些分叶结构的东西, 大佬 Milnor 很欣赏, 1975 年把他搞到普林斯顿高等研究所来做学术委员, 结果他刚过来, Thurston 就作出了上面的结果, 把这个问题回答得既干脆又圆满. 于是 Milnor 认为 Freedman 没有前途了, 立即解聘了他, 还好加州大学圣地亚哥分校收留了他. Freedman 当时恨的那叫一个牙痒痒, 痛定思痛, 决心搞个大的. 四年以后, Freedman 成绩斐然, Milnor 脸皮也够厚, 又把他搞到高等研究所去, 可惜 Freedman 对 Milnor 可能一直怀恨在心, 当 UCSD 用正教授职位来挽留他的时候, 他毅然留在了圣地亚哥. 在他回到圣地亚哥的当年(1982), 他就宣布证明了四维 Poincare 猜想. 1986年颁发 Fields 奖的时候, Milnor 又出现了, 高度评价了 Freedman 的工作. 对 Milnor 来说, 当年是秉持任人唯贤的原则, 而对于 Freedman, 的确有些残酷. 美国的数学界就是这样, 能够用来证明自己潜力的时间和机会都很少, 无比勤奋地工作才是抓住这些机会的唯一途径. Thurston 博士期间研究的分叶结构是三维流形上的, 这些研究使得他对三维流形的内部构造有了非常敏锐的感觉, 这种感觉把他引至关于三维流形的几何结构的研究, 从而发现了最令人吃惊的结果 --- 原来绝大多数 "不可约" 三维流形都具有 "双曲度量". 当 Riemann 在1854年提出他的 "流形" 概念的时候, 他把当时人们还不能接受的 "双曲几何" (即 "非欧几何") 作为他的一般 "度量" 概念的一个非常特殊的情形, 他绝对不会想到在三维, 我们人类存在的空间维数, 双曲几何是如此普遍的存在. 而当 Poincare 将双曲几何从故纸堆里翻出来进行系统研究的时候, 他也不会想到这个几何结构同他另一个关心的问题 (Poincare 猜想) 正好构成三维流形分类过程中两个互补的方面. 这个故事中有一个普遍规律, 就是博士期间研究课题的重要性 (这里说的博士期间准确说应该是整个研究生期间, 包括硕士和博士. 美国的博士几乎都是直博, 对严肃的研究生来说, 直博肯定更好). 这个课题最好比较容易上手, 同时又比较有深度. 这里的 "深度" 可以这么理解: 它同某个领域里最核心的问题有微妙的关系. 这个课题又不能太深, 比如说它最好不要是某个领域最核心的问题, 核心问题通常是不能被直接攻击的, 必须迂回, 在博士期间直接攻击这种问题就是自毁前程. 这个课题最好需要一些特别的技巧 (多数人不会的技巧, 多半来自于导师的直接传授), 在整个博士研究过程中, 这些技巧慢慢被自己吸收, 发展, 成为自己的一套思维方式. 在博士毕业之后的一段独立研究中, 运用这一套思维方式来试探前人提出的一些相关问题, 由于这一套观点和技巧来源于自己长期 (4-5年) 对一个问题的深入研究, 它们已经成为威力强大的工具, 解决相关问题的希望是很大的. 博士期间练就的这一套思维方式和技巧, 我喜欢叫做 "看家本领". 这就像天龙八部里鸠摩智练的小无相功, 可以凭它这一种内力就催动少林七十二绝技, 玩得比少林高僧还似模似样. 以上这两个例子, Thurston 的看家本领就是分叶结构以及相应的动力系统的观点和技巧, Freedman 的看家本领也是分叶, 手术, 这些他博士期间研究的东西. 另一个很好的例子就是 Kontsevich, 他在博士期间研究二维引力理论, 证明了 Witten 猜想, 过程中学到的量子场论, 弦论, 代数几何, 以及对 Feynmann 图的灵活运用, 都深深地渗透到他这十多年的研究当中. 他最具代表性的成果, Kontsevich integral, 一个普适量子不变量, Poisson 流形形变量子化的存在唯一, 都是以 Feynmann 图为核心概念和工具, 而 Poisson 流形量子化和 homological mirror symmetry proposal 也来源于他对二维引力的深刻理解. 我自己非常遗憾地荒废了研究生阶段最宝贵的5年, 在这几年中, 我的兴趣过于广泛, 而读书又太流于表面, 时髦的名词和理论见到无数, 却从未严肃认真地去研究过其中任何一个. 最后的结果就是无一技防身, 亏了导师的贤明才得以毕业后苟延残喘几年, 现在懊悔不已. 虽然古语有云亡羊补牢为时未晚, 但习惯成自然, 现在想补救已是非常困难, 思维流动性太大, 每个问题思考半晌之后, 要么放弃, 要么就跳向另一问题, 其结果就是思之良久却一无所获. 技巧的缺乏又导致对任何问题都没有头绪, 想算却不知道算什么, 想推导却没有明确目标. 这些都是在博士期间没有深入研究一个课题, 没有对某个种类的对象形成良好的感觉所致. 这几年中国的大学生对数学或者物理的热情高涨, 在各种论坛上就能感受到. 只是大多数爱好者都是只见理论的冠冕堂皇, 而不知其探求过程的琐碎与丑陋. 各大数学论坛都有两极分化的趋势 --- 论坛办到最后, 一半帖子在高谈阔论 Grothendieck, 另一半帖子在问微积分线性代数概率统计的家庭作业. 所以我在此以我个人的教训, 来提醒至少这个客栈里正处于研究生阶段和要步入研究生阶段的后来人, 要重视对具体问题, 具体例子的深入, 透彻的研究. 跑题太远. 下面先回到 Thurston. Thurston 几何化猜想;2维流形唯一的拓扑不变量，即Euler示性数，通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何 http://zx31415.wordpress.com/2011/10/08/thurston%e7%9a%84%e5%85%ab%e6%ad%a3%e9%81%93-%e2%85%a0/Thurston的八正道 Ⅰ
10/08/2011 by zx31415
八正道(the Eightfold Way)是佛家语。粒子物理学中有利用  的8维自伴随表示描述介子和自旋 的重子的理论，称为Gell-mann的八正道。在3维流形理论中也有8种标准几何(model geometry)，我仿照成例，称之为Thurston的八正道。这个系列介绍与Thurston八正道相关的一些结果。主要参考文献是 Thurston Three-dimensional geometry and topology Thurston Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry
W.Thurston(1946- )
  与作用在上的微分同胚Lie群 ，满足(1) 连通且单连通；(2) 的作用是可递的，且 的稳定子群是紧致的；(3) 在所有满足(2)的群中是极大的；(4)存在紧致的  以为万有覆叠，称为此种几何的紧模型；注意到(2)允许我们赋予 一个-不变的完备Riemann度量使之成为齐性空间。注记1 2维标准几何是容易分类的。此时流形的Gauss曲率是常数，通过尺度放缩，不妨设为-1，0，1。另一方面，熟知仅有的带有常截面曲率-1，0，1(换言之，满足物理上各向同性要求)的单连通完备Riemann流形为  ， 和 ，对应双曲几何，欧氏几何和球面几何。为分类3维标准几何，考虑 的单位元所在的连通子群 及 的稳定子 。的单连通性保证了 是连通的，因而是 的连通闭子群。此处只有3种可能： ， 或 。Thurston证明了3维标准几何仅有如下8种： (a) ：为 ， 或 ；这是注记1中所提到的结论的简单推论； (b)  ：此时是以某个2维标准几何为底空间的纤维丛。与纤维正交的联络有曲率0或1，进一步的分类给出(b1)曲率为0：  或 ；(b2)曲率为1：幂零几何(  为底)或 几何( 为底)；(c)  ：可解几何；(b)和(c)的证明及所涉及的几何的具体特性留待之后讨论。 回到拓扑的层面。以  记3维闭流形。注意，3维时拓扑流形，分片线性流形和微分流形这3个范畴是一致的。称为素流形，如果除平凡分解 外无法分解成3维流形的连通和。任意3维闭流形都可以(在同胚意义下)唯一分解为素流形的连通和。Milnor A unique factorization theorem for 3-manifolds 注记2 对2维的情况，熟知有更强的分类定理：所有闭曲面的同胚类是由  和 在 下生成的交换半群， 是单位元。素分解对应的几何操作是沿着 切开流形。进一步，可以沿环面将流形切得更“均匀”。(Thurston几何化猜想) 任何可定向的闭的3维素流形都可以沿环面切开，使得每块切片带有上述8种标准几何结构之一。 Thurston对Haken流形证明了几何化猜想(但从未发表过完整的证明)。这个结果被称为双曲化定理，是他获得1982年Fields奖的原因之一。这一工作体现了惊人的几何直觉，以至于被戏称为Thurston怪兽定理。 Thurston Hyperbolic structures on 3-manifolds Ⅰ：Deformation on acylindrical manifolds 注记3 我们曾讨论过简单得多的2维流形的几何化：无需切开流形，单值化定理直接保证了3种标准几何结构之一的存在。这是引导Thurston提出几何化猜想的主要线索之一。 注记1，2，3是互相联系的：2维流形唯一的拓扑不变量，即Euler示性数，通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何。正如Thurston所说，3维流形研究的难点(同时也是有趣之处)是缺少这样有力的不变量。 翻译一段 Thurston 唯一正式出版的书 --- <三维的几何与拓扑> ( Three-Dimensional Geometry and Topology )的导读: ################################################### "当我们想介绍一个课题的时候, 最有效率的顺序莫过于逻辑 顺序, 正如很多书籍所做的那样: 在给出背景和来源之前引入 太多的定义; 在陈述问题之前给出太多的答案. 这样一个顺序 跟我们接受这个课题的心理历程截然不同. 当读者面对 这样一个形式的逻辑演绎体系时, 唯一的选择就是被牵着鼻子 走, 抱着最终能豁然贯通的希望. 然而数学是一个庞大而高度交叉的体系. 这个体系远远不是 线性展开的. 学习数学需要始终保持活跃的思维, 不断提出 问题, 不断在脑子里形成当前课题与其他内容的联系, 这样 才能建立自己对这整个体系的一个感觉, 而并不仅仅是走马 观花. 任何有趣的数学领域都不是自成体系的， 也不是完备的： 相反，到处 都是“漏洞”，到处都是自然而生却不容易通过本领域的方法技巧来解决 的问题和想法。这些漏洞经常能导致看起来毫不相关的几个领域之间的 联系。 人们在诠释数学时习惯于掩盖这些漏洞，这样看起来更加流畅， 但是一块饱和的海绵就失去了吸收的能力......” 每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。 ——《收获与播种》，第20页 早期生活 对于我来说，我们高中数学课本最令人不满意的地方，是缺乏对长度、面积和体积的严格定义。我许诺自己，当我有机会的时候，我一定得填补这个不足。 ——《收获与播种》，第3页 我的微积分老师舒拉先生向我保证说数学上最后一个问题已经在二三十年前就被一个叫勒贝格的人解决了。确切地说，他发展了一套测度和积分的理论（真是很令人惊讶的巧合！），而这就是数学的终点。 《收获与播种》，第4页 新世界大门开启 （我最后终于）意识到这种“我们，伟大而高贵的精神”思维方式，在一种特别极端和恶意的形式下，从我母亲的孩提时代开始，就让她情绪易于激动，并支配着她和别人的关系，让她总是居高临下，带着常常是倨傲甚至于轻蔑的怜悯来看待别人。 《收获与播种》，第30页 新几何的诞生 按照三十年后的后见之明，现在我可以说就是在1958年，伴随着两件主要工具，概型（scheme，它代表旧概念“代数簇”的一个变形）和拓扑斯（toposes，它代表空间概念的变体，尽管更加复杂）的苏醒，新几何的观点真正诞生了。 《收获与播种》，第23页 英雄岁月 在IHES（高等科学研究所）的英雄岁月里，Dieudonne和我是所里仅有的成员，也是仅有的可以给它带来信誉和科学世界听众的人… 我觉得自己和Dieudonne一起，有点象是我任职的这个研究所的“科学”共同创始人，而且我期望在那里结束我的岁月！我最终强烈地认同IHES… 《收获与播种》，第169页 有些故事传说格洛腾迪克离开布尔巴基是因为他和韦依的冲突，实际上他们在布尔巴基时间上仅仅有很短的重合：根据惯例，成员必须在50岁的时候退休，所以韦依在1956年离开了学派。然而，格洛腾迪克和韦依作为数学家很不一样倒的确是事实。根据Deligne的说法：“韦依不知为何觉得格洛腾迪克对意大利几何学家们的工作和对经典文献阐明的结果太无知了，而且韦依不喜欢这种建造巨大机器的工作方式…他们的风格相当不一样。 除去EGA以外，格洛腾迪克代数几何全集的另外一个主要部分是Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie，简称SGA，其中包括他的IHES讨论班的演讲的讲义。它们最初由IHES分发。SGA2由North Holland和Masson合作出版的，而其他几卷则是由Springer-Verlag出版。SGA1整理自1960－1961年讨论班，而这个系列最后的SGA7则来自1967－1969年的讨论班。与目的是为了奠基的EGA不一样，SGA描述的是出现在格洛腾迪克讨论班上的正在进行的研究。他也在巴黎布尔巴基讨论班上介绍了很多结果，它们被合集为FGA，即Fondements de la Geometrie Algebrique,其出版于1962年。EGA，SGA和FGA加起来大约有7500页。 魔术扇子 如果说数学里有什么东西让我比对别的东西更着迷的话（毫无疑问，总有些让我着迷的），它既不是“数”也不是“大小”，而是型。在一千零一张通过其型来展示给我的面孔中，让我比其他更着迷的而且会继续让我着迷下去的，就是那隐藏在数学对象下的结构。 《收获与播种》，第27页 在《收获与缝补》第一卷里，格洛腾迪克对他的工作作了一个解释性的概括，意在让非数学家能够理解（第25－48页）。在那儿他写道，从最根本上来讲，他的工作是寻找两个世界的统一：“算术世界，其中（所谓的）‘空间’没有连续性的概念，和连续物体的世界，其中的‘空间’在恰当的条件下，可以用分析学家的方法来理解”。韦依猜想如此让人渴望正是因为它们提供了此种统一的线索。胜于直接尝试解决韦依猜想，格洛腾迪克大大地推广了它们的整个内涵。这样做可以让他感知更大的结构，这些猜想所凭依于此结构，却只能给它提供惊鸿一瞥。在《收获与播种》这一节里，格洛腾迪克解释了他工作中一些主要思想，包括概型、层和拓扑斯。 基本上说，概型是代数簇概念的一个推广。给定一组素特征有限域，一个概型就可以产生一组代数簇，而每一个都有它自己与众不同的几何结构。“这些具有不同特征的不同代数簇构成的组可以想象为一个‘由代数簇组成的无限扇面的扇子’（每个特征构成一个扇面），”格洛腾迪克写道.“‘概型’就是这样的魔术扇子，就孺扇子连接很多不同的‘分支’一样，它连接着所有可能特征的‘化身’或‘转世’。”到概型的推广则可以让大家在一个统一方法下，研究一个代数簇所有的不同“化身”。在格洛腾迪克之前，“我认为大家都不真正相信能够这样做，”迈克－阿廷评论说，“这太激进了。没有人有勇气哪怕去想象这个方法可能行，甚至可能在完全一般的情况下都行。这个想法真的太出色了。” 从19世纪意大利数学家Enrico Betti的远见开始，同调和它的对偶上同调那时候已经发展成为研究拓扑空间的工具。基本上说，上同调理论提供一些不变量，这些不变量可以认为是衡量空间的这个或那个方面的‘准尺’。由韦依猜想隐含着的洞察力所激发的巨大期望就是拓扑空间的上同调方法可以适用于簇与概型。这个期望在很大程度上由格洛腾迪克及其合作者的工作实现了。“就象夜以继日一样将这些上同调技巧带到”代数几何中，曼福德注意到。“它完全颠覆了这个领域。这就象傅立叶分析之前和之后的分析学。你一旦知道傅立叶分析的技巧，突然间你看一个函数的时候就有了完全深厚的洞察力。这和上同调很类似。” 层的概念是由让－勒雷所构想而后由亨利－嘉当和让-皮埃尔－塞尔进一步发展的。在他的奠基性文章FAC（“Faisceaux algebriques coherents”,“代数凝聚层”，[FAC]）中，塞尔论证了如何将层应用到代数几何中去。格洛腾迪克在《收获与播种》中描述了这个概念如何改变了数学的全貌：当层的想法提出来后，就好象原来的五好标准上同调“准尺”突然间繁殖成为一组无穷多个新“准尺”，它们拥有各种各样的大小和形状，每一个都完美地适合它自己独特的衡量任务。更进一步说，一个空间所有层构成的范畴包含了如此多的信息，本质上人们可以“忘记”这个空间本身。所有这些的信息都包括在层里面——格洛腾迪克称此为“沉默而可靠的向导”，引领他走向发现之路。 拓扑斯的概念，如格洛腾迪克所写，是“空间概念的变体”。层的概念提供了一种办法，将空间所依附的拓扑设置，转化为层范畴所依附的范畴设置。拓扑斯则可以描述为这样一个范畴，它尽管无需起因于普通空间，然而却具有所有层范畴的“好”的性质。拓扑斯的概念，格洛腾迪克写道，突出了这样的事实：“对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不是它的‘点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等，而是空间上的层和层构成的范畴”。 为了提出拓扑斯的概念，格洛腾迪克“很深入地思考了空间的概念”，Deligne评价道。“他为理解韦依猜想所创立的理论首先是创立拓扑斯的概念，将空间概念推广，然后定义适用于这个问题的拓扑斯，”他解释说。格洛腾迪克也证实了“你可以真正在其上面工作，我们关于普通空间的直觉在拓扑斯上仍然适用…这是一个很深刻的想法。” 在《收获与播种》中格洛腾迪克评论道，从技术观点而言，他在数学上的大多工作集中在发展所缺乏的上同调理论。平展上同调（Etale cohomology）就是这样一种理论，由格洛腾迪克、迈克－阿廷以及其他一些人所发展，其明确意图是应用于韦依猜想，而它确实是最终证明的主要因素之一。但是格洛腾迪克走得更远，发展了motive的概念，他将此描述为“终极上同调不变量”，所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。Motive的完整理论至今还没有发展起来，不过由它产生了大量好的数学。比如，在1970年代，高等研究院的Deligne和Robert Langlands猜想了motives和自守表示间的精确关系。这个猜想，现在是所谓Langlands纲领的一部分，首次以印刷形式出现在[Langlands]一文中。多伦多大学的James Arthur认为彻底证明这个猜想将是数十年后的事情。但他指出，Andrew Wiles的Fermat大定理的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维motives的特殊情况。另外一个例子是高等研究院的Vladimir Voevodsky在motivic上同调的工作，由此他获得2002年菲尔兹奖章。这个工作发展了格洛腾迪克关于motive的一些原始想法。 在此关于他数学工作的简短回顾中，格洛腾迪克写道，构成它的精华和力量的，不是大的定理，而是“想法，甚至梦想”（第51页）。 格洛腾迪克学派 直到1970年第一次“苏醒”的时候，我和我的学生们的关系，就如我和自己工作的关系一样，是我感到满意和快乐－这些是我生活的和谐感知的切实而无可指责的基础之一－的一个源泉，至今仍有它的意义… 《收获与播种》，第63页 在1961年秋访问哈佛时，格洛腾迪克致信给塞尔：“哈佛的数学气氛真是棒极了，和巴黎相比是一股真正的清新空气，而巴黎的情况则是一年年里越来越糟糕。这里有一大群学生开始熟悉概型的语言，他们别无所求，只想做些有趣的问题，我们显然是不缺有趣的问题的”[Corr]。迈克－阿廷，其于1960年在察里斯基指导下完成论文，此时正是哈佛的Benjamin Pierce讲师。完成论文之后，阿廷马上开始学习新的概型语言，他也对平展上同调的概念感兴趣。当格洛腾迪克1961年来哈佛的时候，“我询问他平展上同调的定义，”阿廷笑着回忆说。这个定义当时还没有明确给出来。阿廷说道：“实际上整个秋天我们都在辩论这个定义。” 1962年搬到麻省理工学院后，阿廷开了个关于平展上同调的讨论班。接下去两年大部分时间他在IHES度过，和格洛腾迪克一起工作。平展上同调的定义完成后，仍然还有许多工作要做来驯服这个理论，让它变成一个可以真正使用的工具。“这个定义看上去很美，不过它不保证什么东西是有限的，也不保证可计算，甚至不保证任何东西，”曼福德评论道。这些就是阿廷和格洛腾迪克要投入的工作；其中一个结果就是阿廷可表定理。与让-路易－沃迪耶尔（Jean－Louis Verdier）一起，他们主持了1963－1964年的讨论班，其主题即平展上同调。这个讨论班写成为SGA4的三卷书，一共差不多1600页。 可能有人不同意格洛腾迪克对1960年代早期巴黎数学氛围“糟糕”的评价，但毫无疑问，当他在1961年回到IHES，重新开?#####奶致郯嗍保屠璧氖Х瘴У玫搅讼嗟贝蟮募忧俊Ｄ抢锏钠铡跋嗟卑簟保⑼⒒匾渌怠Ｕ飧鎏致郯嗖渭诱呷耸诙啵ò屠枋Ы绲耐访嫒宋镆约笆澜绺鞯乩捶玫氖Ъ摇Ｒ蝗撼錾醚У难圃诟衤逄诘峡酥芪В谒闹傅枷滦绰畚模ㄓ捎贗HES不授予学位，名义上说他们是巴黎市内外一些大学的学生）。1962年，IHES搬到它的永久之家，位于巴黎郊区Bures-sur-Yvette一个叫Bois-Marie，宁静而树木丛生的公园里。那个举行讨论班的舞台式建筑，及其大绘图窗户和所赋予的开放而通透的感觉，给这里提供了一种不凡而生动的背景。格洛腾迪克是所有活动的激情四射的中心。“这些讨论班是非常交互式的，”Hyman Bass回忆说，他于1960年代访问过IHES，“不过不管格洛腾迪克是不是发言人，他都占着统治地位。”他特别严格而且可能对人比较苛求。“他不是不善心，但他也不溺爱学生。”Bass说道。 格洛腾迪克发展了一套与学生工作的固定模式。一个典型例子是巴黎南大学的Luc Illusie（老耶律），他于1964年成为格洛腾迪克的学生。老耶律曾参加了巴黎的亨利－嘉当和洛朗－施瓦兹讨论班，正是嘉当建议老耶律或许可以跟随格洛腾迪克做论文。老耶律其时还只学习过拓扑，很害怕去见这位代数几何之“神”。后来表明，见面的时候格洛腾迪克相当友善，他让老耶律解释自己已经做过的事情。老耶律说了一小段时间后，格洛腾迪克走到黑板前，开始讨论起层、有限性条件、伪凝聚层和其他类似的东西。“黑板上的数学就象海一样，象那奔流的溪流一样，”老耶律回忆道。最后，格洛腾迪克说下一年他打算将讨论班主题定为L-函数和l-adic上同调，老耶律可以帮助记录笔记。当老耶律抗议说他根本不懂代数几何时，格洛腾迪克说没关系：“你很快会学会的。” 老耶律的确学会了。“他讲课非常清楚，而且他花大力气去回顾那些必需的知识，包括所有的预备知识，”老耶律评价道。格洛腾迪克是位优秀的老师，非常有耐心而且擅于清楚解释问题。“他会花时间去解释非常简单的例子，来证明这个机器的确可以运行，”老耶律说。格洛腾迪克会讨论一些形式化的性质，那些常常被人归结到“平凡情况”因而太明显而不需要讨论的性质。通常“你不会去详述它，你不会在它上面花时间，”老耶律说，但这些东西对于教学非常有用。“有时有点冗长，但是它对理解问题很有帮助。” 格洛腾迪克给老耶律的任务是记录讨论班一些报告的笔记——准确说，是SGA5的报告I,II和III。笔记完成后，“当我将它们交给他时全身都在发抖，”老耶律回忆道。几个星期后格洛腾迪克告诉老耶律到他家去讨论笔记；他常常与同事和学生在家工作。格洛腾迪克将笔记拿出来放在桌子上后，老耶律看到笔记上涂满了铅笔写的评语。两个人会坐在那里好几个小时来让格洛腾迪克解释每一句评语。“他可能评论一个逗号、一个句号的用法，可能评论一个声调的用法，也可能深刻评论关于一个命题的实质并提出另一种组织方法——各种各样的评论都有，”老耶律说道，“但是他的评语?#####档降阕由稀！闭庋鹦卸员始亲銎缆凼歉衤逄诘峡酥傅佳艿湫偷姆椒ā＠弦苫匾淦鹩屑父鲅蛭荒苋淌苷庋嗬氲呐溃钪赵诒鹑酥傅枷滦戳寺畚摹Ｓ懈鲅淮渭衤逄诘峡撕蟛畹懔餮劾崃恕＠弦伤担骸拔壹堑糜行┤撕懿幌不墩庋姆绞健Ｄ惚匦胝照庋觥庑┡啦皇谴得蟠谩！?br /> Nicholas Katz在他以博士后身份于1968年访问IHES时也被给了个任务。格洛腾迪克建议Katz可以在讨论班上做个关于Lefschetz pencils的报告。“我曾听说过Lefschetz pencils，但除去听说过它们之外我对它们几乎一无所知，”Katz回忆说。“但到年底的时候我已经在讨论班上做过几次报告了，现在这些作为SGA7的一部分留传了下来。我从这里学到了相当多的东西，这对我的未来起了很多影响。”Katz说格洛腾迪克一周内可能会去IHES一次去和访问学者谈话。“绝对令人惊讶的是他不知怎么可以让他们对某些事情感兴趣，给他们一些事情做，”Katz解释说，“而且，在我看来，他有那种令人惊讶的洞察力知道对某个人而言什么问题是个好问题，可以让他去考虑。在数学上，他有种很难言传的非凡魅力，以至于大家觉得几乎是一项荣幸被请求在格洛腾迪克对未来的远见卓识架构里做些事情。 哈佛大学的Barry Mazur至今仍然记得在1960年代早期在IHES和格洛腾迪克最初一次谈话中，格洛腾迪克给他提出的问题，那个问题起初是Gerard Washnitzer问格洛腾迪克的。问题是这样的：定义在一个域上的代数簇能否由此域到复数域的两个不同嵌入而得到不同的拓扑微分流形？塞尔早前曾给了些例子说明两个拓扑流形可能不一样，受这个问题的激发，Mazur后来和阿廷在同伦论上做了些工作。但在格洛腾迪克说起这个问题的时候，Mazur还是个全心全意的微分拓扑学家，而这样的问题本来他是不会碰到的。“对于格洛腾迪克，这是个很自然的问题，”Mazur说道，“但对我而言，这恰好是让我开始从代数方面思考的动力。”格洛腾迪克有种真正的天赋来“给人们搭配未解决问题。他会估量你的能力而提出一个问题给你，而它正是将为你照亮世界的东西。这是种相当奇妙而罕见的感知模式。” 在和IHES的同事及学生工作外，格洛腾迪克和巴黎外一大群数学家保持着通信联系，其中有些正在别的地方在部分他的纲领上进行工作。例如，加州大学伯克莱分校的Robin Hartshorne1961年的时候正在哈佛上学，从格洛腾迪克在那所做的讲座里，他得到关于论文主题的想法，即研究希尔伯特概型。论文完成后Hartshorne给已经回到巴黎的格洛腾迪克寄了一份。在日期署为1962年9月27日的回信中，格洛腾迪克对论文做了些简短的正面评价。“接下去3到4页全是他对我可能可以发展的更深定理的想法和其他些关于这个学科大家应该知道的东西，”Hartshorne说。他注意到信中建议的有些事情是“不可完成的困难”，而其他一些则显示了非凡的远见。倾泄这些想法后，格洛腾迪克又回来谈及论文，给了3页详细的评语。 在他1958年爱丁堡数学家大会的报告中，格洛腾迪克已经概述了他关于对偶理论的想法，但由于他在IHES讨论班中正忙着别的一些主题，没有时间来讨论它。于是Hartshorne提出自己在哈佛开一个关于对偶的讨论班并将笔记记录下来。1963年夏天，格洛腾迪克给了Hartshorne大约250页的教案（prenote），这将成为Hartshorne这年秋天开始的讨论班的基础。听众提出的问题帮助Hartshorne发展和提炼了对偶理论，他并开始将它系统记录下来。他会将每一章都寄给格洛腾迪克来接受批评，“它回来的时候整个都布满了红墨水，”Hartshorne回忆道，“于是我将他说的都改正了并即给他寄新的版本。它被寄回时上面的红墨水更多。”意识到这可能是个无穷尽的过程后，Hartshorne有天决定将手稿拿去出版；此书1966年出现在Springer的Lecture Notes系列里[Hartshorne]。 格洛腾迪克“有如此多的想法以至基本上他一个人让那时候世界上所有在代数几何上认真工作的人都很忙碌，”Hartshorne注意到。他是如何让这个事业一直运行下来的呢？“我认为这没有什么简单答案，”迈克－阿廷回答说。不过显然格洛腾迪克的充沛精力和知识宽度是一些原因。“他非常的精力充沛，而且他涵盖很多领域，”阿廷说。“他能够完全控制这个领域达12年之久真是太不寻常了，这可不是个懒人集中营。” 格洛腾迪克学派的统治地位有些有害的效果。甚至格洛腾迪克IHES的杰出同事，Rene Thom也感到有压力。在[Fields]中，Thom写道与其他同事的关系比较起来，他与格洛腾迪克的关系“不那么愉快”。“他的技术优势太有决定性了，”Thom写道。“他的讨论班吸引了整个巴黎数学界，而我则没有什么新的东西可供给大家。这促使我离开了严肃数学世界而去处理更一般的概念，比如组织形态的发生，这个学科让我更感兴趣，引导我走向一个很一般形式的‘哲学’生物学。” 在他1988年的教材《本科生代数几何》最后的历史性评论中，Miles Reid写道：“对格洛腾迪克的个人崇拜有些严重的副作用：许多曾经花了一生很大一部分时间去掌握韦依的代数几何基础的人觉得受到了拒绝和羞辱…整整一代学生（主要是法国人）被洗脑而愚蠢地认为如果一个问题不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究。”如此“洗脑”可能是时代时尚无法避免的副产品，尽管格洛腾迪克自己从来不是为抽象化而追求抽象化的。Reid也注意到，除去少数可以“跟上步伐并生存下来”的格洛腾迪克的学生，从他的思想里得益最多的是那些在一段距离外受影响的人，特别是美国，日本和俄国的数学家。Pierre Cartier在俄国数学家，如Vladimir Drinfeld，Maxim Kontsevich，Yuri Manin和Vladimir Voevodsky的工作中看到了格洛腾迪克思想的传承。Cartier说：“他们抓住了格洛腾迪克的真正精神，但他们能够将它和其他东西结合起来。” 一种不同的思考方式 对发现工作而言,特别的关注和激情四射的热情是一种本质的力量,就如同阳光的温暖对于埋藏在富饶土壤里的种子的蛰伏成长和它们在阳光下柔顺而不可思议的绽放所起的作用一样。 《收获与播种》，第49页 格洛腾迪克有他自己一套研究数学的方式。正如麻省理工学院的Michael Artin所言，在1950年代晚期和1960年代“数学世界需要适应他，适应他抽象化思维的力量”。现在格洛腾迪克的观点已经如此深入地被吸收到代数几何里面，以至于对现在开始这个领域研究的研究生而言它是再正常不过的了，他们中很多人没有意识到以前的情形是相当不一样的。普林斯顿大学的Nicholas Katz说在他作为一个年青数学家首次接触到格洛腾迪克思考问题的方式时，这种方式在他看来是与以前完全不同的全新的方式。如Katz所指出，这种观念的转换是如此的根本和卓有成效，而且一旦得到采用后是如此完全的自然以至于“很难想象在你这样考虑问题之前的时代是什么样子的”。 尽管格洛腾迪克从一个非常一般化的观点来研究问题，他并不是为了一般化而这样做的，而是因为他可以采用一般化观点而成果丰硕。“这种研究方式在那些天赋稍缺的人手里只会导致大多少人所谓的毫无意义的一般化，”Katz评价说，“而他不知何故却知道应该去思考哪样的一般问题。”格洛腾迪克一直是寻找最恰好的一般情形，它正好能够提供正确的杠杆作用来领悟问题。“一次接一次地，他看上去就有一个诀窍，（在研究问题时）去掉恰当多的东西，而留存下来的不是特殊情况，也不是真空，”得克萨斯大学奥斯汀分校的John Tate评论道，“它如同行云流水，不带累赘。它就是恰如其分的好。” 格洛腾迪克思考问题模式的一个很显著的特征是他好像几乎从不依赖例子。这个可以从所谓的“格洛腾迪克素数”的传说中看出。在一次数学讨论中，有人建议格洛腾迪克他们应该考虑一个特殊素数。“你是说一个具体的数？”格洛腾迪克问道。那人回答说是的，一个具体的素数。格洛腾迪克建议道：“行。就选57。” 那格洛腾迪克一定知道57不是一个素数，对吧？完全错了，布朗大学的David Mumford说道。“他不从具体例子来思考问题。”与他对照的是印度数学家Ramanujan，他对很多数的性质非常熟悉，其中有些相当巨大。那种类型的思考方式代表了和格洛腾迪克的方式正相对应的数学世界。“他真的从没有在特例里下功夫，”Mumford观察到，“我只能从例子中来理解事情，然后逐渐让它们更抽象些。我不认为这样先看一个例子对格洛腾迪克有一丁点帮助。他真的是从绝对最大限度的抽象方式中思考问题来掌握局势的。这是很奇怪，但他的脑袋是如此工作的。”巴塞尔大学的Norbert A’Campo有次问及格洛腾迪克关于柏拉图体的一些情况，格洛腾迪克建议他小心点。他说，柏拉图体是如此漂亮而特殊，人们不应该设想如此特别的美好东西在更一般情形下仍然会保持。 格洛腾迪克曾经这样说过，一个人从来就不应该试着去证明那些几乎不显然的东西。这句话意思不是说大家在选择研究的问题时不要有抱负。而是，“如果你看不出你正在工作的问题不是几乎显然的话，那么你还不到研究它的时候，”加州大学伯克莱分校的Arthur Ogus如此解释：“在这个方向再做些准备吧。而这就是他研究数学的方式，每样东西都应该如此自然，它看上去是完全直接的。”很多数学家会选择一个描述清晰的问题来敲打它，这种方式格洛腾迪克很不喜欢。在《收获与播种》一段广为人知的段落里，他将这种方式比喻成拿着锤子和凿子去敲核桃。他自己宁愿将核桃放在水里将壳泡软，或者将它放在阳光和雨下，等待核桃自然爆裂的恰当时机（第552－553页）。“因此格洛腾迪克所做的很多事情就象是事情的自然面貌一样，因为它看上去是自己长出来的，”Ogus注意到。 格洛腾迪克有着给新的数学概念选取印象深刻、唤起大家注意力的名字的才能；事实上他将给数学对象命名这种行为作为它们的发现之旅的一个有机组成部分，作为一种掌握它们的方式，甚至在它们还没有被完全理解之前（《收获与播种》，第24页）。一个这样的术语是etale（平展），在法语里面它原是用来表示缓潮时候的海，也就是说，此时既不涨潮，也不退潮。在缓潮的时候海面就象展开的床单一样，这就会让人唤起覆盖空间的概念。如格洛腾迪克在《收获与播种》中所解释的，他选用topos这个词，其在希腊文里的原意即“空间”，来暗示“拓扑直觉适用的‘卓越对象’”这样一个想法（第40－41页）。和这个想法相配，topos就暗示了最根本，最原始的空间概念。“motif”（英文里的“motive”）这个概念意在唤起这个词的双重意思：一个反复出现的主题和造成行动的原因。 格洛腾迪克对取名的关注意味着他厌恶那些看上去不合适的术语：在《收获与播种》中，他说自己在第一次听到perverse sheaf这个概念时感到有种“本能的退缩”。“真是一个糟糕的想法，去将这样一个名字给予一个数学对象！”他写道，“或者给予任何事务或者生物，除去在苛责一个人的时候——因为显而易见，对于宇宙里所有‘东西’来说，我们人类是唯一这个术语可以适用的”(第293页)。 尽管格洛腾迪克拥有伟大的技术能力，这一直都是第二位的；这只是他执行他的更大的观点的方式而已。众所周知，他证明了某些结果和发展了某些工具，但他最大的遗产是创立了数学的一个新的观点。从这方面来说，格洛腾迪克和Evariste Galois（伽罗瓦）相似。的确，在《收获与播种》很多处，格洛腾迪克写道他很强烈地认同Galois。他也提到年青时候读过一本由Leopold Infeld撰写的Galois的传记[Infeld]（第63页）。 最终来说，格洛腾迪克在数学上的成就的源泉是某种相当谦卑的东西：他对他所研究的数学对象的爱。 停滞的精神 从1945年（我17岁的时候）到1969年（我42岁的时候），二十五年里我几乎将我的全部精力都投入到数学研究中。这自然是过多的投入了。我为此付出了长期的精神上的停滞的代价，这种停滞越来越“缺乏活力”，这些我在《收获与播种》中不止一次提到过。 《收获与播种》，第17页
仿佛琢空而现
Tue, 2004-12-28 01:00 — yijun
 一个令我想与之同行的人，一个令我念及而顿生豪迈与深澈的人，格洛腾迪克（Grothendieck）。 我试图掌握他的数学，但他的人生在背后隐现。 “任何一种科学，如果我们不是把它理解为一种表达力量和控制能力的工具，而只是当作我们人类世代所推进的知识探险，那她不是别的，就只是那个可以名之为和谐的东西。从一个时代到另一个时代，这个和谐或广或窄，或丰或乏，历经一代又一代，一个世纪又一个世纪，依次所显现出来的对于各个主题的精妙映照，仿佛就是琢空而现。” --译自收割与播种(Reapings and Sowings)（"And every science, when we understand it not as an instrument of power and domination but as an adventure in knowledge pursued by our species across the ages, is nothing but this harmony, more or less vast, more or less rich from one epoch to another, which unfurls over the course of generations and centuries, by the delicate counterpoint of all the themes appearing in turn, as if summoned from the void."） 他是一个试图走向极度纯粹的人，这使得他轻易就能够被伤害。持有一个尽力极端纯粹的观念，再往下走，...，一直到出现需要回头的问题。这就是Grothendieck的数学，也是他的人生。唯一的遗憾是，那是一个需要他贡献全部生命的过程。于是他走到一个地方，然后是死亡前的安宁。 “一个研究者的创造力和想象力的品质，源自其专致于倾听事物内在之声的品质”（“What makes the quality of a researcher’s inventiveness and imagination is the quality of his attention to hearing the voices of things”） 从拓扑学到几何学的长征 来自: 唐狼(见贤思齐) 2012-08-02 12:41:27
从拓扑学到几何学的长征zz
我想大众没有能够真正理解Poincare猜想的意义。可以毫不夸张的说Poincare猜想在流形拓扑学中的地位犹如Fermat大定理在代数数论中的地位。自Poincare创立代数拓扑以来，拓扑的“使命”就很清晰地摆在人们面前：将诸维拓扑流形作完全的同胚分类。最直观的看Poincare猜想就是，它要人们去辨识最简单的紧流形--球面。如果我们连球面都辨别不了，何谈拓扑学的终极“使命”！ 拓扑流形分类, 1维情形是trival, 紧的话就是圆周S^1, 非紧的话就是实直线R^1. 维数大于等于2时，非紧流形M总是可以紧化的。这时会有两种情况发生，一是紧化的流形同胚于带边的紧流形，此时称M具有有限拓扑型，对M结构的研究就转化成带“洞”的紧流形的研究了；二是流形紧化后会成为Wild空间。 Wild空间往往是非常奇怪的，比如Alexader的horned sphere和Whitehead构造的Poincare猜想在开流形情形下的反例。Wild空间似乎从来没有人系统地研究过。由于任一不可定向的紧致流形总有一个可定向的二重覆盖空间（比如射影空间的二重覆盖是球面），因而讨论紧流形的分类问题可从可定向的情形出发了。当然对于二维紧致流形定向与不可定向都已搞明白了，就是紧致曲面的同胚分类定理。 Poincare从1892年起陆续发表了Analysis situs(位置分析)及其五篇补充论文。他在论文中定义了高维流形，同胚，基本群，Betti数，同调关系等概念，并计算了一些代数曲面的拓扑不变量。结合前人，如Riemann, Jordan, Mobius, 我们可以看到到Poincare时，二维紧致流形的同胚分类问题已经完成。紧致曲面的同胚分类定理的证明要建立在triangulation(三角剖分)观念的基础上的，只是直到1925年Rado才严格证明每个紧致曲面可以单纯剖分（即三角剖分）。现在任何一本基础拓扑学的书中都会讲如何利用Rado的定理，经由手术将曲面展开，化为标准形，并通过计算其基本群或同调群来实现二维紧致流形的同胚分类。在Analysis situs的第五篇补充论文中，Poincare提出了著名的猜想：是否可能存在流形V，其基本群可约化为恒等代换，但V不是球面？他还指出与球面同调群相同（即Betti数和挠系数均等于1）但不与球面同胚的反例。这就是著名的Poincare猜想最最原始的表述。 有鉴于triangulation的重要性，Steinitz与Tietze于1908年提出了Hauptvermutung，即主猜想（main conjecture）。由单纯逼近定理知两个多面体(polyhedra)之间的连续映射必同伦于一个PL映射。main conjecture是说polyhedra之间的同胚必同伦于一个PL同胚。main conjecture意义重大，它的成立与否涉及到类比曲面分类的“triangulation--标准型”方法对高维拓扑流形分类的可行性。然而这个猜想一般而言不成立，反例是Milnor于1961年找到的。“祸不单行”，不仅如此，连组合三角剖分猜想（combinatorial triangulation conjecture，即CTC）也是错的。所谓CTC是说每个紧致的拓扑流形PL同胚于一个PL流形。CTC比三角剖分猜想要强，三角剖分猜想是说每个紧致的拓扑流形同胚于一个组合流形。 这两个猜想的否定使人们一方面清醒地看到研究拓扑学确实需要小心谨慎，一些看似直观和合理的假设却也很有可能是错的；另一方面，很明显，高维拓扑流形的结构极端复杂。正如Godel证明了不完全定理以后，数理逻辑分裂为公理集论、模型论、证明论和递归论一样，我想这个时候，拓扑学才真正地延多种道路发展起来，它与微分几何、PDE的交融，以及它在代数几何、非线性泛函分析等最核心数学分支的应用，表明拓扑学已然是20C最为波澜壮阔的数学分支。 1 经典思路 既然两大猜想一般情况下都是错的，人们不仅要问 问题a 什么样的流形可以三角剖分？ 问题b 对于什么样的流形，main conjecture成立？甚至要问 问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件。 1951年Moise证明了任一3维流形都可以三角剖分，且在组合等价的意义下剖分是唯一的，即主猜想也成立。由此人们可以惊呼：3-D流形的同胚分类本质上就是一个组合学问题。可是至少我目前为止没有看到有人认真地类比2维分类情形的分类方法来做3-D流形的同胚分类问题。我想这很大程度上是因为拓扑学家还不能够驾御类似于2维情形中组合学方法的复杂性。不管怎么说，组合学方法还是产生了一些有意思的结果的。特别地例如组合群论的产生以及伴随组合学而来的算法视角的研究方法。说到这里不能不提及Markov于1958年证明的一个著名否定性结论：维数大于等于4时，拓扑流形的分类是算法不可解的。因此3-D流形的完全分类是人类的last chance! 除非我们研制出量子计算机代替当前的Turing机，给算法带来全新的概念或革命。 问题a,b的回答的程度取决于问题c研究的深度。要回答问题c，需要精深的代数拓扑学的理论。 当然了从初等方法的角度，拓扑学家细入研究了3-D流形的拓扑性质。得到很多基本而又重要的命题。比如Kneser和Milnor证明了任一3-D流形都有唯一的prime decomposition。大神Papakyriakopoulos（简称Papa，大神是我给封的，因为他至死都在惦记着Poincare猜想的证明）在1957年一口气给出Dehn引理、loop定理和sphere定理的证明。sphere定理在不可定向的类比是Epstein的射影平面定理。此外还知道每个3-D流形都可以作Heegaard分解，故可将3-D流形用Heegaard diagram表示出来，进而可以定义3-D流形的Heegaard亏格。Reidemeister于1935年成功地将Heegaard亏格为1的3-D流形作了完全分类，它们是著名的透镜空间类和S1上的不可定向的S2丛。用初等方法（纯几何拓扑方法）研究Heegaard亏格较高的3-D流形的分类是极为艰巨的一件事。 2 代数拓扑 代数拓扑实在是博大精深的数学，我觉得凭我一人之力今天让大家即使管窥一斑都很困难。自Poincare而后，20世纪20年代，de Rham 证明了Elie Cartan（20世纪最伟大的几何学家，长征到几何学部分时，我还要大讲特讲。）关于微分形式的Rham定理。Morse建立起拓扑学中的变分方法，即Morse理论。30年代Hurewicz定义了一般维数的同伦群。Pontryagin引入了配边问题，即什么代数拓扑条件能使得一个闭流形成为某个带边流形的边界？Thom发展了横截性概念与Pontryagin方法，将配边问题转化为Thom空间的同伦群的计算问题。之后Kolmogorov与Alexander定义了上同调群，最后Whitney, Stiefel,Pontryagin与陈省身先生先后发现了各种版本的示性类理论。接着四、五十年代便开始了对拓扑不变量的艰难计算。其中有趣的是Hirezebruch, 他将Rokhlin发现的一个定向的配边不变量，即所谓“符号差”，用Pontryagin数表示出来，因而证明了代数几何中一般的Riemann-Roch定理。之后, Milnor与Kervaire发展了h-配边理论。Smale证明了维数大于等于6时，每个单连通的h-配边都是平凡的，而且组成边界的两部分是微分同胚的。进而他借助h-配边理论和Morse理论与Stalling, Wallace独立地证明了广义Poincare猜想：一个维数大于等于5的流形若与球面的伦型相同，则必PL同胚于球面。因此Smale拿了Fields奖。 我们说一门理论是否真的的强大，拿一个重要猜想来做试金石试一试就行了。明显地，Poincare猜想起到作为配边理论和Morse理论的试金石的作用，奠定了两者在拓扑学中的地位。基于拓扑学最初的使命是分类流形的事实。拓扑学的理论大多亦不会离使命太远。Poincare猜想的重要性在于它要人们去识别最简单的流形--球面。因而一个真正强大的拓扑学理论不去找Poincare猜想作为试金石又去找谁呢？ 话说Poincare猜想经过几代拓扑学家与几何学家的努力已经升级为一个系列猜想。至少有拓扑版本、PL版本和DIFF版本三个变种。拓扑版本是说一个同伦球必为一个拓扑球。Newmann在1966年证明了维数大于4的情形，Freedman于1982年证明了维数为4的情形（Fields奖，Freedman是又一个建立了以Poincare猜想为试金石的数学家）。Peleman在Thurston的几何化假设的框架下，建立在Hamilton的Ricci流理论的基础上，于2003年到2004年证明了维数为3的情形（Fields奖）。PL版本有强弱个子版本的分别。弱PL版本是说一个PL同伦球必为一个拓扑球。当然拓扑版本蕴涵弱PL版本。强PL版本是说PL同伦球必为一个PL球。刚刚说过了，1962年Smale证明了维数大于等于5的情形（Fields奖）。维数为4时至今（2011年2月3日，呵呵，今天是大年初一啊，祝大家新年身体健康，万事如意。）仍是open problem! 维数为3的情形当然还是Peleman的工作。DIFF版本仍有强弱两个子版本，同样弱DIFF版只是拓扑版本的推论。强DIFF版本，一般情形（维数大于等于7时）于1958年被Milnor的怪球反例否定了（Fields奖），并由此诞生了微分拓扑学。实际上，Hamilton-Peleman对Thurston的几何化假设的证明蕴涵了3维强DIFF版的的Poincare猜想。现在（2011年2月3日凌晨3点）仅有的两个公开情形是强PL版本和强DIFF版本在4维的情形，而且已知这最后的两个情形是等价的。 代数拓扑到了20世纪60，70年代，一方面回答了问题c 三角剖分猜想和main conjecture成立的充要条件；另一方面，在人们的惊讶声中诞生了微分拓扑学和绚丽无比的纤维丛理论。 六、七十年代之后拓扑学倾向于代数的部分或有其他背景的部分如同调代数、K理论远在我的认知和理解范围之外了，因此我只能避而不谈，希望有高人将来给补充。 1956年，Milnor发现同胚于标准球面的光滑球面未必能微分同胚之，因而否定了强DIFF版本的Poincare猜想。（Fields奖）一般而言，光滑流形上若有微分结构也未必是唯一的。至此人们已经认识到，拓扑学的分类问题应该是将拓扑流形作同胚分类，将PL流形作PL同胚分类（即将同胚的PL流形上所能允许的所有PL结构都构造出来），将微分流形作微分同胚分类（即将同胚的或PL同胚的光滑流形上所能允许的所有微分结构都构造出来）。当然，除了这三个范畴外，还有一些次要的范畴，并且对于这三个范畴的拓扑学问题，人们已经掌握了如下的事实： d 组合三角剖分猜想是说拓扑流形上总有一个PL结构，Main conjecture是说PL流形上的PL结构是唯一的，当然上面说过了，对于一般的流形这两个猜想都是错误的。对于3维流形，它们都是正确的。 e Milnor发现维数大于等于7时，PL流形上未必有唯一的光滑结构，Kervaire发现存在PL流形（例如那个著名的E8）没有任何的微分结构。 f Whitehead证明光滑流形总是可以被三角剖分的，且具有唯一的PL结构。 g 维数小于等于3时，拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时，Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时，拓扑流形是否可以三角剖分至今（2011年1月）仍是公开问题。 1958到1965年间，Thom, Munkres, Hirsch等人定义了障碍群，Cairns, Whitehead, Hirsch, Milnor, Munkres, Lashof, Mazur等人的工作弄清楚了PL流形上光滑结构所成的分类空间PL/O的结构。他们证明了π_n(PL/O)=θ_n, n>=7;π_n(PL/O)=0, n<=6, 其中θ_n是怪球的有限Kervaire-Milnor群。这是事实e的定量刻画。根据这些数学家的工作，我们可以知道，维数大于等于5时，一紧致拓扑流形上若有微分结构，则微分结构在微分同胚的意义下只有有限多个。 接着1969年Kirby-Siebenmann得到分类空间TOP/PL的重要性质：TOP/PL同胚于Eilenberg-Maclane空间K（Z/2, 3），因而π_n(TOP/PL)=Z_2, n=3; π_n(TOP/PL)=0, n不为3。这样就定量描述了事实d。并且Kirby-Siebenmann还具体构造了PL结构的障碍群K(M)。n>=5时， 拓扑流形M上有一个PL结构，当且仅当K(M)=0。Kirby和Siebenmann还证明了维数大于等于5时，一紧致拓扑流形若有PL结构，则其PL结构在PL同胚的意义下只有有限多个。 1976年，Calewski-Stern, Matumoto分别构造了拓扑流形可以三角剖分的障碍群δ_k(M)。维数n>=5时，拓扑流形M可以三角剖分当且仅当δ_k(M)=0。这样理论上描述了事实g。但维数n>=5时，是否总有δ_k(M)=0，还是公开问题。 1983年左右，Donaldson利用理论物理上的工具（ Yang-Mills方程的瞬子解），得到一大类4维拓扑流形，它们不允许任何的微分结构，例如那个著名的E8。而且由Donaldson的工作知，存在4维拓扑流形M，其上有无穷多种微分结构，例如2010年, Akhmedov和Park证明了S^2×S^2上就有无穷多种微分结构。 另外Donaldson还出人意料地证明了4维Euclid空间R^4上存在不可数多种微分结构。而已知对于其他维数的Euclid空间却只有一种微分结构。在拓扑学上，维数为4时，会发生很多非常奇怪的事。也有些看似简单却没有办法解决的难题，如现在（2011年1月）还不知道4维球面S^4上是否有无限多还是有限多（甚至是唯一的）的微分结构。 从Huygens原理到等参超曲面作者： 李启超  Dedicate to my Honey.一个老问题：不正对着光源时为何也能看到光线？标准答案是源于光线的反射和在空气中的散射作用。其实，按照我大学室友的说法，还要加上电磁波的Huygens（惠更斯）衍射效应。尽管后者在高阶近似意义下可忽略。 惠更斯是荷兰历史上最著名的物理学家，是介于伽利略与牛顿之间的一位重量级物理学先驱。他提出了重要的惠更斯原理，与牛顿叫板创立了波动光学理论。惠更斯是将几何学用于力学研究的先驱之一，他对几何学的另一个间接贡献是，后人对惠更斯原理的研究直接导至了对称空间中等参超曲面的概念。如今等参超曲面(Isoparametric hypersurfaces)是黎曼几何里一个独立的研究方向，至今仍有许多open problems. 其实，对于学数学的人来说，惠更斯原理（Huygens principle）不应是陌生的词汇，它在双曲型偏微分方程的某些估计中提供指导思想，几乎出没于各个版本的本科生偏微分方程教材。 一个出人意料的结论是：偶数维空间里波动方程的解具有后效性，就像水面波，一石激起千层浪，久久不能平息。奇数维空间里的波动方程解无后效性，所以一个距离乐器d距离的听众，在t时刻听到的仅仅是t-d/v时刻所奏的音符，其中v是指音速。这里奇数维很重要，偶数维的话，听众听到的声音可是之前所有时刻声音的叠加…乱糟糟一团…难怪我们要生活在三维空间里了。 惠更斯原理（Huygens principle） 在波的传播过程中，总可以找到同相位的点，这些点的轨迹是一个等相面，叫做波面（也叫做波前）。惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现象，建立了惠更斯原理．惠更斯原理可表述如下：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。     我们回忆波的传递是波动形式的传播，而不是质点的具体运动，一个例子就是观众席上的人浪，从观众席的一边“喔…喔…”地传到另一边，波动形式是观众们的顺次起伏，传播的是波动形式，不过观众作为振动质点其位置始终没有变。人浪波的波前，就是集体弯腰撅腚的等相面。波前的另一个例子就是海边的波浪，波浪都是平行海岸线涌来的，路过的童鞋可记得是为什么？
借助Huygens原理，人们可以轻易解释光的反射、折射甚至晶体的双折射效应，再加上后来菲涅尔对惠更斯原理的几点补充，惠更斯---菲涅尔原理可以定量的解释波的衍射现象，不过这与下边的等参超曲面问题无关。
等参超曲面（Isoparametric hypersurfaces）
有了三维空间中的波动方程，人们在几何光学里很自然地就会遇到这样的问题：
一列波在均匀介质中传播（从而处处波速相等）时，各个时刻波前（最前边的等相面）的形状是怎样的？
最简单的情况，就是一个点波源诱发的球面波，波前就是同心球面族；然后是一个线波源，诱发的同轴柱面族；或者是一个面波源诱导的平行平面族；没错，其实就这么几种情形，这些结果对于19世纪的物理学家足够了，事实上，Laura，Sommigliana他们就是这么做的。对于紧跟其后的数学家Levi-Civita，Segre,E.Cartan等人来说这个问题还远没有结束，三维欧氏空间的情形解决了，但是高维欧式空间里的波前形状是怎样的呢？曲率不为零的球面空间、双曲空间里又是怎样的呢？这些形状如今称为等参超曲面。 后面的发展证明，这些研究都不是为了数学而数学，很多成果都用到了物理中。数学在物理中总是那么不可理喻额的有效。 考虑高维一般空间里波前的形状，首先就是建立波前所满足的方程： 还是退回到三维最简单情形：波动方程（这个方程相当于波速为单位一）  其中波函数描述各个振动质点的相位；我们要求的波前（等相位面）是波函数取相同值点的集合，描波前的方程里不应含有时间t，波前方程只与空间坐标有关。注意到垂直于某个等相面，波前沿梯度方向的速度在这个等相面上处处相同（均匀介质嘛） 所以  这里的ds是波前沿法方向（其实就是梯度方向）的微小位移。这样，根据波动方程  我们注意到一点，波函数的梯度模长平方和Laplacian，这两个函数限制在等相面上是常数（等参概念源于此，代表等相面上的点都有相同的参数）；这就是波前应满足的方程，所以我们可以如下定义我们的等参超曲面：  把欧式空间换为球面空间或双曲空间，梯度和拉普拉斯算子换为对应空间里的，我们就得到空间形式里等参超曲面的限制方程。 直接代数或分析的解这些方程几乎不可能，人们采取迂回战术，从几何的角度，借助微分几何和代数拓扑的工具找到了很多性质和限制条件。最有意思的一个是，空间形式中，每一族等参超曲面都是互相平行的，即任意两者间的测地线距离相等；每个等参超曲面都是常主曲率超曲面。考虑三维空间中的情形，常主曲率曲面只有平面、柱面或标准球面，这正好是我们前面提到过的所有可能情况。 一个早期的结论是，欧氏空间和双曲空间里的等参超曲面，或者是全脐点超曲面，或者是两个不同类型的全脐点曲面的乘积；而球面中的等参超曲面要复杂的多，是我们的“直觉”所猜不到的。对于球面情形至今没有获得全部的分类。 一个惊人的结论是，这些超曲面全是常主曲率的，不同主曲率的个数只能是1,2,3,4或6.德国人Munzner借助上同调算出来的。别问我，其实我也不懂。 我们师门的一个结果是，球面空间中每一族等参超曲面中（包括退化的焦流形），至少有一个极小子流形，一个Einstein子流形，一个Willmore子流形。借助等参族的性质，我的师兄谢余铨和葛建全解决了一个关于Ginzburgh-Laudau系统（描述第二型超导的方程）的问题，文章很意外地发在分析类的杂志Jounal of Functional Analysis上，看来二位为分析背叛几何了。 最近的一个结论是，我的导师唐梓洲教授和师姐彦文娇证明了等参极小超曲面（甚至焦流形）的第一特征值都等于超曲面的维数。关于极小超曲面的第一特征值问题，是丘成桐先生问题集的第100个problem，Yau猜想球面空间里的极小超曲面第一特征值总等于它的维数。这个问题大家一直难以下手，唐老师和师姐解决了这个问题的等参情形，所以论文很快便被Journal of Differential Geometry录用了。等参族里确有宝藏啊
g 维数小于等于3时，拓扑流形总是可以三角剖分的。维数为4时，Casson于1985年构造了一个拓扑流形M^4不能三角剖分。维数大于等于5时，拓扑流形是否可以三角剖分至今（2011年1月）仍是公开问题。 h
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