冷原子研究的另一個重要系統，即是把原子置放到雷射光形成的週期位能中，形成所謂的光晶格(optical lattice)。這種系統的優點是，利用雷射光的各式排列組合，可以產生各種維度和形狀的光晶格，再佐以捕捉各式原子（bosons、 fermions、or mixtures[11,12]）或離子（ions），如此可容易地模擬各種固態晶格的環境，

分析力学四一_百度文库

wenku.baidu.com/view/67c1faa5b0717fd5360cdc41 - 轉為繁體網頁

2012年1月15日 - (此时：系统最稳定) 例：长为l 的单摆的拉格朗日函数为其中平衡位置： 微振动：质点 ... 速度定义为相速度则当k 与vp 共线时，有，其等相面为—平面方程 于是即相速度为4. 非相干波的叠加、波的群速度频率单一的波叫做单色波单色波。

[DOC]DOC檔

www.psroc.org/xoops/modules/tadnews/download.php?d=2...did...

• 頁庫存檔

波色凝結子在一維光晶格中的聲子行為 .... 橫軸代表z方向，縱軸代表xy平面。 .... 利用變分法（Variational Method）來研究，則要得知拉格朗日方程式(Lagrange ...

冷原子研究的另一個重要系統，即是把原子置放到雷射光形成的週期位能中，形成所謂的光晶格
(optical lattice)。這種系統的優點是，利用雷射光的各式排列組合，可以產生各種維度和形狀的光晶格，再佐以捕捉各式原子（bosons、 fermions、or mixtures^[11,12]）或離子（ions
），如此可容易地模擬各種固態晶格的環境，把原分子光學（
Atomic &

利用斯塔克效應計算得

     (2)

上式就是原子在z方向所感受到的週期性位能。由於在xy平面方向，原子尚未被束縛，所以一般還需外加一磁位能井（基本原理是原子帶有hyperfine 自旋，在磁場下帶有磁位能），使原子在xy平面上能被束縛住。利用外加磁場形成的位能井形式有許多類型，其中最常見的是圓柱對稱，其行為為

    (3)

如果磁位能井設計成極小，則相對於xy方向，z方向的磁位能幾乎是可忽略的，如此一來實際空間上的原子密度分布就如圖一，形成所謂的一維（z方向）光晶格。實際上系統還是三維的，只是晶格的方向只出現在一維。

波色凝結子在一維光晶格中的聲子行為

文/黃超群、吳文欽

 

摘要

波色－愛因斯坦凝結在光晶格中的行為，是近年來一個重要的研究課題。在本文中，我們簡介光晶格形成的原理，進一步說明如何建立一維光晶格及其可變性，最後探討一維光晶格中玻色凝結子的聲子與動力學的行為。

 

一、前言

自從低溫雷射冷卻及捕捉原子技術的發展以來，冷原子的研究就積極展開，冷原子的研究在1995年達到一個高潮，亦即懸宕超過70年由波色（Bose）及愛因斯坦（Einstein）提出的波色-愛因斯坦凝結(Bose-Einstein condensation，簡稱BEC) 現象^[1,2]，終於在那年由Eric Cornell、Carl Wieman、及Wolfgang Ketterle 率先在鹼金族氣體原子觀察到^[3,4]。今年（2005）恰巧正逢觀察到BEC的十週年。過去這十年，BEC相關的實驗和理論研究蓬勃發展，研究方向觸角極廣，最近的一個研究重點更是用雷射冷卻捕捉費米原子，利用Feshbach resonance^[5,6,7] 的效應，改變外加磁場的大小，藉以調整兩個費米原子之間的散射長度（scattering length）的值（可正可負），進而研究凝態物理中的一個重要課題，亦即BEC-BCS交叉 （crossover）現象^[8,9,10]。

冷原子研究的另一個重要系統，即是把原子置放到雷射光形成的週期位能中，形成所謂的光晶格(optical lattice)。這種系統的優點是，利用雷射光的各式排列組合，可以產生各種維度和形狀的光晶格，再佐以捕捉各式原子（bosons、 fermions、or mixtures^[11,12]）或離子（ions），如此可容易地模擬各種固態晶格的環境，把原分子光學（Atomic & Molecular Optics）及凝態物理（Condensed-Matter Physics）的跨領域研究推到一個極高的境界。在這樣的原子光晶格系統中，有哪些研究值得進行呢？舉凡和晶格相關的課題都有其發揮的空間，例如量子自旋磁學（quantum spin magnetism）、量子傳輸（quantum transport and tunneling）、晶格能帶^[13,14,15]（lattice band structures）、甚至量子資訊學（quantum Informatics）^[16,17]等等。

 

二、何謂光晶格？

什麼是光晶格呢？先前提到把原子置放到雷射光形成的週期位能中，即可排列形成光晶格，底下就光晶格的形成原理做一基本的介紹。其最基本的原理就是斯塔克效應（Stark effect），當原子在外加電場下，會有極化發生，利用微擾理論，取到第一階近似，可發現原子感受到的位能和電場大小平方的時間平均值成正比；因此利用雷射光產生干涉，使電場平方的時間平均值具有（空間）週期性，致使原子感受到週期性的位能，這就是光晶格的原理。所以簡單的說，我們可以利用一道雷射光和其反射光來產生單一方向的周期性位能，配合垂直於（一維）方向的束縛，即可形成一維光晶格。所以二維光晶格的形成就是利用四道雷射光，而三維光晶格就是利用六道雷射光，也可以利用三道雷射光形成特殊三角光晶格。由於本文後半段將探討一維光晶格的運用，接下來我們詳細介紹一維光晶格如何形成，以及其可變性。

 

三、一維光晶格

首先考慮一道平行於z軸的雷射光和其反射光作干涉，合成電場即為

      (1)

其中c.c.代表共軛複數，也就是反射光。而原子感受到的位能，利用斯塔克效應計算得

     (2)

上式就是原子在z方向所感受到的週期性位能。由於在xy平面方向，原子尚未被束縛，所以一般還需外加一磁位能井（基本原理是原子帶有hyperfine 自旋，在磁場下帶有磁位能），使原子在xy平面上能被束縛住。利用外加磁場形成的位能井形式有許多類型，其中最常見的是圓柱對稱，其行為為

    (3)

如果磁位能井設計成極小，則相對於xy方向，z方向的磁位能幾乎是可忽略的，如此一來實際空間上的原子密度分布就如圖一，形成所謂的一維（z方向）光晶格。實際上系統還是三維的，只是晶格的方向只出現在一維。

圖一：原子在空間上分布情形，愈黑代表原子密度愈多。橫軸代表z方向，縱軸代表xy平面。

　　

除了上述介紹最簡單的一維的光晶格外，還可考慮許多的變化，像可建立帶有基底（basis）的一維光晶格，這個名稱是沿用固態晶格的說法，另一種稱呼即是所謂的超晶格（superlattice）。在一維光晶格的系統下，如果單位晶格長度內，有兩個以上的位能井，即是一帶有基底的一維光晶格的例子。如何建立這樣的系統呢？可利用二道頻率相差n倍的雷射光（無相差並照射在同方向）和其反射光相互干涉下，此時合成電場為

 (4)

而原子感受的位能為

 (5)

在xy平面方向，同樣利用磁位能井把原子束縛，如此即可形成一帶有n點基底的一維光晶格。

圖二就是n=2和n=3的實例，其中J常數是約瑟夫偶合係數( Josephson coupling) ，代表BEC原子穿隧於鄰近晶格點間的機率大小，這在下一節會探討到。鄰近晶格點間的位能疊愈低，代表J愈大，亦即愈容易穿隧，所以可以利用調整雷射光振幅（A₁和A₁）的大小及其頻率來形成各式具有基底的光晶格，當然你也可以發揮想像力，來製造各式各樣的光晶格囉。

圖二：上方是帶有二點（n= 2）基底一維光晶格的位能，其中c代表晶格常數，d是鄰近極大值和極小值的距離；下方則是帶有三點（n= 3）基底一維光晶格的位能。

 

一維光晶格的物理行為是極豐富有趣的，之前提到可以在光晶格系統中研究的課題當然都可以應用在一維光晶格。底下我們探討一維光晶格中，BEC原子其動力學（dynamics）與聲子（phonon）的相關問題。

 

四、一維光晶格：BEC與聲子

因為在光晶格系統中原子的密度等有週期性，由固態物理的知識，可直觀判斷會有聲子模（phonon modes）的運動。雖然機制類似，這裡的聲子模和固態晶格的聲子模的本質是有很多不同的地方。首先，在固態晶格中聲子模指的是離子在原地振盪的量子化行為，但BEC光晶格的聲子模指的是原子透過量子穿隧效應（J），使得位能井中原子總數增減的振盪行為。另外一個不同點是，在固態系統中晶格點對應到的是單一或少數幾個原子，而（平衡時）原子固定在晶格點某處。而在BEC光晶格中，晶格點對應到的不再是單一或少數幾個原子，而是一團原子，此時原子團本身的物理行為 [例如集體共振模 (collective modes)]就要考慮到。簡單來說，在這樣的系統下，聲子模不再是獨立的，而是會耦合（coupled）到集體共振模，兩者必須同時考慮。

考慮一團BEC原子在一維光晶格中聲子模和集體共振模的交互作這方面的研究，在近一兩年裡已有文獻刊出，例如Martikainen 和Stoof ^[18]探討單純一維光晶中BEC原子縱向聲子（longitudinal phonon）和橫向呼吸模（transverse breathing mode）相互影響下的物理行為，發現彼此的影響極為重要，可由實驗觀察到^[19]。我們接下來直接考慮帶有2點基底的一維光晶格中，BEC原子的聲子模和共振呼吸模的行為，其結果除了涵蓋Martikainen 和Stoof ^[16]的結果，也會出現一些因為內部自由度而產生的額外振盪行為。

　　在溫度極低時，一個密度稀薄（dilute）的波色原子系統，其行為主要由Gross-Pitaveskii 方程^[20] (簡稱GP equation)來主導，寫成

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6)

GP equation可視為一非線性薛丁格方程，其非線性項來自原子間的二體作用力(two-body interaction)。因溫度很低，二體作用力可利用s-波 (s-wave)近似求得（即上式）。其中是和時間有關的波函數，，是s-波的散射長度（正比於粒子間的作用力大小），為外加位能。對應到一維光晶格，分別有磁場和雷射光造成的兩項，其中磁場所造成的位能，為之前所提的（3）式，而雷射光所造成的位能，端看你要考慮什麼樣的形式。這裡我們直接考慮有二基底（n=2）的光晶格位能

     (7)

其中c = π/k = λ/2 是晶格常數（看圖二）。

利用變分法（Variational Method）來研究，則要得知拉格朗日方程式 (Lagrange equation)：

       　　　　　　 　　　　 (8)

其中

     (9)

而E是GP能量函數(GP energy functional)，可從(6)式得到為

 (10)

其中μ是化學勢能。有了能量函數後，接下來就是要選擇波函數的形式，並且設定變分參數，來決定你要探討的物理行為。當然做變分法，計算上會較複雜，因此可以依據你所要研究的內容做合理的近似。譬如我們研究的系統是具有二基底的一維光晶格，假設光晶格中的單一原子團是緊束縛（tight-binding）在位能井中（實際上是可以利用雷射光達到此需求，只要主要的光位能不要太小，也就是粒子穿隧機率要低），則可利用緊束縛近似法（tight-binding approximation），把波函數寫成沃尼埃函數形式 (Wannier function)：

    (11)

其中加總代表包括所有晶格點，有兩項是因為有二基底，和代表沿著z方向不同位能井（1或2，參考圖二）對應的波函數，和代表沿著xy平面上不同位能井（1或2）對應的波函數，之所以z方向和xy平面的波函數能分離，主要是因為位能也是分離的，像以上這樣的近似法，在計算上就會方便很多。

選定波函數代入拉格朗日方程後，對變數做變分，以求得歐拉－拉格朗日運動方程(Euler-Lagrange equations of motion)，從這些運動方程，就可以進一步得出其物理行為，像聲子模和集體共振模的色散關係(dispersion relations)。變分法的原理雖然不難，但在計算上是複雜的，尤其當變數非常多時，就必須倚賴數值計算。

我們的研究內容主要是針對在具有二基底的一維光晶格中，BEC聲子模和呼吸模的行為。在作計算前，可以想像在這樣的系統下，聲子模不再只有同相聲子模（in-phase or acoustic phonon)，還必需有反相聲子模(out-of phase or optical phonon)的存在。

利用緊束縛近似法，把函數寫成(11)，假設在z方向和xy方向的波函數為高斯函數。因為在緊束縛的近似下，z方向函數的變動和xy方向的變動相比小很多的，所以可以把變數只放在xy方向的函數裡，亦即

　(11)

其中i=1,2代表二基底，N代表任一位能井中粒子的總數，所以代表總粒子數的擾動，也就是聲子模的振動。相對的，代表此團粒子在空間分布的範圍，所以代表分布範圍的擾動，也就是呼吸模的振動，而代表呼吸模的衰減（damping）。此外代表整個BEC的相位角（global phase）。把函數(11)代回拉格朗日方程，經一些計算即可得到如圖三的色散關係。相較於固態晶格中，在有二基底的情況下，聲子模有聲學(acoustic)和光學（optical）聲子模二條，在光晶格中，除了聲學和光學聲子模二條外，還出現同相(in phase)和反相(out-of phase)的呼吸模，所以共有四條。

詳細內容請參考我們的參考論文^[21]。

 

圖三：從下到上，分別為acoustic phonon ( AP )、optical phonon ( OP )、in phase breathing ( IB )、out-of phase breathing ( OB )

 

 

五、結語

以上我們簡單的介紹如何利用變分法來研究一維光晶格中的物理，並藉此方法來研究BEC光晶格聲子模和呼吸模的運動行為，相同方法也可以用來探討其他的振動模的運動行為。

 

六、參考資料

 [1] S. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924).

 [2] A. Einstein, Sitzungsber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 1924, 261 (1924); A. Einstein, Sitzungsber.Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 1925, 3 (1925).

 [3] M. H. Anderson et al., Science 269, 198 (1995).

 [4] K. B. Davis et al., Phys. Rev. Lett. 75, 1969 (1995).

 [5] H. Feshbach, Ann. Phys. (N.Y.) 19, 287 (1962).

 [6] W. C. Stwalley, Phys. Rev. Lett. 37, 1628 (1976).

 [7] S. Inouye et al., Nature 392, 151 (1998).

 [8] M. Greiner, C. A. Regal, and D. S. Jin, Nature(London) 426, 537 (2003).

 [9] S. Jochim, M. Bartenstein, A. Altmeyer, G. Hendl, S. Riedl, C. Chin, J.H. Denschlag, and R. Grimm,Science 302, 2101 (2003).

[10] M.W. Zwierlein, C.A. Stan, C.H. Schunck, S.M.F. Raupach, S. Gupta, Z. Hadzibabic, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 91, 250401 (2003).

[11] L. Radzihovsky, J. Park and P.B. Weichman,  Phys. Rev. Lett. 92, 160402(2004)

[12] M. Lewenstein, L. Santos, M. A. Baranov,  and H. Fehrmann, Phys. Rev. Letts. 92, 050401 (2004).

[13] Morsch O, Müller J. H, Cristiani M, Ciampini D and Arimondo E, Phys. Rev. Letts. 87, 140402 (2001).

[14] B. Wu, R.B. Diener, and Q. Niu, Phys. Rev. A 65, 025601(2002).

[15] M. Machholm, C.J. Pethick, and H. Smith, Phys. Rev. A 67, 053613(2003).

[16] K.G. H. Vollbrecht, E. Solano, and J.I. Cirac, Phys. Rev. Lett. 93, 220502 (2004).

[17] J. K. Pachos and P. L. Knight ,Phys. Rev. Lett. 91, 107902 (2003)

[18] J.P. Martikainen and H.T.C. Stoof, Phys. Rev. A. 69, 23608 (2004).

[19] C. Menotti, M. Kramer, L.pitaevskii, and S. Stringari, Phys. Rev. A 67, 053609 (2003).

[20] C.J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge Press, Cambridge, 2002).

[21] C.C. Huang and W.C. Wu. to be published.

 

 

 

作者簡介

黃超群、吳文欽

國立台灣師範大學物理系