蘋果和地球之間的萬有引力，可以將地球的萬有引力視為質量集中在地心處嗎？
牛頓先生用微積分解決了這個問題。牛頓先生提出一個『殼層定理』(shell theorem)，內容是說：『由物質構成的均勻球殼對球殼外一質點的吸引力，可以視為球殼質量集中於球心時對該質點的吸引力。』。一層一層的球殼疊起來就是一個球，因此這個定理可以延伸為點質量定理（point mass theorem），也就是：「質量均勻分佈的球對外部質點的吸引力，看起來像所有質量都集中在球心一樣」。
現在我們就來做下面的例題：
baike.baidu.com/view/5532293.htm
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球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——对球内任一距球心为r的一质点A的吸引力等效于质量与半径为r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引。...
gaokao.hujiang.com/tiku/p1202392/
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有一质量为M，半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的 ... 但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．
www.hzhs.net/uploadfile/2008824193755189.doc
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若质点质量为m，与球心的距离为R。设球的半径为a，密度为，质量为。 ... 如果场点P（设OP=r）在球外，由于球体质量均匀分布，则引力场强分布应具有球对称性。
memo.cgu.edu.tw/yun-ju/CGUWeb/.../H105GravitationIntegral.doc
設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ（單位：kg/m），求圓心位置處之重力場強度。 ... 就是：「質量均勻分佈的球對外部質點的吸引力，看起來像所有質量都集中在球心 ...
这篇文章本来是该几年前写的，奉劝大家不要去玩股票。因为那个时候我的《中国崛起的经济学分析》这本书刚刚出版，里面用“破坏性要素参与分配”的理论来分析了中国经济。在写作过程中我发现这个理论也可以顺便用来解释股票市场，让大家看清楚股票市场的本质。但当时的大盘指数才1980点，我怕写出来很多人会被我“忽悠”，把手里的股票“割肉”卖掉，回头会恨死我。所以就忍了。
我的观点很简单：股票市场不是年轻人应该去的地方。对年轻人来说，玩股票就跟爱上赌博一样，是在浪费生命。年轻人最大的资本是自己，一旦把自己有限的积蓄投入到股市中去，就会被行情的波动死死的抓住，然后在里面虚度光阴：原本应该学英语的时间，却拿来研究波[……]
www.huangi.com/article/75283596824/
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经典力学中力学系统的运动规律的最一般表述由“最小作用量原理”给出。我觉得，“最小作用量 ... 因此我们说，分布函数是关于力学不变量的函数。我们选择能量就成为 ...
wenku.baidu.com/view/b3c737fd700abb68a982fbc2.html -
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2010年12月12日 - 物理学关于最小作用量原理刘大为（甘肃联合大学理工学院， ... 作用量函数L＝一mc＾／1一％＝一mc癣（4） ～ C' 质点动量1一曲一劬一廊。 p一照 ...
blog.sina.com.cn/s/blog_a582cd40010178x9.html
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2012年7月18日 - 作用量狀態函數 的結果(無引號)： ... 薛定谔是一个聪明人，他知道这个世界上，孤立体系熵是增加的（也就是说，孤立 ... 其中s是作用量，ψ是波函数。
https://zh.wikipedia.org/zh-hk/熵
熵亦被用於計算一個系統中的失序現象，也就是計算該系統混亂的程度。熵是一个描述系统状态的函数，但是经常用熵的参考值和变化量进行分析比较，它在控制论、 ...
xuewen.cnki.net/CJFD-KXJS200710032.html -
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关于最小作用量原理-1对于三种基本原理目前被认知的普遍程度的评述任何自然事物的变化 ... 沿用普通分析力学中的研究思路,引入两个新广义动量和新Hamil-ton函数,将保守系统的四 ... 从数学角度看:(2)式给出的作用量是定义于集{L(q,q,t)}上的泛函.
ideaflying.blog.163.com/.../23536005220149610105188...
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2014年10月6日 - Nottale的标度相对论主要分成两大块，一块是纯粹的相对论，他仿照爱因 ... 信息熵是整个系统的平均消息量，即： ... 其中s是作用量，ψ是波函数。 ）
survivor99.com/entropy/paper/p50.htm
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信息熵是几率的函数，自然与几率密度----分布函数建立了对应关系． ... 力学的最小作用量原理指出，质点运动的真实轨道是作用量取极小值的轨道．光学的费马原理 ...
www.baike.com/wiki/稳定作用量原理 -
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稳定作用量原理,互动百科搜索. ... 周向作用量_百科词条. 是指，当波流同向时，波变平缓；当波流反向时，波明显变陡．随着波流强度的增加，非线性的 ... 作用量作额外的限制。我们假设S[φ]是M上的如下函数的积分称为拉格朗日量，它. ... 熵量守恒定律 ...
www.wanmen.org/blogs/36
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系统的拉氏量L可以减去“任意函数f对时间的全导数”而不改变其物理演化。 2. 场论中的作用量密度L是t,x,y,z的函数，经典力学中的作用量是t的函数. 3. 四维磁矢势A ...
www.iop.cas.cn/kxcb/.../P020100906589807707305.pdf
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相联系的,实际上温度是熵关于能量的共轭,但温度. 并不总是 ... 个关于热力学体系的态函数,用来表述热力学第二 ..... 本来就有关于作用量(不过那里不叫作用量,而是被.
swordi：【原创】地球瓶颈中的达尔文主义 （一） 2015-01-09 08:13:47
忽然想明白你这个“觅母”是MEME的意思 [
原手 ]
于:2015-01-09 08:13:47 复:4085144
为什么不翻译成咪咪呢，不过发音是咪一。
还以为与母系社会有什么关系呢，猜了半天。
裴多菲的这首诗通过你的诠释，变成这样：
肉体诚可贵
进化价更高
若为觅母故
二者皆可抛
一听之下，裴多菲有恋母症。
你最后提出一个有意思的问题，永生啦，伟大啦不说，人生原本不过是基因的傀儡，不但生老病死身不由己，就是喜怒哀乐，勾心斗角，基本上也是不由自主的。
时下一个时髦的话题是人到底有多少自由意志(free will)，这个是牵涉了心理学，哲学，生物学，脑神经，物理，化学，计算机等广泛领域内的大讨论。
裴多菲让人怀念之处在于他提出了人战胜基因操控的一种尝试，或者说就是觅母破土而出之前的呐喊。
生命或者肉体，或者我们常说的“人”仍然不过是在基因或者觅母的控制下的化学品。虽然可以叫做人的生物性，社会性，不过这很可能是肉体们的一厢情愿,只是基因让你这样想的（还相信自由意志么？）。
觅母有着自己的未来，这也是觅母与基因在裴多菲这具肉体上争斗的本质，觅母要脱离肉体，而基因不让觅母脱离肉体，当然在裴多菲的例子中，觅母赢了，我们现在人人都会背诵他的这个诗。但在绝大多数的例子中，基因是稳操胜券的，英雄难过通奸关，五斗米折腰随处可见。
https://dahuasky.wordpress.com/2009/02/08/%E5%8D%83%E9%87%8C%E7%A7%AF%E4%BA%8E%E8%B7%AC%E6%AD%A5%E2%80%94%E2%80%94%E6%B5%81%EF%BC%8C%E5%90%91%E9%87%8F%E5%9C%BA%EF%BC%8C%E5%92%8C%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/
千里积于跬步——流，向量场，和微分方程
在很多不同的科学领域里面，对于运动或者变化的描述和建模，都具有非常根本性的地位——我个人认为，在计算机视觉里面，这也是非常重要的。
什么是“流”？
在我接触过的各种数学体系中，对于运动和变化的描述，我感觉最为适合的有两种不同的perspective：流和变换群。前者以被作用的对象为中心，运动就是这个东西随时间变化的函数；后者以变换本身为中心，研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构。我想，相对来说，前者对于多数人而言似乎更为直观。在这篇文章里，就以“流”(Flow)的角度展开了。其实，这两种思路有着根本的联系——这种联系体现在李群论的一个基础概念——李群作用(Lie Group Action)，以及由它所延伸出来的丰富的理论。 流(Flow)是什么呢？很通俗的说，表示了一种运动规则。给定一个点的初始位置 x，让它运动一段时间 t，那么之后到达另一个位置 y，那么 y 就是初始位置 x 和运动时间 t 的函数：
y = S( t, x )
这个函数 S，如果符合一些合理的性质，就叫做一个流(Flow)。学过微分几何的同学可能会觉得这个定义与数学中的严格定义有点差距——确实如此。在微分几何中，流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上，在一篇Blog文章中很难按照这样的方式阐述。只好在一定程度上放弃严密性，从直观出发，希望能传递出最基本的思想。 我们想想， 一个合理的运动函数应该具有什么性质呢？我想，最起码应该有三点：
- 运动是连续的。物理学告诉我们，现实中没有所谓的“瞬间转移”。在上面的式子中，如果固定 x，那么 y( t ) = S(t, x) 就是这个初始位置在 x 的点的运动过程。在数学上，没有“瞬间转移”就是说对于任何 x，它的运动过程 y( t ) 都是连续的。
- 变形是连续的。现在假设我们不考虑一个点，而是考虑一个物体。那么，本来是邻居的点，后来还是邻居——严格一点，在拓扑学上就是说，x 和它的一个邻域各自都运动了时间 t，那么运动后，这个邻域关系还是保持的——这等价于不改变这个物体的拓扑结构（比如，不把它撕开，但是连续变形是肯定允许的）。当然，在现实中物体被撕开不是没有可能，但是这会导致拓扑结构的改变，这就不是一般的数学工具所用表达的了。
- 时间上的一致性。简单的说，如果我先让它运动时间 t1，在运动时间 t2，那么和让它运动时间 (t1 + t2)是一样的。用上面这个表达式写，就是：S( t2, S( t1, x) ) = S(t2 + t1, x)。这个性质在物理上似乎理所当然，但是在数学上，你随便给一个二元函数S，可就未必符合这个属性了。这个规定保证了，我们定义出来的 S 最起码在物理上不会出现错乱。但是，它的意义不止于此，后面我们会看到，它在代数上，表示了一个群同构映射(Group homomorphism)——这种映射在李代数中有着核心作用。
总结起来，S(x, t) 是对于 x 和 t 的连续函数（实际上，在一般的定义中更严格一些，通常要求 S 是光滑函数，就是无限阶可微的函数。光滑性其实不是很强的条件，我们学过的全部初等函数都是光滑的）。还有就是关于时间的一致性条件。这里特别强调一点，我们允许 t 是可正可负的：时间取负数，就是让这个点沿着原路径倒回去走——怎么来的，就怎么回去。这里面隐含了一个条件：在某一时刻分开的两点是永远走不到一起成为一点的——否则倒回去就不知道往哪走了——这拓扑上，拓扑结构不发生改变就保证了这一点：物体既不能撕开，也不能粘在一起。
流——变换群和运动曲线的统一
这个S(t, x)呢，可以从两个方面去看，就得到两种不同的理解。首先，固定 t，
T_t ( x ) = S(t, x)
它就变成了一个关于x的变换函数：把一个点从一个位置变换到时间 t 后的另外一个位置。那么 T_t 就是一个变换。然后，不同的时间 t，对应着一个不同的变换。而且基于时间的一致性，先做 T_(t1) 变换 （走时间 t1），再做 T_(t2) 变换（再走时间 t2），相当于另一个变换 T_(t2 + t1)。数学上就是：T_(t2) * T_(t1) = T_(t2 + t1)。如果你对群的概念有基本的了解，这里就可以看出来，从全部的不同时间的T_t 构成了一个变换群，从 t 到 T_t 的映射，就是从实数R上的加法群到这个变换群的同构映射。因为 T_t 是由一个参数 t 控制的，有个专门的名词，叫做“单参数群”(one-parameter group)。由于加法群的可交换性，这个单参数变换群也是可交换的——这个可交换性的物理意义很明显: 先走t1，再走t2；还是先走t2，再走t1，是一样的。 因此，我们得到了第一种理解：流，就是连续作用在一个物体上的可交换单参数变换群。（这里所谓“物体”，在数学上有专门的名字“流形”，对于这点我不想展开太多了。）其实，这才是关于流的比较正规的定义。 从另外一个角度上看，固定 x，我们追踪这一个点的运动， y_x ( t ) = S(t, x) 那么 y_x 就是初始位置（t=0时的位置）为 x 的点的运动过程——也叫做运动曲线(curve) 或者运动轨迹(orbit)。每个点都有自己的运动曲线，所谓流，就是这所有的这些运动曲线的共同体，或者说，流就是由这些运动曲线刻画的——这和我们一些直观的想法是一样的——我们在画画时喜欢在河上画几条曲线来表示流动。 这个函数S(t, x)，把变换群和运动曲线同一起来了——它们就是一个东西的两个不同侧面。到这里，我们向我们的目标迈出了第一步——最终，我们是要把变换群和向量场联系在一起——这就是李群和李代数的核心所在。
流与向量场
继续我们的故事。现在，我们有了y_x( t )，那么对它求导，我们就可以得到这个点在各个时刻的速度。整个流行就是所有这些曲线的集合，这样，在流形上的每个点，我们都能找到经过它的一条曲线，从而标出这点的速度。（这里强调一点，对于一个给定的流，经过某点的曲线是唯一的，你可以想想为什么？）于是，我们给每个点都赋予了一个速度，这就是“速度场”(velocity field)。每个速度就是曲线上的一个切向量，所以更一般的说，我们把它叫做“向量场”。这里，我们看到，任意一个流都可以通过运动曲线的速度来建立一个对应的向量场。而且可以证明，这个向量场是连续的。 那么反过来呢？我们给定一个连续的向量场，能不能找到一个流和它对应呢？这里面有三个方面
- （存在性），能不能找到一个流，它的速度场等于给定的向量场。
- （唯一性），如果存在，这个流是不是唯一的。
- （连续性），这个流 S(t, x) 是不是关于 x 和 t 的连续函数（或者光滑函数）。
这个问题是一个很深刻的问题，它的回答直接联系到一般意义的常微分方程的解的存在性，唯一性，和连续性。答案是，这在局部上是成立的。就是任意一个定义于流形上的向量场，对于流形上的任何一点，总能找到包含它的一个“局部流形”（开子流形），以及定义在这个局部上的流，使得流的速度场和给定的向量场在这个局部相等。简洁一点说，符合条件的流在处处“局部存在”。而且，它们在某种意义上是唯一的，就是两个符合条件的“局部流”，它们在定义域重合的部分是相等的。如果给定向量场是连续（光滑）的话，那么导出的流也是连续（光滑）的。
我不打算给出严格的证明，这可以在很多微分流形的相关资料中找到。这里，我希望用一个通俗的过程来介绍，怎么构造出这个流。我们把向量场看成是在一个大地图上标了很多很密的指示牌——告诉你到了这点后应该用多大的速度往什么方向开车。于是，你从某个地方出发，你先看看附近的指示牌，把车子调整到指示的速度和方向，往前开一小段后看到下一个指示，继续调整速度和方向，一直这样下去，你开车的过程就形成了一个运动轨迹，而且在各点上的速度，都和该点的指示一致。设想一个极限过程，指示牌无限密集，开车的人每个时刻都在连续地调节速度，那么就得到了一个和向量场一致的运动曲线。我们上面说过，流是所有这些运动曲线的集体，于是我们从不同的地方开始开车，最后就能把整个流构造出来了。 有些时候，向量场的定义域可能不是很完整，那么车子不能无限开下去（不然可能开出去了），这时候只能给出“局部的流”。如果一个向量场存在一个全局的流，就叫做完备的向量场(Complete Vector Field)。 从这个故事，我们知道一个变换是怎么炼成的：就是按照指示，一步步的做，这些小步积累起来，就形成最后的变换效果。有什么样的指示，就会有什么样的变换。在李群论中，数学家给向量场起了个名字：infinitestimal generator——寓意是，千里变换，生于跬步。数学上，“千里”与“跬步”的关系，就是李群和李代数的联系。 为什么我们不直接描述变换，而言描述生成它的向量场呢？很简单，很多时候全局的演化不容易直接描述，而小步的前进则是很容易把握的。在很多问题中，我们知道“divide and conquer“的策略能够大大简化问题，从变换群到向量场正是这种策略的极限体现。一个简单的例子，比如我们要表示一个不会改变物体大小的变换过程，所谓“不可压缩性”如果用变换矩阵直接表达，那是一个颇为复杂的非线性约束，而如果使用向量场表达，我们只需要把向量场限制在某个有限维子空间里——这就是一个简单得多的线性约束。这样的例子还有很多很多。
和微分方程的联系
最后，我们再回头看看上面这个“从向量场推导流”的问题。我们知道所谓速度场，就是对 t 的导数，所以这个问题，可以写成：
给定向量场 V(x)， 求 S(t, x) 使得 d S(t, x) / dt = V(x)， 并且 S(0, x) = x
这就是一般意义的常微分方程的初值问题。对这个问题的回答，和对于常微分方程的解得存在性，唯一性和连续性的回答，是联系在一起的。给定一个向量场，就相当于给出一个常微分方程。如果给定 x, 那么所形成的曲线 y_x ( t )，就是上述微分方程的解，而流 S(t, x) 就是所有这些解的整体。我们知道微分方程的解通常以积分形式给出，所以上面说的“运动曲线”，在数学上有个正式的学名叫“积分曲线”(Integral curve)。 在物理上，“积分曲线”也是很容易理解的，就是把“速度指示牌”的指示积累起来形成的路径，积分曲线生成的过程就是“积跬步而致千里”的过程。而且，这不仅仅是一种形象思考，在实际问题中微分方程的数值解法正好就是这种过程的最好体现。
本词条缺少
名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来
编辑吧！
球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——对球内任一距球心为r的一质点A的吸引力等效于质量与半径为r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引 。
球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——对球内任一距球心为r的一质点A的吸引力等效于质量与半径为r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引 。
球壳（密度呈球对称分布）内部空间的拓展 ——对球壳内任一位置上任一质点A的吸引力都为零。
球壳证明（球体可视为去掉球壳）
证明：设球壳内任一位置上任一质点A质量为m，对球内任一距球心为半径的一质点的质量为M，取过A点的两条弦（十分靠近）EC,BD.
令∠DAE=∠BAC=α→0，
则EA=DA,BA=CA
F（D对A）=（GMm)/AD² ①
剥皮法则证明[1]
F（C对A）=（GMm)/AC² ②
由于上述夹角非常小，所以DE,BC之间的曲面可以视为一个圆（我只是淮南一中高一学生，不会求一部分球面对面积，所以只有近似，欢迎高手来修改为更好的解法）
S（DE之间）=π[1/2（ADα)]² ③
S（BC之间）=π[1/2（ACα)]² ④
F（ED之间的圆曲面对A)=①×③
F（BC之间的圆曲面对A)=②×④
上述两式大小相等方向相反，合力为O
整个球壳以此类推
得，球壳对球壳内任一位置上任一质点A的吸引力都为零。
以上证明均为淮南一中2013届学生证明，由于知识有限，如有不妥敬请见谅。
据说高等教育出版社出版的《力学》有相关严谨的证明，有需要有条件者可购买查阅
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
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引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
田芷綾
1
姚珩
2*
1 桃園縣立大溪高級中學
2 國立臺灣師範大學 物理系
壹、前言
萬有引力定律基本上是於 1687 年正
式發表於牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）
的《自然哲學之數學原理》一書裡（Newton,
1687；Chandrasekhar, 1997），但牛頓在
與虎克（Robert Hooke, 1635-1703）爭辯
引力平方反比律提出之優先權時，曾述說
自己早於 1665 年左右，便已提出並完成距
離平方反比力的論證，只是晚了二十年才
發表。
然而在檢視牛頓思想發展的過程
中，可發現他早期並無「引力」的概念，
這從他所述有關月球試驗（moon test）的
著作裡可清楚看出，他當時認為月球所以
會作圓周運動，是因受到離心趨勢的影
響，而非引力的作用。亦即牛頓雖然早在
1665 年就提出了力平方反比律的數學描
述式，但嚴格而言，他所使用的物理概念
並不正確，萬有引力原理也不可能在當時
成形（Cohen, 1980）。
只有在 1684 年左右，當他首次提出
「向心力」（centripetal force）的概念後，
並正確指出：地球表面落體的加速度及月
*為本文通訊作者
亮環繞地球作圓周運動的向心加速度之比
值，與落體及月亮分別至地心距離平方的
比值相等時，力平方反比律的數學論證才
算完成，而萬有引力原理也就水到渠成，
隨即得以圓滿地被建立起來（柯瓦雷，
2003）。
貳、物體作圓周運動的離心力
一般人從最初對物體作圓周運動之經
驗感受，常會指出物體具有離開中心的傾
向，或者認為有一種離心「力」作用在該
物體上。譬如用繩子綁著一顆球，手拉著
繩子一端並使球作圓周運動旋轉，手會感
受到球欲離開繩子的一種拉力，而且隨著
球旋轉得愈快，手感受到的此種離心拉力
也愈大；或是人坐在急速轉彎的車子內，
會感覺到仿佛受到一股力的作用，要將自
己朝外拋出。
牛頓起初也不例外，認為物體作圓周
運動時，具有離開中心的趨勢（endeavor
away from the center），1665 年牛頓在其
《雜記》（Waste Book）中，對物體受到離
心趨勢作用下作圓周運動的情形，曾有過
清楚的討論。此外，笛卡兒（Rene Descartes,
1596-1650）於 1644 年發表重要著作《哲
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
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學原理》，該書中所述思想，對當時科學界
影響很大。他主張自然現象要從質點與運
動為基礎來描述，且質點所受的作用僅能
靠接觸或碰撞來傳遞。承襲此傳統，牛頓
在尋找作圓周運動物體所受離心趨勢的規
則時，他便先從一個物體沿著正四邊形軌
道作等速率運動的分析開始（圖 1）。
牛頓認為若考慮一物體或小球，自一
圓外切正方形的其中一切點 a 開始，以等
速率沿水平直線運動，此物體本身具有「運
動力」（force of the body’s motion）或「慣
性力」，並可以物體所行經的位移表示其大
小。當遇到軌道壁時，物體遠離中心的趨
勢力會作用於軌道壁上，導致軌道壁會對
物體施以一壓縮（pressure）、碰撞、反彈
力（force of reflection）或反作用力，造成
物體運動方向改變（Brackenridge, 1995）。
圖 1：由物體在內接於正圓的正四邊形軌
道上運行，尋找其所受到之總反彈
力
若物體自 a 點出發，於不受任何阻撓
下運行至 b，如果在該處無邊界，物體會
繼續運動下去，形成位移 by，此值代表持
續受運動力影響所形成的位移。但由於在
b 點受到反彈力作用，造成物體改變方向
形成 bc 位移，此時牛頓宣稱，此淨位移
bc 是由 by 及 bd 兩段位移以遵循平行四邊
形的合成法則所合成，其運算方式與現代
的向量加法同義。而 bd 可視為物體在 b
點僅受到反彈力作用時所形成的位移，亦
即物體在 b 點之後的實際位移 bc 是由物體
因初始運動所造成的位移 by，與物體因反
彈力所造成的位移 bd（或 yc），兩者的合
成。如此延續下去，物體將沿著正方形的
abcd 軌道運動。
假設物體的運動力與物體運動速度
的變化量成正比，因此在兩次碰撞之間固
定的每個時段下，運動力與時間之乘積-
或稱運動衝量（impulse），與速度的變化
量與時間之乘積-即位移 ab（= by）成正
比；同理，假設物體所受到的平均反彈力
與物體的速度變化量成正比，因此在相同
時段下，平均反彈力所對應的反彈衝量，
會與位移 bd（=yc=2fa）成正比。亦即，
物體在 b 點受到的反彈衝量（以 b
I 表示）
與其運動衝量（以 o
I 代表）的比值為
/
/
2 /
b
o
I I
bd by
fa ab
=
=
利用畢氏定理於等腰直角Δfab 上
2
2
2
2
2
fa
fb
fa
ab
+
=
=
因此
科學教育月刊 第 330 期 中華民國九十九年七月
- 24 -
/
/
b
o
I I ab fa
=
若物體自切點 a 開始，沿著正方形軌道
abcd 穩定運動下去，在完成一整圈的過程
中，所受到的總反彈衝量大小為在四個角
落分別受到的反彈衝量總和，則總反彈衝
量與運動衝量的大小比值，就等於內接正
方形的周長與圓半徑的比值，即：
(
)/
4 /
b
o
I I
ab fa
∑
=
圖 2：由在圓內接正多邊形軌道上運行的
物體，論證其所受的總反彈力
若物體自 a 點在圓內以正多邊形的路徑運
動（圖 2），物體在 a（b）點若沒有受到反
彈力，其位移將是 ax（by），但由於受到
反彈力，所以物體的運動軌道變成 ab
（bc）。因物體作等速率運動，並設物體運
行在 ax（by）上所費時間等於其運行在 ab
（bc）所費時間，因此 ax = ab（by = bc）。
又 nb 平行於 yc，nb = nc，且 by = bc，因
此Δnbc～Δbcy，且 yc/bc = bc/nb。故物
體在 b 點受到的反彈衝量與其運動衝量的
比值可寫成
/
/
/
/
b
o
I I
yc by yc bc bc nb
=
=
=
而當物體在正多邊形軌道上，完成一整圈
的運動中，其在軌道上所受總反彈衝量與
運動衝量的大小比值，則同樣為內接正多
邊形之周長與圓半徑的比值，
(
)/
(
)/
b
o
I I
bc nb
∑
= ∑
當正多邊形趨於無窮多邊而接近於正圓
時，正多邊形之周長即接近圓周長 2πr ，
而物體作圓周運動所受到軌道壁給予之總
反彈衝量，與運動衝量的大小比值，即等
於圓周長與半徑之比值：
(
)/
2 ( )/
2
b
o
I I
π na na
π
∑
=
=
若物體的運動衝量或動量 o
I 可以物體
的質量與其速率之乘積 mv 表示，則物體
作圓周運動受到軌道壁給予之總反彈衝量
2
2
b
o
I
πI
πmv
∑ =
=
。若衝量與作用時間-即
環繞一圈所需時間（週期 T）-之比值為
平均作用力 F，而此平均作用力是由於圓
周運動物體的離心趨勢，或如惠更斯
（Christian Huygens, 1629-1695）所言之離
心力（centrifugal force）作用在軌道壁上
所引起的，所以作半徑為 r 週期為 T 之等
速率圓周運動物體，其離心趨勢或離心力
形式為
2
2
(2 / )
b
I
πmv
mv
F
T
πr v
r
∑
=
=
=
這便是牛頓在 1665 年以數學論證推得作
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
- 25 -
圓周運動物體所受的離心力形式，其大小
正比於「切線速度平方與半徑的比值」。以
上論述，雖然作圓周運動的物體所受之力
F∞v2/r，與現今正確結果吻合，但在論證
中，可看出牛頓一直依循笛卡兒作圓周運
動物體時所具有的為向外趨勢（outward
tendency），或惠更斯的離心力概念，以現
代的觀點來看，則並不正確。亦即在此段
時間，牛頓認為作圓周運動物體具有試圖
偏離軌道的離心力，它會對軌道壁產生作
用，然後軌道壁再向物體產生反作用的推
擠，使得物體維持在圓周軌道上。也就是
說，物體作圓周運動是由於被動地受到軌
道壁的「推擠」，而不是主動地向中心「吸
引」；好比手拉著繫上一顆球的繩子，當手
讓球作圓周運動時，手感受到的拉力，是
由於先有球的離心力之存在所造成。作圓
周運動的物體受到的是「離心力」，而非日
後所言之「向心力」。
正如惠更斯注意到的，「推動」或者
「壓力」並不能與「引力」互換，前者並
不「朝向」一個物體，也不會產生相互的
作用力。（柯瓦雷，2003，p. 152）
參、1666 年之月球試驗與離心力
牛頓於 1666 年對作等速率圓周運動
之物體，曾做了如下的分析：半徑為 r 週
期為 T，作等速率圓周運動物體之速率為
2
2 2
2
2 /
4
/
v
πr T
v
π r T
=
⇒
=
2
2
2
/
v
r T
⇒ ∞
接著他利用克卜勒（ Johannes Kepler,
1571-1630）的週期律--行星到太陽距離
的立方正比於它們的週期平方，或 r3/T2
為定值，而有
2
2
2
2
3
/
/
1/
v
r T
r r
r
∞
=
=
因此可得到離心趨勢
2
2
/
1/
F v r
r
∞
=
即作圓周運動物體所受離心力必與物體至
圓心距離或半徑平方成反比，此關係可稱
為平方反比之離心力律。此即牛頓在 1718
年晚年自傳裡，關於力平方反比律發現的
優先權討論中所曾提出的辯駁，認為毫無
疑問他要比 1673 年惠更斯所正式發表類
似的相關敘述要早，牛頓說：
「可能是 1666 年左右，我開始思考重
力延伸到月球軌道，而且也找出如何估計
運動質點在球面內運行撞擊至表面時所施
的力：由克卜勒的行星週期律，我推算維
持行星在它們各自軌道上的力，必定與它
們到圍繞中心距離平方成反比。」
此處所提「開始思考重力延伸到月球
軌道」，指的即是牛頓在 1666 年考慮的「月
球試驗」，在此工作中可反映出：“第一，
他將重力延伸至月球的軌道；第二，估計等
速率圓周運動的離心趨勢；第三，對於克卜
勒的行星週期律相當熟悉；第四，結合離心
趨勢與克卜勒定律，得到行星力是反比於其
到圍繞中心的距離平方。很明顯地，在此處
他假設行星的繞行軌道是正圓，或至少接近
正圓。＂（Cohen, 1980, p. 231）
科學教育月刊 第 330 期 中華民國九十九年七月
- 26 -
牛頓的「月球試驗」基本上分為兩個
步驟：首先，計算地球表面上物體因地球
自轉所造成的離心趨勢，並將它與重力比
較：
牛頓計算赤道上的物體在地球自轉
一天的週期內，由於地球自轉而造成的離
心趨勢，將使得物體每秒遠離地球約 5/9
英吋。而地球重力卻會使得物體在每秒內
朝地心落下約 16 英尺，這大約是離心趨勢
的 350 倍。重力是如此地大，因此地球自
轉不會使得物體遠離地心並彈入空中。
（Cohen, 1980, p. 238）
茲以 SI 國際單位來闡釋上述意義，
因地球半徑 R 為 6400,000 公尺，地球每日
自轉週期 T 為 86,400 秒，若視隨著地球自
轉的地表物體在作等速率圓周運動，則此
物體的運動速率 v
2
2
6400,000
465( / )
86,400
πR
π
v
m s
T
×
=
=
≅
依照牛頓的圓周運動離心力律，計算所對
應的離心趨勢之加速度 a 為
2
2
2
465
0.034( / )
6400,000
v
a
m s
R
∞
=
而作等加速度運動物體，一秒內移動距為
2 / 2 0.034 / 2 0.017( ) 0.67
at
m
=
=
=
吋
此即離心趨勢使地表物體每秒遠離地球之
距離。同理，若地表之重力加速度 g 為
9.8m/s2，則物體在每秒內朝地心落下距離為
g 2 / 2 9.8 / 2 4.9( ) 16
t
m
=
=
= 呎
比較每秒朝地心落下距離與離心趨勢使物
體遠離地球距離，其比值為
16 呎／0.67 吋＝16×12／0.67＝290 倍
與牛頓所述的 350 倍非常接近，也代表地
面上重力遠比地球自轉所造成的離心趨勢
大 350 倍。即
9.8
290 350
0.034
a
=
=
≈
g
其次，他將月球作等速率圓周運動的
離心趨勢，與地表上物體的離心趨勢做比
較，再由前述計算所得地表上物體的離心
趨勢與地表重力加速度的比值，得出「地
表的重力加速度」約為月球「離心趨勢」
的 4000 倍：
牛頓將不同圓周運動的離心力律，即
v2/R 規則，用於計算月球遠離地心的離心
趨勢，並與位於地表上物體的離心趨勢比
較，發現後者約為前者的 12 又 1/2 倍。因
此，他做了結論：「地表的重力約為月球離
心趨勢的 4000 倍。」實際上應是 4375
（=350×12.5）。（Cohen, 1980, p. 239）
這是因為月球到地心的距離約為地球
半徑的 60 倍，其值為 R’=384,000,000 公
尺，而月球繞地球運轉的週期為一個月，
或 28 天，則月球運轉週期為 T’= 2,332,800
秒，若月球繞行地球作等速率圓周運動，
則其速率
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
- 27 -
2 ' 2 384,000,000
'
997( / )
'
2,332,800
πR
π
v
m s
T
×
=
=
≅
依照離心力律，可得月球的離心趨勢 a’
2
2
2
'
997
'
0.0026( / )
' 384,000,000
v
a
m s
R
∞
=
故地表上物體的離心趨勢 a 與月球之離心
趨勢 a’ 的比值為
0.034
13
' 0.0026
a
a
=
牛頓之計算值為 12 又 1/2。因此，地表重
力加速度 g 與月球離心趨勢 a’ 的比值為
290 13 3770
'
'
a
a
a a
= ×
× =
g
g
此數值相當接近牛頓所計算的 4000 或
4375 倍（表 1）。
已知月球的圓周軌道半徑約為地球
半徑的 60 倍，故依照日後牛頓萬有引力所
述「引力與距離平方成反比」的理論，「地
表重力加速度」應當是「月球向心力加速
度」(類似最初的離心趨勢)之 3600 倍，以
當時的科學精確度而言，4000 倍與 3600
倍可以視為相近的數據。再者，牛頓當時
所使用的數據是以義大利制為單位，若以
英國制為單位，則數值便會相當接近。牛
頓即是利用上述月球試驗，辯稱早在與虎
克通信之前，他就已經有物體互相作用力
的概念，也暗示月球受到地球重力，與維
持行星在其軌道上的力兩者相類似。後來
牛頓在晚年說明，由於自己在 1666 年對理
論計算值與實際觀測值並不一致，而感到
不滿意，加上對數據精確度的要求，使得
他晚了二十年才將理論發表：
牛頓宣稱他在 1666 年就分析過行星
運動，只是在 20 年後才寫在《原理》
上，… 。並且在 1660 年代中期，他就認
為力是相互作用的：月球拉地球的力與從
地球延伸到月球的力一樣大，行星也可能
會拉太陽，這兩種力是相同種類的。
（Cohen, 1980, p. 232）
然而，即便觀測值與理論值相當接
近，也不能證明牛頓在當時已經完成月球
與地表物體初步地正確連結，因為這項月
球試驗的問題不是在於牛頓所用的單位，
而是其基本概念的錯誤。牛頓在 1679 年到
1680 年間與虎克通信之前，都還是受到笛
卡兒跟惠更斯的影響，認為作繞行運動的
行星具有「遠離中心的趨勢」，此時依然還
沒有「向心力」的概念：
表 1：牛頓對地表重力(g)與月球離心趨勢(a’)比值的估計與實際值之比較
離心趨勢
與 重力
地球自轉之
離心趨勢 (a)
地表重力 (g)
g/a
月球繞地之
離心趨勢 (a’)
a/a’
g/a’
牛頓估計值 每秒下降 5/9 吋 每秒下降 16 呎
350
12.5 4375
實際值
0.034 m/s2
9.8 m/s2
290
0.0026 m/s2
13
3770
科學教育月刊 第 330 期 中華民國九十九年七月
- 28 -
在 1660 年代，牛頓還是受到笛卡兒
的影響，尚未建立行星沿曲線運動是受到
「向心力」而非「離心力」的概念，直到
1679 年跟虎克通信後，才被提醒要考慮朝
向中心加速的運動與慣性運動的合成，而
這就是「向心力」提出的關鍵。天體重力
延伸至月球，且是向著中心，這就是為何
行星跟月球受到向心力，而持續不斷地偏
離他們各自的慣性運動路徑。（ Cohen,
1980, p. 231）
1666 年的月球試驗中，重力是朝向地
球的力，而月球所受到的力是遠離地球之
離心趨勢，牛頓是在毫無任何理論依據
下，將「離心趨勢」與「朝向地球的重力
加速度」兩個無關的概念進行比較，以致
其工作並無實質上的貢獻，這也足以說明
他在此時的物理概念還是含糊不清。在向
心力的概念確立之前，將兩者進行比較，
並無法得到重要結果，對力平方反比律優
先權所提出的辯駁，也因此顯得脆弱無
力。以致於有些學者考證過後，發現牛頓
的自述很有可能是杜撰的：
在 1660 年代於牛頓的手稿中，都未發
現任何暗示指出太陽作用在行星之上的
力，與地球作用在月球之上的力是同樣
的。同時期，他認為行星具有遠離的趨勢，
而在 1679~1680 年代或是更晚，他認為行
星受到的為向心力，而連續地偏離行星的
慣性軌跡，這兩者有很大的區別。也就是
說，在 1665 年代，牛頓還沒有將重力普遍
化的概念，而他說早有這樣的概念，只是
晚了 20 年才發表，這樣的說法是沒有根據
的。甚至在當時，他都還沒有月球會有力
作用在地球上，或是行星會作用在太陽上
的概念。（Cohen, 1980, p. 233）
沒有向心力的概念，牛頓不可能提出
「地球拉月球」的「引力」說法，也就無
法得到月球所受引力與重力來自於相同形
式的觀點。一直要到中年時期，在他將向
心力和克卜勒的面積律結合後，及發現橢
圓律、週期律與引力平方反比的數學關
係，才可能慢慢發展成物理世界中的萬有
引力定律。換言之，在 1666 年，牛頓的「萬
有引力」尚未成形：
1666 年 … 牛頓沒有使用引力的概
念，仍舊侷限於傳統的機械論哲學思維框
架；他沒有指出萬有引力，而只是指出離
心的趨向。（韋斯特福爾，2000，p. 157）
肆、虎克與朝向中心的趨勢力
牛頓如何從早期「作圓周運動物體所
受之力為離心趨勢」此種含糊的概念裡，
跳脫出來? 很主要的原因是來自虎克所給
予的提示。
虎克一直對行星軌道為何是橢圓形
的問題有興趣，他曾試圖用「圓錐擺」的
實例，來闡明物體從直線偏折為曲線運動
的原因，及可能得到橢圓軌道的情形，並
嘗試與行星軌道做比較。圓錐擺的擺錘受
力遵循虎克定律，也就是受力與其至擺中
心的距離成正比；然而，日後所知的重力
是與距離平方成反比，因此兩者之間力的
數學形式並不相同。不過，雖然圓錐擺與
重力的運動規律相異，但依據文獻記載，
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
- 29 -
虎克仍然用實驗的方法，提供了地表與天
體系統很好的類比。
在天花板上懸掛一個擺，擺的末端連
著一顆木球；結果發現，如果開始時沿著
切向趨勢的衝力強於朝向中心的趨勢，就
會產生一個橢圓運動，其最長的直徑與物
體在第一擊瞬間所具有的趨向平行；而如
果衝力弱於趨向中心的趨勢，那麼此時將
產生另一種橢圓運動，其最短的直徑平行
於物體在第一擊瞬間所具有的趨向；如果
這兩者相等，那麼就會產生一個精確的圓
周運動。（柯瓦雷，2003，p. 179）
虎克對於圓周運動的探討，並不是像
牛頓一樣承襲於惠更斯，而是因為本身對
於天文學的興趣，他只是試圖解釋為何行
星會像克卜勒所描述的依橢圓軌道運行，
並順帶引入圓周運動只是其中的一種可能
情況。
1666 年 5 月 23 日，有一篇虎克先生
的論文被宣讀，它說明一個直線運動是如
何通過一種相伴隨的引力定律作用，而變
到曲線運動，而這一引力定律還有待發
現。其中包含的論述是對一個實驗所作的
介紹，用以顯示圓周運動由一種沿著切向
的直線運動趨勢，與一種朝向中心的趨勢
複合而成。（柯瓦雷，2003，p. 178）
亦即早在 1666 年，虎克便認為圓周
運動是由一種沿著切向的直線運動趨勢，
與一種「朝向中心的趨勢」組合而成，這
時間比虎克與牛頓在 1679 年到 1680 年間
通信討論行星軌道問題，還早了許多。姑
且不論此處虎克所言「朝向中心的趨勢」
來自何故，但牛頓於 1665 年時，仍主張離
心力為造成物體作圓周運動的原因，且其
後十五年內並未發表進一步相關論述，可
推知牛頓極有可能是在 1679 年與虎克通
信討論之後，才從他身上得知：物體沿曲
線軌道運動或圓周運動，是因受到中心「吸
引」的觀點。
虎克理論可以說是對牛頓的一個很
大剌激，因為虎克把行星運動視為「沿切
線的直線運動，與指向中心物體的吸引
（attraction）運動之合成」。（Cohen, 1980,
p251）
此後牛頓便開始採用虎克所提朝向
中心的趨勢或吸引力的觀念，來處理物體
沿曲線軌道運動的現象，並獲得了突破性
的發展（Brackenridge, 1995）。
伍、向心力與平方反比律
縱使虎克影響了牛頓對圓周運動物
體的受力觀點，將之從「離心力」轉變為
「朝向中心的趨勢」，但虎克自己卻無法
提出任何與朝向中心趨勢及橢圓或圓周運
動之間，相關的數學分析與論証，也無法
作出有效的預測。然而牛頓一旦轉換受力
方向的觀念，立即得到了動力學上許多重
大成果。
在 1684 年《自然哲學之數學原理》
的前身《論運動》一書裡（Newton, 1684），
牛頓從三個定義：向心力、慣性力、阻力，
開始他的討論，而第一個定義即為：
科學教育月刊 第 330 期 中華民國九十九年七月
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定義 1
一物體被推動或吸引，朝向中心點的
力，稱為為向心力。
這是「向心力」首次在科學文獻中正
式出現。緊接著於 1687 年影響物理學深遠
之巨著《自然哲學之數學原理》中，牛頓
將向心力的物理意義與內涵，置於開宗明
義的前兩個命題裡：
命題 1 定理 1
做環繞運動的物體，其指向力的不動
中心的半徑所掠過的面積位於同一不動的
平面上，而且正比於畫出該面積所用的時
間。
命題 2 定理 2
沿平面上任意曲線運動的物體，其半
徑指向靜止的或作等速直線運動的點，並
且關於該點掠過的面積正比於時間，則該
物體受到指向該點的向心力的作用。
互為逆命題之此二命題，主要是陳述
向心力的存在與面積律--物體與某靜止
點的連線在相同時間掃過相等面積，完全
等價同義，即
由於作等速率圓周運動物體在相同
時間內劃過相同弧長，掃過相同面積，故
必定是受到指向圓心之向心力作用，而非
離心力。牛頓在此指出為何只有向心力才
能讓物體作等速率圓周運動的幾何原因，
這並非虎克所能體認出來的。
在提出向心力為探討曲線運動的重
要關鍵後，命題 4 接著指出牛頓在二十年
前所得到圓周運動的離心力與離心力律的
修正式，這依然純屬他個人的獨立創見，
而非虎克的論述。
命題 4 定理 4
沿不同圓周等速運動的若干物體之向
心力，指向各自圓周的中心，它們之間的
比，正比於等時間裡掠過弧長的平方除以
圓周的半徑。
命題 4 推論 6
如果週期正比於半徑的 3/2 次方，則
向心力反比於半徑的平方；反之亦然。
即任一物體在不同半徑的圓周上作等
速率運動，且也符合週期律時，則圓周運
動的週期律便等價于距離平方反比力。
不僅圓周運動，牛頓也證實了受到平
方反比力作用的物體會沿著橢圓軌道運
動，且亦證明出其反命題：運動物體的軌
道橢圓性，代表所受力滿足距離平方反比
律。
命題 11 問題 6
物體沿橢圓運動，指向橢圓焦點的向
心力反比於其到橢圓焦點距離的平方。在
正圓的週期律
距離平方反
比力
向心力的存在
面積律
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
- 31 -
建立圓與橢圓平方反比律的論証中，皆需
使用向心力與面積律的特性。然後在第三
卷裡，牛頓結合觀測數據，並利用以上述
第一卷命題 4 與 11，完成了萬有引力原理
的提出（項武義、張海潮、姚珩，2010；
姚珩、田芷綾，2010；閰康年，1989）。
命題 5 系 2
任一行星所生的重力與至此行星中心
之距離平方成反比。
註解:
使天體物體維持在其軌道上所謂之向
心力，現已很明顯，它實在也就是一種引
力（gravitation force），此後我們將稱它為
重力（gravity）。
由這些對獲得引力的扼要論述中可清
晰看出，向心力的概念貫穿全書，也是牛
頓發現萬有引力的關鍵基礎，沒有向心力
與其背後的深刻內涵，萬有引力理論幾乎
是無法被建立起來。
陸、蘋果落地與月球繞地來自於相
同原因
只有在向心力概念被正確建立起來
後，牛頓才能提出有意義的月球試驗，以
計算月球作圓周運動時，因受向心力影響
所產生的下落距離 BD（圖 3），其中月球
為 A，地球為 C（Newton, 1687；Chandra-
sekhar, 1997）。他利用下列數據：
(1) 月球至地球距離為 60 倍之地球半徑。
(2) 地球之圓周長為 1.232× 108 Paris feet
=4.0×107m
或 地球的半徑為
R=4.0×107m/2π=6.37×106m。
(3) 月球環繞地球一周為 27 日 7 時 43 分
=39,343 分。
每分鐘月球掃過之角度為
δθ = 2π/39,343 rad。
(4) 可得每分鐘月球向地球下落之距離
BD 為
6
2
2
60
2
1 2 60 637 10
2 39343
4 87
BD AC δθ sin(δθ / )
R δθ (δθ / )
( / ) (
.
) ( π / , )
. (m)
=
∙ ∙
≅
∙ ∙
=
∙
∙
×
∙
=
圖 3：正確的「月球試驗」示意圖
另外，由伽利略之水平拋射公式，月
球垂直（或向心）下落之距離 y 與向下（或
向心）加速度 a 之關係為
2
(1/ 2)
y BD
at
=
=
則可求得
C
D
B
A
科學教育月刊 第 330 期 中華民國九十九年七月
- 32 -
2
2
2
2
/
2 (4.87/60 )
9.74 / 3600( / )
a
BD t
m s
=
= ∙
=
若假設月球所受之向心力是平方反
比力，在讓月球逐漸下降至地表時，其向
心力或向心加速度將增強 3600 倍。令月球
在地表的加速度 a’，即
2
' 3600
3600 (9.74/3600)
9.74( / )
a
a
m s
=
∙ =
∙
=
≅ g
g 即為重力原因所造成地表上的重力加速
度，其理論值為 9.8m/s2。所以，當月球逐
漸下降至地表時，其向心加速度等於重力
加速度；亦即，使月球運轉之向心力，和
在地表上使物體下落之重力實屬同源，也
就是來自同一原因，屬於同一力量。
柒、結論
向心力的概念與曲線運動的物體存
在著向心力作用，這些想法的產生，實非
易事，當初也絕不是一步到位，即全然清
晰。從 1640 年左右，笛卡兒提出的「向外
趨勢」，或「遠離中心的趨勢」開始，到
惠更斯的「離心力」，再至 1665 年，歷經
二十餘年，牛頓依然錯用此並非正確的離
心力概念，並試圖利用它將地表上的下落
物體與月球運動結合，計算出月球離心趨
勢與地表重力之比值，還認為它可合理反
應出平方反比的作用意義。且為了爭辯引
力平方反比律提出之優先權時，他甚至還
含糊或隱瞞地交待，距離平方反比力是在
當時即已確認。然而，月球之離心力與地
表向下之重力，此兩概念並無法正確的對
應連結，縱使可將該分析數值視為十分準
確，卻無法掩飾其概念之模糊性。
於 1680 年之後，受到虎克的提示，牛
頓將「離心力」轉變為「吸引」的概念，
進而提出「向心力」概念，且與他年輕時
所作圓周運動的分析結合，充分掌握住了
向心力與行星面積律、橢圓律及週期律的
深刻關係，才得以建立起正確豐富的距離
平方反比力、及萬有引力定律，藉此精確
地計算及呈現出月球向心力與地表重力的
一致性，並可詮釋其他許多天文現象，獲
得了空前的成功與勝利，成為古典物理時
期最偉大的科學家。
一個原理或定律的建立，背後一定蘊
藏有深刻且創新的「概念」，在物理學中
這些概念並不需要太多，但它們卻時常是
歷經層層的困難與障礙，才得以浮現出來
的，殊為難得可貴，且它們必扮演著重要
的樞紐角色，更是描述科學原理的基礎。
本文強調由於有了正確的「向心力」概念，
牛頓才能完成其曲線運動的理論，並從中
窺見引力的端倪，繼而提出重大的萬有引
力定律。
科學教師們是否體會科學「概念」在
科學發展和科學學習上的深刻意涵，決定
了他們對科學的態度，及在教學上授課內
容的時間分配，與教學時所強調與著重的
思考方法。若老師們能明白概念是了解原
理的關鍵，相信在一段時間之潛移默化
下，學子們必能習得正確的學習方法，及
體會出老師們的一片苦心。
引力理論建立的關鍵--向心力概念的形成
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捌、參考文獻
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这个S(t, x)呢，可以从两个方面去看，就得到两种不同的理解。首先，固定 t，
我不打算给出严格的证明，这可以在很多微分流形的相关资料中找到。这里，我希望用一个通俗的过程来介绍，怎么构造出这个流。我们把向量场看成是在一个大地图上标了很多很密的指示牌——告诉你到了这点后应该用多大的速度往什么方向开车。于是，你从某个地方出发，你先看看附近的指示牌，把车子调整到指示的速度和方向，往前开一小段后看到下一个指示，继续调整速度和方向，一直这样下去，你开车的过程就形成了一个运动轨迹，而且在各点上的速度，都和该点的指示一致。设想一个极限过程，指示牌无限密集，开车的人每个时刻都在连续地调节速度，那么就得到了一个和向量场一致的运动曲线。我们上面说过，流是所有这些运动曲线的集体，于是我们从不同的地方开始开车，最后就能把整个流构造出来了。 有些时候，向量场的定义域可能不是很完整，那么车子不能无限开下去（不然可能开出去了），这时候只能给出“局部的流”。如果一个向量场存在一个全局的流，就叫做完备的向量场(Complete Vector Field)。 从这个故事，我们知道一个变换是怎么炼成的：就是按照指示，一步步的做，这些小步积累起来，就形成最后的变换效果。有什么样的指示，就会有什么样的变换。在李群论中，数学家给向量场起了个名字：infinitestimal generator——寓意是，千里变换，生于跬步。数学上，“千里”与“跬步”的关系，就是李群和李代数的联系。 为什么我们不直接描述变换，而言描述生成它的向量场呢？很简单，很多时候全局的演化不容易直接描述，而小步的前进则是很容易把握的。在很多问题中，我们知道“divide and conquer“的策略能够大大简化问题，从变换群到向量场正是这种策略的极限体现。一个简单的例子，比如我们要表示一个不会改变物体大小的变换过程，所谓“不可压缩性”如果用变换矩阵直接表达，那是一个颇为复杂的非线性约束，而如果使用向量场表达，我们只需要把向量场限制在某个有限维子空间里——这就是一个简单得多的线性约束。这样的例子还有很多很多。 
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