3.2.2 涨落—耗散定理
方程（3.31）及（3.37）中的“扩散系数”
/ B D k T ， （3.38）
其中 是表征系统微观分子的“涨落”引起的粘滞（或者摩擦），即Brownian
粒子的扩散过程是由于液体分子的涨落过程引起的阻尼过程。而阻尼本质上是
耗散过程。关系式（3.38）将涨落与耗散过程联系在一起，所以被称为“涨落—
耗散定理”。
多数情况下（除热等离子体外），等离子体中的电子温度和离子温度相差很大，整体来说是远离平衡的体系。
一般认为，粒子间的相互碰撞是输运现象的微观过程。但是在等离子体中，
由于长程的电磁相互作用及大量运动模式的存在，波对带电粒子的散射成为输
运过程的重要原因——在很多情况下，甚至是主要原因。因此导致“反常”的
输运、耗散。这也是非平衡态等离子体物理所要研究的重点之一。
2.1 Boltzmann 方程
基于“气体是由大量相互作用的粒子构成的”这一模型，非平衡态统计物理
学的先驱Ludwig Boltzmann在19世纪下半叶发展起来了描述微观粒子在速度
空间的分布函数满足的方程：Boltzmann 方程。
这个方程的推导见于统计物理的教科书。我们在这里直接给出最后的结果：
速度分布函数 f (x, v,t)满足的方程
( , , )
c
f t f
t m t
v F x v
x v
， （2.01a）
其中的 Boltzmann 碰撞项
1 1 1 ( )
c
f d d f f f f
t
v ， （2.01b）
这里的 d 是碰撞立体角元， 是碰撞散射截面。这就是著名的Boltzmann 积
分—微分方程。在推导这个方程时，我们假设了：1）二体碰撞（忽略了三体及
多体相互作用与关联，Boltzmann 用的是“稀薄气体”）；2）短程相互作用——
Boltzmann 用的是“刚球模型”； 3）“分子混沌性”——碰撞过程中两个粒子
的分布是是相互独立的，即碰撞过程只与双粒子的分布12 1 2 12 f f f G 中的 1 2 f f
有关，而与粒子间的关联无关。
2.2 H 定理与熵
Boltzmann 方程的最重要的贡献是通过H 定理证明了热力学第二定律——
发展的时间箭头。而热力学第二定律不仅在物理学和自然科学中，而且在社会
科学领域里也有重要应用。我们下面就来证明H 定理。
Boltzmann 在1872 年引进这样一个H 函数：
H dxdv f (x, v,t) ln f (x, v,t) 。 （2.02）
将这个 H 函数对时间求全微分，并利用Boltzmann 方程，并假设积分域的边界
时绝热的，我们得到下面的关系式：
1 1 1 1 1
1 ( )(ln ln )
4
dH d d d d f f f f f f f f
dt
x v v 。 （2-03）
因为被积函数的两个因子 1 1 ( f f f f )和 1 1 (ln f f ln f f )的符号总是相同的，所以
总有
dH 0
dt
。 （2-04）
这里等号只有在 1 1 f f f f 的情况下成立。
这就是著名的 H 定理：在孤立体系中，分布函数的辩护总是使得H 函数减
小，除非体系已经达到这样一种平衡状态——分子间的碰撞不再引起分布函数
的变化。
从 H 定理可以知道，H 函数具有描述系统演化时间箭头的性质，即具有“熵”
的性质。通过与热力学熵的比较，Boltzmann 得到在第一性原理意义上的“熵”
的定义：
2.3 细致平衡原理
H 定理和热力学第二定律的微观第一性原理证明引起物理学界的争论：既然
Boltzmann 方程具有宏观不可逆性质，那么作为其出发点的微观物理规律的可
逆性呢？
细致平衡原理告诉我们 Boltzmann 方程的微观可逆性：
1 1 f f f f 。 （2.07）
也就是说，如果 dt 时间段的元碰撞引起的分布函数变化
( )
1 1
f c f f ddxdtdvdv
与相同时段反元碰撞引起的分布函数变化
( )
1 1
f i f f ddxdtdvdv
相等，则我们说体系处于“细致平衡”状态。而这个状态就是平衡态。即体系
达到平衡状态的充分必要条件是达到“细致平衡”——这就是细致平衡原理。
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