"非线性分析的目的主要是探索任何随时间而变化的量当时间走向无穷大时的“最终性态”。时间是一个连续的自变量，它对应的函数变量往往满足一个微分方程，就像十九世纪末期庞加莱研究“三体问题”以及二十世纪中叶洛伦茨预测天气变化用到的那些根植于牛顿力学的微分方程。研究微分方程的解当时间趋于无穷大时的表现的那部分“动力系统”称为“连续动力系统”。为了把一些复杂的问题简单化一点，我们也可以把时间的长轴分成同等长度的无穷多个时间段，最方便的划分是让时间取所有的正整数值 1, 2, 3, 4, 5, … 。这样，微分方程解的渐近性态就成了“解在时间为 1时的值”所定义的某个函数的逐次迭代之渐近性态。这就是被称作为“离散动力系统”的另一个学科所要做的事。"
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如果我们利用某个关系函数，比如Y=F（X），代入一个X算出一个Y，又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断，这种方法在数学上称为迭代，
混沌的启示
混沌的启示庄周
我在给交易员上理念课的时候，经常被问及：“究竟什么是混沌？”。
答案涉及很多方面，很难用只言片语来解释清楚。常识将混沌理解成“随机”，比如水分子的“布朗运动”，博彩中A球出现的现象，或者洗一副扑克牌。
事实上，远不止如此，混沌还要微妙。
混沌一词，作为科学术语，指的是貌似随机事件背后隐藏的内在联系，一般称为秩序，或高级秩序等等。
通常，我们以线性的眼光来看待世界，去发现所谓的“非此即彼”的、“有因必有果”的“规律”-----在Y=X+3中，如果X=5，那么Y=8；如果X=7，那么Y=10，这是“铁定”的，无论X如何，Y一定有一个唯一的对应的数值，Y随着X的变化形成一条线性的直线（如果公式有变化，也可能是曲线），这就是“规律”；如果汽车每小时行驶60公里，那么10小时将行驶600公里，这也是“规律”；秋天过去了，将是冬天，这还是“规律”。
秩序则有所不同。
我们说电影院散场的观众是有“秩序”的，这并不是说他们排着整齐的队伍出场，而是指他们形成了某种“状态”，这种状态没有明显的“规律”可言，但是毫无疑问，因为这种状态，从总体上说，人们在以最快，最安全，最简单的方式离开电影院。
同样，排队购物的人们也是有秩序的，我们可以看到队伍毫不混乱，似乎形成了某种状态，但是你并不能用什么线性的计算方法来计算队伍的形状------这种状态在随时变化，同时又处于相对的稳定中。
山峰、海岸线的形状也是有秩序的。它似乎有某种规律的表象，但是又具有绝对的单一性、独特性。
在生活中，我们无时无刻不处于“混沌”的状态，我们试图弄清：暴风雨，洪水，山峰，海岸线，股票价格走势，人体神经和血管所呈现的各种各样的复杂图案。
混沌科学即是研究“隐藏的模式”、“细微的差别”和“事物的敏感性”的科学，是试图发现那些看似杂乱无章的事件背后所存在的“秩序”的科学。
证券市场的价格运动形式，毫无疑问也属于混沌的状态。
市场中的价格运动，本身由无数的交易者行为构成。每一个交易者都根据自己对某一事件或信息的判断做出交易的决定，对于同一事件或信息，不同交易者作出的反应并不相同，对于同方向的交易者，影响程度也不相同，即使程度相同，交易者交易的时间和价格也会有不同，因此，就价格运动的整体来说，几乎在所有的时间，都是处于混沌状态的。
本文及以后的几篇文章，都是涉及沌混沌理论及其在证券市场的应用，主要是在证券市场的应用部分。我们试图弄清楚：价格是如何运动的？我们应该如何利用价格运动在股票市场中获利？
从历史的角度看，科学的发展总是给人类社会带来无穷的利益。
哥白尼（Copernicus）提出了地球围绕太阳运动的学说-----日心说，不仅推翻了中世纪的哲学信条，将西方社会的注意力从宗教转移到了个体和大自然的规律上，为欧洲文艺复兴注入了巨大的动力，而且，最重要的是，它帮助那些普通的人们，那些既非科学家，又非哲学家的人们以一种全新的方式去思考、体会宇宙，重新认识他们在宇宙中的角色。
达尔文（Darwin）的进化论对普通个体看待世界的方式也产生了类似的、革命性的影响。进化论指出，我们是从自然进化而来的动物。“物竞天择，适者生存”的观点已经深入人心，我们会想当然地认为失败者必然在某些方面存在缺陷，而胜利者必然没有问题。
牛顿（Newton）的古典力学，同样对世界产生了重大的影响。古典力学告诉我们，世界是线性的，每一个结果必然有一个对应的原因，自然是可以计算的。因为古典力学，我们发现了重力，太阳系目前的个体星球，我们能够盖数十层的摩天大厦，生产汽车和航天飞机。
爱因斯坦（Einstein）的相对论，使我们重新认识了时间和空间，对人类文化起到了重大的影响。我们相信，相对论对人类社会的贡献将远不止此。
混沌理论是否能够为人类社会带来同样的利益，目前断言还为时尚早。但是，作为科学发展的主流方向，混沌理论已经显示出了与上述的理论的异曲同工之妙。
混沌理论为思考铺设了全新的道路：自然既与不可知有关，也与确定性有关。混沌意味着任其自然、认可极限和承认现实，颂扬自然的魅力和神秘，崇尚卑微的引导和利用。
当我们理解了混沌理论所带来的启示以后，我们将以新的思路去重现自我、自然以及自我和自然的关系，为人类社会的发展增添一笔新的色彩。
本文及随后的两篇文章（《混沌中的数学》和《混沌理论在中国市场的应用》），试图系统地阐述混沌理论及其在中国证券市场的应用，促使交易者对过去的交易思路和交易理念做出新的思考，以适应未来发展的趋势。
鉴于笔者对混沌理论的粗浅认识，有不当之处，尚请读者多多批评指正，希望能够抛砖引玉，共同促进混沌理论在中国证券市场的推广和应用。
作者联系方式：[email]techana@263.net[/email]
启示之一：创造
在我们的社会，人们对“创造”的认识是有误解的：大多数人相信，他们自己并没有创造的能力，创造是属于那些少数的、有天赋的人，比如哥白尼（Copernicus）[注1]、达尔文（Darwin）[注2]，或者爱因斯坦（Einstein）[注3]，也许是李白[注4]，贝多芬（Beethoven）[注5]，或者释迦牟尼（Sakyamuni）[注6]。
我们在潜意识中，和所受到的教育，都承认只有创造者本身才有那些不可控制的灵感，只有他们才可以表现出他们出色的创造能力。
然而，混沌理论告诉我们，事实不是这样的：不仅自然可以自我创造，我们也可以自我创造。
在给冷水加热的过程中，由于热水比冷水轻，因此，容器底部的热水上升而上面的冷水下降，这样上上下下就产生了混沌。混沌科学家发现，只要将水加热到一个特定程度（低于沸点的某个温度），水会自发地形成一种规则的旋涡，这个点被称为分离点，在此之后，系统就可以自行转化为比较稳定的结构。
分离点表示水中一些反馈形成了一系列的稳定的结构。
反馈有两种，一是负反馈（Negative
Feedback），负反馈将物质运动控制在一定的范围内。我们的身体就存在着负反馈的现象：当天气炎热的时候，身体会出汗降温；当天气寒冷的时候，身体会以发抖来产生热量。二是正反馈（Positive
Feedback），正反馈的作用是将运动的效果放大，比如扬声器，将微弱的声音通过音响系统放大出来；有一句俗语可以说明人体的正反馈现象：一朝被蛇咬，十年怕井绳。
一般自然的系统，如果单以正反馈或负反馈为主时，会显得杂乱无章，但是只要正负反馈相结合，一个新的平衡就会产生。
在混沌理论中，被加热的水的被称为“自组织系统”，它以一部分能量来换取一种稳定的结构，并同时创造出新的结构形态。类似的“自组织系统”有很多，比如太阳系，地球生态系统，人体内部组织，人类社会等等等等，充满了我们的生活。
同样地，股票市场也是一种“自组织系统”。
股票市场市场的能量是由交易行为产生的。一些信息会刺激市场，这些信息在产生和传播过程中，对不同的交易者产生了不同影响------买进或者卖出，大量的交易或少量的交易。在一个特定的时期，价格会因为买盘的力量被提高，同样可能因为卖单的力量被降低，而在另外一个时期，只要交易数量达到某种程度，买卖就会达到一种新的平衡；后来，这个平衡被其他信息打破，价格继续开始某种运动，趋势被重新创造。
和热水自组织系统不同的是，股票市场存在着许多分离点，这些分离点出现在不同的时间，不同的位置，不断创造新的价格运动方向。
观察广场上行走的人们，我们可以想象到另外一个自组织行为。
人们试图向不同的方向行走，各自的速度和路线也不相同，每一个个体既要保持最简短的路线，又要避免和其他个体相碰撞，这是吸引（负反馈）和排斥（正反馈）的馈环。正负反馈平衡时，人们创造了最佳的行为结果。
科学家们发现，人体内的DNA分子产生于地球早期的化学反应，这些DNA遵循着某些规则，对我们的身体变化起着引导的作用，而这些规则本身也同样由于身体的变化在不断地被改变，不断创造出新的模式。
因此，混沌的自组织系统，体现的是大自然的创造性。
混沌的、开放的自组织系统遍布我们全身，使我们能够对不断改变的环境作出创造性的反应。
生命的真理蕴涵在我们身体的每一个部分，小的行为尺度可以通过分离点和一种被称为自我相似的形式，反映大的行为尺度。如果我们诚实地看待自己，看待世界，那么我们就可以看见整体的运动。
事实证明，创造并没有拒绝我们任何人------你，或者我，都具有创造性。
对人而言，创造就是超越我们的所知，到达“真理”。
我们每一个人都不可避免地、不同程度地受到了社会的调教，这种调教给我们展示了一幅看似美景的图画。长辈们用毋庸质疑的口吻，告诉我们世界的本来面目是什么，我们的言行举止应该如何如何，我们被迫接受现实，接受他们的思维方式，并按照这些思维方式思考和行动。
思维方式的相同，使我们的生活局限于一种“似曾相识”的、熟悉的环境中，在某种程度上，这是负反馈的表现。当然，这种负反馈对社会安定是必不可少的，但是如果这是我们生活的全部，那么我们就会面临着一种危险，我们会象巴普洛夫（Pavlov）[注7]的狗-------唾液腺对每一次铃声都会作出反映。
而整个社会充满了铃声！
思维的定式使我们对世界、对未来的认识带有某种预期的确定性，因此对社会和现实产生曲解和偏见，不仅如此，更重要的是，这些曲解和偏见会妨碍我们领悟人生的真实和自然的真理。
什么是我们所指的“真理”？
在中国古典哲学中，“真理”被称为“道”，指的是一种无所不包，无所不为，无所不在的境界。
我们没有通向“道”的道路，无论通过技术、思考、逻辑还是训练。“道”无需我们同意或不同意，她囊括了我们的全部，每个人必须从其独特的生活中寻找到“道”。
我们通过一则禅的隐喻来粗浅地说明“道”。
学生刚开始学禅，请求老师指点，老师说：“喝完粥了么？”学生说：“喝完了”，老师说：“那么，洗钵（盛粥的器皿）去。”学生开悟。
“道”即是洗钵，指的是自觉自愿、开开心心去做一件普通的事情。
在证券市场，创造性体现在思维模式方面，真理，即“道”，体现在行为模式方面。
老师们，或者市场本身，给了我们太多的捁桎，使我们不能够象孩子那样去思考。我们必须按照所谓的“市场常规”来考虑我们的交易行为，按照过去的“市场记录”来确定我们的交易方案，我们必须在市场胜过他人，必须把交易成功率提高到60%以上，必须，必须，等等，等等……….
可是真的需要这样吗？！
对于职业交易员来说，所谓的“抄底”、“逃顶”，无异于天方夜谈，在很多人津津乐道于此的同时，他们知道根本无须这么做，也做不到，他们需要的是在市场中获利，而不是做毫无意义的交易。
绝大多数职业交易员，凭的是直觉交易，并使用系统获利。
直觉，实际上就是一种莫名其妙的感觉，职业交易员利用市场经验，通过对市场结构和状态的本能的反映，利用系统的限制，达到获利的目的。在整个过程中，他们的思维方式不同于常人，严格地遵守系统条件，就是我们所说的创造性和“道”。
只要在交易过程中，能够把握创造性和“道”，获利便是一件非常简单的事情。
在以后的文章中，我们会系统地介绍创造性和“道”，帮助读者接近市场，接近获利。
浪漫主义者常把有创造性的人称为天才或者英雄，其实不然，混沌理论告诉我们：创造属于每一个人。
创造并非仅发生在传统观念中的领域内。当我们体验到真实的自我并与之相接触的时候，创造就可能存在：当我们内心的思维发生变化时，通过分离点和自我相似，我们的行为尺度随之发生变化，我们将富有创造性，那时的自我，才是真实的自我。
记住：创造属于每一个人，你和我！
注1：哥白尼：Nicolaus Copernicus，1473—1543，波兰天文学家，现代天文学创始人。
注2：达尔文：Charles Robert Darwin， 1809-1882，英国博物学家，进化论的创立者。
注3：爱因斯坦：Albert Einstein，1879—1955，美籍德国犹太人，理论物理学家，创立相对论。
注4：李白：701-762，中国唐朝诗人。字太白,号青莲居士。绵州昌隆人，才华横溢。
注5：贝多芬（Beethoven）：1770-1827，德国大作曲家。
注6：释迦牟尼（Sakyamuni）：生平不详，佛教创始人。
注7：巴普洛夫: Ivan Petrovich Pavlov，1849-1936， 苏联生理学家，曾获1904年诺贝尔生理学-医学奖。
启示之二：微妙
我们都读过一则哲理小故事：
一块废铁制作了一个品质差的铁钉；
因此毁坏了一匹战马；
因此毁坏了一个战士；
因此毁坏了一场战斗；
因此毁坏了一场战役；
因此毁坏了一支军队；
因此毁坏了一个国王；
因此毁灭了一个国家；
因此毁灭了一个民族。
还有一则也是类似的故事：中国蝴蝶扇动翅膀的力量，可以使阿根廷产生一场风暴。
通常，我们并不在意这样的小故事，在我们的心中，混沌的微妙距离我们很远。
真的是这样吗？！
你的爱情故事源于一个灿烂的微笑，或者一次不经意的邂逅，你是否想过，在你和爱人相遇的那个清晨，如果你因为勤奋或者懒惰而提早或延迟5分钟经过你们相遇的地点，你还是现在的你吗？
无论是偶然还是必然，如果我们早一些意识到我们思维方式的局限性，我们是否还会在股票市场中出现如此之多的亏损？
罗伦茨（Edward Lorenz）是一位气象学家，被尊为混沌理论的缔造者之一。
罗伦茨在他的简单气象模型中，发现在原始数据产生微小的差异时，其结果被再次输入而产生正反馈，对最终结果将产生巨大的差异。
我们将在《混沌中的数学》详细说明其数学部分的内容。
现代巨型计算机可以容纳有关最新天气状况的巨量信息，当这些信息被输入计算机以后，我们可以相当精确的分析出未来1-3天的天气状况，但是如果分析超过1-3天的天气状况，或者描述某一局部地区的详细情况，准确度就会大大降低。
输入计算机的原始数据中，被省略的小数就象无数的废铁制作的小钉子，其中某一颗可能就是产生巨大影响，导致民族灭亡的那一颗。
在混沌系统中，每一事物都通过正反馈或负反馈与其他事物互相联系，互相影响。因此，现实世界中，某处蝴蝶翅膀的微妙运动，可能以种种方式以正反馈的形式将微小的影响扩大化，猝发意想不到的巨大变化。
人们或许仍然寄希望于通过预测和控制掌握世界，然而世界是混沌的。
大自然的自组织系统充满了多姿多彩的关联事物，通过不同的反馈相互影响。在自然、社会和我们的日常生活中，混沌通过微妙的力量来控制一切，并非是我们可以把握的。
在人的内心深处，总是希望通过金钱或荣誉来对他人施加影响，并与他们保持联系。金钱和荣誉可以获得某种“力量”，或者叫权力，这是欲望的最重要的表现之一。
力量或权力本身并没有好坏之分。
身体的力量和智慧的力量使我们能够在自然界中生存，可以劳动和思考，区别于其他生物而且凌驾于其他生物之上。权力可以使我们形成组织，将个人的力量通过组织，集体发挥到极限。
但是，在有历史的人类社会，力量的用途却不仅如此。力量被用于领导、控制、将个人意志强加于他人，或者在必要的时候进行破坏，这就变成了权力的欲望。世界历史和中国历史中，权力欲望膨胀的故事比比皆是，整个人类文明史，都留下了不可磨灭的权力欲望的烙印。
可是究竟有谁能够细致的控制世界呢？
今天的人们沉迷于各种各样的“力量”：金钱的力量，个性的力量，思想的力量，计算的力量，组织的力量，政治的力量，爱的力量，性的力量，年轻的力量，宗教的力量，以及两个团体之间的力量关系。媒体不断地谈论有权力和势力的人如何生活-------他们如何使用权力，如何得到或失去权力。我们被反复灌输着这样一种观念：只要有了权力，我们就可以控制一切，我们想干什么就可以干什么，想有什么就可以有什么。
我们对权力的渴望，实际上是软弱无力的表现。
当我们说自己软弱无力的时候，指的是我们没有足够的力量和公司斗争，和官僚主义斗争，和政治体制斗争，与其他坚强的个体斗争，或者与内心的“另一个自我”斗争。
混沌理论却在从另外一个角度看待这个问题，并提供了一种新的答案：大部分自然系统和社会系统都是混沌的系统，是无法精确计算的和完全控制的。我们每一个人对社会都有着不易察觉但又无法估量的力量及影响，尽管我们不具备传统意义上的控制力量，但是我们都可能成为一只蝴蝶，可以运用翅膀扇动的力量改变世界。
这就是微妙的影响。
在证券市场中，微妙存在于每一个价格运动趋势。
如果你前天曾经买了500股“深发展”，你是否想过，如果你没有买这500股，现在的价格会是什么？比现在高？比现在低？还是和现在一样？
如果你不曾买过“深发展”，那么设想一下，如果你曾经买了，那么现在的价格又会如何？
无数的你在市场中，做了这样或那样的行为，你们的每一次交易，都深深地、微妙地影响着价格的运动。
正是微妙的影响，价格运动形成了趋势。
微妙的影响能够使“不可能”成为“可能”，许多普通人为追求真理而采取行动的时候，将改变整个民族的意识。
所谓的“不可能”的事情，孩子们天生就会。后来他们大了，进入了一个僵化的世界，这个世界已经被他们的上一代所确定，“不可能”的事情被拒之门外。
混沌理论告诉我们，世界永远在运动，任何环境都可能被改变，我们今天认为的不可思议的事情，在明天也许就是现实。
蝴蝶的翅膀永远在扇动着，永远在变化着，永远会在不经意的时刻在产生不可估量的影响，人性的力量绝对不会固定不变。根据混沌理论，一个人或少数人，无论他（他们）是否有绝对的权力，都可能通过微妙而深刻地影响整个世界。
启示之三：结构
如果你曾经仰望天空，或者观察连绵起伏的群山，你就会有所感悟：大自然中反复出现而又变化无穷的事物让人兴奋，又让人迷恋，自然的模式是那么令人熟悉又出人意料：天空中的云层似乎都是一样的，但是又各有不同，起伏的山峦似乎都是一样的，但是也各有不同。
“分形（Fractal）”一词首先是由数学家芒得布罗特（Mandelbrot）提出的，如今已经广泛地被用于混沌理论中。在中英文词典中，Fractal的意思是：(经典几何学中没有表示的)不规则碎片形。
分形指的是自组织系统中，物质或运动的自我相似的轨迹、轨道、标志、形态和结构，通常以结构作为统称。分形可以在天上见到，地下看到，在我们的周围找到，在我们的身体中感觉到，可以说，分形无所不在。
自然分形的一个经典例子是海岸线。芒得布罗特在一篇论文中，提出了一个看似简单，却是极其复杂的问题：英国的海岸线有多长？
假设我们用1:1,000,000的地图，可以根据图中海岸线的长度，扩大相应的比例，轻易的得出结论，但是如果使用1:10,000的地图又如何呢？我们会发现多了很多凹凸，重复刚才的步骤，就会发现，根据新的比例计算，海岸线变长了，如果使用1：100的比例如何？如果让你拿上卷尺徒步测量，又会如何？如果具体到分子或者原子的级别，情况又是什么？
芒得布罗特得出了惊人的结论：英国的海岸线无限长。
海岸线是海浪和其他地质力共同组成的自组织系统，是混沌的结果，这个系统在小的尺度上重复的形状，与大尺度上呈现的形状大体相当，或者说相似的模式。
一棵树也是一个自组织系统，它的形状反映在不同的尺度上，也具有相似的模式：树干分成树枝，树枝又分成树叉………树叶在脉络上重复树干的模式。无论是大的尺度还是小的细节，树时时刻刻在创造着自我相似的记录，不可测的混沌活动创造并维持着这种模式。
“自我相似”的概念，整体上同时包括了个体的相似性（Similarity）和独特性（Different），就是说，自我相似本身涵盖了相似和不相似两个部分。我们可以轻易地发现，在自然界和人类思维中都存在着大量的自我相似-----分形。
“自我相似”的分形，即可以是自然的，也可以是人为的，即可以是线性的，也可以是混沌的。今天的科学家，可以使用计算机制作出由无数的机械的分型所组成的美丽图案，并且成为艺术品，无论是否有艺术价值，我们都必须承认，这是存在的。
佛经中云：一沙一世界，一叶一如来。
佛肯定比我们更早地知道，宇宙是混沌的，自然一直用自我相似的模式，通过正负反馈在微妙地改变着我们。
从微观上讲，我们本身也是一个分形，一个结构，一个分离点。我们接受祖先的基因，抑制或弘扬，然后传给下一代。
微观世界和宏观世界的自我相似（包括相似的部分和不相似的部分），是混沌自组织系统中所有复杂的反馈关系的产物，这些反馈关系联系并维系着整个世界，我们必须用全新的方式来观察。
不论是上帝还是魔鬼，也不论是商汤还是夏桀，自然，自然的分形，独立于我们而存在，我们无法改变。
我记得有一首歌曾经表达过同样的意思：
见过许多象我一样的年轻人/
走阿走啊停下来那么伤心/
这个曾是他们想要改变的世界/
如今成了他们不可缺的一部分。
自然分形模式唤起一种超越的分类-------超越喜欢于不喜欢，超越合理与不合理，超越理性与感性，超越自然与人文，超越美与丑，超越善与恶的终极分类。分形激励我们去探索人与自然之间的模糊性，而不是简简单单地停留在我们与世界隔离开来的分门别类的抽象之中。
在人类的历史上，艺术是人类体验自然的不可或缺的一部分。艺术向我们表达了这样的信念：整个宇宙在精神上是一致的。
从本质上说，艺术蕴涵的自我相似要远比人文的或者机械的自我相似深刻和复杂：当我们不能理解自然或者伟大的作品的时候，往往使用“艺术”这个词来掩盖我们的无知。
自然通过物质和能量产生其分形（结构），艺术也一样。艺术的能量来源于艺术家的意识。
诗歌、绘画和音乐产生于我们的知觉和语言。在这个范畴内，艺术家们使用比喻（明喻、暗喻、隐喻）、描述、协调等许多类推方式来产生和谐和冲突，和谐和冲突则常常出现令人惊讶的自我相似（Self-similarity）和自我相异（Self-different）的模式，反映出我们所在的世界的令人好奇的神秘感。
科学技术的兴起，将机械的内容和意识引入艺术，再加上其他因素，逐步界定了艺术------艺术曾经一度被认为是追求理性的典范，听起来有些难以置信，但是毫无疑问，人类经历过那样的时代。
现在，我们将理性与科学联系在一起，并认为推理是一种逻辑、分析、冷静客观和超然的能力，带着这种理性的观念，我们逻辑地、分析地、机械地看待我们的环境。
难道我们不愿意用不同的方式生活在其中吗？难道自然不会用另一种方式更加深刻地滋养我们吗？
混沌来源于科学，来源于艺术，但是混沌既不是科学，也不是艺术，它是凌驾于科学和艺术之上的一种思想，一种方式，一种无所不在的“道”。混沌为我们指明了一个方向，我们在与自然的结合过程中可以找到这个方向，通过这个方向，我们可以与宇宙中最神秘的组成部分-----精神-----接触，并达成统一，这个统一就是中国古典文学中所描述的状态：天人合一。
在证券市场，结构存在于每一个趋势中，我的意思是：结构存在于所有趋势（价格运动）的初期、中期和末期；不同的趋势之间也存在着不同的结构，这些结构相互反馈，形成整体的价格波动。
美国人比尔威廉姆（Bill William）首先发现了价格运动中的这种结构，同样称为分形（详细内容可参考《混沌操作法》，宇航出版社出版）。
价格运动的分形，据比尔说，是由五支K线构成的。事实上，五支K线组成的分型，形成的是一个短期趋势的阻力或者支持，由于它具有双向性，因此，体现在单方向上，基数是3（以中间的一支K线为轴，和两边都组成“3”）。
3是一个非常有意思的数字，不同的交易者，对3的理解也不尽相同。
另外一个大名鼎鼎的职业交易员拉瑞威廉（Larry
William），对3，以及分形就有不同的理解，当然，拉瑞威廉没有提到“分形”，他使用“环形”这个概念。
无论你使用“分形”还是“环形”，都可以达到交易的真理。交易者本身，市场本身，交易和市场的共同体，都是一种混沌的自组织系统，交易者需要的是理解其本质而不是表象，并在其中获利。
在《混沌中的数学》一文中，我将详细阐述有关3的问题。
分形是价格运动中的一种结构，我们通过这种结构，可以深刻领悟价格趋势的变化-----停顿，发展，延续，衰败或者反转。但是同时，我们也应该清楚地看到，分形只是一个基础概念，它是联结趋势的一个纽带，是一个趋势的分离点，趋势通过这个分离点，进行正反馈或者负反馈而进一步运动。
比较，是混沌理论的一个小小的启示。
通过分形这个自我相似体，我们可以比较市场趋势的变化-----上升的趋势是如何变化的？它的质量和形式是如何变化的？空头存在于整个上升趋势中，他们是如何表现的？
我们使用一个新的词------杠杆----来描述价格趋势的运动和变化。“杠杆”一词所表达的含义，与比尔威廉《混沌操作法》中的含义有所不同。
两个逆向的分形-----一个向上的分形（上升趋势的压力）和一个向下的分形（下降趋势的支持），或者相反-------就形成了一支杠杆。一支杠杆表示的是市场在单方向上所形成的秩序。通过对几支杠杆的比较，我们可以发现市场的自组织系统是如何运转的。
上升杠杆和下降杠杆共存于市场变化之中，互相对立，互相补充，互相控制，互相依赖，缺一不可。请见下一节----------启示之四：整体。
启示之四：整体
17世纪，伟大的牛顿（Isaac
Newton）对落体运动，单摆运动，行星轨道加以概括、归纳、描述、总结，发现了宇宙运动的三条定律，在后世被称为牛顿三大定律，为科学发展建立了新的框架。
比牛顿稍早的培根（Francis Bacon），声称“知识就是力量”。要获取知识，就要将自然放在架子上榨取她的隐秘。
培根的引导和牛顿的定律，把自然描绘成相互作用的机械组件，出色地完成了自然的非人性化。所谓的“认识”，就是把自然或者整体事物拆卸成零部件，弄清她们之间的因果关系。牛顿更是强调1）对于每一个因，都有一个直接的果；2）所有系统都在寻找一个系统在那里可以安静下来的均衡点；3）自然是有规律的。
他们把自然当成是一组可以被科学拆卸，又可以被重新组装的组合家具，从而完成了科学对自然的统治。
预测和控制成了新的科学社会的推动力。
在以后的300年中，我们遇到了与自然分离以后所踏上的道路的阴暗面。诚然，这条路把我们引向了艺术、诗歌、音乐、建筑的繁荣和科学技术的发展，可也把我们引向进步和无限增长的废墟-------进步和无限增长正是机械模式的典范，这两个概念都有本质的缺陷。
无限增长显然难以无限期地维持，在证券市场，可以理解为永不休止的上升或下跌。当地球的资源被利用到一定程度时，会使技术穷途末路，比如今天，我们开始号召“可持续发展”。许多进步的自夸者往往不过是新旧交替的一时狂热或时尚。我们一次又一次地看到，新的“进步”是如何给我们带来意想不到的麻烦和副作用的。
机械论模式同时还给我们带来伦理和道德问题，尤其是在遗传生物学中，随着科学的发展，生命很可能被强行赋予潜在的商业价值。
整体性（Wholeness）是自然最神秘的主题。
《易经》表述了一种建立在整体宇宙之上的、包括了天、地、金、木、水、火、土之间的整体关系的思想，我们一向把哲学的最高境界理解为“天人合一”；印度教追求的个体灵魂（Atman）与宇宙之魂（Brahman）的统一，也有类似的表述。
老子在他的主导了中国哲学思潮近三千年的文章《道德经》中，向我们展现的全部是关于整体性的概念：上下，长短，高低，美丑。
整体和部分是相互依赖，相互补充的：如果没有整体，也就无所谓部分，同样，没有部分，也就无所谓整体，宇宙本身就是一个完整的统一体。
今天，根深蒂固的科学观和机械观在我们的生命中留下了深深的烙印，自然逐渐被理解成客体的、外在的。人类历史上最聪明的学者们，为意识和物质孰为世界的本源而大打出手。
从混沌的角度看，这样的问题既无聊，又可笑。
混沌理论教导我们，我们总是问题的一个部分，我们的紧张和混乱是产生于整个系统，而不是某个有缺陷的“部分”。我们习惯于将社会问题、政治问题、生态环境问题都看做是外在的问题，因此，总是试图通过征服或谈判来解决问题，结果这进一步强化了我们内在的隔离观念，这种思维模式从内心深处引发出至今占据我们意识的暴力思想。
我们应该能够意识到，绝大部分问题的产生都不可能是一个原因的影响，医学问题、社会问题、个人问题都具有整体性。比如我们应该把重点放在与贫穷宣战上？还是应该认真分析这个社会导致贫穷的相关因素呢？换句话说，我们应该提出和解决问题，还是应该创造性地避免问题的发生？如果我们能够运用整体观，就可以找到解决问题的新途径，甚至在问题没有出现以前就避免掉。
机械观把我们视为游离于自然之外的一个独立部分，而自然是一组可以拆装的组合家具，这会模糊我们的视野：如果你只观察一个细胞而不是它们之间的相互反馈，那么你根本无法理解整个身体是如何作为一个系统来控制所有细胞的。
300年了，我们一直将注意力集中于个体的独立存在上，没有把个体当作与整体共同存在的一个部分。
悲哉！
在证券市场，事件、信息、交易、系统、价格运动共同作为市场的整体组成部分而处于不断变化的状态，我们说过，这个状态是混沌的状态。
当价格运动以某种秩序的形式形成了一支杠杆以后，会出现一个分离点，分形。这个分形或者将前面秩序的形式通过正反馈放大，或者通过负反馈缩小，而杠杆本身，也是一种自我相似的表象，我们可以通过对两支，三支，或者更多的杠杆进行比较，来观察市场价格运动的倾向性。
在我使用的交易方法------杠杆操作法中，一般使用相邻的三支（又是3！）杠杆来判断目前的市场形势、价格运动的倾向性，并制定相应的交易方案。
我们用杠杆的几个参数----大小、质量和时间来判断每一支杠杆对市场的影响。如果我们观察的杠杆数量更多，就能够看到更大的趋势，以及她的变化倾向。
著名诗人卞之琳写过一首《看风景》，其中有一句说：
你在楼上看风景
看风景的人在楼下看你。
仔细体会，我们可以感觉到其中的美和震撼。
从强调孤立的自我，到知道整体；从强调“人定胜天”，到协同合作；从贪婪、恐惧地在股票市场中征战，到混沌自然，顺势而为；可能我们必须经过一个痛苦的过程，一个带有创造性的过程。
根据混沌理论，我们无需摒弃固有的对个体的认识和相关的知识，只需要加入整体的概念，就会产生新的集合，这个集合会引导我们走向“天人合一”的境界。
和“比较”这个概念一样，共存，也是混沌理论带给我们的一个小的启示。
共存的含义是：事物的整体中，或者说自组织系统中，包括了正反两方面的内容，这两方面相互对立，相互控制，互相依赖，互相促进。
老子在《道德经》中说：难易相成，长短相形，高下相盈，音声相和，前后相随。在证券市场，一个简单趋势中，买方和卖方彼此对立，彼此控制；简单上升趋势和简单下降趋势彼此对立，彼此控制，共同形成一个复杂的趋势；这个复杂的趋势，又和它同级别的复杂趋势彼此对立，彼此控制，共同形成一个更大的复杂趋势，这样的共存不仅出现的市场中，也出现在宇宙的各个领域。
如果我们能够清楚共存的概念，比如，深刻理解价格运动的共存形式，就能够更深刻理解市场，更深刻理解宇宙。
启示之五：简单
价格运动是简单还是复杂？混沌理论说它两者兼备，而且可能同时存在。混沌理论表明，貌似相当复杂的事物也许有一个非常简单的起源，而简单的表象之下或许隐藏着惊人的复杂。
我们都经历过沧桑。
生活中，市场中，错综复杂的形势使我们感到迷茫和困惑，我们经常会陷于多种选择的迷宫，直接作出一个简单的决定越来越难。
然而，混沌理论告诉我们，出奇的简单和高度的复杂是彼此的映射，我们有可能踏着混沌的动态舞步，在简单和复杂之间发现通向真理的道路。
应该说，东方哲学比西方哲学更早地接近心灵，接近混沌。
庄子在《逍遥游》中写到：昔者庄周梦为胡蝶，栩栩然胡蝶也。自喻适志与！不知周也。俄然觉，则蘧蘧然周也。不知周之梦为胡蝶与？胡蝶之梦为周与？？周与胡蝶则必有分矣。此之谓物化。大意是说：庄周曾经做梦，梦中自己变成了一只蝴蝶（胡碟，通蝴蝶），是一只栩栩如生，真真实实的蝴蝶，自认为非常符合自己，忘记了（自己本来是）庄周。过一会儿醒了，则蒙蒙恫恫地又回到了庄周（的现实）。不知道是庄周做梦变成了蝴蝶呢？还是蝴蝶做梦变成了庄周？庄周与蝴蝶一定是有分别的。这就是所谓的“物化-----事物的转换、变迁”。
庄子本人并没有对蝴蝶或庄周作出定性的结论。
物化，我理解是包含了整体，共存，自组织系统，结构和混沌，可能还超越了混沌。物化提供了一个简单的矛盾体，在这个矛盾体中，庄周和胡蝶进行了数学中所谓的“迭代”。（具体内容见《混沌中的数学》）
无论何时，只要互动、迭代和反馈在起作用，简单和复杂就会不断地相互转化。当简单和复杂交替的时候，科学家们称为“间歇状态（Intermittency）”，在证券市场，我们称为“趋势停顿”。
间歇状态，或者说趋势停顿，不仅意味着在秩序中突发混沌，而且还意味着在混沌中爆发简单的秩序。
间歇状态向我们提出了一个有趣的问题：停顿的出现，究竟是因为趋势的秩序遭到了偶然的破坏，还是因为秩序的趋势本身就是间歇的一个组成部分？想想刚才的小故事：究竟是蝴蝶变成了庄周，还是庄周变成了蝴蝶？
以我们固有的观点，间歇可能是不受欢迎的------她破坏了我们思维中的秩序，更残酷地说，她破坏了我们千百年来的思维方式。用比较通俗的话说就是：有点乱。
事实上，人类大约在2000年以前就知道间歇是宇宙中的一个大秘密。
古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）首先发现了无理数。在他看来，无理数没有指明下一个数字会出现什么样的内在秩序，这个结果不符合他的思维模式，因此一度秘而不宣。
比较容易理解的无理数，我们知道是2的平方根，或者圆周率，这些都是在现代观点来看，在自然界中有深刻意义的数字。
无理数是数字坐标中的一种间歇的形式，是数字系统中无限复杂和彻底随机的一种表现。
没有任何内在秩序的数字或事物被定义为“随机的”。就任何实际目的而言，产生无限复杂的数字等于一个没有内在秩序的随机数，完全的偶然和随机，变成了与无限复杂等同，把复杂推向极限就是纯偶然。
简单尽，复杂现。反之亦然！
混沌理论告诉我们，当生活看起来最复杂的时候，简单的秩序也许就在某个角落，当事情显得比较简单的时候，我们却应该注意那些隐藏的微妙的差异。简单和复杂并非事物内部所固有的，它们体现在事物之间，以及与我们的互动之中。
思维方式的改变，可以将问题由复杂变得简单，或者由简单变为复杂。
在证券市场，我们常常根据指标进行交易。
指标实质上就是市场中某种思维方式的简单表现，一个信号，一种形式，告诉我们应该如何去交易。这是似乎是复杂转化成简单的一种形式。
然而，大多数交易者，机械地利用指标进行交易，结果总是亏损累累，混沌理论告诉我们，原因是我们顽固不化地用非此即彼的方式来看待市场。
把指标和市场分离开来是一种错误，我们唯一的能够长期稳定获利的妙招就是没有妙招。
真正的简单是大简单，大简单就是天人合一：把自己溶入市场当中，把自己看成市场的一个组成部分，没有技巧，没有招术，随市场而动。
启示之五点一三九一一…………..
我曾经写过一首小诗《看》：
我转过街角
看
看他们匆匆忙忙地来
看他们匆匆忙忙地去
看他们匆匆忙忙地爱
看他们匆匆忙忙地恨
看他们匆匆忙忙地活着
看他们匆匆忙忙地死去
看
看我自己
匆匆忙忙地看
最近股票在暴跌，我几乎没有看市场，躲在石家庄。这么一篇文章，三天就写完了，匆匆忙忙。
我试图向大家解释混沌，但是我知道，我没有解释清楚，还遗漏了许多。然而，根据混沌理论，我是永远也解释不清楚的，还是简单吧！
相信你也一样，看完这篇文章以后，处于混沌之中。
全文完
[注：本文部分内容引自：Seven Life Lesson of Chaos: Timeless Wisdom from Science of
Change by John briggs and F. David Peat, Published by arrangement with
HarperCollins Publishers,Inc,USA]
【 作者:京云 时间:2003-7-20 11:12:23 】
！
相信你也一样，看完这篇文章以后，处于混沌之中。
【 作者:庄周@ 时间:2003-7-20 11:16:03 】
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混沌中的数学
马克思曾经说过，一门学科，只有当它能够成功运用数学的时候，才有可能成为一门真正的科学。的确，数学总是以其简洁性，明确性走在所有科学的前列，任何学科都把能否能够成功运用数学作为自身是否成熟的标志。
然而，混沌的世界却不象以往的数学那么单纯。
在混沌的世界中，今天并不能预测明天，如果我们以简单的线性模式去理解世界，最终一定会被碰得头破血流。
股票市场充斥着无数的交易者，他们是各行各业的精英，整体上看，无论是处世能力，专业学历，还是智商情商，都显然要高于任何其他行业。但是，就是在这样的一个市场，却天天在上演着悲剧：每十个交易者当中，有九个处于亏损状态。
我想，交易者中一定有亏损累累的数学博士。
作为职业的交易员，除了算数比较快以外，我并不精通数学，甚至不懂高等数学（当年在大学学的内容，已经基本上还给老师了），但是这些并不妨碍我交易获利，保持良好的交易成绩。
混沌理论告诉我们：思维的方式要远比计算的方式重要。
本文主要阐述的是混沌理论中的数学部分，不需要高深的数学知识，或者说，我希望交易者能够理解的并不是数学公式，而是公式本身带给我们的启发。
本文同时是《混沌的启示》和《混沌理论在中国证券市场的应用》的姐妹篇。我试图通过这三篇文章，系统地解释混沌理论和混沌理论在中国证券市场的运用。
鉴于我对混沌理论的粗浅认识和理解，有不当之处，尚请读者多加批评指正。希望能够抛砖引玉，共同促进混沌理论在中国证券市场的推广和应用。
一：迭代
在中学课本中我们学过，一个一元函数，通常可以表示为：
Y=f(x)
这里X是自变量，Y是因变量。例如：
Y=3X+1，
如果X=1，那么Y=4；如果X=4，那么Y=13；总之，如果X被确定，那么相应的Y也被确定。
我们用一个抽象的符号F，来表示Y遵循X变化的因果关系。废话连篇的解释是：数字Y随数字X的变化而变化，Y由X来决定，决定的依据是“关系”F。
如果我们利用某个关系函数，比如Y=F（X），代入一个X算出一个Y，又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断，这种方法在数学上称为迭代，具体的表达式是：
Xn =F(X n-1 )，n=1,2,3……..
通常，数学家们只研究[0，1]区间到[0，1]区间-------不仅Xn-1在[0，1]区间，而且Xn也在[0，1]区间-------的迭代，因为任何[a，b]区间到[a，b]区间的迭代，都可以通过“变量转换”-------将X’=（x-a）/（b-a）看成是迭代变量------转换成[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。
[0，1]区间之所以受到非常重视，是因为[0，1]区间的每一个数字都具有“占
有多少的份额”的直观意义，比如0.3，就是30%。
看一个具体的迭代例子：Xn=Axn-1(1-Xn-1)，其中A是常数。这是一个生态学的有关公式，表达的是某个物种的规模变化规律。
如果我们假设A=1.5，X是一个小于1的数字，比如0.1，那末数次迭代的数据是：
迭代次数 Xn-1 Xn
1 0.1 0.135
2 0.135 0.175
3 0.175 0.217
4 0.217 0.225
5 0.225 0.285
6 0.285 0.305
7 0.305 0.318
8 0.318 0.325
…………………………….
……………………………..
20 0.333 0.333
可以看到，大约经过20次迭代以后，Xn稳定在1/3左右。
在证券市场，几乎每个人都知道费波那齐数列（Fibonacci
Series），其实这也是一个经过迭代而产生的数列，不过稍微有些复杂，其表达式是：
Xn+2=Xn+Xn+1 ，n=2,3；
整个数列是：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…………..即每一个数字为前面两个数字的和。
费波那齐数列有一个特性，那就是：如果我们把费波那齐数列中的每一个数字和随后的数字相比，就会得到一系列越来越接近无理数0.618………….的数字。比如：
2/3=0.66666…..
3/5=0.6
5/8=0.625
8/13=0.6154
…………….
55/89=0.61798
89/144=0.61805
……………….
因此，我们也可以称费波那齐数列为一个等比数列，这个等比数列的公比q无限趋近于无理数0.618………….数学上称公比q向0.618……收敛--------当费波那齐数列中相比的数字逐步增大的时候，公比q一大一小地，向0.618………无限接近。
0.618…..，又称为黄金数字。据说，任何物体形状如何符合这个数字比例，会给人以美感和舒适感。这个数字还有其他一些特点，比如：1/0.618=1.618；0.618*0.618=0.382=1-0.618等等；在《混沌理论在中国证券市场的应用》一文中，我们会再次提到它。
在数学上，一个迭代的公式被看做是一个动力系统，点由于迭代而产生的变化和发展情况是动力系统研究的对象。同样，股票价格运动也是一个动力系统，其动力源泉是交易行为，或者说成交量，因此我们说，趋势（价格运动）是由一系列的交易迭代而形成的------在不同价格上的不同的成交量，就是数学中迭代的点，而价格运动本身就是迭代的结果。
事实上，在股票市场中，并没有严格意义上的数学迭代，或者说，没有数学意义上那么公式化的迭代，但是毫无疑问，今天所有的交易，都会被计算到以前所有的交易中，推动今后的价格的发展变化-------也就是说，被迭代了，只是在某一个周期，趋势可能符合某一个迭代公式，而在其他周期时，则符合其他的迭代公式。
作为非理论研究者，或许我们没有必要去寻找所谓的证券迭代通项公式，但是知道其数学原理却是应该的。
在《混沌的启示》中我们说过，证券市场是一个混沌的市场，想找出证券市场的迭代通项公式，绝非一件易事，如果有幸能够找到其中一个、两个，已经是非常难得了，何况，也许这个所谓的通项公式根本就不存在呢！
二：周期
把一个X放到F（X）中迭代，得到一个新的X’=F（X），一般地说，X和X’是不会相同的。但是有时候会有这样的情况，一个X迭代以后，得到的X’，和原来的X是相等的，就是说，X经过迭代以后，并没有变化，新的X’=X，还在原来的位置，这样的X叫做迭代函数F（X）的不动点。
随便想一想就知道：有些迭代函数有不动点，而有些则没有。
但是，[0，1]区间到[0，1]区间的迭代一定有不动点（这一点可以通过微积分中的介值定理证明，由于不动点并非本节重点，因此这里不做证明过程）。
如果从X0开始按照公式Xn=F（Xn-1）迭代，迭代K次以后就回到原来的地方X0，但是迭代次数小于K时都不能回到X0，那么，X0就叫做函数F（X）的周期点，K就是函数F（X）的周期。
我们以周期3为例做详细解释。
Xn=F（Xn-1）是[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。假如X0是这个迭代的3周期点，那么，X1=F（X0）≠X0，X2=F（X1）≠X1≠X0，而X3=F（X2）=X0，把这些点画在图中，可以看到：
X0经过一次迭代到X1，X1经过一次迭代到X2，X2经过一次迭代又回到X0，就是说，X0经过三次迭代，又回到原来的地方。
就是因为X0经过三次迭代回到原位，所以X0叫3周期点。
很显然，我们还能够注意到，X1也是3周期点，因为X1同样可以经过三次迭代后回来，同样，X2也是3周期点。所以，周期3的函数，至少有3个3周期点。
现在你明白了，所谓的不动点，实际上就是1周期点。
如果你是一名证券交易参与者，我不知道上面的文章会给你什么启示，对于我来说，产生了如下的感想：
既然价格趋势由迭代产生，那么必然会产生周期，尽管周期可能非常难以琢磨和寻找，但是它的确是存在的，这一点，从那些运用周期理论的交易专家身上或许会得到更多的启发-------他们根本不关注价格变化而是仅仅关注价格周期和时间周期，并因此而取得令人敬佩的交易成绩。
当然，我相信不是每一个使用周期的交易者都是专家，也不是每一个周期交易专家都懂得其中的数学原理-------证券市场的一个特点是：理论不能说明什么，获利才是硬道理。但是有些人号称能够将周期理论做改进，捕捉到市场每天的高低点，每天获利N%，就真的有些哗众取宠，胡说八道了。
可能很多交易者仅仅听说过时间周期，没有听说过价格周期，其实很简单，既然有横向的时间周期，那么就必然有纵向的价格周期，从某个角度讲，价格周期可以理解为在某一时间段内价格的运动范围，但是并不完全相同。
由于周期本身相当虚幻和深奥，这里不做深入探讨，我们会在《杠杆操作法中级------稳定获利》中继续讨论。
三：沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象
苏联数学家沙可夫斯基将所有的自然数按照如下的次序做了排列：
3，5，7，9，11，13，15，17，……………..；
3x2，5x2，7x2，9x2，11x2…………….；
3x22，5x22，7x22，9x22，11x22…………..；
3x23，5x23，7x23，9x23，11x23…………….；
…………………………………
………….26，25，24，23，22，21，20。
这个次序现在被称为沙可夫斯基次序。
对于连续的区间迭代，沙可夫斯基证明了：假设M在沙可夫斯基次序中，排在N的前面，那么，如果有M周期点的话，就一定有N周期点。
这就是沙可夫斯基定理。
根据沙可夫斯基定理我们可以知道，如果一个函数有3周期，由于3在沙可夫斯基次序中处于最前面，那么这个函数就会有任意自然数的周期。
周期倍增分叉现象：
在函数Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….
当中，随着参数A的增大，先是只有周期1的稳定解；当A增大到A1时，周期1的稳定解分叉为2个周期2的稳定解；当A增大到A2时，2个周期2的稳定解又分叉为4个周期4的稳定解…………当A增大到Am时，周期2m-1的稳定解又分叉为2m个周期2m的稳定解…………如此继续。
沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象，在实际的证券交易中也许并没有什么意义，这里着墨，主要是为了介绍“数学对混沌的定义”和菲根鲍姆普适常数。
四：数学对混沌的定义
1975年，华裔数学家李天岩和他的导师在《美国数学月刊》中发表了一篇论文，题目是《Period Three Implies
Chaos》-------《周期3意味着混沌》，用数学的方法解释了“混沌（Chaos）”，并且第一次使用了Chaos这个词。
李天岩在论文《Period Three Implies
Chaos》中，不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然数周期”的特例（在此之前，李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理，因为沙可夫斯基本人并没有什么名气，也许可以这么说，沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的），而且明确地刻画了“混沌（Chaos）”的数学含义：
设函数F（X）是[0，1]区间到[0，1]区间的连续迭代函数。如果F（X）有如 下性质，就说它有混沌现象：
（1） F（X）的周期无上限；
（2） 在区间[0，1]中有一个不可数的子集S，使得：
① 对于S中任意不同的两点X0和Y0，考虑迭代序列Xn=F（Xn-1）和
Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，当n趋于无穷大的时候，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0，下极限等于0；
②
对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点，考虑迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，当n趋于无穷大时，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。
对于非数学专业的交易者来说，恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向，说实话，我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字，是我请了9个搞数学的朋友，喝了7次茶才写出来的，不过，这7茶可没有白喝，我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义，但是我明白了一个非常简单的道理，那就是：
周期3导致了混沌。
如果你想使用一种工具，或者建立一个系统，那么，首先就是要了解这种工具或系统的原理和特性，这是必须的一步。这一步没有坚实的基础，以后所有的都是空中楼阁。
我们在《混沌的启示》一文中，初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态，表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上，在形成以后，最重要的是3支K线，即后面的3支K线。以向上分形为例，在趋势向上的过程的高点以后，如果仅出现一支K线没有新高，并不能说明什么，市场可能是停顿，也可能是继续前进，但是一旦连续两个周期没有出现新高点，和有高点的那一周期，就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构，就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。
当然，周期3未必就一定导致混沌，因此，我们也把分形分成各种不同类型，比如坚定的分形、犹豫的分形和等待的分形。
另外一个非常重要的观点是：没有分形同样是一种结构------趋势运动有秩序的结构------这个结构简单流畅，是导致我们获利结构，是我们喜欢的结构。
事实证明，无论在中国市场，还是外国市场，分形，或者说周期3，都一种有效的结构、一个有与其他数字有本质区别的数字，至少表现在：
1、 周期3导致混沌；
2、 周期3是第一个可能导致混沌的周期；
3、 有周期3，就有任意周期；
4、 分形涵盖了所有的市场趋势反转；
5、 在没有出现分形的时候，市场趋势不可能反转，只可能延续；
6、 两个逆向分形所形成的杠杆，和分形的周期3有“自我相似”，以最简洁的方式体现出价格趋势的自组织系统及其运动方式；
7、 周期3最具有实战价值。
这些将在《混沌理论在中国证券市场的应用》、《杠杆操作法初级：告别亏
损》中做详细的介绍。
按照拉瑞-威廉的“环形”概念，同样可以得出周期3的结论，但是我认为，环形的变化过于复杂，而且没有分形稳定：在大多数时候，会导致交易者过量交易（Over
Trade）。
目前国内证券市场的波动相对安稳，并不剧烈，而且交易费用也不理想，频繁交易不是一种好的选择。
五：菲根鲍姆普适常数
在混沌理论中，菲根鲍姆常数也是一个重要内容。
美国康奈尔大学的物理学家菲根鲍姆（Feigenbaum），发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现--------在周期倍增分叉现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密。
菲根鲍姆发现：在周期倍增分叉过程中，随着分叉次数M的增加，相邻的两个分叉点λm和λm+1的间距Δm=λm+1-λm组成一个渐进的等比数列，分叉宽度ξm也组成一个渐进的等比数列，并且这两个等比数列都有极限。菲根鲍姆测出了这两个等比数列的公比，它们的倒数分别叫做菲根鲍姆常数δ和菲根鲍姆常数α，它们分别是：δ=4.669201……..，α=2.50290…………。
据菲根鲍姆自己说，周期倍增分叉现象和规律的发现，大大地改变了人类对宇宙的认识。
一个系统是否稳定，对我们是一个非常非常重要的问题。
简单的说，如果现在的情况差别不大，随着系统的运行，将来的差别也不大，那么就说系统是稳定的，否则就是不稳定的。但是，稳定和不稳定之间，并没有不可逾越的鸿沟。
菲根鲍姆告诉我们，通向混沌之路，并非是混沌的，而且，这些路是可能探索的。
前面我们说过，在证券市场中，每一个趋势都是一个自组织系统，理解成复杂的数学迭代也未尝不可。作为理论研究者，也许会去试图寻找其中的“菲根鲍姆常数”，但是作为交易者，则需要的是对理论的深刻理解，然后用来指导实践，并以此获利。
混沌理论中的数学，内容要远比我写的多得多。这里做的基础介绍，对于数学专业的交易者来说太浅，对于非数学专业的交易者，可能又太深，不过我能说的，也只有这么多了。
在证券市场，对于交易者来说，我觉得重要的不是知识本身，而是对知识的思考、理解和应用。
市场上有许多“高手”，
狭隘地执着于技术分析或基础分析，更有甚者，执着于狂妄的幻想，可以在某些时刻，甚至是某些时间，在市场中获利。可是，这并非是长久之计。
唐能通（幻想形）就是个很好的例子。当市场处于强大的牛市的时候，无论怎么买都是对的：涨可以追涨，跌可以摊低成本。于是当熊市来临的时候，他失踪了。
作为中国股民，在一个仅仅十年的市场中，我们经历了太多的沧桑（或许美国人也同样如此）：我们还需要学习很多，我们还需要理解很多，我们还需要辨别很多。
愿真理与我们同在。
全文完
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