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x = a 處可以微分無限多次的話，那我就希望寫一個冪級數，可以與f(x). 在x = a 處的 ... 所謂的馬克勞林(Maclaurin) 展開，意思只不過是在x = 0 處的泰勒展. 開，也就是 ...[PDF]( − ) ≈ + + + + ⋯+
sweb.nuu.edu.tw/~U0215039/bcc/ex05.pdf
泰勒級數. 數學中，泰勒級數（Taylor series）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加. 的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715 年發表了泰勒公式的英國數學家 ... 幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。[PDF]第9 章無限級數(Infinite Series) 9.1 數列(Sequences)
case.ntu.edu.tw/CASTUDIO/Files/speech/Zip/CS0099S2B02_ch9.pdf
介紹無限級數的各種審斂法. 介紹Taylor 級數的概念. 介紹幕級數之各種應用. 無論就人或機械而言多項式是最自然的。線性逼近定裡是用一次式來逼近; Simpson 法是 ...
Clifford几何代数的现实主义
在微积分理论中，一个最基本的概念是：在无限小的意义下，可以用局部曲线的切线取代原曲线，从而对曲线的积分就是其面积。
微分几何在本质上继承了这个要点，引入切空间矢量代表微分长度曲线，并推广到高维空间。
而另一方面，代数理论给出的坐标变换理论认为，一组微分坐标增量，可以在局部表达为另一组微分增量坐标的线性和dX= J dx ，并称之为雅可比变换。
在抽象的数学结构上，两者是等价的。至少，大多数作者是这样看的。
为了打消人们的疑惑，只要雅可比变换是可逆的，就可以证明这两个增量坐标就是等价的，从而，建立与具体坐标无关的张量代数或算子理论。
到目前为止，这个理论在物理、力学中是主流理论。
问题在于，如果无限小只能在概念上实现，而在工程或实际操作上无法实现的话，会如何呢？
问这个问题的人是担很大风险的。因为这就意味着否定极限的概念，也就是说不承认无限小，而只承认有限小。
Clifford（150年前）几何代数采用的就是这样一个现实主义的态度，von Neumann （60年前）的非线性几何场论也采用这样的一个现实主义的态度。而法国数学力学家Brillouin, L., （Tensors in Mechanics and Elasticity, New York: Academic Press, 1964）在将张量建立有限小概念上时，很自然的否定了坐标变换的张量概念。在连续介质力学上，这是很自然的。
在力学上，这种有限小的概念被均匀各向同性假设隐藏下来，为了什么目的呢？答案是：为了微分方程（运动方程）的合理性。而微分方程的合理性是由能得到某些理论解（也称精确解）来证明的。
但是，人们是在有选择的使用论据，很多的实际问题并没有由“正确的”微分方程给出正确的答案。
人们很快的就达成协议：高阶小量不能忽略不计！从而引入非线性项。所谓的非线性科学也就应运而生。这在逻缉上是不是对无限小的否定？是不是在隐讳的形式上承认有限小的概念呢？
如果是承认有限小的概念，也就会自然的接受Clifford几何代数方法。如果不接受，就必须发展在传统微分算子上的扩展理论算子。
这两条道路是有竞争性的。
目前的主流是：发展在传统微分算子上的扩展理论算子。
从工程角度看，有限小的概念是现实的。那么这个有限小实际上就定义了一个尺度。不同的有限小定义了不同的尺度，从而，现实问题是多尺度的。
如果我们要证明：微分运动方程是正确的，那就要证明该方程与尺度无关，或者说是可以做尺度归一化。从而，存在与尺度无关的抽象形式。
如果认为与尺度有关，就会认为：不同的尺度下有不同的规律性，从而寻求各尺度的对应规律。如，介观物理学，纳米力学，等。这又走得有点太过了！
能令两者都满足的办法就是使用基于有限小（最小的那个尺度）的几何代数理论。
在形式上，几何代数理论远比微积分理论复杂，但是，它却最靠近现实性。
形式与本质的表面上的不一致阻碍了人们对几何代数方法的认识。
从欧拉转动到局部转动（艰难的一步）
欧拉转动以角速度(或转角)为几何运动量，引入惯性矩（或力矩）概念作为物里量。从而形成表象（几何运动）与本质（物理量）间的关系方程。由此而来的刚体力学是对牛顿质点力学在一维物体上的推广（对各微元长度力矩关于长度积分）。
其力矩的参考点是转动中心的不动点。在连续介质力学中，很多传统的教科书采用这个定义来建立转动矩（体矩）方程。一般地说是，左边的体内矩散度与右边的外力矩平衡。
但是，很多力学家批判它，提出：对连续介质变形，整体的平移或转动对变形量没有贡献。而上面的引入不动点的方法把这个原则破坏了。
Stokes 引入转动应变（反对称），并认为与切变模量相乘，得到的就是局部的体内转动矩。这个论点受到两个方面的批判：1）数学上，他引入的应变并不是真实的转动（而是微小转动的近似），后来由Study （德国数学家）给出了正确的转动形式；2）力学上，如果认可这种应变，则微元体是处于不稳定状态下的，从而，在固力学中被完全否定。但是，在流体力学中，在弹性动力学中，认可它的存在（以隐讳的方式，把矢量分解为有旋部分和无旋部分）。流体力学中的Navior-Stokes 方程可以看成是这种肯定。
因而，力学处于一种本质上很矛盾的状态。
理性力学家Truesdell, Synger 等人的方案是：把变形张量分解为一个转动和非转动张量的积，称为极分解定律。把非转动部分作为变形的应变度量（有多种定义），把转动看成是欧拉转动。这个概念被流体力学采用，形成涡量（旋度的张量形式）的几何定义。到目前为止，湍流的研究工作基本上是这个路数。
陈-Stokes 分解是：把变形张量分解为对称部分与一个正交转动部分的直和。这就扩充了Stokes原来的：一个对称部分与一个反对称部分的直和。
由于Stokes的一个对称部分与一个反对称部分的直和早就被理论物理学所广泛采用，因此，力学上的反对者几乎没有。但是，对陈-Stokes 分解的反对者却大有人在。这不能不说是个怪事。
在直和分解下，转动所对应的方程就是欧拉方程在连续介质内的推广形式。
现代物理也认识到：一个对称部分与一个反对称部分的直和分解必须改进，从而，也开始了相关的努力，也就是引入局部曲率（单位尺度上的转动角）。但是，物理学关心的是非变形体，而是大量离散质点运动的轨迹。因此，两者还是有很大差异的。由于运动的轨迹可能交叉结钮，因此，其几何问题更为复杂。
与这种运动不同的是：连续介质力学出于连续性和紧致性的要求，对容许的局部转动角作了限定性，这样一来，直接搬运理论物理的那套数学理论就成问题了。这个问题的解决者是我国力学家陈至达教授所建立的有限变形几何理论，它是与Clifford几何代数协调的，但是，与黎曼几何不完全协调，而且还是两个Clifford几何代数的积（也就是混合张量理论，上标为一个几何，下标为另一个几何），这个概念的数学理论只不过是近几年才被数学界接受（并证明，但是即便是数学界知道者也不多，就更别说在力学界了），因此，陈-Stokes 分解受到长期以来的各种批判也就不足为奇了。
由于大量的数学教科书（几何类的）还是否定混合张量的地位，物理、力学中也几乎是如此。与局部转动概念捆绑后，否定的声音也就更大了。
一群对两个Clifford几何代数的积代数一无所知的审稿者审这类论文是很不费力的：连基本概念都不懂，否决！
因而，也就可以理解：科学进展的缓慢在很大程度上与成名学者的不继续学习（关门主义）有关，尤其是对基础理论的学习。
如果我国基础科学界不抓住采用Clifford几何代数后物理学、力学等相关基础科学理论表达方式（本质性的）所会发生的革命性变革，我们就会错失良机。
机会从来都是给有准备的头脑的。
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微分几何在本质上继承了这个要点，引入切空间矢量代表微分长度曲线，并推广到高维空间。
而另一方面，代数理论给出的坐标变换理论认为，一组微分坐标增量，可以在局部表达为另一组微分增量坐标的线性和dX= J dx ，并称之为雅可比变换。
在抽象的数学结构上，两者是等价的。至少，大多数作者是这样看的。
为了打消人们的疑惑，只要雅可比变换是可逆的，就可以证明这两个增量坐标就是等价的，从而，建立与具体坐标无关的张量代数或算子理论。
到目前为止，这个理论在物理、力学中是主流理论。
问题在于，如果无限小只能在概念上实现，而在工程或实际操作上无法实现的话，会如何呢？
问这个问题的人是担很大风险的。因为这就意味着否定极限的概念，也就是说不承认无限小，而只承认有限小。
Clifford（150年前）几何代数采用的就是这样一个现实主义的态度，von Neumann （60年前）的非线性几何场论也采用这样的一个现实主义的态度。而法国数学力学家Brillouin, L., （Tensors in Mechanics and Elasticity, New York: Academic Press, 1964）在将张量建立有限小概念上时，很自然的否定了坐标变换的张量概念。在连续介质力学上，这是很自然的。
在力学上，这种有限小的概念被均匀各向同性假设隐藏下来，为了什么目的呢？答案是：为了微分方程（运动方程）的合理性。而微分方程的合理性是由能得到某些理论解（也称精确解）来证明的。
但是，人们是在有选择的使用论据，很多的实际问题并没有由“正确的”微分方程给出正确的答案。
人们很快的就达成协议：高阶小量不能忽略不计！从而引入非线性项。所谓的非线性科学也就应运而生。这在逻缉上是不是对无限小的否定？是不是在隐讳的形式上承认有限小的概念呢？
如果是承认有限小的概念，也就会自然的接受Clifford几何代数方法。如果不接受，就必须发展在传统微分算子上的扩展理论算子。
这两条道路是有竞争性的。
目前的主流是：发展在传统微分算子上的扩展理论算子。
从工程角度看，有限小的概念是现实的。那么这个有限小实际上就定义了一个尺度。不同的有限小定义了不同的尺度，从而，现实问题是多尺度的。
如果我们要证明：微分运动方程是正确的，那就要证明该方程与尺度无关，或者说是可以做尺度归一化。从而，存在与尺度无关的抽象形式。
如果认为与尺度有关，就会认为：不同的尺度下有不同的规律性，从而寻求各尺度的对应规律。如，介观物理学，纳米力学，等。这又走得有点太过了！
能令两者都满足的办法就是使用基于有限小（最小的那个尺度）的几何代数理论。
在形式上，几何代数理论远比微积分理论复杂，但是，它却最靠近现实性。
形式与本质的表面上的不一致阻碍了人们对几何代数方法的认识。
从欧拉转动到局部转动（艰难的一步）
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其力矩的参考点是转动中心的不动点。在连续介质力学中，很多传统的教科书采用这个定义来建立转动矩（体矩）方程。一般地说是，左边的体内矩散度与右边的外力矩平衡。
但是，很多力学家批判它，提出：对连续介质变形，整体的平移或转动对变形量没有贡献。而上面的引入不动点的方法把这个原则破坏了。
Stokes 引入转动应变（反对称），并认为与切变模量相乘，得到的就是局部的体内转动矩。这个论点受到两个方面的批判：1）数学上，他引入的应变并不是真实的转动（而是微小转动的近似），后来由Study （德国数学家）给出了正确的转动形式；2）力学上，如果认可这种应变，则微元体是处于不稳定状态下的，从而，在固力学中被完全否定。但是，在流体力学中，在弹性动力学中，认可它的存在（以隐讳的方式，把矢量分解为有旋部分和无旋部分）。流体力学中的Navior-Stokes 方程可以看成是这种肯定。
因而，力学处于一种本质上很矛盾的状态。
理性力学家Truesdell, Synger 等人的方案是：把变形张量分解为一个转动和非转动张量的积，称为极分解定律。把非转动部分作为变形的应变度量（有多种定义），把转动看成是欧拉转动。这个概念被流体力学采用，形成涡量（旋度的张量形式）的几何定义。到目前为止，湍流的研究工作基本上是这个路数。
陈-Stokes 分解是：把变形张量分解为对称部分与一个正交转动部分的直和。这就扩充了Stokes原来的：一个对称部分与一个反对称部分的直和。
由于Stokes的一个对称部分与一个反对称部分的直和早就被理论物理学所广泛采用，因此，力学上的反对者几乎没有。但是，对陈-Stokes 分解的反对者却大有人在。这不能不说是个怪事。
在直和分解下，转动所对应的方程就是欧拉方程在连续介质内的推广形式。
现代物理也认识到：一个对称部分与一个反对称部分的直和分解必须改进，从而，也开始了相关的努力，也就是引入局部曲率（单位尺度上的转动角）。但是，物理学关心的是非变形体，而是大量离散质点运动的轨迹。因此，两者还是有很大差异的。由于运动的轨迹可能交叉结钮，因此，其几何问题更为复杂。
与这种运动不同的是：连续介质力学出于连续性和紧致性的要求，对容许的局部转动角作了限定性，这样一来，直接搬运理论物理的那套数学理论就成问题了。这个问题的解决者是我国力学家陈至达教授所建立的有限变形几何理论，它是与Clifford几何代数协调的，但是，与黎曼几何不完全协调，而且还是两个Clifford几何代数的积（也就是混合张量理论，上标为一个几何，下标为另一个几何），这个概念的数学理论只不过是近几年才被数学界接受（并证明，但是即便是数学界知道者也不多，就更别说在力学界了），因此，陈-Stokes 分解受到长期以来的各种批判也就不足为奇了。
由于大量的数学教科书（几何类的）还是否定混合张量的地位，物理、力学中也几乎是如此。与局部转动概念捆绑后，否定的声音也就更大了。
一群对两个Clifford几何代数的积代数一无所知的审稿者审这类论文是很不费力的：连基本概念都不懂，否决！
因而，也就可以理解：科学进展的缓慢在很大程度上与成名学者的不继续学习（关门主义）有关，尤其是对基础理论的学习。
如果我国基础科学界不抓住采用Clifford几何代数后物理学、力学等相关基础科学理论表达方式（本质性的）所会发生的革命性变革，我们就会错失良机。
机会从来都是给有准备的头脑的。
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