重力場的意義
1687 年，牛頓於《自然哲學與數學原理》提出的「萬有引力定律」不但成功解釋了克卜勒觀察到的天體運動，也能預測彗星、衛星等天體的運動，給予我們比起只針對太陽系行星的「克卜勒定律」還要多的宇宙知識。 1855 年，法拉第意識到倘若萬有引力真是超距力（action at a distance），那麼將會遭遇一些理論上的困難，因而開始考慮所謂的「重力場」概念的合理性。雖然重力場存在性的爭議於 19 世紀末幾乎使所有物理學家束手無策，但於 20 世紀初的愛因斯坦廣義相對論與其後量子力學的發展使得這問題有了一線生機。現在物理學家也正著手處理這個重力場的存在性問題，這稱之為量子重力，例如「超弦理論」。本文試著讓讀者順著高中物理課程的歷史脈絡（17 世紀初至 19 世紀末），搭配當代物理哲學的因果之時空局域性以及個人的觀點，盡可能了解法拉第等物理學家當時對「重力場」抱持的態度與認識。最後再補上一段愛因斯坦當年（百年前）對重力場（引力場）的觀點作為參考。（註：本文並沒有介紹廣義相對論中的重力場意義，只有針對高中學到的重力場加以解釋。之前沒特別說明，使得有網友以為這裡有提到廣義相對論中的重力場意義。）
簡介牛頓的萬有引力定律
在克卜勒提出第一定律之前，大多數人仍認為天體是作圓周運動或某種「對稱」、「完美」的運動。由於伽利略的圓周慣性定律[1]，以及其他原因，有些哲學家認為，天體不需要受力以使它作圓周運動——一種自然運動。不過，克卜勒第一定律的提出使得人們覺得，要將「橢圓運動」視為「自然運動」是有點詭異、不自然的，所以逐漸認為天體應是受力的驅使而作橢圓軌道運動[2]。最後，由於牛頓三大定律的提出，牛頓成功使用三大定律以找出掌握天體運動的萬有引力數學式：牛頓的萬有引力數學式，可說是將「數學」作為物理語言的先驅。在這之前，人們對於到底天體如何運動，以及為何運動，都有著形形色色但缺乏精確數學描述的論點[3]。因此，在牛頓提出萬有引力定律後，雖然萬有引力的本質仍持續在爭論中，但因它能適用所有物體的普遍性，以及能用數學表述的精確性，而使得大多數人都接受了它。因此，當時的萬有引力可說是有著華麗數學衣裳但卻缺乏實質意義的物理理論；它似乎只是說明物體運動的數學關係，但沒有提及為什麼會有這樣的數學關係。
在一封寫給劍橋大學三一學院院長理查本特利（Richard Bentley）的信裡，牛頓表示：
「實在難以想像沒有生命的物質能夠作用與影響其它物質，不需要非物質傳遞機制，不倚靠彼此接觸…….對物質而言，引力應該是內在的、固有的、基礎的，使得一個物體能夠作用於以真空相隔有限距離的另一個物體，不需要通過任何媒介傳遞作用力從一個物體到另一個物體，這對我來說是一個特大荒謬，我相信不會有任何在哲學方面具有足夠思考能力的人士會墜入其中。引力必定是由按照某種定律作用的機制所造成的。至於這機制到底是物質的還是非物質的，在這裡我留給我的讀者來思考。」在牛頓（1687）之後的一兩百年，萬有引力背後的理論解釋仍是眾說紛紜，不過法拉第於 1855 年時想到，如果萬有引力運作的機制真的僅僅是超距力，那麼將會違背能量守恆定律。
超距力的理論困難（一）：違背能量守恆定律
設想兩靜止的天體因萬有引力而加速，以整體觀點而言，A 與 B 的動能都增加了，顯然違背能量守恆定律。或者，以單一天體而言，A 受到 B 的萬有引力作正功，所以 B 將能量傳遞給 A，使得 A 的動能增加；B 也是如此。於是法拉第認為我們必須設想在兩天體之間，還存在著另一種存在物，它只跟物體交互作用，無色也無味，我們稱之為重力場[4]。
所以，天體的力圖應該改為下圖：
將抽象的重力場具體化。
因果的時空局域性
想像半夜走在路上，突然有個人拍了你的肩膀，轉過頭後發現什麼人也沒有。此時你會做出什麼反應？- 打電話給你的好朋友，問他「幹嘛拍我？」
- 無言以對， 感到毛骨悚然…該不會有鬼吧？
使我覺得有人拍我肩膀（結果）的原因，必定位於肩膀（結果）附近。
也就是說，原因發生的時間必須與結果發生的時間是鄰近的：若鬼於 t = 3 拍你肩，則你的肩膀將於 t = 3 附近接收到訊息，訊息不該有所謂的「延遲」。不僅如此，就連原因發生的位置也必須與結果發生的位置，是鄰近的：若鬼拍你的肩，則感受到拍擊的位置必於肩附近，而不該在頭上或腳底下。而這種立場，我們稱之為因果的時空局域性（Spatio-temporal Locality of Causality）[6]。
粗略來說，原因與結果的時空座標是相鄰的，就是說因果滿足時空局域性。
如果你踩到狗尾巴，那麼為什麼不是尾巴尖叫而是狗的「嘴巴」汪汪叫呢？這當然不只是因為尾巴沒有聲帶，也同時是因為尾巴的神經細胞將訊息依序傳遞至狗的大腦，再接著傳遞至狗的聲帶以發生叫聲。所以，我們說，”狗汪汪叫”是”踩到狗尾巴”的「間接結果」，”狗尾巴的神經細胞有所反應”是”踩到狗尾巴”的「直接結果」。同理，”玻璃破了”是”物體打到玻璃”的直接結果，它們可說是同時發生（時間點是彼此鄰近的），在位置上也幾乎相同（空間上是毫無間距的）。這也就是為什麼你半路被拍肩時，不會想打給我問我為何拍你肩膀。因為你知道，「肩膀的神經細胞有所反應」是某事件的「直接結果」，而這個事件（使神經細胞有反應的原因）應該就位於那些神經細胞的位置，而不應該是在「遠方的」我。所以，如果你打給我，問我剛剛發生什麼事情時。根據因果的時空局域性，我說要嘛是你的錯覺，要嘛是世上真的有鬼。超距力的理論困難（二）：違背因果的時空局域性
據我所知，早期物理學家並沒有特別將因果的時空局域性作為一個「主題」來討論，很多時候都是潛藏在各物理學家的論證之中。因此，這個理論困難並不是以過去物理學家的角度來談論的，而是以近代的物理哲學家的觀點來看的。倘若萬有引力真是超距力，那就表示現在的我可以跨越幾萬光年以影響那裡的物體，不論是外星人還是天體，這顯然是荒謬離奇的。同樣的理由我們也會早就應用在生活上，想想為什麼你能看見物體。你會說是因為有光線射入你眼睛嗎？但其實根本沒有人看到過光線，也許你會說「有看到啊！我現在看到的顏色就都是射入我眼中的光線造成的」，那我就會說「啊哈，那我也必須這麼說，物體往下掉並不是地球造成的，而是處於物體位置的重力場所造成的」。你發現以下的關係了嗎？
重力場：物體往下加速 ＝ 電磁場（光線）：眼睛有視覺反應
如果我說你用手機打給我時，其實沒有發出電磁波，那麼你會覺得很怪。畢竟，如果沒有電磁波，那麼我的手機是怎麼「知道」要接收「你的手機感應到的你的聲音」？甚至，就算剛才我們提到的能量守恆困難已解決，例如 A 星球得到能量（加速），但同時 B 星球失去能量（減速），那這樣就更加詭異了。因為假若沒有重力場，亦即重力、能量不需傳遞（不存在重力波），那麼 B 星球失去的能量是「何德何能」知道要在 A 星球上出現，而不是在我身上出現呢？難不成「能量」本身有「意識」，並且能知覺、思考並選擇要在「A」星球出現而不想選「我」[7]？所以，倘若我們說重力場不存在，那麼將會遭遇這個最殘酷無情的理論攻擊。因此，我們說為了解決上述兩大理論困難（能量守恆定律、因果之時空局域性），重力場是必須存在的。
所謂的「接觸」力，大概是什麼意思？
如果要說數學能夠作為物理語言的原因是什麼，那麼就不得不提到數學能夠將生活物體「模型化」的功能了。基本上，認為物體不能化約為多個質點的人，是不太可能學習，甚至是接受自牛頓以來的物理學的。所謂的質點，就是佔據空間上一點—亦即不具有長、寬與高—的物體。
想像一質點 A 位於 x = 5 的位置，那麼它的「鄰近點」將位於何處呢？直覺上，這個「鄰近點」不位於 x = 5 的位置，那麼就假設位於 x = 6 吧。此時你肯定會否認質點 A 的「鄰近點」位於 x = 6，因為你必定能找出位於這兩點之間的點，例如將兩座標相加除以二的 x = 5.5。由此可知，我們應該對「B 為 A 之鄰近點」作如下定義：
說 A、B 互為鄰近之點，也就是在說，A 與 B 之間毫無其他的點。
如果不將「鄰近點」作為上述的定義，那麼上述定義所說的「鄰近性質」就又不同於一般情況的「鄰近」，因為它是「更加鄰近的點」，那只不過是將我們要討論的主角改名為「更加鄰近的點」。話說回來，剛才找出的 x=5.5 是更加接近 了，但這難道就是質點 A 的「鄰近點」嗎？我們可以繼續作「相加除以二」的運算，可想而知，這不會有結束的一天。因此我們得出以下結論：
若某點 P 的座標不同於點 A 的座標，則點 P 必然不是點 A 的「鄰近點」。
因此，我們也就成功證明出以下的「鄰近判準」：
若點 P 是點 A 的「鄰近點」，則點 P 與點 A 的座標必相等。
仔細一看，這似乎違背所謂的「鄰近」、「隔壁」、「旁邊」的常識意義，但卻總是隱約應用於物理上。想想你在運動學處理自由落體的物體與鉛直上拋物體相遇時，是不是也假設它們的末位置相同呢？接下來，我們就要以上述的「鄰近判準」[8]去談超距力的困難，以及我們對重力場的詮釋。什麼是重力場？
將抽象的重力場具體化。
- 如果重力場不存在，那麼將無法解釋相吸天體動能的來源。但由於我們深信能量守恆定律是成立的，所以理論上，重力場必須是存在著的。
- 如果重力場不存在，那麼直覺上，我們無法接受原因與結果相距好幾萬光年的因果傳遞現象；就如同半夜感到有人拍你肩時，要你相信那是遠在他鄉的好友拍的一樣。不僅如此，就算不違背能量守恆定律，也難以解釋為何B損失的能量會「剛好」落在 A 身上，並滿足萬有引力定律；就好像為何你的手機不必透過電磁場（電磁波）傳遞能量，以使我收到你的訊息。因此，直覺上，我們必須同意重力場是存在著的。
根據牛頓第三運動定律所繪製的重力場(黑色霧氣)系統力圖。
- 重力場具有能量，而且重力場能夠傳遞能量。
- 重力場能夠對有質量的物體施加力量。此外，根據牛頓第三定律，具有質量的物體因而也能對重力場施加力量了。
- 重力場對物體施加的力量，滿足牛頓萬有引力定律的數學形式。
- 更進一步而言，既然重力場能對物體施加力量，那麼重力場就也能傳遞動量，並且具有動量。
其中，V 被稱為重力位[12]，這不是重力位能，而是類似於「電位」的物理量， ρ 則是空間中某點的質量密度。由於這涉及太多目前看來有點嚇人的物理數學，所以我將用不同的方式呈現相同的—較符合高中數理程度的—直覺聯想。
對萬有引力公式的新詮釋
考慮初速為零的質點 A、B，根據先前對萬有引力定律的解釋，我們知道 A 透過作用於 B 上的萬有引力使 B 加速，或者簡單地說，B 被 A 吸引。先前的因果時空局域性的討論告訴我們，B 不應該是被遠方的A吸引，因為 A 並不在 B 的旁邊。因此，藉由之前論證過的「鄰近判準」，我們說 B 應該是被位於它的「鄰近點」上的東西—重力場—所吸引。
接著，為了區分「 B 質點」與「 B 質點所處的位置」，我們說「 B 質點所處的位置為」P 點。因此，若將 B 質點移除，使得空間中只剩下 A 質點，那麼上述意思就是說，儘管 P 點乍看之下空無一物，但其實仍有「東西」在那裡，那就是 P 點的重力場。
我們目前對重力場的認知是：
- 質點 B 會受到位於 P 點的重力場作用，或說，位於 P 點的重力場會對位於該點的 B 質點施予萬有引力。
- P 點之重力場與 B 質點的萬有引力為
。
- 在 B 質點位於 P 點之前，假設此時 A 點仍存在，P 點就存在著重力場。
- 在 B 質點位於 P 點之前，假設此時 A 點不存在，P 點就不存在重力場。
顯然，由於 B 質點的資訊就應該只是它的質量，畢竟你並不覺得當 B 質點改變位置（r）後，B 質點就不再是 B 質點了。因此，我們可以更進一步寫為：
因此，其他的參數就應該完全歸因於 P 點的重力場（稍候再回來解釋其意義）：
不過，萬有引力還有一個特性，那就是「方向性⇙」。既然 B 質點是受到萬有引力的作用，而往⇙加速，那麼這個方向性究竟是 B 質點本身造成的，還是 P 點的重力場造成的呢？假設是 B 質點造成的，那這表示，不管 B 質點位於何處，其受到的萬有引力將因它始終是 B 質點而使得方向總是斜向下⇙。這顯然是荒謬的結論。因此，我們應該將此「方向性⇙」歸因於P點的重力場：
由於 P 點的重力場越大，位於 P 點的 B 質點受到的萬有引力就越強，所以我們說又稱那個向量為「重力場強度」：
接著讓我們回來看看重力場強度的各物理量此時的意義。當然，mA 仍然是 A 的質量，但由於上述3、4點，我們了解到使 P 點之重力場存在的必要條件是 A 質點必須存在；如果 A 質點不存在，那麼 P 點不存在著重力場。因此，我們更進一步地說，A 質點是 P 點重力場之「場源」，所以 mA=msource 稱為「場源質量」。因為就算沒有 B 質點，P 點的重力場仍然是存在著的（只要場源存在），所以分母 rAB 應該是個不太合適的符號，我們不應該將它詮釋為「A 質點與 B 質點的距離」，而應該詮釋為「rp，P 點相對於場源（A 質點）的距離」。
最後，我們的萬有引力定律就是：
- mB：受重力場作用的質點質量。
- gP：P 點的重力場強度，是一個向量。
- mA：使 P 點存在著重力場的場源質量。
重力場的重疊原理
當空間中存在著三個質點（mA、mB、mC）時，根據我們已確定的萬有引力公式，我們知道位於P點的質點會受到以下的萬有引力：
同理，我們認為 B 不應該是受到遠處的 A、C 的作用，而應該是受到位於 P 點位置的重力場作用，所以也會有如下推論：
由此可見，此時 P 點的重力場就彷彿是 A、C 單獨存在時，對 P 點造成的重力場的向量和：
此時我們說，A、C 同時貢獻了 P 點之重力場強度，所以 A、C 皆為 P 點之重力場「場源」。因此，倘若空間中存在著多個質點，例如圓環、球殼等，那麼某點的重力場就可等效為，組成圓環、球殼的各質點，分別在該點造成之重力場的向量和，此即為「重力場之重疊原理」。值得一提的是，當 A、B、C 三質點均存在時，B 點也是會對「P 點以外的位置」貢獻重力場，只不過根據我們的推論，它不應該對自己佔據之 P 點貢獻重力場，否則就會違背牛頓的慣性定律：物體會自己對自己施力，運動狀態會自發地改變而不需外力之作用。
重力場強度的操作型定義
如果你跟水果攤老闆說萬有引力定律，並教他使用
來算水果重量，他肯定說你瘋了！還不如拿個磅秤出來給他用。同理，就算我告訴你上述一切重力場強度計算方式（概念型定義），倘若你最終仍測不出來，那麼那一切理論就有點虛無縹緲了。根據上述重力場的理論架構，我們發現點 P 的重力場，除了會跟位於該點的質量交互作用以外，沒有其他的方法能影響重力場。因此，我們既看不見重力場，也聞不到重力場。所以唯一的方法就是，在 P 點放一個 B 質點：
所以，若你想知道 P 點的重力場強度，那麼只要將 B 質點的質量除過去就行了。
因此，只要你知道 B 質點受到的”總”萬有引力，再接著除以它的質量，就能求得位於 P 點的重力場強度。值得注意的是，這公式乍看之下使我們覺得 P 點重力場強度與 B 質點的質量有關，但其實是完全無關的！我們只是透過 B 質點來測試該點重力場強度而已，所以 B 質點又稱為「測試質量」、「測試質點」。
倘若物體只受到萬有引力，那麼就可以將萬有引力等同於合力，所以根據牛頓第二定律，我們就能導出：
因此，物體 P 點之重力加速度，就恰好是 P 點的重力場強度。以上這式子就是重力場強度的操作型定義（Operational definition）。
總結
基於「能量守恆定律」與「因果的時空局域性」，我們相信空間中應存在著重力場，就如同電磁波的存在，也連帶使得重力場具有能量、動量、可施予力量等性質。19世紀末發展的數學技巧使我們替重力場找到它的數學表述方法，亦即重力位與重力場強度。經由對萬有引力的再詮釋，我們說重力場瀰漫在空間中，並且是個向量場。為了測量重力場強度，我們可在欲測某點放上一測試質點，觀察其只受重力場作用之瞬時加速度以算出它受到的萬有引力，再接著除以其質量，就可得重力場強度；這被稱為重力場強度的操作型定義。雖然上述的重力場以及國中學過的牛頓定律，都不是當代最周延的物理定律。但是它們都能夠讓我們對大自然背後的運作機制有更深入的認識，而且在實際應用上，也總是成立的，畢竟生活中並不常接觸到接近光速或奈米尺度的物理情境。法拉第最後也並沒有承認重力場是存在的，在「超距力」與「接觸力」的區分中，他提到下列判準[13]：
- 力量的傳遞能夠被中介物質的改變所影響嗎？
- 能量的傳遞、力量資訊的傳遞需要時間嗎？
- 傳遞時間是否與接收訊息的物質有關？
- 不管在地球與物體之間放上什麼東西，物體的重力總是不會改變。
- 看起來是不太可能證明重力的傳遞究竟需不需要時間，目前看來幾乎相隔一段距離之物體是同時受到萬有引力的。如果需要時間，那麼不可否認地，在這之中必定存在著某種物理實體以承載訊息。
- 萬有引力與兩物體之質量、距離有關係，所以這使我們覺得這是最簡單的吸引力，並且與這兩物體的速度、能量等都無關。因此，萬有引力似乎是「純粹的」超距力。
愛因斯坦於《狹義與廣義相對論淺說》提到[14]：
“我撿起一塊石頭後放手，石頭為什麼會落到地上呢？"對這個問題的回答通常是："因為石頭受地球吸引"。當代物理學給出的回答則不太一樣，理由如下。通過更仔細地研究電磁現象，人們漸漸認識到直接的超距作用是不可能的。比如磁石吸引鐵塊，如果認為這意味著磁石經過中間空蕩蕩的空間直接作用於鐵塊，我們是不會滿意這種看法的，而是會按照法拉第的方式設想，磁石總是在其周圍的空間中產生某種物理實在，即我們所謂的"磁場"。該磁場又作用於鐵塊，使之努力朝著磁石運動。我們這裡不去討論這個本身帶有隨意性的中間概念是否合理，而只是提出，借助於這個概念可以把電磁現象—尤其是電磁波的傳播—描述得更令人滿意得多。我們也可以以類似的方式來理解引力的效應。等到相對論與量子力學發展成熟了—能夠用它們解釋過去以往牛頓力學、電磁學等能夠解釋的所有現象—並且預測更多自然現象時，再進一步處理重力場的問題。而這問題被稱作是統一廣義相對論與量子力學的「量子重力」理論，超弦理論就是其中之一。
地球對石頭的作用是間接發生的。地球在自己周圍產生一個引力場。該引力場作用於石頭，引起石頭的下落運動。根據經驗，我們遠離地球時，地球對物體的作用強度會根據一個非常確定的定律減小。從我們的觀點來看，這意味著：支配引力場空間性質的定律必須是一個完全確定的定律，才能正確描述引力作用隨著與起作用物體的距離而減小。大致可以這樣表達：物體（例如地球）在其最鄰近處直接產生一個場，這個場在更大距離處的強度和方向由支配引力場本身的空間性質的定律所決定。
[1] 伽利略的圓周慣性實驗是，他發現物體在斜面上滑下後，假若沿途中毫無阻礙，那麼將會回到原先的高度。於是他將讓物體爬升回初始高度的斜面移除，讓物體在滑下斜面後，找不到可以使它回到初始高度的斜面，所以物體將持續運動。而由於地球是球體，所以物體將會持續繞著地球作圓周運動，此特性稱為「圓周慣性」。然而，這與牛頓慣性定律中的「直線慣性」是不同的。詳細內容請參考《Galileo and the Concept of Inertia》。
[2] Mary B. Hesse(1961)，《Forces and Fields》，P129。陳瑞麟，⟪科學哲學：假設的推理⟫，P102。
[3] 例如笛卡兒的天寰漩渦理論，請參考陳瑞麟，⟪科學哲學：假設的推理⟫ p. 102.
[4] ‘On the Conservation of Force’, Experimental Researches in Chemistry and Physics, London, 1859, p. 443.
[5] 我會在另文重新說明這部分的推理，並比較常見的「將地球與物體視為系統的位能意義」。
[6] 詳見 Marc Lange，《An Introduction to philosophy of physics》
[7] 再想想看，假如此時你皮包裡的5元消失了，然後「同時」出現在月球上的某個角落，你應該也會跟我一樣，覺得這根本就是胡扯或某種魔術吧？但不管怎樣，就算這5元真的到了月球上，那勢必也得先由地球出發再前往月球，它一定有個「連續的」運動路徑。
[8] 其實這樣的「鄰近判準」會造成相當荒謬的結果—有興趣的讀者可自行想想看，我在這只想藉此強調相隔一段距離的物體（例如幾萬光年）顯然不適合被稱為「鄰近的物體」。對於「鄰近」或「局域性」的定義討論，詳見 Marc Lange，《An Introduction to philosophy of physics》。
[9] 當然，我們還有別的方法以解決下述提及的兩個困難，一個是採用常見「地球與物體系統之能量為動能與位能」的說法，但這樣會使得「作為傳遞能量的功」失去意義，也會使能量所佔據的「空間」變得模糊不清。關於這些想法，我會再另文詳細說明。另一種解決下述兩困難的法是，放棄堅持「能量守恆定律」與「因果的時空局域性」。但倘若如此，將會帶來更大的理論困難。如果能量不守恆，那麼「能量」還有意義嗎？再者，你在直覺上真的願意接受原因與結果不互相鄰近的想法嗎？這些都是非常值得討論的主題，雖然我覺得都滿困難的。
[10] 請參考 Irina Markina 的〈Potential theory: the origin and applications〉
[11] 想想看能量守恆定律，例如 Ek+Ug=C，究竟能量是實際存在的抽象事物，還是只是個數字呢？或者，牛頓第二定律的動量時變率，動量只是個數字，還是真實存在的屬於物體的抽象性質呢？這些關於我們實際世界的問題，或多或少都源於它們的數學公式。
[12] 請參考 William F. Bynum，E. Janet Browne，Roy Porter 的《Dictionary of the History of Science》以及 Mary B. Hesse(1961)，《Forces and Fields》，〈Criteria for Continuous Contact-action〉，P196。
[13] 請參考 Mary B. Hesse(1961)，《Forces and Fields》，〈Criteria for Action at a Distance〉，P203。
[14] 《狹義與廣義相對論淺說》，愛因斯坦著，商務圖書館，P39。
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