The length of this 4-vector is the rest energy of the particle. The invariance is associated with the fact that the rest mass is the same in any inertial frame of reference

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/vec4.html

The length of this 4-vector is the rest energy of the particle. The invariance is associated with the fact that the rest mass is the same in any inertial frame of reference
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Einstein's Genie: Spacetime out of the Bottle

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相對性原則 The Principle of Relativity
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的所有物理定律，與靜止的實驗者所歸納的物理定律一模一樣！
沒有任何實驗可以讓你分辨實驗者的絕對運動速度！
相對性原則成為物理定律是否正確的一個新的檢驗標準！
檢驗的標準要如何精確地表示？
Hermann Minkowski
4-vector
時間與空間似乎糾葛在一起
時間與空間不能分開來討論
移動座標觀察到的時間不只與靜止座標的時間有關，也跟空間有關
為了方便，應該把時空一起記載！
四個分量的物件
羅倫茲轉換
vector
4-vector
不變量
座標軸旋轉
羅倫茲轉換
4 Vector 在羅倫茲轉換下，分量會轉換為原來分量的線性組合
這與向量在座標軸旋轉後，分量的變化很像！
向量長度在旋轉軸旋轉下不變
類似的分量組合在羅倫茲轉換下不變。
向量
4-vector
純量
座標軸旋轉
羅倫茲轉換
這是一個很有用的對應！
不變量
似乎有一個在觀念上但非實質的對應
分量只是方便的數學工具，隨時可因座標軸選取的改變而改變
光的路徑
Minkowski Space
一個 4 vector 的時間與空間座標可以在 Minkowski 空間圖上一點來表示
羅倫茲轉換的確也是座標軸變換，但非旋轉，而是保持光路徑不變的變換！
Proper Time  τ
它是一個羅倫茲變換下的不變量
一個粒子時空位置的Proper time 的小變化與時間成正比
4-vector的長度
相對性原則 The Principle of Relativity
移動中的實驗者，他由實驗結果所歸納出來的所有物理定律，與靜止的實驗者所歸納的物理定律一模一樣！
相對性原則成為物理定律是否正確的一個新的檢驗標準！
所有還沒檢驗過的都要拿來確認一下！
檢驗的標準為何？
相對性原則的數學表示法：
兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定：
4-vector
物理量可以依據他們在羅倫茲轉換下如何變化來分類
不變量
馬克斯威爾方程式在羅倫茲變換下不變
兩個座標系的關係由羅倫茲變換給定：
物理定律必須在羅倫茲轉換下不變！
動量與能量守恆定律在羅倫茲變換下會不會變？
動量與能量守恆定律滿不滿足相對性原則？
u
u
u
u’   ？
O
O’
v=u
牛頓版動量守恆
完全非彈性碰撞
牛頓版的動量守恆遵守伽利略變換下的相對性原則
u
u
u
u’   ？
O
O’
v=u
但？如果考慮相對性效應…..
動量守恆定律在羅倫茲轉換後就不像動量守恆了！
動量守恆定律在左方是正確，但在右方就不正確，反之亦然
要求動量新定義必須：
動量是一個 4-vector 的一部分
所有遵守羅倫茲轉換不變性，等式兩邊必須同時是 4-Vector ，或同時是純量
新動量在速度遠小於光速時，必須趨近於舊動量。
牛頓的定義的動量顯然不是 4-Vector 。
牛頓力學中所有的物理定律，等式兩邊必須同時是向量，或同時是純量。
4-Vector 第二分量除以第一分量
新的定義
動量是 4-vector 動量 P 的空間分量！
以不變量 Proper Time 取代時間
因為位置是向量，時間是純量，故兩者的商，速度是向量。
是時空 4-vector 的空間部分，將整個時空 4-vector 除以Δτ，
就得到一個新的 4-vector 的動量
速度小時：
新動量在速度遠小於光速時，趨近於舊動量。
一個粒子運動時的 Proper Time 滿足
新定義滿足我的兩項要求
座標軸旋轉後，物理定律不變
等式的左右滿足同樣的轉換關係
?
所有的向量在坐標軸旋轉下滿足一樣的式子
等式兩邊如果同時都是向量
座標軸可以隨意選取
等式兩邊都是向量，保證公式不隨座標軸變換而改變
動量P是4-vector，保證它在羅倫茲變換前後的關係，與時空是一樣的
如果在O座標系中，P¹ 及P⁰ 都守恆，在O′座標系中，P′¹自然保證守恆
在O′ 中的動量，等於 O 中的動量分量的線性組合
等式兩邊都是 4 Vector，保證公式不隨羅倫茲轉換而改變
兩個座標系量到的動量和之間，滿足：
u
u
u
u’  
O
O’
v=u
新定義使動量守恆定律遵守相對性原則
新定義與舊定義的關係
接近牛頓的定義
因此，新的守恒律其實是能量守恆定律
P⁰是什麼？由速度小的情況去找牛頓力學中的對應。
守恆律多了一個：
P⁰守恆定律
動能
靜止能量
動量守恆與能量守恆便整合成一個定律：4 momentum conservation。
動量與能量的分別只是表面的
動量與能量的羅倫茲變換就如時空一樣！
4 momentum 的長度P² 是甚麼呢？
質量是一個粒子四維動量的長度，是一個羅倫茲不變量。
因此質量是粒子的最重要的特徵！
Using the relativity principle, Einstein is able to derive that the energy of an object can be written as
For v = c, the energy is infinite. Hence you are never able to push an object faster than the speed of light! 
Even at rest, an object still contain an energy due to its mass:
It opens up the possibility to convert mass into energy or vice versa.
但光是以光速 c 前進：
除非
事實上電磁波的能量與動量密度有一個關係：
光子質量為零，Massless
無質量的粒子必定以光速前進。
從光子的波性來看：
Dispersion Relation
從其他有質量的粒子的波性來看：
Dispersion Relation
Even at rest, an object still contain an energy due to its mass:
It opens up the possibility to convert mass into energy or vice versa.
質量是能量的一種形式，能量守恆蘊含質量可以轉換為其他形式的能量，其他形式的能量亦可轉換為質量，質量不再守恆。
u
u
質量不守恆，動能轉換成質量。
反之，質量轉化為能量，也有可能
原子能

If we can smash a coin and destroy it………. 

This is more than a day’s output of a power plant.

Smash a coin and generate power plant.

Nuclei

束縛態
原子核質量 = 質子中子總質量 – 總束縛能/c²
束縛能越大，質量越小
總質量減少，消失的質量以能量形式釋出

Count the mass difference 

The mass total decreases and the difference turns into energy.

Chain reaction

Atomic bomb

核融合 Fusion
Sun and fusion
deuterium
宇宙核融合
With the current rate of burning, the sun will last for another five billion years.

Tabletop fusion and the scandal