作为一种整体微分几何里的的推广，Atiyah-Singer指标定理并不深刻，证明所用的工具（最初的cobordism theory和K-theory, 后来的heat-kernel expansion) 也并不美，即使发展到后面的eta-invariant也没有解决很深的新问题。为何这么多人称赞指标定理？它在K-theory下是Bott periodicity和Thom isomorphism的直接结果，给出来的对偶意义并不是很大；在拿来应用，具体的情况如果不是Dirac operator, Todd class又难以计算。现在称赞的人真的读过它的任何一个证明吗？他们称赞指标定理是因为他们知道如何应用吗？（如证明triangulation conjecture)
匿名用户（作者）
不是。
2014-08-26 回复 赞 0 赞
知乎用户
Why K-theory "不美" ? And what do you mean by "对偶意义并不是很大" ?
2014-08-26 回复 赞 0 赞
匿名用户（作者）
因为给出来的对偶本质上就是Thom isomorphism的应用。K-Theory深刻的结果在algebraic K-theory(如negative K-group), 这一部分的工作虽然看起来漂亮但是没有新的洞见。相关的证明可见Front: [math/0504555] K-theory and elliptic operators上的总结。
2014-08-26 回复 赞 0 赞
知乎用户 回复 匿名用户
I do not make comments on your feelings on the Thom isomorphism. For "这一部分的工作虽然看起来漂亮但是没有新的洞见" maybe you can take a look at Milnor conjecture and A^1 homotopy theory. K-groups are also essential in several aspects in number theory (say, the Fesenko school).
2014-08-26 回复 赞 0 赞
匿名用户（作者）
我说的是涉及指标定理的那一部分，不是algebraic K-theory。另外，就事论事，应该说Atiyah的那本K-theory写得很优美，非常几何化。我从中曾学到很多。
2014-08-26 回复 赞 0 赞
Saberization
你可以把这个问题发到mathoverflow上去。
2014-08-26 回复 赞 0 赞
匿名用户（作者）
这不是研究性问题，当然不适合mathoverflow。“指标定理对X带边流形的eta invariant给出的结果为什么是YYY?", "指标定理为何涉及derived category?" 这样的问题，才能去mathoverflow。我不会在这个问题再评论，我觉得不是个好问题。
2014-08-26 回复 赞 0 赞
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3 个回答
前面已经有人说过物理的应用，我简单说说数学方面的。
指标定理诞生于拓扑学大发展的二十世纪四五十年代。从拓扑学诞生开始其中心问题就是判断两个空间是否同胚。为此大家就一直在寻找各种各样的拓扑不变量作为判断根据。但是构造出来的拓扑不变量一般都比较复杂，很难计算和应用，从而产生了一种思潮，即拓扑量的几何化，这也是现代微分几何的开端。几何的优点在于直观可计算（不是容易计算）。如果我们能够在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量。接下来的问题就是对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造。
最早的几何化尝试应该要追溯到高斯。高斯-博内特公式将曲面的欧拉示性数几何化为高斯曲率的积分。现代拓扑学中，第一个应该是德拉姆对上同调群的几何化。但真正开启现代微分几何大门的是陈省身对高维欧拉示性数的几何化。接下来希策布鲁赫在其影响下推广了黎曼-洛赫定理并将拓扑量signature几何化。最后是阿蒂亚-辛格把之前的几个特例综合在一起并加以推广就是我们现在看到的指标定理。至于微分算子指标方面，这里先不理他。
所以，从历史看，指标定理不是为了解决某个具体问题而出现的，而是发源于一次现代数学的理论思潮，其贡献是结构性的而不是针对某个问题。
其次，指标定理可以算是一只下金蛋的鸡。和费马大定理不同，指标定理下蛋不是通过对问题证明的探索而是问题已经证好后对新证明的探索。除了代数基本定理以外，我们很难看到一个定理有了十个证明（可能更多）后大家还在孜孜不倦的寻找新的证明。
因为指标定理研究的是几何结构与拓扑结构之间的关系，简单的叙述背后隐藏的东西过于庞大以致于几个不同证明都说不干净，而且每一个新证明都会给人以新的启示甚至有时会影响一个学科的诞生。
在这些证明中，第一个配边证明的影响较小，它只是推广了希策布鲁赫的黎曼-洛赫定理的证明，是配边理论的集大成者和终结者，对后续影响较小。第一个重要影响是格洛腾迪克对希策布鲁赫定理的推广中构造了K群。而通过形式类比，阿蒂亚-辛格通过构造拓扑K群给出了指标定理的第二个证明。这两个系列的文章开创了K理论这个现代数学方向。
接下来的理论飞跃出现于七十年代，源于热方程证明的出现。这个证明给出了一个分析办法使得指标变成了局部可计算的量（之前只是理论上可算）。这种想法的推广使得很多拓扑不变量都可以通过对热核渐进展开的计算得到，是拓扑量几何化的里程碑，里面的矿现在还没挖干净，这一套理论影响了现代数学很多分支，后续大多数指标定理的新证明都是此想法的继续。
指标定理研究的第三个高潮就是 前面有人提到的物理应用。为了严格化威顿的想法，数学界同时出现了若干证明，其中也有中国人的贡献。其中最有创意的是 比斯姆 的概率证明，在全世界掀起了一股用概率论解决几何问题的热潮。
接下来，阿兰。孔涅 回到了问题的源头，用非交换几何理论给出了源于K理论证明的新证明。也是非交换几何这一理论的源头之一。
目前，指标定理的直接应用已经很少，但由各种各样新证明衍生出来的理论却一直在蓬勃发展，也还有新证明在不断涌现。现在指标定理已经成了几何化的一个标杆，每构建一个新的几何框架，大家都要想一想此框架下指标定理是否成立，如果成立，说明这个几何框架有拓扑内涵，就会减少被遗弃的风险。
最后回答问题：指标定理的深刻在于通过众多的证明对数学内在结构的探索，从这个方面就可以奠定他在现代数学中的地位。我称赞它，我读过它的十个证明（读懂是另外一回事）。但即使一个证明没读过的人也可以称赞它，因为他们可能是通过指标定理衍生出来的若干理论来了解它的重要性的。 显示全部
指标定理诞生于拓扑学大发展的二十世纪四五十年代。从拓扑学诞生开始其中心问题就是判断两个空间是否同胚。为此大家就一直在寻找各种各样的拓扑不变量作为判断根据。但是构造出来的拓扑不变量一般都比较复杂，很难计算和应用，从而产生了一种思潮，即拓扑量的几何化，这也是现代微分几何的开端。几何的优点在于直观可计算（不是容易计算）。如果我们能够在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量。接下来的问题就是对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造。
最早的几何化尝试应该要追溯到高斯。高斯-博内特公式将曲面的欧拉示性数几何化为高斯曲率的积分。现代拓扑学中，第一个应该是德拉姆对上同调群的几何化。但真正开启现代微分几何大门的是陈省身对高维欧拉示性数的几何化。接下来希策布鲁赫在其影响下推广了黎曼-洛赫定理并将拓扑量signature几何化。最后是阿蒂亚-辛格把之前的几个特例综合在一起并加以推广就是我们现在看到的指标定理。至于微分算子指标方面，这里先不理他。
所以，从历史看，指标定理不是为了解决某个具体问题而出现的，而是发源于一次现代数学的理论思潮，其贡献是结构性的而不是针对某个问题。
其次，指标定理可以算是一只下金蛋的鸡。和费马大定理不同，指标定理下蛋不是通过对问题证明的探索而是问题已经证好后对新证明的探索。除了代数基本定理以外，我们很难看到一个定理有了十个证明（可能更多）后大家还在孜孜不倦的寻找新的证明。
因为指标定理研究的是几何结构与拓扑结构之间的关系，简单的叙述背后隐藏的东西过于庞大以致于几个不同证明都说不干净，而且每一个新证明都会给人以新的启示甚至有时会影响一个学科的诞生。
在这些证明中，第一个配边证明的影响较小，它只是推广了希策布鲁赫的黎曼-洛赫定理的证明，是配边理论的集大成者和终结者，对后续影响较小。第一个重要影响是格洛腾迪克对希策布鲁赫定理的推广中构造了K群。而通过形式类比，阿蒂亚-辛格通过构造拓扑K群给出了指标定理的第二个证明。这两个系列的文章开创了K理论这个现代数学方向。
接下来的理论飞跃出现于七十年代，源于热方程证明的出现。这个证明给出了一个分析办法使得指标变成了局部可计算的量（之前只是理论上可算）。这种想法的推广使得很多拓扑不变量都可以通过对热核渐进展开的计算得到，是拓扑量几何化的里程碑，里面的矿现在还没挖干净，这一套理论影响了现代数学很多分支，后续大多数指标定理的新证明都是此想法的继续。
指标定理研究的第三个高潮就是 前面有人提到的物理应用。为了严格化威顿的想法，数学界同时出现了若干证明，其中也有中国人的贡献。其中最有创意的是 比斯姆 的概率证明，在全世界掀起了一股用概率论解决几何问题的热潮。
接下来，阿兰。孔涅 回到了问题的源头，用非交换几何理论给出了源于K理论证明的新证明。也是非交换几何这一理论的源头之一。
目前，指标定理的直接应用已经很少，但由各种各样新证明衍生出来的理论却一直在蓬勃发展，也还有新证明在不断涌现。现在指标定理已经成了几何化的一个标杆，每构建一个新的几何框架，大家都要想一想此框架下指标定理是否成立，如果成立，说明这个几何框架有拓扑内涵，就会减少被遗弃的风险。
最后回答问题：指标定理的深刻在于通过众多的证明对数学内在结构的探索，从这个方面就可以奠定他在现代数学中的地位。我称赞它，我读过它的十个证明（读懂是另外一回事）。但即使一个证明没读过的人也可以称赞它，因为他们可能是通过指标定理衍生出来的若干理论来了解它的重要性的。 显示全部
我并不清楚其在数学界的深刻程度以及赞誉，但在理论物理界，这个定理自1983年起是最为深刻的数学定理之一。
这就要从超对称开始说起。
理解一个物理系统最重要的方法就是去寻找这个系统的对称性，但通常来讲，系统真空态的对称性与激发态的对称性是不一样的，前者要少，所以造成了对称性自发破缺，这就是Higgs机制的来源。在超对称量子力学中，也存在如此机制，而测量此对称性破缺的标识就是Witten Index，这是Witten1981年的工作，并在那个时候Witten指出Dirac operator的index与Witten index有必要的联系（AS index thm），但没有给出AS index thm的证明。1983年Alvarez-Gaume率先指出他证明了此定理（没有具体证明），用的方法是物理学中的计算超对称量子力学的functional integral与partition function，几乎同时D Friedan与P Windy二人写出了具体的证明。随后有人给出了严格证明。Alvarez-Gaume在那篇里程碑论文中同时也给出了对于不同的物理条件，可以证明出不同的index thm。这是很深刻的理论物理与数学的联系。
历史讲完了，大概有个对此AS index thm在物理中是什么情况有个了解。
至于深度，理论物理中急于寻求一个普适的定律来解释现象，而拓扑不变量恰恰是人们想要寻找的。AS index thm作为第一个被理论物理学家找到的拓扑不变量，是有举足轻重的地位。此后人们在此定理的基础上研究了Elliptic Genera，也就是在1986年左右Witten指出非线性sigma model 的supercharge在elliptic cohomology中的作用正如Dirac operator在K-theory中的作用一样。人们这时候才真正意识到物理中的partition function的真正魅力。而这个类比的计算方法确是从AS index thm直接copy过来的，在物理上是场论到弦论的推广。也正是因为此推广，人们逐渐发现了string theory的modular property的魅力。
此后理论物理学家在算elliptic genus时意识到其与string compactification的关系，也就是与Calabi-Yau manifold的联系（McKean-Singer thm算的CY manifold的A-roof genus）。人们通常算string partition function都是用Weyl-Kac character thm算，而这个定理与AS index thm算出来的部分结果是一致的（我并不清楚是不是这个被严格证明了，如果有人知道，希望指出，目前我极度困惑于此）。这是无穷维李代数与拓扑不变量的联系，其风牛马不相及的程度不亚于moonshine。
最近有人指出Chiral de Rham complex与elliptic genus的联系，这是AS thm index的推广，如果此推广成立，可以很好的理解moonshine的现象，我想这是令人兴奋的。
利申：我的phd工作的基础是AS index thm，徒手用超对称证明过此定理，并推广到string形式算elliptic genus。
＝补＝
Witten的绝大多数数学物理工作都是源于超对称，而此根源在这篇指出Witten index与Dirac index的关系。这是2d情形，我在对物理学而言，哪些数学是重要的？ 中给出了一个Witten写的表格。当然Witten的看家本领之一是Anomaly，这也正是我的偶像Greg Moore的看家本领，所以这两个人代表着目前理论物理界数学最高水平。这里需要指出的是chiral anomaly与AS index thm是通过背景manifold联系起来的，前者可以从Noether charge出发通过规范变换与广义相对论协变得到最一般的形式，然后此形式可以写进index thm中，这点由D Friedan和P Windy指出，工作的推广是Witten与Alvarez-Gaume还有几位欧洲人做出来的，这是另一方面影响了elliptic genus在理论物理中的发展。
我无法估量elliptic genera在数学中的意义如何，但在物理中，这是一个很重要的问题，它联系着partition function这个能够被间接被测量的物理量与其几何背景，整体对称性的深刻联系，是深远的，困难的，目前为止都没有很好的理解。并且由此人们发现了Mathieu Moonshine，这是一个有意思的事。
＝再补＝
我欣赏AS index thm的原因是我不懂其他有名的深刻的数学定理。数学low逼而已。在我看来，AS index thm是通过理论物理来联系数学各个分支的统一性，是非常棒的体验。 显示全部
这就要从超对称开始说起。
理解一个物理系统最重要的方法就是去寻找这个系统的对称性，但通常来讲，系统真空态的对称性与激发态的对称性是不一样的，前者要少，所以造成了对称性自发破缺，这就是Higgs机制的来源。在超对称量子力学中，也存在如此机制，而测量此对称性破缺的标识就是Witten Index，这是Witten1981年的工作，并在那个时候Witten指出Dirac operator的index与Witten index有必要的联系（AS index thm），但没有给出AS index thm的证明。1983年Alvarez-Gaume率先指出他证明了此定理（没有具体证明），用的方法是物理学中的计算超对称量子力学的functional integral与partition function，几乎同时D Friedan与P Windy二人写出了具体的证明。随后有人给出了严格证明。Alvarez-Gaume在那篇里程碑论文中同时也给出了对于不同的物理条件，可以证明出不同的index thm。这是很深刻的理论物理与数学的联系。
历史讲完了，大概有个对此AS index thm在物理中是什么情况有个了解。
至于深度，理论物理中急于寻求一个普适的定律来解释现象，而拓扑不变量恰恰是人们想要寻找的。AS index thm作为第一个被理论物理学家找到的拓扑不变量，是有举足轻重的地位。此后人们在此定理的基础上研究了Elliptic Genera，也就是在1986年左右Witten指出非线性sigma model 的supercharge在elliptic cohomology中的作用正如Dirac operator在K-theory中的作用一样。人们这时候才真正意识到物理中的partition function的真正魅力。而这个类比的计算方法确是从AS index thm直接copy过来的，在物理上是场论到弦论的推广。也正是因为此推广，人们逐渐发现了string theory的modular property的魅力。
此后理论物理学家在算elliptic genus时意识到其与string compactification的关系，也就是与Calabi-Yau manifold的联系（McKean-Singer thm算的CY manifold的A-roof genus）。人们通常算string partition function都是用Weyl-Kac character thm算，而这个定理与AS index thm算出来的部分结果是一致的（我并不清楚是不是这个被严格证明了，如果有人知道，希望指出，目前我极度困惑于此）。这是无穷维李代数与拓扑不变量的联系，其风牛马不相及的程度不亚于moonshine。
最近有人指出Chiral de Rham complex与elliptic genus的联系，这是AS thm index的推广，如果此推广成立，可以很好的理解moonshine的现象，我想这是令人兴奋的。
利申：我的phd工作的基础是AS index thm，徒手用超对称证明过此定理，并推广到string形式算elliptic genus。
＝补＝
Witten的绝大多数数学物理工作都是源于超对称，而此根源在这篇指出Witten index与Dirac index的关系。这是2d情形，我在对物理学而言，哪些数学是重要的？ 中给出了一个Witten写的表格。当然Witten的看家本领之一是Anomaly，这也正是我的偶像Greg Moore的看家本领，所以这两个人代表着目前理论物理界数学最高水平。这里需要指出的是chiral anomaly与AS index thm是通过背景manifold联系起来的，前者可以从Noether charge出发通过规范变换与广义相对论协变得到最一般的形式，然后此形式可以写进index thm中，这点由D Friedan和P Windy指出，工作的推广是Witten与Alvarez-Gaume还有几位欧洲人做出来的，这是另一方面影响了elliptic genus在理论物理中的发展。
我无法估量elliptic genera在数学中的意义如何，但在物理中，这是一个很重要的问题，它联系着partition function这个能够被间接被测量的物理量与其几何背景，整体对称性的深刻联系，是深远的，困难的，目前为止都没有很好的理解。并且由此人们发现了Mathieu Moonshine，这是一个有意思的事。
＝再补＝
我欣赏AS index thm的原因是我不懂其他有名的深刻的数学定理。数学low逼而已。在我看来，AS index thm是通过理论物理来联系数学各个分支的统一性，是非常棒的体验。 显示全部
许多只是人云亦云罢了。
张寿武有次提到，他在科学院读研究生时（83年左右），周围不少同窗正在学指标定理，看似高大上。几年后他做Arakelov几何时需要用到这方面的东西，他就自己搞，才觉得指标定理太浅显了。。。
张寿武有次提到，他在科学院读研究生时（83年左右），周围不少同窗正在学指标定理，看似高大上。几年后他做Arakelov几何时需要用到这方面的东西，他就自己搞，才觉得指标定理太浅显了。。。
为何这么多人称赞指标定理？
作为一种整体微分几何里的的推广，Atiyah-Singer指标定理并不深刻，证明所用的工具（最初的cobordism theory和K-theory, 后来的heat-kernel expansion) 也并不美，即使发展到后面的eta-invariant也没有解决很深的新问题。为何这么多人称赞指标定理？它在K-theory下是Bott periodicity和Thom isomorphism的直接结果，给出来的对偶意义并不是很大；在拿来应用，具体的情况如果不是Dirac operator, Todd class又难以计算。现在称赞的人真的读过它的任何一个证明吗？他们称赞指标定理是因为他们知道如何应用吗？（如证明triangulation conjecture)
匿名用户（作者）
因为给出来的对偶本质上就是Thom isomorphism的应用。K-Theory深刻的结果在algebraic K-theory(如negative K-group), 这一部分的工作虽然看起来漂亮但是没有新的洞见。相关的证明可见Front: [math/0504555] K-theory and elliptic operators上的总结。
按投票排序按时间排序
3 个回答
前面已经有人说过物理的应用，我简单说说数学方面的。
指标定理诞生于拓扑学大发展的二十世纪四五十年代。从拓扑学诞生开始其中心问题就是判断两个空间是否同胚。为此大家就一直在寻找各种各样的拓扑不变量作为判断根据。但是构造出来的拓扑不变量一般都比较复杂，很难计算和应用，从而产生了一种思潮，即拓扑量的几何化，这也是现代微分几何的开端。几何的优点在于直观可计算（不是容易计算）。如果我们能够在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量。接下来的问题就是对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造。
最早的几何化尝试应该要追溯到高斯。高斯-博内特公式将曲面的欧拉示性数几何化为高斯曲率的积分。现代拓扑学中，第一个应该是德拉姆对上同调群的几何化。但真正开启现代微分几何大门的是陈省身对高维欧拉示性数的几何化。接下来希策布鲁赫在其影响下推广了黎曼-洛赫定理并将拓扑量signature几何化。最后是阿蒂亚-辛格把之前的几个特例综合在一起并加以推广就是我们现在看到的指标定理。至于微分算子指标方面，这里先不理他。
所以，从历史看，指标定理不是为了解决某个具体问题而出现的，而是发源于一次现代数学的理论思潮，其贡献是结构性的而不是针对某个问题。
其次，指标定理可以算是一只下金蛋的鸡。和费马大定理不同，指标定理下蛋不是通过对问题证明的探索而是问题已经证好后对新证明的探索。除了代数基本定理以外，我们很难看到一个定理有了十个证明（可能更多）后大家还在孜孜不倦的寻找新的证明。
因为指标定理研究的是几何结构与拓扑结构之间的关系，简单的叙述背后隐藏的东西过于庞大以致于几个不同证明都说不干净，而且每一个新证明都会给人以新的启示甚至有时会影响一个学科的诞生。
在这些证明中，第一个配边证明的影响较小，它只是推广了希策布鲁赫的黎曼-洛赫定理的证明，是配边理论的集大成者和终结者，对后续影响较小。第一个重要影响是格洛腾迪克对希策布鲁赫定理的推广中构造了K群。而通过形式类比，阿蒂亚-辛格通过构造拓扑K群给出了指标定理的第二个证明。这两个系列的文章开创了K理论这个现代数学方向。
接下来的理论飞跃出现于七十年代，源于热方程证明的出现。这个证明给出了一个分析办法使得指标变成了局部可计算的量（之前只是理论上可算）。这种想法的推广使得很多拓扑不变量都可以通过对热核渐进展开的计算得到，是拓扑量几何化的里程碑，里面的矿现在还没挖干净，这一套理论影响了现代数学很多分支，后续大多数指标定理的新证明都是此想法的继续。
指标定理研究的第三个高潮就是 前面有人提到的物理应用。为了严格化威顿的想法，数学界同时出现了若干证明，其中也有中国人的贡献。其中最有创意的是 比斯姆 的概率证明，在全世界掀起了一股用概率论解决几何问题的热潮。
接下来，阿兰。孔涅 回到了问题的源头，用非交换几何理论给出了源于K理论证明的新证明。也是非交换几何这一理论的源头之一。
目前，指标定理的直接应用已经很少，但由各种各样新证明衍生出来的理论却一直在蓬勃发展，也还有新证明在不断涌现。现在指标定理已经成了几何化的一个标杆，每构建一个新的几何框架，大家都要想一想此框架下指标定理是否成立，如果成立，说明这个几何框架有拓扑内涵，就会减少被遗弃的风险。
最后回答问题：指标定理的深刻在于通过众多的证明对数学内在结构的探索，从这个方面就可以奠定他在现代数学中的地位。我称赞它，我读过它的十个证明（读懂是另外一回事）。但即使一个证明没读过的人也可以称赞它，因为他们可能是通过指标定理衍生出来的若干理论来了解它的重要性的。 显示全部
指标定理诞生于拓扑学大发展的二十世纪四五十年代。从拓扑学诞生开始其中心问题就是判断两个空间是否同胚。为此大家就一直在寻找各种各样的拓扑不变量作为判断根据。但是构造出来的拓扑不变量一般都比较复杂，很难计算和应用，从而产生了一种思潮，即拓扑量的几何化，这也是现代微分几何的开端。几何的优点在于直观可计算（不是容易计算）。如果我们能够在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量。接下来的问题就是对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造。
最早的几何化尝试应该要追溯到高斯。高斯-博内特公式将曲面的欧拉示性数几何化为高斯曲率的积分。现代拓扑学中，第一个应该是德拉姆对上同调群的几何化。但真正开启现代微分几何大门的是陈省身对高维欧拉示性数的几何化。接下来希策布鲁赫在其影响下推广了黎曼-洛赫定理并将拓扑量signature几何化。最后是阿蒂亚-辛格把之前的几个特例综合在一起并加以推广就是我们现在看到的指标定理。至于微分算子指标方面，这里先不理他。
所以，从历史看，指标定理不是为了解决某个具体问题而出现的，而是发源于一次现代数学的理论思潮，其贡献是结构性的而不是针对某个问题。
其次，指标定理可以算是一只下金蛋的鸡。和费马大定理不同，指标定理下蛋不是通过对问题证明的探索而是问题已经证好后对新证明的探索。除了代数基本定理以外，我们很难看到一个定理有了十个证明（可能更多）后大家还在孜孜不倦的寻找新的证明。
因为指标定理研究的是几何结构与拓扑结构之间的关系，简单的叙述背后隐藏的东西过于庞大以致于几个不同证明都说不干净，而且每一个新证明都会给人以新的启示甚至有时会影响一个学科的诞生。
在这些证明中，第一个配边证明的影响较小，它只是推广了希策布鲁赫的黎曼-洛赫定理的证明，是配边理论的集大成者和终结者，对后续影响较小。第一个重要影响是格洛腾迪克对希策布鲁赫定理的推广中构造了K群。而通过形式类比，阿蒂亚-辛格通过构造拓扑K群给出了指标定理的第二个证明。这两个系列的文章开创了K理论这个现代数学方向。
接下来的理论飞跃出现于七十年代，源于热方程证明的出现。这个证明给出了一个分析办法使得指标变成了局部可计算的量（之前只是理论上可算）。这种想法的推广使得很多拓扑不变量都可以通过对热核渐进展开的计算得到，是拓扑量几何化的里程碑，里面的矿现在还没挖干净，这一套理论影响了现代数学很多分支，后续大多数指标定理的新证明都是此想法的继续。
指标定理研究的第三个高潮就是 前面有人提到的物理应用。为了严格化威顿的想法，数学界同时出现了若干证明，其中也有中国人的贡献。其中最有创意的是 比斯姆 的概率证明，在全世界掀起了一股用概率论解决几何问题的热潮。
接下来，阿兰。孔涅 回到了问题的源头，用非交换几何理论给出了源于K理论证明的新证明。也是非交换几何这一理论的源头之一。
目前，指标定理的直接应用已经很少，但由各种各样新证明衍生出来的理论却一直在蓬勃发展，也还有新证明在不断涌现。现在指标定理已经成了几何化的一个标杆，每构建一个新的几何框架，大家都要想一想此框架下指标定理是否成立，如果成立，说明这个几何框架有拓扑内涵，就会减少被遗弃的风险。
最后回答问题：指标定理的深刻在于通过众多的证明对数学内在结构的探索，从这个方面就可以奠定他在现代数学中的地位。我称赞它，我读过它的十个证明（读懂是另外一回事）。但即使一个证明没读过的人也可以称赞它，因为他们可能是通过指标定理衍生出来的若干理论来了解它的重要性的。 显示全部
我并不清楚其在数学界的深刻程度以及赞誉，但在理论物理界，这个定理自1983年起是最为深刻的数学定理之一。
这就要从超对称开始说起。
理解一个物理系统最重要的方法就是去寻找这个系统的对称性，但通常来讲，系统真空态的对称性与激发态的对称性是不一样的，前者要少，所以造成了对称性自发破缺，这就是Higgs机制的来源。在超对称量子力学中，也存在如此机制，而测量此对称性破缺的标识就是Witten Index，这是Witten1981年的工作，并在那个时候Witten指出Dirac operator的index与Witten index有必要的联系（AS index thm），但没有给出AS index thm的证明。1983年Alvarez-Gaume率先指出他证明了此定理（没有具体证明），用的方法是物理学中的计算超对称量子力学的functional integral与partition function，几乎同时D Friedan与P Windy二人写出了具体的证明。随后有人给出了严格证明。Alvarez-Gaume在那篇里程碑论文中同时也给出了对于不同的物理条件，可以证明出不同的index thm。这是很深刻的理论物理与数学的联系。
历史讲完了，大概有个对此AS index thm在物理中是什么情况有个了解。
至于深度，理论物理中急于寻求一个普适的定律来解释现象，而拓扑不变量恰恰是人们想要寻找的。AS index thm作为第一个被理论物理学家找到的拓扑不变量，是有举足轻重的地位。此后人们在此定理的基础上研究了Elliptic Genera，也就是在1986年左右Witten指出非线性sigma model 的supercharge在elliptic cohomology中的作用正如Dirac operator在K-theory中的作用一样。人们这时候才真正意识到物理中的partition function的真正魅力。而这个类比的计算方法确是从AS index thm直接copy过来的，在物理上是场论到弦论的推广。也正是因为此推广，人们逐渐发现了string theory的modular property的魅力。
此后理论物理学家在算elliptic genus时意识到其与string compactification的关系，也就是与Calabi-Yau manifold的联系（McKean-Singer thm算的CY manifold的A-roof genus）。人们通常算string partition function都是用Weyl-Kac character thm算，而这个定理与AS index thm算出来的部分结果是一致的（我并不清楚是不是这个被严格证明了，如果有人知道，希望指出，目前我极度困惑于此）。这是无穷维李代数与拓扑不变量的联系，其风牛马不相及的程度不亚于moonshine。
最近有人指出Chiral de Rham complex与elliptic genus的联系，这是AS thm index的推广，如果此推广成立，可以很好的理解moonshine的现象，我想这是令人兴奋的。
利申：我的phd工作的基础是AS index thm，徒手用超对称证明过此定理，并推广到string形式算elliptic genus。
＝补＝
Witten的绝大多数数学物理工作都是源于超对称，而此根源在这篇指出Witten index与Dirac index的关系。这是2d情形，我在对物理学而言，哪些数学是重要的？ 中给出了一个Witten写的表格。当然Witten的看家本领之一是Anomaly，这也正是我的偶像Greg Moore的看家本领，所以这两个人代表着目前理论物理界数学最高水平。这里需要指出的是chiral anomaly与AS index thm是通过背景manifold联系起来的，前者可以从Noether charge出发通过规范变换与广义相对论协变得到最一般的形式，然后此形式可以写进index thm中，这点由D Friedan和P Windy指出，工作的推广是Witten与Alvarez-Gaume还有几位欧洲人做出来的，这是另一方面影响了elliptic genus在理论物理中的发展。
我无法估量elliptic genera在数学中的意义如何，但在物理中，这是一个很重要的问题，它联系着partition function这个能够被间接被测量的物理量与其几何背景，整体对称性的深刻联系，是深远的，困难的，目前为止都没有很好的理解。并且由此人们发现了Mathieu Moonshine，这是一个有意思的事。
＝再补＝
我欣赏AS index thm的原因是我不懂其他有名的深刻的数学定理。数学low逼而已。在我看来，AS index thm是通过理论物理来联系数学各个分支的统一性，是非常棒的体验。
这就要从超对称开始说起。
理解一个物理系统最重要的方法就是去寻找这个系统的对称性，但通常来讲，系统真空态的对称性与激发态的对称性是不一样的，前者要少，所以造成了对称性自发破缺，这就是Higgs机制的来源。在超对称量子力学中，也存在如此机制，而测量此对称性破缺的标识就是Witten Index，这是Witten1981年的工作，并在那个时候Witten指出Dirac operator的index与Witten index有必要的联系（AS index thm），但没有给出AS index thm的证明。1983年Alvarez-Gaume率先指出他证明了此定理（没有具体证明），用的方法是物理学中的计算超对称量子力学的functional integral与partition function，几乎同时D Friedan与P Windy二人写出了具体的证明。随后有人给出了严格证明。Alvarez-Gaume在那篇里程碑论文中同时也给出了对于不同的物理条件，可以证明出不同的index thm。这是很深刻的理论物理与数学的联系。
历史讲完了，大概有个对此AS index thm在物理中是什么情况有个了解。
至于深度，理论物理中急于寻求一个普适的定律来解释现象，而拓扑不变量恰恰是人们想要寻找的。AS index thm作为第一个被理论物理学家找到的拓扑不变量，是有举足轻重的地位。此后人们在此定理的基础上研究了Elliptic Genera，也就是在1986年左右Witten指出非线性sigma model 的supercharge在elliptic cohomology中的作用正如Dirac operator在K-theory中的作用一样。人们这时候才真正意识到物理中的partition function的真正魅力。而这个类比的计算方法确是从AS index thm直接copy过来的，在物理上是场论到弦论的推广。也正是因为此推广，人们逐渐发现了string theory的modular property的魅力。
此后理论物理学家在算elliptic genus时意识到其与string compactification的关系，也就是与Calabi-Yau manifold的联系（McKean-Singer thm算的CY manifold的A-roof genus）。人们通常算string partition function都是用Weyl-Kac character thm算，而这个定理与AS index thm算出来的部分结果是一致的（我并不清楚是不是这个被严格证明了，如果有人知道，希望指出，目前我极度困惑于此）。这是无穷维李代数与拓扑不变量的联系，其风牛马不相及的程度不亚于moonshine。
最近有人指出Chiral de Rham complex与elliptic genus的联系，这是AS thm index的推广，如果此推广成立，可以很好的理解moonshine的现象，我想这是令人兴奋的。
利申：我的phd工作的基础是AS index thm，徒手用超对称证明过此定理，并推广到string形式算elliptic genus。
＝补＝
Witten的绝大多数数学物理工作都是源于超对称，而此根源在这篇指出Witten index与Dirac index的关系。这是2d情形，我在对物理学而言，哪些数学是重要的？ 中给出了一个Witten写的表格。当然Witten的看家本领之一是Anomaly，这也正是我的偶像Greg Moore的看家本领，所以这两个人代表着目前理论物理界数学最高水平。这里需要指出的是chiral anomaly与AS index thm是通过背景manifold联系起来的，前者可以从Noether charge出发通过规范变换与广义相对论协变得到最一般的形式，然后此形式可以写进index thm中，这点由D Friedan和P Windy指出，工作的推广是Witten与Alvarez-Gaume还有几位欧洲人做出来的，这是另一方面影响了elliptic genus在理论物理中的发展。
我无法估量elliptic genera在数学中的意义如何，但在物理中，这是一个很重要的问题，它联系着partition function这个能够被间接被测量的物理量与其几何背景，整体对称性的深刻联系，是深远的，困难的，目前为止都没有很好的理解。并且由此人们发现了Mathieu Moonshine，这是一个有意思的事。
＝再补＝
我欣赏AS index thm的原因是我不懂其他有名的深刻的数学定理。数学low逼而已。在我看来，AS index thm是通过理论物理来联系数学各个分支的统一性，是非常棒的体验。
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