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... 一个报告中。1799年，他的论文用丹麦语发表，因为语言问题，受到的注意很少。工程数学2010-CH01-复数和复变函数- 豆丁网
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2011年10月18日 - c n 10 复数的三角表示cos sin x r y r θ θ = = 在极坐标中(cos sin ) z z x iy r i θ θ = + = + 复数可以表示为复数的矢量表示，自由矢量( , ) . ... 1 z r o x y θ 1 -θ 2 2 z , θ π θ π ≤ = 辐角的主值为从正实轴到复矢量之间的夹角弧度数. .... 的映射令在（ ) 平面, 上述方程分别是以直线和坐标轴为渐近线的两族等轴双曲线.：所以平面矢量
立一一 对应
，
）可与平面矢量
建
（
图
平面或高斯平面
虚轴 用来表示复数的平面称为复
因此通常称横轴为实轴，纵轴称为
实部为零的复数即纯虚数相对应
数，即实数相对应；纵轴上的点与
显然，横轴上的点与虚部为零的复
与平面上的点
复数和向量是否可以比较，如果可以有什么联系和区别？
看到一篇关于复数的文章，感觉和其描述的复数和向量是一种概念
http://news.cnblogs.com/n/158639/
http://news.cnblogs.com/n/158639/
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5 个回答
先谈不同点：
- 复数本身构成了一个域（field）结构，这种域结构中比较特殊的一点就是的乘法具有交换律，这一性质推广到高维度后不再成立。复数的“乘法”是正如题主所引的《虚数的意义》一文中所说的那样的满足de Moivre's 公式的运算，而向量的乘法可以有多种不同的定义，可以定义满足交换律或者不满足交换律的多种乘法，但很少有能够在旋转操作方面如复数（或四元数）一般自如的乘法。复数乘法（平面旋转）的交换律用小朋友能懂的语言描述就是，你把一支放在桌面上的笔先顺时针转90度再逆时针转90度，跟你将一支笔先逆时针转90度再顺时针转90度是一样的，然而，一旦把复数推广到高维的旋转，这种交换律便不再存在了，你自己向左转90度然后躺下（左转后正躺），跟你自己先躺下然后左转90度（变成左侧躺）最后得到的体位是不一样的；
- 域结构具有的另外一个性质就是乘法逆元，即“除法”的存在。用小朋友能听懂的语言来粗略描述就是一个复数除以一个复数还等于一个复数，而向量则没有类似的“除法”运算。因此，复数的推广要比平面向量的推广难得多（向量很容易推广到各种高维度），关键正在于前面提到的“除法”，现在有的一些推广包括：四元數，八元数，十六元數等等。
- 复数和向量（平面向量）在线性运算（数乘、加减）方面有类似的代数性质，在这个意义上，可以认为复数是一种特殊的向量；
- 复数和向量都只有“相等”的概念，而没有如同实数的“大于”“小于”这样的比较；
- 复数和平面向量可以定义类似的“长度”概念。
Complex number
复数也构成一个向量空间, 但是其向量表示不是单行/单列的, 而是一个2X2的矩阵:
明显, 其复共轭表现为矩阵的转置. 这个矩阵的行列式就是该复数的模, 也就是向量的"长度"
因此和普通向量明显不同的是, 普通二维向量定义的点乘把两个向量映射成一个标量, 而复数相乘仍然得到的是复数. 矩阵相乘得到的仍然是矩阵. 另外注意到, 2X2矩阵正好可以用来表示平面上对向量的旋转操作, 这也就是为何复数乘法总是和旋转脱不开关系了: 每个复数的矩阵表示都可以看成一个实数系数(拉伸/缩放)乘上一个某角度的旋转, 其系数就是复数的模长, 角度就是复数的辐角:
由于所有这样的旋转操作都有逆操作, 也就是矩阵总是存在逆矩阵, 因此只要R非零(被压缩至原点, 原始信息全部丢失), 复数乘法永远有逆运算.
复数也构成一个向量空间, 但是其向量表示不是单行/单列的, 而是一个2X2的矩阵:
明显, 其复共轭表现为矩阵的转置. 这个矩阵的行列式就是该复数的模, 也就是向量的"长度"
因此和普通向量明显不同的是, 普通二维向量定义的点乘把两个向量映射成一个标量, 而复数相乘仍然得到的是复数. 矩阵相乘得到的仍然是矩阵. 另外注意到, 2X2矩阵正好可以用来表示平面上对向量的旋转操作, 这也就是为何复数乘法总是和旋转脱不开关系了: 每个复数的矩阵表示都可以看成一个实数系数(拉伸/缩放)乘上一个某角度的旋转, 其系数就是复数的模长, 角度就是复数的辐角:
由于所有这样的旋转操作都有逆操作, 也就是矩阵总是存在逆矩阵, 因此只要R非零(被压缩至原点, 原始信息全部丢失), 复数乘法永远有逆运算.
Long Xiang 赞同
向量是一个更广泛的概念, 我通常把它叫做矢量; 它可以存在于二维空间, 三维空间...无穷维空间, 函数空间, 以及更牛逼的数学家搞出来的各种空间之内.
向量之间可以定义加法, 也可以定义乘法; 乘法有多种定义方式, 比如三维空间的两个向量可以定义点乘(结果是一个数字), 和叉乘(结果是另一个向量). 可以想象, 对更一般的向量会有更一般的乘法定义, which 我们看不懂;
那么复数可以认为是复平面上的向量, 加法与普通的矢量加法无异, 而乘法据说是长度相乘, 幅角相加. 那么这个乘法既不同于点乘(长度相乘, 再乘以夹角的余弦, 结果是一个数而不是一个向量), 也不同于叉乘(长度相乘, 再乘以夹角的正弦, 结果是Z轴上的一个向量)
我的结论是, 复数当然就是复平面上的向量, 不过由于复平面x轴和y轴并不"平等", 结果这个向量的乘法和一般向量的乘法规则颇有区别.
向量之间可以定义加法, 也可以定义乘法; 乘法有多种定义方式, 比如三维空间的两个向量可以定义点乘(结果是一个数字), 和叉乘(结果是另一个向量). 可以想象, 对更一般的向量会有更一般的乘法定义, which 我们看不懂;
那么复数可以认为是复平面上的向量, 加法与普通的矢量加法无异, 而乘法据说是长度相乘, 幅角相加. 那么这个乘法既不同于点乘(长度相乘, 再乘以夹角的余弦, 结果是一个数而不是一个向量), 也不同于叉乘(长度相乘, 再乘以夹角的正弦, 结果是Z轴上的一个向量)
我的结论是, 复数当然就是复平面上的向量, 不过由于复平面x轴和y轴并不"平等", 结果这个向量的乘法和一般向量的乘法规则颇有区别.
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