均匀引力场中 bec 自旋为整数 ,其波函数是全对称的一类粒子 ———玻色子的性质 ,发现它与费米子有着截然不同的行为 ,即使无相互作用

在均匀引力场中

理想玻色气体的凝聚温度

自旋为整数 ,其波函数是

全对称的一类粒子 ———玻色子的性质 ,发现它与费米子有着截然不同的行为 ,即使无相互作用

的玻色子气体 ,在一定温度以下 ,将突然布居在最低的量子态上 ,即在同一最低量子态上能聚

集尽可能多的玻色子 ,这就是通常所说的玻色 ———爱因斯坦凝聚(简称 BEC)

刘海英

(桂林地区教育学院　桂林　541001)

　　摘　要　利用理想玻色气体的状态方程和平均占有粒子数的爱因斯坦分布 ,研究在均匀引

力场中理想玻色气体的凝聚温度

关键词　均匀引力场　理想玻色气体　凝聚温度

分类号　O41412

七十年前 ,爱因斯坦在印度物理学家玻色工作的基础上 ,研究了自旋为整数 ,其波函数是

全对称的一类粒子 ———玻色子的性质 ,发现它与费米子有着截然不同的行为 ,即使无相互作用

的玻色子气体 ,在一定温度以下 ,将突然布居在最低的量子态上 ,即在同一最低量子态上能聚

集尽可能多的玻色子 ,这就是通常所说的玻色 ———爱因斯坦凝聚(简称 BEC)

对于理想玻色气体的凝聚 ,温度及其热力学性质 ,在一般的量子统计力学教科书和文献

中 ,已有详尽的介绍和讨论[1 —3 ] 。

在体积 V 中具有能谱 Ep =

P

2

2 m

的理想玻色气体的状态方程和粒子数的分布公式分别为 :

　　　　　　

PV

KB T

= - 6ε

ln(1 - Ze

- βt)

(1)

　　　　　　N = 6ε

nε = 6ε

1

Z

- 1

e

βε

- 1

(2)

其中β =

1

KB T

, Z 为气体的逸度 , Z ≡exp (μ/ KB T)

(3)

从(1) 、(2) 、(3) 式出发 ,应用量子统计力学方法 ,把对能量ε求和变为对能量积分 ,可以求

出非相论理想玻色气体的凝聚温度 :

　　　　　　TC =

h

2

2πm KB

N

Vζ(3/ 2)

61

2/ 3

(4)

激发态粒子数 :

　　　　　Nε> 0 = N ( T/ TC) 3/ 2

= V ・

(2πm KB T)

3/ 2

h

3

ζ(

3

2

)

(5)

基态粒子数 :

Nε= 0 = N〔1 - ( T/ TC) 3/ 2〕

(6)

第 19 卷　第 1 期　　　　　　　　　

广　西　物　理

GUAN GXI WUL I

　　　　　　　　　Vol. 19 No. 1 1998

© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

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(4) 、(5) 式中的ζ为黎曼函数 ,从(5) 式可见 ,在某个温度 T 时激发态能容纳的粒子数是有一

定的限度的 ,当 T = 0 时 ,将有 Nε> 0 = 0 此时全部粒子都在能量ε = 0 的凝聚体中 ,为了实现

BEC,办法是降低温度 T 或增大粒子总数 N 。

下面我们讨论在加速度为 g 的均匀引力场中的 BEC 温度问题。

设在高为 L ,底面为 S 的容器中的理想玻色气体 ,考虑重力场的影响 ,取重力场方向沿 x

轴(但方向相反) ,则(1) 式变为 :

PV

KB T

= -

2π(2 m)

3/ 2

h

3

・S∫L

0∫

∞

0

ε

1

2 ln(1 - Ze

- β(ε+ mgx) ) dεdx

令 Z′= Ze

- βmgx

PV

KB T

=

V

L∫L

0

1

λ3 ・g

5/ 2 ( Z′) dx

(7)

其中 gn( Z′) 为玻色积分 ,它的级数表示为 :

g

5/ 2 ( Z′) = 6

∞

l = 1

Z′1 l

l

5/ 2

= 6

∞

l = 1

Z

l ・e

- βmglx

l

5/ 2

由此可以求出 :

∫L

0

g

5/ 2 ( Z′) dx =

1

mgβ6l

Z

l

l

7/ 2 -

( Ze- βm gL ) l

l

7/ 2

/

令 Ze

- βm gL

= Z′最后又可以得到 :

PV

KT

=

V

mgβL

・

1

x

3 [ g

7/ 2 ( Z) - g7/ 2 ( Z) ]

(8)

而 Nε> 0 = N - N0 为激发态所能容纳的粒子数 , 在考虑引力场后 , 我们有 ,N - N0 =

2π

53 (2 m)

3/ 2 ・S∫L

0∫

∞

0

ε1/ 2

dεdx

Z- 1

e

β( E+ mgx)

- 1

仿照上面的做法可以求出 :

2π

53 (2 m)

3/ 2 ・S∫

∞

0

ε1/ 2

Z- 1

e

β( t + mgx)

- 1

dε =

1

λ3 ・Sg

3/ 2 ( Z′)

由此 N - N0 =

V

L∫L

0

1

λ3 g

3/ 2 ( Z′) dx

=

V

L

1

λ3∫L

0 6

∞

l = 1

Z

l ・e

- βmglx

l

3/ 2

dx

=

V

L

・

1

λ3 ・6

∞

l = 1

1

βmg

2 l

l

5/ 2 -

1 Ze

- βm gL

1

l

l

5/ 2

　　

=

V

mgβL

・

1

λ3 [ g

5

2 ( Z) - g

5

2 ( Z′) ]

(9)

当 T = TC 时 ,体积 L,S 中中总的粒子数 :

N =

V

m gL

・

1

βλ3 [ g

5

2 ( Z) - g

5

2 ( Z′)]T = TC ,Z = 1

N

V

h

2

2πmk

.

3/ 2

=

k

m gL

・T

5/ 2

C・[ζ(

5

2

) - g5/ 2 (α) ]

其中α =

m gL

k TC

= - ln Z′| Z = 1 , T= TC

,若将不考虑引力场时的理想玻色气体的凝聚温度记

为 TC°,而(4) 式为 :

TC°=

h

2

2πmk

N

Vζ(

3

2

)

2/ 3

7

第 1 期　　　　　　　　　在均匀引力场中理想玻色气体的凝聚温度　　　　　　　　　　　

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m gL

k TC°ν 1 ,

m gL

k TC

ν 1 ,即α ν 1 ,我们有 :

g5/ 2 (α) = ζ(

5

2

) +

4

3

2α3/ 2

- ζ(

3

2

)α。可以得到 :

TC°

3

2ζ(

3

2

) =

1

2

T

3/ 2

C[ζ(

3

2

)α-

4

3

2α

3

2 ]

所以(

TC

TC°

) 3/ 2

= ζ(

3

2

) (ζ(

3

2

) -

4

3

πα1/ 2)

=

1

[1 -

4

3

π・

α

1

2

ζ(

3

2

)

]

≈ 1 +

4

3

・

π

ζ(

3

2

)

・α1/ 2

因此可以求得 :

TC

TC°

= 1 +

2

3

・

4

3

・

π

ζ(

3

2

)

・α

1

2

= 1 +

8

9

・

π

ζ(

3

2

)

m gL

k TC

( e

1

2

可将右边的 TC 用零级近似 TC°代替 ,这样我们就得到了在均匀引力场中理想玻色气体的凝聚

温度的近似结果 :

　　TC = TC°1 +

8

9

1

ζ(

3

2

)

π・m gL

k TC°

) ]

1

2

=

N

(10)

比较(4) 与(10) 式可以看出 ,当考虑引力场效应后 ,凝聚温度有适当的提高。其提高值为

8

9

1

ζ(3/ 2)

πm gL

k TC°

ε1

1

2

。

进一步还可以求出在均匀引力场的理想玻色气体的热力学性质 :

V =

5

2

V

m gL

・

1

β2λ3 [ g

7/ 2 ( Z) - g7/ 2 ( Z′)]-

V

βλ3 g

5

2 ( Z′)

而在 T < TC 时 ,Z = 1 则 :

V =

5

2

V

m gL

・

1

β2λ3 [ g

7

2 ( Z) - g

7

2 (α)]-

V

βλ3 ・g

5

2 (α)

N =

V

m gL

・

1

βλ3 [ g

5

2 ( Z) - g

5

2 ( Z′) ]

比热的不连续性 :

ΔCv/ TC = -

9

8π

ζ(

3

2

) Nk (

πm gL

k TC°

)

1

2 ,可见考虑引力场后 ,与理想玻色气体的结果是有一

定的差异的。

七十多年来 ,经过众多的物理学家的努力 ,于 1995 年 6 月 5 日 ,由美国国家标准和技术研

究所及科罗拉多大学物理系联系研究所的物理学家怀曼和康耐尔等人 ,采用激光冷却和蒸发

冷却技术 ,首先在原子(87Rb) 的蒸汽中产生了 BEC ,8 月底休斯顿市的 Ricc 大学在 (下转第 5 页)

8

　　　　　　　　　　　　　　　　广　　西　　物　　理　　　　　　　　　　　　　第 19 卷

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5 　结论

将普适的嵌入原子模型应用到碱金属族元素 ,确定了碱金属元素所有的模型参数 ,并利用

现在的 EAM 模型计算了碱金属元素的弹性常数 ,计算结果同实验值完全一致 ;同时 ,也计算

了 BCC 结构和 FCC 结构的能量差 ,计算结果比第一原理以及从相图导出的结果要大 ,但与

Baskes 等人的结果相符 ,能正确预言碱金属的结构稳定性。

　　　　　　　　　　　　　参　考　文　献

1 　P. C. Gehlen et al , Interatomic Potentials and Simulation of Lattice Defects , Plenum , New York ,1972

2 　I. M. Torrens , Interatomic Potentials , Academic , New York ,1972

3 　R.A.Johnson,J. Phys. F,3(1973)295

4 　J. K. Lee , Interatiomic Potentials and Crystalline Defects , AIME , PA ,1981

5 　M. W.finnis and J . E. Sinclair , Philos. mag. ,A50(1984) 45

6 　M. W.finnis and J . E. Sinclair , Philos. mag. ,A53(1986) 161

7 　M. S.Daw and M. I.Baskes ,Phys. Rev. Lett. , 50(1984)1285

8 　M. S.Daw and M. I. Baskes , Phys. Rev. , B29(1984)6443

9 　M. S.Daw et al , Mater. Sci. Rept. ,9(1993)251

10 　Zhang Bangwei and Ouyang Yifang , Phys. Rev. ,B48(1993)3022

11 　Hang Bangwei and Ouyang Yifang , Z. Physik , B92(1993)431

12 　Ouyang Yifang , Zhang Bangwei and Liao Shuzhi , Sci. in China ,A37(1994) 1232

13 　Ouyang Yifang , Zhang Bangwei , Liao Shuzhi and Jin Zhanpeng , Z. Physik , B101(1996) 161

14 　H. P. R. Frederikse , American Institute of Physics Handbook , McGran2Hill , Nwe York ,1972

15 　C. Kittel , Introduction to Soild State Physics , Wiley , New York ,1976

16 　H. Schultz , Landolt2Brnstein , New Series Ⅲ/ 25 ,Springer , Berlin ,1991

17 　R. F. S. Hearmon , Landolt2Birnstein ,New Series Ⅲ/ 18 ,Springer , Berlin ,1984

18 　J. H. Rose , J. R. Smith et al , Phys. Rev. , B29(1984) 351

19 　N. Saunders et al , CAL PHAD ,12(1988) 351

20 　H. Skrive , Phys. Rev. ,B31(1985)1909

21 　W.A. Harrison , Phys. Rev. ,136(1964)1107

22 　M. I.BAskes, Phys. Rev. ,B46(1992)2727

(上接第 8 页) 锂(7Li) 中观测到了 B EC ,11 月广林省理工学院在钠(23Na) 蒸汽中实现了 B EC ,美

国“科学”杂志把 BEC 选为 1995 年度的分子。

BEC 理论上的研究和实验上的实现 ,开辟了研究宏观量子现象的新天地 ,它在理论上将

会产生深刻的影响 ,而在应用上展现出广阔的前景。

　　　　　　　参　考　文　献

1 　R1K帕斯里亚著 ,统计力学上册 1985 年 ,高等教育出版社

2 　北京大学物理系 ,量子统计物理学 ,1987 年 ,北大出版社

3 　孙长勇、李丽华、王继锁 ,几维理想玻色气体的性质的普通描述 ,大学物理 ,1997 ,1 期 P5 —P8

4 　赵理曾 1 物理学家产生新的物态 ,物理 199612 期 P127 —P128

5 　郝柏林 1 中性原子的玻色 ———爱因斯坦凝聚 ,物理学进展 ,199713 期 ,P223 —232