关于螺旋弹簧曲率扭转量,力的一种新型计算公式

设计计算;关于螺旋弹簧曲率扭转量,力的一种新型计算公式串岛弹簧厂为『改善螺旋弹簧性能(如增加疲劳寿.,抑制谐振),可以把弹簧成变螺旋角,变曲率半径的形状.运用微分几何学原理,可以导出一些新的关于瞌率,扭转量和力的精确计算公式.这些公式比以前使用的公式更匀全面更为准确.一,简介:关于螺旋弹簧的研究可以追溯刊一个世纪以前.对于螺旋弹簧的一些陈旧假说,不管它多么不实际,现在仍在使用.譬如,人们通常假定螺旋弹簧的螺旋角自始至终是恒定的,然而,在实际应用中,为便于安装,通常弹簧两端头的螺旋角减小以便使端董敏奎译丁】弓』圈"井紧.因此,如果假定螺旋角恒定不变,那么就是假定弹簧无限长或者假定弹簧两端面不平行,并且忽略了各种端圉影响.类似地,关于螺旋线的一些基本的几何学公式人们现在仍在使用,而没有认识到由此而产生的误差.例如公式;一塑￡!!坐(2)式中一一曲率.一一螺旋角.一一扭转量,半径图1半径及螺旋角变化较大的螺旋弹簧为了改善弹簧摘性麓,人们已经制造出一峰半径及螺旋角变化较大的螺旋弹簧井】8进行了试验(如图1).然而,在公开文献里还没有时这种新型弹簧精确描述.本文的目的是运用微分几何学原理导出一些更糟确更全面的关于率,扭转量以及力的计算公式,并将这些公式应用到螺旋弹簧计算中.在本文里,我们还将对使用过去公式或简化公式产生的误差与导出公式和经验数据进行比较.希望率文能对螺旋弹簧的动态研究起到一定作用,并驻就螺旋弹簧的新设计提出一些建议性意见.二,螺旋弹簧的戢学描述假定,螺旋弹簧可以用圆柱螺旋线精确表示(图2),该螺旋线可以看三维空阅内曲线的迹.:—(3)这里,可表示为;(1)=(,,1)(4)参数—,是的子集,,,为常数对于一般教材书中描述的理想圆柱螺旋线来说.这个描述可简单明了.然而,即使用这种形式表示一个常用螺旋弹簧:在一个简单静压过程中,弹簧力之计算误差仍可囝2圆柱螺旋线和球座标系选5.如果假定螺旋角恒定荩误差更大弹簧的物理因素不仅包括并紧端罔,而且包括变化的螺旋角.由于弹簧设计技术一直朝着变螺旋角的方向发展,所以.对螺旋角的精确描述不仅实用丽且必要螺旋角的精确定义如下.三,螺旋角定义螺旋角是切线种轴之夹角的补.换言,螺旋角就是螺旋线的展开平面与球座标系中—平面之夹角.切平面(图)是和轴决定的平面,展开平面是和轴决定莳平面.不难看出,圆柱螺族线螺旋角是恒定不变的.然而,在实际应用中,弹簧的每一端头都存在一个小得几乎于零的螺旋角.此外,改变弹簧的螺旋半径,有助于改善弹簧的动态性能这里,我们朋"广义螺旋线"一词来描述变螺旋角变半径的螺旋缓.四,广义螺旋钱定义:广义螺旋线是掐曲线():—的轨迹.被包围在旋转表面内,旋转角为参数的非负函奴.对照等式(4)所表示的圆柱螺旋线.广义螺旋线可琵为;()=(()0(),)0(),()(5上述提及的旋转表面可表示为:(.,=(,0,),())6)式中,.为的函数,最好将它看作弧长的参数,因为,标准曲线的弧长不会因参数的转换而改变(假定实际线材不可拉伸).图3所示曲线可甩面两个公式表示:=(),()7)或者=()(7)9蠢&;净1三主』.图3广义螺旋线如果用等式(7)来示图3所示曲线,那么,广义螺旋线可用式(5)来表示如果用等式(7来表示图3所示曲线,那么,广义螺旋线可表示为:()=(()(),()(),())(8)虽然式(5)和式(8)形式相同,但参数和都具有不同的含义.从直观上看,是弧长在-1平面上的投影,而是螺旋线实际长度.它们的关系可表示为::[()+](9)式中,和是旋转表面基本表达形式(,)中的系数,使用这一基本表达式可以在平面座标系内测量弧长而不用返回到三维座标.为方便起见,在以下讨论中,我们用式(5)来表示广义螺旋线,五,关于曲率和扭转量的新的计算公式许多研究人员和工程师一直在使用如下公式.:(1):<>一(2)式中,一一螺旋角,一一半径20这些公式是从直观上得出的,虽然许多研究人员都知道螺旋角是螺旋线长度的函数,但他们仍在使用上述公式计算恒半径螺旋弹簧.必须指出,从严格意义上讲,即使半径恒定不变,只要节距改变,该螺旋线就不是圃柱螺旋线.此外,如果考虑弹簧的动态变形,即使是圆柱螺旋弹簧,其半径和节距也不是恒定不变的.因此,我们导出以下关于曲率及扭转量之计算公式.公式推导将广义螺旋线用弧长表示为:()=(00.(],)(10)式中,_一一半径,0一一极角,一～螺旋线高度,都是弧长的函数.然后.对弧长求导():()=(00—0'.0+0',)(11)这里,因为为弧长,所以()为)(()的单位矢量.()=()=(一200一0一.0+20—'+0,)((12)根据微分几何学--公式,曲率就是()的太小()=()(13)由于()是单位矢量.代入(),可以到如下曲率公式::(,).0'+4+.0一20,+400++.(14)在解析几何学中,+0,—]÷=+8(15)那么,从曲率公式可以得出(16)从式(14)可以看出,通常,是和的函数.而公式(16)是不正确的.[例]图5为某一特定螺旋弹簧的曲线,该弹簧具有恒定半径,并且在弹簧中部.螺旋角也恒定.因此,弹簧中部为圆柱螺旋线.从表(项目1)所示结果可以看出,利用曲率公式和利用新曲率公式可以得出同样结果.剥于同一个弹簧来说,螺旋角变化的一端(项目2,:46.35),公式计算出的曲率数值存在十万分之四的误差.图4在镜床上潮量半轻叼!()目5样品弹簧"之曲蠼衰使用不同公式计茸扭率,扭转量之比较注()极角0(弧度)()螺旋角(弧度)&;)高度()()丰径()]():线材长度()项目1项目2项目3项目4啊目弹簧弹簧弹簧弹簧(1)120.6646.3530.05114.76目(1/1"1).0672450.0673780.0615950.057748(1/).0.0677.450.0673810.061501':0.057808误差(%)0.000一.0040.153—0.104.∞(1/1)0.0072530.0