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科技与商业物理学家的乱七八糟的数学（4）——吐槽一下牛二律
2012-05-14 02:46:56
力是什么？相信众多物理学子在这上面耗费过不少脑细胞吧？
本文是想给这个概念一个终结，把牛顿第二定律到底是怎么回事说清楚。
我的物理哲学：物理学研究的就是物理量和时空变化之间的关系。
物理量：譬如质量，譬如电荷。
时空变化：其实就是时空中的运动，但现在有个问题是：同样一个物理过程，不同的人观察，得到的时空运动曲线是不一样的，但这又是同一个物理过程，所以你的曲线和我的曲线之间，必定有某种与参照系无关的几何不变量关联着。
为了把物理量和时空变化之间的关系弄清楚，可以把物理哲学更改表述如下：
物理学研究的就是物理量和几何不变量之间的关系。
物理量对所有参照系都是相同的，几何不变量对所有参照系也是相同的，这样，我的物理哲学表述也就ok了。
第一个例子：万有引力定律
这里表述的是，地球和太阳在同一条直线上相互吸引时候的定律·。左边，是几何上的不变量，右边是物理上的不变量。
本来物理量和几何不变量的关系给出来，事情就可以结束了，牛顿力学是不需要力这个概念的。可牛顿偏偏作了如下一件事：
这个新的式子与旧的式子在数学上是等价的，不同的只是形式。牛顿为什么要这样做？明显的是，单就引力而言，这么做纯属“数学娱乐”，所以答案必定和非引力有关。
所谓的非引力，在牛顿的时代，其实就是电磁力，站在21世纪回望，电磁力与引力的区别就在于物理量多了一个叫做电荷的东西。添加进电荷，物理学的定律可以表述如下：
几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)
如果f的具体表达式知道，那么牛顿力学同样是不需要引入力这个概念的，但偏偏在牛顿的时代，电荷只是一个隐含的东西，即便想象也想象不到的。
不过很凑巧，f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，转化过来就是：
m1*几何不变量=h(m2;q1,q2)
牛顿最终把上边的式子写成了：
m1*加速度1=h(m2;q1,q2)*新的几何不变量
左边都是跟1相关的物理和几何，右边表示隐含的未知物理量，2的物理量，表示1和2之间相互关联的几何量。现在牛顿第二定律可以表述如下：
1的已知物理量*1的几何不变量=f(2的已知物理量，未知的物理量，1和2的几何关系）
所谓的力其实就是右边那个复杂关系。
说明1：单就物理学而言，知道几何不变量和物理量的关系就足够了，力的概念是多余的。
说明2：如果不是电磁学中凑巧f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，各位物理学子就不用费那么大劲学习牛顿第二定律了，因为根本就不会有这个定律。
说明3：牛顿力学很有意思，正是电磁学孕育了牛顿力学，而推翻牛顿力学的却恰恰是电磁学定律，感觉上帝跟牛顿开了一个玩笑。
说明4：从牛顿力学到相对论，变化的仅仅是对几何不变量的理解，也就是说原本认为是几何不变量的东西，实际上不是几何不变量，像加速度，实际上是跟参照系有关的。
说明5：建立新的物理学，其实很简单，无非就是找出新的几何不变量，从数学的角度，这个是很简单的，但当年着实难为了物理学家好一阵子。
说明6：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，这个在我看来是好的物理。现在的电磁学公式，包含着速度，包含着对时间的求导，这些从牛顿力学继承过来的概念，从数学的角度看，是很不自然的。最后当然，也能折腾出几何不变量，但过程没必要地繁琐。
说明7：物理量指的是物体本身所固有的属性，你观察和我观察，数值应该是相同的。所以物理学里边引入动质量这个概念，实在是混淆视听。
说明8：我说过，也因此被人揶揄，那就是动量不是一个基础的物理概念，为何？如果假定质量是不变的，那么动量的定义在牛顿和爱因斯坦那里是不一样的，一个基础的物理概念怎么可以有完全不同的数学表达式？在这个意义上，我说，动量不是一个基本的物理概念，而是由其他的概念导出来的。而明显，这个其他的概念，是速度的函数，而不是速度，速度已经失掉了在牛顿力学中的地位。那如果质量是变化的呢？我上篇文章攻击动质量这个概念，结果被人说打了空靶，连教科书的截图都搬出来了，可我当初就是因为那些截图，才对动质量这个概念产生抵触的。
说明:9：现在物理上区分惯性质量和引力质量，原因在于，上边的物理量可能不仅仅是两种，而是三种，质量也许有两个，不过现在来说，看成一个是ok的。
说明10：我的哲学公式：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，是基于现有的物理学体系的。但我也在问我自己，几何与物理是不是真的可以分开写在左右两侧？对于一个开放系统，物理量一直在变化，此时的物理哲学该如何表述？质量和电荷之间如果有某种相互影响又如何？如果物理常数，所谓的物理不变量都随宇宙膨胀而变化，那此时又该如何表述？
本文是想给这个概念一个终结，把牛顿第二定律到底是怎么回事说清楚。
我的物理哲学：物理学研究的就是物理量和时空变化之间的关系。
物理量：譬如质量，譬如电荷。
时空变化：其实就是时空中的运动，但现在有个问题是：同样一个物理过程，不同的人观察，得到的时空运动曲线是不一样的，但这又是同一个物理过程，所以你的曲线和我的曲线之间，必定有某种与参照系无关的几何不变量关联着。
为了把物理量和时空变化之间的关系弄清楚，可以把物理哲学更改表述如下：
物理学研究的就是物理量和几何不变量之间的关系。
物理量对所有参照系都是相同的，几何不变量对所有参照系也是相同的，这样，我的物理哲学表述也就ok了。
第一个例子：万有引力定律
这里表述的是，地球和太阳在同一条直线上相互吸引时候的定律·。左边，是几何上的不变量，右边是物理上的不变量。
本来物理量和几何不变量的关系给出来，事情就可以结束了，牛顿力学是不需要力这个概念的。可牛顿偏偏作了如下一件事：
这个新的式子与旧的式子在数学上是等价的，不同的只是形式。牛顿为什么要这样做？明显的是，单就引力而言，这么做纯属“数学娱乐”，所以答案必定和非引力有关。
所谓的非引力，在牛顿的时代，其实就是电磁力，站在21世纪回望，电磁力与引力的区别就在于物理量多了一个叫做电荷的东西。添加进电荷，物理学的定律可以表述如下：
几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)
如果f的具体表达式知道，那么牛顿力学同样是不需要引入力这个概念的，但偏偏在牛顿的时代，电荷只是一个隐含的东西，即便想象也想象不到的。
不过很凑巧，f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，转化过来就是：
m1*几何不变量=h(m2;q1,q2)
牛顿最终把上边的式子写成了：
m1*加速度1=h(m2;q1,q2)*新的几何不变量
左边都是跟1相关的物理和几何，右边表示隐含的未知物理量，2的物理量，表示1和2之间相互关联的几何量。现在牛顿第二定律可以表述如下：
1的已知物理量*1的几何不变量=f(2的已知物理量，未知的物理量，1和2的几何关系）
所谓的力其实就是右边那个复杂关系。
说明1：单就物理学而言，知道几何不变量和物理量的关系就足够了，力的概念是多余的。
说明2：如果不是电磁学中凑巧f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，各位物理学子就不用费那么大劲学习牛顿第二定律了，因为根本就不会有这个定律。
说明3：牛顿力学很有意思，正是电磁学孕育了牛顿力学，而推翻牛顿力学的却恰恰是电磁学定律，感觉上帝跟牛顿开了一个玩笑。
说明4：从牛顿力学到相对论，变化的仅仅是对几何不变量的理解，也就是说原本认为是几何不变量的东西，实际上不是几何不变量，像加速度，实际上是跟参照系有关的。
说明5：建立新的物理学，其实很简单，无非就是找出新的几何不变量，从数学的角度，这个是很简单的，但当年着实难为了物理学家好一阵子。
说明6：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，这个在我看来是好的物理。现在的电磁学公式，包含着速度，包含着对时间的求导，这些从牛顿力学继承过来的概念，从数学的角度看，是很不自然的。最后当然，也能折腾出几何不变量，但过程没必要地繁琐。
说明7：物理量指的是物体本身所固有的属性，你观察和我观察，数值应该是相同的。所以物理学里边引入动质量这个概念，实在是混淆视听。
说明8：我说过，也因此被人揶揄，那就是动量不是一个基础的物理概念，为何？如果假定质量是不变的，那么动量的定义在牛顿和爱因斯坦那里是不一样的，一个基础的物理概念怎么可以有完全不同的数学表达式？在这个意义上，我说，动量不是一个基本的物理概念，而是由其他的概念导出来的。而明显，这个其他的概念，是速度的函数，而不是速度，速度已经失掉了在牛顿力学中的地位。那如果质量是变化的呢？我上篇文章攻击动质量这个概念，结果被人说打了空靶，连教科书的截图都搬出来了，可我当初就是因为那些截图，才对动质量这个概念产生抵触的。
说明:9：现在物理上区分惯性质量和引力质量，原因在于，上边的物理量可能不仅仅是两种，而是三种，质量也许有两个，不过现在来说，看成一个是ok的。
说明10：我的哲学公式：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，是基于现有的物理学体系的。但我也在问我自己，几何与物理是不是真的可以分开写在左右两侧？对于一个开放系统，物理量一直在变化，此时的物理哲学该如何表述？质量和电荷之间如果有某种相互影响又如何？如果物理常数，所谓的物理不变量都随宇宙膨胀而变化，那此时又该如何表述？
43条回应
- 2012-05-14 02:55:20方弦科学松鼠会成员，信息学硕... ψ 引用
1楼 - 2012-05-14 03:01:20ofey2楼引用引用@方弦 的话：http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action
你是从来没听说过最小作用量原理或者拉氏量或者变分法吧？
几年来一直在学这个，这么重要的东西怎么可能放过。但，我还没有用我自己的方式去理解它。 - 2012-05-14 03:02:58ofey3楼@方弦 ：我这里谈论的是仅仅是我的物理哲学，也许和主流的不同，但是绝无冲突的。引用
- 2012-05-14 03:07:06ofey4楼引用引用@方弦 的话：http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action
你是从来没听说过最小作用量原理或者拉氏量或者变分法吧？
你了解Finsler几何吗？当年陈省身每天都在推动的东西，这个比最小作用量深刻多了。 - 2012-05-14 03:30:44方弦科学松鼠会成员，信息学硕... ψ5楼引用引用@ofey的话：几年来一直在学这个，这么重要的东西怎么可能放过。但，我还没有用我自己的方式去理解它。
那不就行了？无论是通过不变量导出物理定律，还是通过作用量导出物理定律，都是非常古老的思想。你的做法不仅没有新意，而且做出来还是有问题的。
讲到物理教育的话，你觉得写一个作用量出来大部分的学生会懂吗？对于很多常见的物理系统来说，的确作用量就包含了整个物理体系，但要是这么教的话就要害死一大批学生了。我不懂物理，但我知道对于物理系的学生来说，一开始当然是谈力比较直观，但是不能老是谈力，所以稍微好点的物理系都会开理论力学这门课，然后讲Lagrangian和Hamiltonian之类的东西（我道听途说物理系的各位不要打我……）。
数学上漂亮不一定算起来快，我不是学物理的，但是搞物理的人怎么算东西自然有他们的道理。就比如weighted MaxSAT是无场非局域spin glass的一个数学表述，喜欢的话还可以做arithmetrization，但要算什么东西的话还是要上统计物理。 - 2012-05-14 03:36:39ofey6楼引用引用@方弦 的话：那不就行了？无论是通过不变量导出物理定律，还是通过作用量导出物理定律，都是非常古老的思想。你的做法不仅没有新意，而且做出来还是有问题的。
讲到物理教育的话，你觉得写一个作用量出来大部分的学生会懂吗？对于很多常见的物理系统来说，的确作用量就包含了整个物理体系，但要是这么教的话就要害死一大批学生了。我不懂物理，但我知道对于物理系的学生来说，一开始当然是谈力比较直观，但是不能老是谈力，所以稍微好点的物理系都会开理论力学这门课，然后讲Lagrangian和Hamiltonian之类的东西（我道听途说物理系的各位不要打我……）。
数学上漂亮不一定算起来快，我不是学物理的，但是搞物理的人怎么算东西自然有他们的道理。就比如weighted MaxSAT是无场非局域spin glass的一个数学表述，喜欢的话还可以做arithmetrization，但要算什么东西的话还是要上统计物理。
这个当成哲学偏好吧，至少在数学上，在物理内容上，并没有什么冲突的地方，只是研究方法的不同。个人有个人的偏好，最后看结果就是了。 - 2012-05-14 03:43:27ofey7楼当年哈密尔顿的东西，仅仅被视为一种漂亮的数学游戏，连哈密尔顿也说自己的东西没什么物理价值的，百年后量子力学兴起，哈密尔顿才重见天日。引用
所以，研究的方式还是百家争鸣的好，有没有用，用起来好不好，是看实际的结果的。 - 2012-05-14 03:47:49ofey8楼@方弦:我见过的最聪明的人都一直不理解力是怎么回事，他觉得牛顿第二定律是用来定义力这个东西的，所以这个概念并不直观，也不好理解。我的这篇文章，就是想在力学基础上解释下力和牛顿第二定律之间到底是什么关系。牛顿第二定律是定律，不是定义。引用
- 2012-05-14 06:03:07feng1734
9楼当初牛顿写下万有引力定律的时候有一个中间变量，力，，反正不管当初牛顿是怎么考虑的，现在看来，这种引入力场作为中间变量的做法是一个非常有价值的想法，，，引用
一个物体产生力场，另外一个物体在力场受到力的作用而运动，，，这种分解物理问题的方法可以帮助我们理解辐射阻尼，所谓辐射阻尼，就是物体不仅受到其他物体的力场作用，也同时会受到自己制造的立场的反作用，，，，
既然我们现在不大可能彻底解决辐射阻尼问题（因为发散关系，能量不守恒，也就不能通过衡量守恒定律找到质点自己辐射的力场对自身的反作用大小的确切值），所以，在不同的物理环境下参考实验调整不同的自己对自己的立场反作用项是很有实用价值的 - 2012-05-14 06:06:42feng173410楼芬斯勒几何只是把度规的形式放宽了，允许插入更多参数，，，和最小作用量原理完全不是同类东西吧引用
- 2012-05-14 06:26:43feng173411楼话说，我觉得牛顿引入坐标的二阶导数作为“力”是为了表述心中的惯性定律的概念，静止或者匀速直线运动是一种没有外界影响的自然状态，，，，，引用
- 2012-05-14 11:36:36ofey12楼引用引用@feng1734的话：话说，我觉得牛顿引入坐标的二阶导数作为“力”是为了表述心中的惯性定律的概念，静止或者匀速直线运动是一种没有外界影响的自然状态，，，，，
数学上，对曲线来说，最重要的是曲率，可是牛顿时空中，为什么物理学家不用数学家的概念呢？都可以表示受外界影响，不再直线了。
这背后有一种很重要的数学内容在里边，我就是明白上边问题的答案，所以才说加速度只属于牛顿力学，不属于电磁学。 - 2012-05-14 11:38:39ofey13楼引用引用@feng1734的话：芬斯勒几何只是把度规的形式放宽了，允许插入更多参数，，，和最小作用量原理完全不是同类东西吧
芬氏几何研究的是变分学，当年陈先生大力推广，就在变分的重要性。 - 2012-05-15 13:21:42rupt
14楼引用引用@ofey的话：数学上，对曲线来说，最重要的是曲率，可是牛顿时空中，为什么物理学家不用数学家的概念呢？都可以表示受外界影响，不再直线了。
这背后有一种很重要的数学内容在里边，我就是明白上边问题的答案，所以才说加速度只属于牛顿力学，不属于电磁学。
你所说的"曲率"根本不能称之为通常意义上的曲率.Frenet标架是Darboux标架的特例,"子流形"上的几何量可以由"子流形"到"母流形"的嵌入映射诱导出来,结构方程也可随之诱导出.但Frenet标架描述的对象是1维的,Darboux标架是1维以上的,曲率在Darboux标架上能有很好的表现而在Frenet标架中恒为零.尽管如此,两者还是能从"母流形"上继承到联络,也就是你称之为"曲率"的东西
κ是联络,不是曲率,这一切都是一场美丽的误会. - 2012-05-15 13:35:13rupt15楼引用引用@ofey的话：数学上，对曲线来说，最重要的是曲率，可是牛顿时空中，为什么物理学家不用数学家的概念呢？都可以表示受外界影响，不再直线了。
这背后有一种很重要的数学内容在里边，我就是明白上边问题的答案，所以才说加速度只属于牛顿力学，不属于电磁学。
什么是物理学家眼中的"曲率"呢?
同样,物理学家所认为曲率的概念也是从微分几何上来的,”包含电场,磁场“的电磁张量F被认为是U(1)主从上左不变联络的曲率,其他主从[如SU(2),SU(3)]左不变联络的曲率也同样地被认为是场强(W,Z,胶子)
牛顿的质点力学根本不是经典场论(或者更后的规范理论),也不是关于连续介质的理论(如弹性体理论,流体理论,如果你想在其中引入自然的曲率描述我不会反对),所描述的质点轨迹也没有真正意义上内蕴的曲率,这是我一直反对你的根本原因. - 2012-05-15 19:13:35ofey16楼引用引用@rupt的话：
你所说的"曲率"根本不能称之为通常意义上的曲率.Frenet标架是Darboux标架的特例,"子流形"上的几何量可以由"子流形"到"母流形"的嵌入映射诱导出来,结构方程也可随之诱导出.但Frenet标架描述的对象是1维的,Darboux标架是1维以上的,曲率在Darboux标架上能有很好的表现而在Frenet标架中恒为零.尽管如此,两者还是能从"母流形"上继承到联络,也就是你称之为"曲率"的东西
κ是联络,不是曲率,这一切都是一场美丽的误会.
曲面的时候，对应的是联络。不过曲线称之为曲率的那个量也是这个就是了。
数学上的微分几何大都在谈欧氏空间，广义相对论的空间是不同于欧式空间的，所以相对论其实是有自己的几何学的，其实同样的意思，牛顿力学也有自己对应的几何学。我最开始的文章是想说明这个，每个物理学体系都有自己对应的几何学。
由此演化而来，电磁学中是不应该用牛顿几何学的概念的，因为分属不同的几何体系。
至于你说的，质点轨迹没有内蕴曲率，这个我回来会自己看书弄明白是什么意思，多谢指教。
我直到现在，其实还没弄明白，电荷之间为什么会有磁的作用，所以电磁张量还完全不理解，这几天会把这块学一下。 - 2012-05-15 23:36:09rupt17楼引用引用@ofey的话：数学上的微分几何大都在谈欧氏空间
目测lz在数学系中是从欧氏空间(三维)曲线论曲面论起步开始理解微分几何的,而我当年把陈维恒的微分几何弄丢了又不想再买一本就直接从找了本从微分流形进入微分几何的书——一开始就提起坐标覆盖,并强调流形上有无穷套可以相互变换的坐标覆盖.其实物理学家很早就注意到了物理定律应该在不同坐标表述下有相同的形式,这也是当年爱因斯坦从数学家手中接过的最为珍贵的财产.
牛顿的力学体系在通常的直角坐标表述下有着"在伽利略群作用下不变"的性质,此时群直接作用在坐标上,方程中的量仅仅改了个字母.物理学家称这种特性为协变性(或者叫,共变).可以预见的是在一般的曲线坐标中在坐标变换下方程并不能保持"在变换下方程中的量仅仅改了个字母"这种简单性质,取而代之的是变字母,加入jacobi矩阵(也就是切映射,余切映射)及其高次导数,整个方程就变了.但是这并不代表物理定律有变化,变的只是该物理定律在特定坐标的表现形式.虽然丧失了协变性,但这种性质常在解方程中派上用场,因此物理学家也不会嫌弃它.
协变性是物理学中的中心概念之一,更远的源头大约可以追溯到"埃尔朗根纲领",也就是你所说的"对应的几何学". - 2012-05-16 00:01:17ofey18楼引用引用@rupt的话：
目测lz在数学系中是从欧氏空间(三维)曲线论曲面论起步开始理解微分几何的,而我当年把陈维恒的微分几何弄丢了又不想再买一本就直接从找了本从微分流形进入微分几何的书——一开始就提起坐标覆盖,并强调流形上有无穷套可以相互变换的坐标覆盖.其实物理学家很早就注意到了物理定律应该在不同坐标表述下有相同的形式,这也是当年爱因斯坦从数学家手中接过的最为珍贵的财产.
牛顿的力学体系在通常的直角坐标表述下有着"在伽利略群作用下不变"的性质,此时群直接作用在坐标上,方程中的量仅仅改了个字母.物理学家称这种特性为协变性(或者叫,共变).可以预见的是在一般的曲线坐标中在坐标变换下方程并不能保持"在变换下方程中的量仅仅改了个字母"这种简单性质,取而代之的是变字母,加入jacobi矩阵(也就是切映射,余切映射)及其高次导数,整个方程就变了.但是这并不代表物理定律有变化,变的只是该物理定律在特定坐标的表现形式.虽然丧失了协变性,但这种性质常在解方程中派上用场,因此物理学家也不会嫌弃它.
协变性是物理学中的中心概念之一,更远的源头大约可以追溯到"埃尔朗根纲领",也就是你所说的"对应的几何学".
我是从黎曼最初的思想出发的：欧式几何的弧长是平方和，相对论的弧长是平方差，牛顿的弧长是时间
三种不同的弧长，演化出三种不同的几何学。-----这个在数学上属于常识吧？
我数学学得真不怎么的，可是我看到的是，电磁学里边居然在应用牛顿几何学的几何量，这是分属不同的几何体系的。
于是具有了第一张贴，嘲弄一下速度，加速度。----从我的思维出发，这些原本是很简单的，就是每个几何体系都有自己的几何语言，不能混用。 - 2012-05-16 00:25:53ofey19楼广义相对论和电磁学，几何的起源是一样的，所以问一下：广义相对论里边，也有用到速度，加速度这些概念吗？引用
我看费曼物理学讲义里讲场方程，居然会用到加速度的概念，这个在数学上太不和谐了。
我没学过广义相对论，所以求教下：广义相对论里边，也有出现加速度的概念吗？（对时间的二次求导，不是对原时的求导）如果有，那我就崩溃了。因为广义相对论的基础就是平方差的弧长，不应该出现牛顿力学的概念的。 - 2012-05-16 00:30:42rupt20楼引用引用@ofey的话：
我是从黎曼最初的思想出发的：欧式几何的弧长是平方和，相对论的弧长是平方差，牛顿的弧长是时间
三种不同的弧长，演化出三种不同的几何学。-----这个在数学上属于常识吧？
我数学学得真不怎么的，可是我看到的是，电磁学里边居然在应用牛顿几何学的几何量，这是分属不同的几何体系的。
于是具有了第一张贴，嘲弄一下速度，加速度。----从我的思维出发，这些原本是很简单的，就是每个几何体系都有自己的几何语言，不能混用。
其实你的理解不全对,欧氏空间和闵氏空间的度规可以由Sylvester的惯性定理来区分,比如说四维,欧氏空间对应的标准型是diag(1,1,1,1),闵氏空间是diag(1,-1,-1,-1)[或者diag(-1,1,1,1)],时间和空间的区别由符号界定.牛顿时空就不能这样看,它的时间维和空间维是分开算的,Penrose将它看成是R上的R3丛而我更喜欢把它看成仿射空间.
速度,加速度本来就是一些由曲线中抽离出来的几何量,按照我之前的说法,其不具备内蕴的几何意义.更好的类似物是向量场.在四维时空中,如果某一向量场是时空平移不变性由诺特定理导出的诺特流,其对于某一超平面的积分就会是4-动量.由于粒子的静质量是不变的,我们就可以从4-动量中除个静质量使它成为4-速度,这些量都是Lorentz群作用下协变的.至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.
弧长的变分只是变分学中非常非常小的一部分,老大中有本浅入深出的著作. - 2012-05-16 00:47:23ofey21楼引用引用@rupt的话：
其实你的理解不全对,欧氏空间和闵氏空间的度规可以由Sylvester的惯性定理来区分,比如说四维,欧氏空间对应的标准型是diag(1,1,1,1),闵氏空间是diag(1,-1,-1,-1)[或者diag(-1,1,1,1)],时间和空间的区别由符号界定.牛顿时空就不能这样看,它的时间维和空间维是分开算的,Penrose将它看成是R上的R3丛而我更喜欢把它看成仿射空间.
速度,加速度本来就是一些由曲线中抽离出来的几何量,按照我之前的说法,其不具备内蕴的几何意义.更好的类似物是向量场.在四维时空中,如果某一向量场是时空平移不变性由诺特定理导出的诺特流,其对于某一超平面的积分就会是4-动量.由于粒子的静质量是不变的,我们就可以从4-动量中除个静质量使它成为4-速度,这些量都是Lorentz群作用下协变的.至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.
弧长的变分只是变分学中非常非常小的一部分,老大中有本浅入深出的著作.
这么说吧，学习欧氏微分几何或者广义相对论的时候，每走一步，推导出一个重要的几何量，我都可以把它放到我所谓的牛顿几何中。
在数学结构上，三者是一一对应的。
欧式几何的单位标架，在牛顿几何中对应速度（时间的分量为1），在相对论中对应四维速度。（在各自弧长意义下是单位的）
有了单位标架，对弧长求微分，欧式几何就是曲线的曲率，牛顿几何就是加速度，相对论中不知道加什么名字。
曲线曲率在欧式几何中是不变量，加速度在牛顿几何中是不变量，相对论中还不清楚。
有了几何不变量，剩下的就是考虑物理量和几何不变量的关系，关系列出来，物理学也就ok了。
这是我的理解。至于1，-1的那个矩阵，我没有真正懂，但从物理的角度，我不接受这个。
另外，我前边说的是变分的弧长，不是弧长的变分，差别大了去了。 - 2012-05-16 00:52:36ofey22楼牛顿几何特别的是，对弧长求微分后，时间分量变成0了。所以，把牛顿几何不当几何，时间空间分开处理，也有道理就是了。引用
- 2012-05-16 00:55:02ofey23楼至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.引用
----为什么费曼讲电动力学的时候，会涉及到加速度？电磁学比相对论特别？ - 2012-05-16 01:04:42rupt24楼引用引用@ofey的话：
另外，我前边说的是变分的弧长，不是弧长的变分，差别大了去了。
你又一拍脑袋了,你这种找不变量的方法跟诺特定理比简直是弓箭与洲际导弹的区别,而且找出来的既不是不变量也不是内蕴几何量
diag(1,-1,-1,-1)度规在一切关于相对论的理论中都会出现
"变分的弧长"?没有人会这样说的 - 2012-05-16 01:11:16ofey25楼是不是弓箭不重要，我最开始的意思是，速度和加速度不属于电磁学，所以电磁学的数学形式应该变变了，我是通过弓箭看到这一点的。--这个是重点。引用
变分的弧长我承认是误导，这么说吧，通过一种特殊的弧长定义来研究变分学。 - 2012-05-16 01:13:11ofey26楼你也说了，加速度不会在相对论力学中出现，可它怎么就出现在电磁学里了呢？你是否同意，电磁学的数学形式也该变变了？引用
- 2012-05-17 18:45:29rupt27楼引用引用@ofey的话：你也说了，加速度不会在相对论力学中出现，可它怎么就出现在电磁学里了呢？你是否同意，电磁学的数学形式也该变变了？
带电粒子在电磁场中运动带有类似加速度的项是dp/dτ.牛顿力学中一切加速度项的实质是dp/dt,只是展开来写而已.动量与能量是粒子不受力时运动的不变量,在有力的作用下,其对时间的变化正比于所受的力.
我一直搞不明白lz的point在哪里,只是为了竖起一个不存在的靶子攻击而攻击? - 2012-05-17 23:06:04ofey28楼引用引用@rupt的话：
带电粒子在电磁场中运动带有类似加速度的项是dp/dτ.牛顿力学中一切加速度项的实质是dp/dt,只是展开来写而已.动量与能量是粒子不受力时运动的不变量,在有力的作用下,其对时间的变化正比于所受的力.
我一直搞不明白lz的point在哪里,只是为了竖起一个不存在的靶子攻击而攻击?
我第一篇帖子说的很清楚，我的point是，速度和加速度是牛顿力学的几何概念，不具有物理学的意义，在电磁学里，速度和加速度只是一个没有意义的数学式子而已。-----我看你的回复，应该和我是一个意思吧？我的靶子就是，人们把速度和加速度当成了物理学的概念，可对于电磁学，这些仅仅是一个非常糟糕的数学式子而已。
之后，我的数学被你批评，我就用大家都接受的数学，写了第二篇帖子，指出，在相对论里，牛顿的速度有一个对应的相对论的速度，牛顿的加速度有一个对应的相对论的加速度，牛顿的时间对应的是时空距离。---我的观点你应该同意吧？我本来是想科普下相对论的。
另外再谈3点：
1.我是看费曼物理学讲义学习电磁学，这里边我看到大量的对时间的求导，还有速度的运用，如果如你所说，你的物理书使用的是dp/dτ，那么我收回对物理学的批评，仅仅改为对费曼物理学讲义的批评。
2.dp/dt=d(m*shw)/dt=d(m*shw)/dτ *(dτ/dt)=m*(dw/dτ)*chw*(1/chw)=m**(dw/dτ)
这是一个不随参照系变化而变化的量。而你的dp/dτ是随参照系的变化而变化的。---------所以，即便你用相对论的数学表述了电磁学，我也依然觉得不够好。有不变的形式不用，偏偏用一个变化的做什么？
3.把w换成w1,w2,w3--二维自然就推广到四维了，我现在想做的是，我的的数学形式，重新表述现在的经典电磁学。 - 2012-05-17 23:15:43ofey29楼@rupt :"这个帖子想特别强调一点：速度和加速度并没有什么物理上的意义，只是纯粹的数学式子罢了。而且对于物理学来说，是非常糟糕的数学式子。"----------这是我第一篇贴子的第一句话，你应该是同意我的观点的吧？可你的却是第一个回帖反对我人。引用
另外，从dp/dt=d(m*shw)/dt=d(m*shw)/dτ *(dτ/dt)=m*(dw/dτ)*chw*(1/chw)=m**(dw/dτ)
也容易看到，物理中的动质量概念，不具有任何物理上的意义，当年爱因斯坦是把m*shw变成mchw*v，然后说mchw是动质量，这不胡闹吗？
但你看看人们解释超光速无法超越的时候的理由，其中之一就是质量会无限增大，这算什么？不懂物理，就知道瞎背教科书。 - 2012-05-17 23:27:57ofey30楼另外，我的第四篇贴子，你说看了没懂？还是说看了不同意？引用
这篇帖子的意思是，所谓的力，并不是一个具有确切意义的物理对象，力只是一个很模糊的未知的东西的一个集合罢了。
当力中隐含的那些物理量都表述清楚之后，如同引力定律，是完全不需要力这个概念的。我觉得，电磁学已经可以抛弃力这个概念了。 - 2012-05-17 23:37:22ofey31楼求教 @rupt：变速电荷的场方程，用相对论的数学形式是怎么表述的？我看的费曼物理学讲义里有个对时间的二阶导数。这个拿眼睛一看就知道是不懂相对论的人写的。引用
我这几天试图用我的w，推导出这个来，如果你能说出答案，我的速度也许会快一些。 - 2012-05-17 23:37:52rupt32楼引用引用@ofey的话：1.我是看费曼物理学讲义学习电磁学，这里边我看到大量的对时间的求导，还有速度的运用，如果如你所说，你的物理书使用的是dp/dτ，那么我收回对物理学的批评，仅仅改为对费曼物理学讲义的批评。
Feynman在第二卷公式(26.27)就已经给出正确的dp/dτ的解释了,这种对lecture断章取义式的武断是不公平的.
2.dp/dt=d(m*shw)/dt=d(m*shw)/dτ *(dτ/dt)=m*(dw/dτ)*chw*(1/chw)=m**(dw/dτ)
3.把w换成w1,w2,w3--二维自然就推广到四维了，我现在想做的是，我的的数学形式，重新表述现在的经典电磁学。
相信我,这种指数映射式的李群表示会在高维遇上非交换的麻烦,而这种麻烦的引入并不是必要的.牛顿的加速度有一个对应的相对论的加速度
不敢苟同,加速度这个概念虽然在相对论力学中存在,但是已经不再位于理论体系的中心,后续的学习将会给学生这样的一个直观的,物理的观念.牛顿的时间对应的是时空距离。---我的观点你应该同意吧？
不同意,难道空间就不算时空距离?牛顿时空的距离只是要求时间和空间分开来算而已. - 2012-05-17 23:53:24ofey33楼Feynman在第二卷公式(26.27)就已经给出正确的dp/dτ的解释了,这种对lecture断章取义式的武断是不公平的.引用
------我对相对论数学的理解，就是通过看费曼物理学讲义才得来的。我说大量采用，也没说错吧？特别是加速电荷的场方程，推导起来好像不简单。
我是从数学的角度来看待物理概念的。从数学的角度，速度，时间，加速度是牛顿力学中非常自然的数学结构，也正因为这个原因，这些数学结构在电磁学中就很不自然。相对论有自己的速度，有自己的时空距离，当然也就有自己的加速度了。不管怎么说，到现在为止，在数学的内容上，在物理学的内容上，我们应该没什么冲突了吧？我们的冲突，仅在于数学工具的使用上。
不同意,难道空间就不算时空距离?牛顿时空的距离只是要求时间和空间分开来算而已.-----在牛顿那，空间还真不算时空距离。
想想，相对论里边为什么认为时空差是时空距离？因为平方差在洛伦兹变换下不变，而牛顿力学中，在伽利略变换下不变的量就是时间。
你不接受我引入时空数和牛顿数的方式不要紧，你只要看看我的那些指数表示，这个在代数上，是完全没有问题的，而对应牛顿数的距离就是时间坐标。
相信我,这种指数映射式的李群表示会在高维遇上非交换的麻烦,而这种麻烦的引入并不是必要的.--------------这个多谢提醒了，只是这是我选择的思维路子，我总是要往下走走的。 - 2012-05-18 00:05:25rupt34楼引用引用@ofey的话：求教 @rupt：变速电荷的场方程，用相对论的数学形式是怎么表述的？我看的费曼物理学讲义里有个对时间的二阶导数。这个拿眼睛一看就知道是不懂相对论的人写的。
我这几天试图用我的w，推导出这个来，如果你能说出答案，我的速度也许会快一些。
这玩意是用含时Green函数算出来..大二的表示未学Green函数,大概的思想是用Green函数法求(∂²/∂t²-∇²)A=J的直接积分公式(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E9%81%B2%E5%8B%A2),再将J变成单电荷分布.
如果再用势求场强的话,你也可以见到,存在着∂J/∂t这些项,变成单电荷分布后产生对时间的二阶导数是无可避免的 - 2012-05-18 00:23:07rupt35楼引用引用@ofey的话：在牛顿那，空间还真不算时空距离。
想想，相对论里边为什么认为时空差是时空距离？因为平方差在洛伦兹变换下不变，而牛顿力学中，在伽利略变换下不变的量就是时间。
我不知道你的伽利略变换是否包含平移部分,如果只有速度变换,确实只有dt²是不变的.只有平移的话,dx²+dy²+dz²不变,两个混起来的话,估计你啥不变量都得不到 - 2012-05-18 00:31:24rupt36楼引用引用@ofey的话：我对相对论数学的理解，就是通过看费曼物理学讲义才得来的。我说大量采用，也没说错吧？
一般做物理的都喜欢找软柿子捏,在尽可能地不改变物理的前提下用假设化简方程去解.这是有苦衷的,好多方程只有级数解,有时候级数会发散什么的...
而且你也不是不知道,这只是个lecture,不是终极真理,过了河随时就可以把桥拆了,没必要纠结那么多 - 2012-05-18 00:35:31ofey37楼引用引用@rupt的话：
我不知道你的伽利略变换是否包含平移部分,如果只有速度变换,确实只有dt²是不变的.只有平移的话,dx²+dy²+dz²不变,两个混起来的话,估计你啥不变量都得不到
只有速度变换，不包括别的。
其实，这里还是我们数学系的最基本套路：
1.给出弧长
2.得出单位标架
3.单位标架对弧长求导
牛顿力学里，弧长就是时间了，相对论里就是时空距离，欧式几何就是欧氏距离。------就是这么简单的套路而已。
但是从这个套路出发，我看到电磁学里边，不对弧长求导，居然对时间求导，我受的数学训练很看不惯这个。另外，对时间求导也就罢了，数学上总不能说错，问题是爱因斯坦当年居然由此得出一个叫做动质量的概念，当人们问自然界为什么不能超光速时，书上就说质量随速度增大，光速时会趋于无穷大，根据牛二律，此时需要无穷大的力才行。----------------人们认为很物理的东西，其实不过纯粹是数学的。 - 2012-05-18 00:41:49ofey38楼我看费曼物理学讲义是很头痛的，而且头痛的不是物理，恰恰是里边的数学。我数学系的那个套路，相对论的很多东西非常简单就得出来了，而且在数学结构上是很简洁的。可费曼讲义里谈到相对论的时候，那个数学繁得要死。引用
同样是数学的那个讨论，我能看到，速度，加速度，对时间求导都是符合“自然的数学结构”的，可费曼把牛顿力学中的各种概念，直接拿到电磁学中，好不自然的。 - 2012-05-18 00:55:08rupt39楼引用引用@ofey的话：我看费曼物理学讲义是很头痛的，而且头痛的不是物理，恰恰是里边的数学。我数学系的那个套路，相对论的很多东西非常简单就得出来了，而且在数学结构上是很简洁的。可费曼讲义里谈到相对论的时候，那个数学繁得要死。
同样是数学的那个讨论，我能看到，速度，加速度，对时间求导都是符合“自然的数学结构”的，可费曼把牛顿力学中的各种概念，直接拿到电磁学中，好不自然的。
当年庞加莱,洛伦兹,外尔这些数学家也像你这样瞎捣和真实的时空几何,当然他们水平比你高..最终只有爱因斯坦搞出了相对论的正确形式.历史站在物理学家这一边,如果你硬要否认的话就可以去试试一拍脑袋直接写出这个世界的终极方程好了. - 2012-05-18 05:14:56feng173440楼引用引用@ofey的话：求教 @rupt：变速电荷的场方程，用相对论的数学形式是怎么表述的？我看的费曼物理学讲义里有个对时间的二阶导数。这个拿眼睛一看就知道是不懂相对论的人写的。
我这几天试图用我的w，推导出这个来，如果你能说出答案，我的速度也许会快一些。
个人认为这个方程相当不错，，
在经典电动力学中，点电荷是物理模型的基本，电流密度这种东西实际上只是一种近似，当考虑到点电荷是体积为零的离散的对象的时候，会发现电流密度的概念实际上只是数学上的一种近似处理，，，这就是李纳维谢尔势方程比麦克斯韦场方程更加严格的地方
费曼的这个方程等价于李纳维谢尔势方程+洛伦兹力方程，，我不知道费曼的这个方程（或者说李纳维谢尔势方程）是否也可以用洛伦兹不变量重新改写，如果可以的话，可能是类似于 四维力=（四维动量，四维加速度，原时）的函数 的形式，，，
电磁作用的光速延迟似乎表明类似于加速度这样的坐标对时间的高阶导数是严格的经典电动力学中不可或缺的概念 - 2012-05-18 05:39:47feng173441楼引用引用@rupt的话：
这玩意是用含时Green函数算出来..大二的表示未学Green函数,大概的思想是用Green函数法求(∂²/∂t²-∇²)A=J的直接积分公式(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E9%81%B2%E5%8B%A2),再将J变成单电荷分布.
如果再用势求场强的话,你也可以见到,存在着∂J/∂t这些项,变成单电荷分布后产生对时间的二阶导数是无可避免的
将J变换成点电荷的状态函数的过程其实是猜的，并不是严格的数学推导，，同样的电流密度可能对应于点电荷的不同的微观状态，实例有没有我不清楚，但理论上应该存在这种可能的 - 2012-05-18 13:24:15rupt42楼引用引用@feng1734的话：将J变换成点电荷的状态函数的过程其实是猜的，并不是严格的数学推导，，同样的电流密度可能对应于点电荷的不同的微观状态，实例有没有我不清楚，但理论上应该存在这种可能的
我相信我明白这里会遇上什么困难..推迟势的表达式是R3中的3-形式的积分而含时Green函数给出的是R4中混杂着3-形式边界项与4-形式的积分,而且J有一个连续性方程,而且涉及若干distribution与算子的理论——请原谅我学识上的不足,假以时日我必能给出一个非延迟势表达的由J求A统一表达式. - 2012-05-18 16:23:43feng173443楼引用引用@rupt的话：
我相信我明白这里会遇上什么困难..推迟势的表达式是R3中的3-形式的积分而含时Green函数给出的是R4中混杂着3-形式边界项与4-形式的积分,而且J有一个连续性方程,而且涉及若干distribution与算子的理论——请原谅我学识上的不足,假以时日我必能给出一个非延迟势表达的由J求A统一表达式.
找到的话希望可以发消息告诉我，我觉得挺有意义的事
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