在
三
第
2 8 卷第1 期 上海师范大学学报(自然科学版) Vo l. 28,No. 1
1 9 9 9
年3 月 J. of Shanghai Teachers U niv. (N atural Sciences) M ar . 1 9 9 9
微分形式与经典力学中的有心力场
魏白蓉
提 要
通过微分形式与微分方程和向量分析之间存在的自然而协调的关系, 在
微分形式框架下讨论了质点在有心力场中运动的特性并得出在坐标变换下其均是
协变的
L
关键词
微分形式; 外微分; 有心力场; 守恒律
中图法分类号
O 316;O 186115;O 411;O 189. 33
0
引 言
收稿日期
: 1998209209
作者魏白蓉
, 女, 副教授, 上海师范大学理工信息学院, 上海, 200234
有心力场问题是经典力学中的一个典型问题
, 它不仅能将许多实际问题(近似看成的二
体问题
) , 从理论上化为等价的单个质点问题进行研究, 而且其某些结论在近代物理中也有
应用
L
通常描述有心力场中的质点运动是用平面极坐标表示的运动微分方程
, 即
m
( r
b
-
r H
õ
2
) = F ( r) , (1)
m
( r H¨
+ 2
r
õ
H
õ
) = 0, (2)
又因该运动遵循机械能守恒和对力心的角动量守恒
, 便有上两式的初积分(运动积分) , 即
m
2
(
r
a
2
+
r2 H
õ
2
) + V ( r) = E (常数) , (3)
m r
2 H
õ
= L (
常数) Z (4)
但因积分困难
, 人们很少用微积分方法直接由运动微分方程或运动积分求出其运动规律L
由于力学系统具有内在的微分几何结构
[ 1, 2 ] , 在流形M 上的微分形式基础上展开讨论,
将微分形式这一数学工具与物理意义巧妙地结合
, 便是本文的宗旨L
1
微分形式、外微分和运动微分方程
[ 2, 3 ]
对流形
M 上的微分形式(简称形式) 进行外微分d
运算
, 与形式本身一样, 外微分与微
积分中一些概念密切相关
L它可将微分方程(组) 表示为与坐标无关的流形M 上形式之间的
关系
, 即一次形式方程组(或一次形式的集合{A
u
i
} L
首先寻找一次形式的集合
{A
u
i
} , 使它与给定的微分方程(组) 等价, 继而求能零化{A
u
i
}
的解曲面
H (H 是流形M 上切向量零化{A
u
i
} 的那些子流形) , 即等价于求解原微分方程
(
组) L
对原微分方程
(组) 解的存在性问题, 可利用微分形式表述的F roben iu s 定理来判定L因
在一个
n 维流形上, 由任意n 个或(n - 1) 个线性无关的一次形式自动地构成一个闭理想的
集合
{A
u
i
} , 则必定存在能满足由n 维坐标所定义的一些子流形, 零化{A
u
i
} 中的各个一次形
式
, 则这些子流形就是解子流形L
2
微分形式和守恒律
[ 2, 3 ]
由文献
[3 ], 即在微分形式框架下, 从运动微分方程直接导致守恒律(对完整系统) 的简
便方法如下
:
为了能用形式语言表述方程
(1) , (2) 式, 将其等价地改写成下列4个一阶微分方程
d
r
d
t
=
f , df
d
t
=
F ′( r) + rg 2, dH
d
t
=
g , dg
d
t
= -
2
f g
r
, (5)
其中前两个方程由
(1) 式改写, 后两个方程由(2) 式改写, 而式中F ′( r) =
F
( r)
m
Z
于是找出能零化下列
4个由(5) 式改写成的相应的一次形式
A
u
≡
d
r
- f d
t
, B
z
≡
d
f
- F ′( r)d
t
- rg 2d
t
,
X
≡
d
H
- gd
t
, G
u
≡
d
g
+
2
f g
r
d
t
(6)
的子流形
L此时, 整个流形M 是五维的, 坐标为( r, H, f , g , t) , 而解子流形是一维的(因为零
化
A
u
,
B
z
,
X
,
G
u
相当于在该流形
M 的任意点对这些切向量加了4个限制条件) L由(5) , (6) 式写
出一次形式集合
{A
u
i
} 的线性组合, 即一次形式
C
z
=
A 1
A
u
1
+ A 2
A
u
2
+ A 3
A
u
3
+ A 4
A
u
4
,
将
(6) 式代入并展开化简后, 得
C
z
=
rg 2d
r
+ r2gd
g
+ f d
f
- F ′( r)d
r
Z (7)
由外微分性质
, 不难证明一次形式C
z
是满足
d
C
z
= 0,
即
C
z
是闭的
Z如在解曲面H 的单连通局域U 中, 存在另一个形式R
z
,
有
C
z
=
d
R
z
Z
(9)
于是
, 在任一条解曲线H 上, 就有
C
z
û
H
= d
R
z
û
H
= 0, (10)
所以在
H 的积分曲线区域U 上, 必有
∫
U
d
( 1
2
f 2 +
1
2
r2g 2 - F ′( r) d
r
) = 0Z
又因为有心力场是保守力场
, 故有∫F ( r) dr = - (V 2 - V 1) , 与(5) 式一并代入上式, 得
0 =
∫U
d
[
1
2
r
õ
2
+
1
2
r
2 H
õ
2
+ V ( r)
m
] =
4
0 上海师范大学学报(自然科学版) 1999年
( 1
2
r
õ
2
+
1
2
r
2 H
õ
2
+ V ( r)
m
)
û
H
Z
(11)
显然
, 式中
1
2
r
õ
2
+
1
2
r2 H
õ
2
+ V ( r)
m
=
R
z
就是
m = 1 时系统的能量, 它在解曲线H 上为常数(守恒量) L
在
H 的区域U 上, 对(11) 式应用由微分形式表述的Stokes 定理, 即
∫
5U
X
=∫U
d
X[ 2 ] , (12)
则有
∫
U
d
R
z
=
∮5U
R
z
Z
(13)
注意到
(10) 式, 则(13) 式这积分在解子流形的区域U 的边界5U 上应为零L即
∮
5U
R
z
û
H
= 0Z (14)
显然
, 用微分形式表述的(10) 和(14) 式分别是表示微分意义下的守恒量R
z
和积分意义下的
同一守恒量
Z
3
微分形式和保守力场
[ 2, 4 ]
根据保守力的定义和性质
, 并应用熟知的Stokes 定理, 则对定常力场F
_
(
x , y , z ) 可得
∮
C
F
_
õ
dx
_
=
∫S
(
¨ × F
_
)
õ dS
_
= 0, (15)
式中是闭合曲线
C 和其相应的曲面S Z于是, 传统的定常力场F
_
(
x , y , z ) 是保守力场的必要
和充分条件是该定常力场的旋度等于零
, 即
¨
× F
_
= 0,
也就是ro tF
_
= 0
Z (16)
因定常力场
F
_
(
x , y , z ) 是向量场, 根据外微分运算法则, 在流形M < R 3 上, 对F
_
(
x , y ,
z
) 对应的一次形式X1
F
_
为
X
1
F
_
= F x (x , y , z ) dx + F y (x , y , z ) dy + F z (x , y , z ) dz (17)
进行外微分运算
, 整理后得
d
X
1
F
_
=
5
F z
5
y
-
5
F y
5
z
d
y ∧ dz +
5
F x
5
z
-
5
F z
5
x
d
z ∧ dx +
5
F y
5
x
-
5
F x
5
y
d
x ∧ dy Z (18)
显然
, 上式右边就是该定常力场旋度在直角坐标系上3个分量所对应的二次形式X2
ro t
F
_
, 即
d
X
1
F
_
= X2
ro t
F
_
Z (19)
需要强调
, 因保守力性质决定(15) 式为零, 必须是与三维空间(x , y , z ) 的曲面S 相对应的边
界为任意闭合曲线的积分这一特殊情况
, 这就意味着与(15) 式等价的(12) 式在保守力场情
况下也应等于零
, 即
∫
5U
X
=∫U
d
X = 0Z (20)
于是
, 根据(16) , (17) , (19) 式对(15) 式和(20) 式进行比较, 不难得出
第
1期 魏白蓉: 微分形式与经典力学中的有心力场41
d
X1
F
_
= 0Z (21)
根据
(19) 式显然可见(21) 式与(16) 式是等价的, 即当定常力场一次形式外微分dX1
F
_
等于零
时
, 此定常力场必定是保守力场L
4
微分形式和有心力场
综上所述并进一步讨论可得出
, 在微分形式框架下的有心力场的特性为:
① 有心力场是保守力场
L
其必要和充分条件是
d
X
1
F
_
= 0 (21) 式成立Z不难看出, 其中与保守力场F
_
对应的一次形
式
X1
F
_
必定是闭的, 且必定是局部恰当的[ 2, 5 ]Z
② 质点在有心力场中运动时机械能守恒和对力心的角动量守恒
Z
其守恒条件是只要满足
d
C
z
= 0 (8)
式, 就有C
z
û
H
= d
R
z
û
H
= 0 (10) 式或∮5U
R
z
û
H
= 0 (14)
式成立
Z其中m = 1 时系统的能量R
z
是与
n 维流形坐标有关的零次形式Z而闭一次形式C
z
是
等价于原微分方程
(组) 的一次形式{A
u
i
} 的线性组合, 见(7) 式Z
③ 质点在有心力场中运动时面积速度守恒
L
通常用平面极坐标表示在有心力场中运动质点的位矢和速度分别为
r
_
=
r e
_
r
和v
_
=
r
a
e
_
r
+ r H
õ
e
_
H
, (22)
式中
e
_
r
和e
_
H
分别是径向单位矢量和横向单位矢量Z现分别用X1
r
_
和X1
v
_
表示与之相对应的一
次形式为
X
1
r
_
= rdr 和X1
v
_
= r
a
d
r + r H
õ
d
H,(23)
因质点对力心的角动量守恒
, 即L
_
=
r
_
×
m v
_
=
常矢, 则有
r
_
×
v
_
=
r2 H
õ
k
_
=
h
_
(
常矢) Z (24)
根据外积运算与矢积的关系为
X1
A
_
∧ X1
B
_
= X2
A
_
×
B
_
[ 6 ] , 并由(23) 和(24) 式, 不难得到
r
dr ∧ ( r
a
d
r + r H
õ
d
H) = r2 H
õ
d
r ∧ dHZ (25)
根据
(4) 式显而易见(24) 与(25) 式是等价的, r2 H
õ
d
r ∧ dH就是用二次形式表示的常矢h
_
,
即
有
r2 H
õ
=
ûh
_
û
= 常数Z可见, 在微分形式框架下同样可得到面积速度r2 H
õ
2
=
û
h
_
û
2
是守恒的结
论
Z
④ 有心力场中的质点是在通过力心的平面内运动
Z
由
(24) 式可进一步得r
_
õ
h
_
= 0
Z而外积运算与标积的关系是X1
A
_
∧ X2
B
_
= X3
A
_
õ
B
_
[ 6 ] , 则由
(23)
～ (25) 式有
r
dr ∧ ( r2 H
õ
d
r ∧ dH≡ 0Z (26)
显然
, 在微分形式框架下同样得到与由(24) 式得出r
_
õ
h
_
= 0
的结论是等价的, 即在有心
力场中运动质点的位矢
r
_
始终位于通过力心且垂直于常矢
h
_
的平面内
L
综上可见
, 微分形式与微分方程和向量分析之间存在着自然、默契而协调的关系, 并且
用微分形式表述又如此的简洁
L它不仅简化了繁杂的数学运算, 提供了解决力学问题的一种
新技巧
, 而且更深刻地揭示了经典力学中的物理特性和规律L
4
2 上海师范大学学报(自然科学版) 1999年
需进一步指出
, 一般而言由于微分形式对于基参量是多线性外积依赖关系, 而多线性外
积对坐标变换是不变的
L这就自然得出当坐标变换时, 上述各微分形式表式是不变的结
论
[ 5 ]L这就满足人们期望的物理规律应是协变的要求, 而坐标变换时表式的协变规律使人们
能更本质地去理解物理概念和规律
L
参 考 文 献
1
Rasband S N. Dynam ics. JohnW iley, 1983. 165～ 187
2
舒茨B F, 冯承天等译L数学物理中的几何方法LL上海: 上海科学技术文献出版社, 1986L169～ 185, 191
～
200
3
魏白蓉L微分形式、运动方程与守恒律L武汉大学学报(自然科学版) , 1996, 数学物理专刊
4
魏白蓉L微分形式与经典力学中的保守力场L上海师范大学学报(自然科学版) , 1994, 23 (1)
5
王继春L数学物理中的同调论L北京: 科学出版社, 1991L49～ 53, 151～ 152
6
魏白蓉L介绍一种较新的数学工具外微分形式的外积和外微分运算L大学科技, 1990, 4
D ifferen tial Form and Cen tral Force Field
in ClassicalMechan ics
W ei B a irong
(Co llege of Science, Engineering and Info rmation)
Abstract
By the natu ral and harmon iou s relat ion sh ip betw een differen t ial fo rm s and dif2
feren t ial equat ion s and betw een differen t ial fo rm s and vecto r analysis, w e discu ss the
p ropert ies, w h ich are covarian t under the t ran sfo rm at ion of coo rdinates in the f ram ewo rk
of differen t ial fo rm s, of part icle mo t ion in a cen t ral fo rce f ield.
Key words
differen t ial fo rm; ex terio r differen t ial; cen t ral fo rce f ield; con servat ion law
第
1期 魏白蓉: 微分形式与经典力学中的有心力场43
數
學傳播30卷2期, pp. 12-27
微
積分五講一一
第二講
微積分的三個組成部分
龔
昇??張德健
一
. 一元微積分的三個組成部分
大
致上來講, 微積分這門學科的內容是由微分、積分、以及聯結微分與積分的微積分基本
定
理這三個部分所組成。微分的部分與積分的部分都易於理解, 而第三部分, 指出微分和積分是
一組
對立運算的微積分基本定理, 也許要多用些篇幅來說明, 我們先從一元微積分說起。
微
分與積分的思想由來已久, 例如: 阿基米德(Archimedes, 公元前287∼公元前212) 在
將
近兩千三百年前就已經知道如何求拋物線、弓形的面積、螺線的切線等, 劉徽於公元三世紀在
他
的割圓術中, 就是用無窮小分割來求面積的等等。經過長期的累積成果, 在牛頓(Newton) 與
萊
布尼茲( Leibniz) 之前, 已經有了大量微積分先驅性的工作, 為微積分的誕生打下了穩固的
基
礎。比方說, 在牛頓與萊布尼茲之前, 人們已經知道如何求曲線y = xn (其中n為正整數) 的
切
線及它所覆蓋的曲邊梯形的面積等。(關於微積分產生前的歷史將在第四講中詳細討論); 但
是所提
到的這些還不能說明真正微積分的建立, 直到牛頓與萊布尼茲證明了如下的微積分基本
定
理, 才真正地標誌著微積分的誕生。因此, 這個基本定理也叫Newton-Leibniz 公式。
微
積分基本定理(微分形式): 設函數f(t) 在區間[a, b] 上連續, x 是區間[a, b] 中一個
內
點, 令
(
x) = Z x
a
f
(t)dt (a < x < b)
則
(x) 在[a, b] 上可微, 並且
′(x) = f(x) (a < x < b)
即
d
(x) = f(x)dx
12
微
積分五講13
換
句話說, 如f(x) 的積分是 (x), 則 (x) 的微分就是f(x)dx, 即f(x) 的積分的微分就
是
f(x) 自己乘上dx, 也就是反映整體性質的積分:
(
x) = Z x
a
f
(t)dt
是由
反映局部性質的微分d (x) = f(x)dx 所決定。
微
積分基本定理(積分形式): 設 (x) 是在[a, b]上可微, 且
d
(x)
dx
等
於連續函數f(x), 則下面等式成立
Z
x
a
f
(t)dt = (x) − (a) (a ≤ x ≤ b).
換
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