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 第二节 老学科的新进展 |
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第二节 老学科的新进展
一、复变函数论
整函数及亚纯函数理论．比多项式复杂的函数是超越整函数，n次多项式有n个根，它可以表示为各因子的乘积．如果复变元z的复值函数在所有不等于∞的点z处全纯，则称f(z)为整函数．当∞是f(z)的极点，f(z)就是多项式，而不是多项式的整函数，就是超越整函数，例如ez，，sinz，cosz等．魏尔斯特拉斯最先研究一般(超越)整函数，他在1876年把整函数表示成典范乘积．他还证明，所有复值都是f(z)可以趋于任何复数值C．1879年法国数学家皮卡(E．Picard，1895—1941)证明了皮卡大定理：每一个超越整函数f(z)对每一有限值w，最多除了一个之外，都取无穷多次．这个定理成为后来值分布理论的出发点．这个可能不取的值称为例外值，如果我们把∞也算一个值，则例外值可以有两个．儒利雅(G．Julia，1893—1978)在1919年把皮卡定理加以精密化，他证明，对于超越整函数，至少存在一个方向，在这个方向的狭窄角域中，皮卡定理也成立，这个方向称为儒利雅方向． 比整函数再稍微复杂一些的函数是亚纯函数(半纯函数)，它在复平面上可以有极点．同样，魏尔斯特拉斯也给出了表示．1877年瑞典数学家米塔格—莱夫勒(G．Mittag－Leffler，1846—1927)给出部分分式的表示： 对于亚纯函数，皮卡大定理也成立．在经过许多人研究之后，芬兰数学家耐凡林那(R．Nevanlinna，1895—1980)对于亚纯函数的值分布理论进行了统一的论述．他引进了特征函数T(r)及亏数等概念，证明了第一、第二定理，使值分布理论成为精致的定量理论． 1935年芬兰数学家阿尔福斯(L．V．Ahlfo－rs，1907—)用拓扑的方法建立了覆盖面理论，由它不仅可推出耐凡林那理论，而且还得出亚纯函数许多其他结果，由它还明确了例外值个数2的拓扑意义，它与球面的欧拉示性数有关．其后的值分布理论是本着耐凡林那理论的模式向一般区域或黎曼面上推广． 幂级数及狄利克雷级数是应用最多的复变函数，从19世纪末有着多方面的研究．特别是一个幂级数的收敛圆周成为自然边界的条件，有各种各样的缺项定理．应用上最常用的是陶伯尔型定理．陶伯尔型 定理是  
奥地利数学家陶伯尔(A．Tauber，1866—1943)给出逆定理成立的条  李特尔伍德的陶伯尔型定理推广到可测函数，进而证明素数定理．在数 的研究，另外也有相应的陶伯尔型定理，在数论上有许多应用．
函数论一个重要方面是保角映射，其基本定理是黎曼映射定理(1851)．它指出单连通区域之间可通过解析函数进行保角映射．在区域D内定义的单值解析函数f(z)，如D内不同两点映到不同点，称为单叶函数．单叶函数理论是保角映射的重要组成部分，在单位圆内单叶函数族的理论开始于科贝(P．Koebe，1882—1945)单值化问题的研究．他于1909年得出畸变定理，畸变定理反映函数值的某种限界．德国数学家比勃巴赫(L．Bieberbach，1886—1982)在1916年推导定量结果时，得出单叶函数系统理论，同时证明单叶函数｜a2｜≤2，他猜想｜an｜≤n．几十年来，数学家对所猜想发表了上千篇论文，研究了各种方法，特别 方程，首先证明｜a3｜≤3．美国数学家席弗尔(M．Schiffer，1911—)在1938年引进变分方法，后得出｜a4｜≤4(1956)．到1972年才证明对a5，a6比勃巴赫猜想成立．出乎人们意料，美国数学家德、布兰吉斯(L．de
Bianges，1932—)1984年一举完全证明比勃巴赫猜想，从而结束了这个问题近七十年的历史．对于开黎曼面的分类，最初是分型问题，即区别是一圆盘还是复平面是开黎曼面的覆盖面．由芬兰数学家阿尔福斯、梅尔堡(P．J．Myrberg，1892—1976)等人在三十年代初开始研究，后来进入一般开黎曼面的分类，这是从撒利奥(L．Sario，1916—)1946年的工作开始的． 函数论方面一个老问题是单值化问题，也就是象圆x2+y2=1这样的代数函数，能不能找到一个单值的参数表示(如x=cost，y=sint就是)．19世纪许多大数学家都对此做过贡献．一直到1907年，整个问题才由科贝和庞加莱独立地解决．像代数函数这样的多值函数，怎样表示为单值化的曲面上的单值函数的问题，早在19世纪中叶由黎曼得出富有想象力的黎曼面的观念．他的几何思想不仅推动几何函数论的发展，而且也预示着曲面拓扑学的萌芽．1913年，德国数学家外尔(H．Weyl，1885—  时代的著作，对黎曼面做了抽象的刻划，引进了复流形的概念．匈牙利数学家拉多(T．Rado，1895—1965)及罗马尼亚数学家斯托伊洛夫(S．Stoilow，1887—1961)有着基本的贡献．对于闭黎曼曲面的分类，归结为参模结构的研究．近年来，对于黎曼面的参模的结构进行了重要的研究，这方面的工具是1928年德国数学家格罗采(H．Grotzsch，1902—)引进的拟保角映射．保角映射把地图上一小圆映成一个小圆，保持两条线交角不变，而拟保角映射则可看成把一个小圆映成一个小椭圆．1939年德国数学家台什缪勒(O．Teichmiiller，1913—1943)应用极值保角映射观念研究黎曼面的模，他的文章极为晦涩后来发现思想倒是对头的．战后沿着这条路线取得了巨大进展．
二、调和分析
  由于einx=cosnx+isinnx，因此可用sin和cos来表达傅里叶级数．这种实的形式在几何上更直观，复指数形式在代数上更容易处理和推广．主要问题是函数f的傅里叶级数的“和”是否存在，是否“等于”f．最初“和”与“等于”自然地理解为逐点收敛的，后来自然的和更富成果的是几乎处处收敛与依范数收敛．人们早就知道，存在连续函数的傅里叶级数，它在某一点上，甚至在许多点上发散．如果考虑齐撒罗意义下的求和，则费耶尔(L.Fejer，1880—1959)定理(1904)指出：在这种意义下每一连续函数f的傅里叶级数逐点收敛于f．但可积函数情况就差得多，柯尔莫哥洛夫证明若只要求f∈L1[0，2π](即f在[0，2π]上可积)，则f的傅里叶级数可以几乎处处发散(1923)，或甚至于处处发散(1926)． 鲁金提出：如果f∈L2[0，2π]，则f的傅里叶级数是否几乎处处收敛于f呢？过了50年仍无法回答这问题，想证明答案是肯定的努力，遭到无数次失败以至50年代到60年代专家们几乎一致认为，鲁金问题的答案必定是否定的．令人感到惊异的是：答案却是肯定的．1966年，瑞典数学家卡尔松(L．Carleson，1928—)给出了第一个证明，他的成就的一个突出之点是他没有用到以前所不知道的技巧．次年洪特(R．A．Hunt)证明，对f∈Lp[0，2π]其中1＜p＜∞，则f的傅里叶级数几乎处处收敛于f．这样就漂亮而完整地结束了傅里叶级数论中最重要的一章． 函数f及其傅里叶级数的系数序列{an}之间关系，只当平方可积函数(∈L2)时才有极好的性质；即1907年由黎斯及费舍尔独立证明的黎斯—费舍尔定理，它指出任意L2中的函数都存在收敛于其自身的傅里叶级数，反过来对任意平方可和序列{an}，也都存在L2中的函数f，使{an}为其傅里叶级数的系数序列，同时有帕塞瓦尔(M．A．Parseval，1755—1836)定理成立：  
 级数．1930年起，李特尔伍德及佩利(R．E．Paley，1907—1933)创立李特尔伍德—佩利理论，特别是把f分解为“二进”块之和：△0+△1＋…+△k＋…△k=∑aneinx．用这个分解来代替傅里级数可得Lp空间的结果．相应于Lp空间，对于单位圆上的全纯函数，哈代及黎斯建立了哈代空间Hp理论．对于1＜p＜∞，可证Lp与Hp同构，有趣的情形只是H′及H∞．以傅里叶级数理论为模式，可以在许多方向上进行推广．首先是从周期函数推广到全实线(-∞，∞)上的任意函数，这样就产生傅里叶积分理论．对于在(－∞，∞)上的勒贝格可积函数f，可定义其傅里叶积分或傅里叶变换式   的函数．与傅里叶级数情形类似，L2的情形最理想，对此普兰舍瑞尔(M．Plancherel，1885－1967)在1901年到1915年进行研究，特别是1910年证明了普兰舍瑞尔定理：傅里叶变换F及其逆变换F－1是L2空间到自身的等距变换．这定理是后来许多推广的出发点．由此推出帕舍瓦尔定理成立：   年得出的．由此出发，发展出一套算子内插理论．
第二次世界大战前后，傅里叶分析向多维化及抽象化方向发展，多维傅里叶分析正如多复变函数论一样，与一维情形相距甚远，最早是波赫纳的工作，
50年代起卡尔德隆(A.P.Calde－ron，1920—)与齐格蒙所创立的奇异积分理论起着最重要的作用．其后，斯坦因(E．M．Stein，1931—)和外斯(G．Weiss，1928—)把Hp空间理论推广到高维，而且还在一维问题也有突破．1971年巴克荷路德(D．Burkholder 1927—)等人用概率论的方法刻划H′中函数的实部，次年费弗曼(C．Fefferman，1949—)及斯坦因把它推广到n维．同时，费弗曼证明，H′空间的对偶空间是BMO，这里BMO是1960年由约翰(F．John，1910—)及尼仑伯格(L．Nirenberg，1925—)引进的有界平均振动函数空间，这个结果也被立即推广到n维．由于周期函数可以看成是定义在圆圈群T上的函数，R本身对加法也是交换群，调和分析最大的推广是推广到一般的群上．这在五十年代产生出抽象凋和分析的理论．对于局部紧交换群，有一套漂亮的理论，例如用代数方法证明1932年维纳的强有力的广义陶伯尔型定理，而对于局部紧李群，则与艰深的群表示论方法结合，形成非交换调和分析的庞大分支．
三、微分方程
首先是常微分方程的代数理论．受到代数方程的伽罗瓦理论的启发，皮卡在1883年把群论引进线性常微分方程，其后法国数学家德拉什(J．Drach，1871—1941)和维索(E．Vessiot，1865—1952)继续这方面的工作．伴随着抽象代数学的发展，这理论溶入微分代数学的框架之中，到五十年代又纳入代数群理论当中． 现代微分方程论的基础是解的存在性、唯一性以及连续性等等，因为大部分微分方程的实际背景是来自自然界的描述，而其解则反映自然界的客观运动规律，因此解的存在性、唯一性有着重大的现实意义．关于常微分方程解的存在性的考虑，首先来自柯西，他的一系列论文奠定了各种存在性证明的基础．第一种方法来源于欧拉折线法(1768)，柯西在1820年建立，李普希兹(R．Lipschitz，1832—1903)于1869年作了改进，皮亚诺在1890年得到存在性定理，配隆在1915年又加以改进，他在1925年还得出初值问题的充分必要条件．对于解析系数的方程，柯西在1840年用所谓极限演算即优函数法证明解的存在性．第四种方法来自拉格朗日的常数变易法，后来庞加莱推广成小参数法． 常微分方程论主要困难还在于非线性问题．1881年到1886年，庞加莱发表一组四篇题为“由微分方程所确定的积分曲线”的论文，开辟了微分方程定性理论的新方向．他一反过去具体局部求解的做法，而着重研究大范围内解的曲线形态，他发现，微分方程的奇点起着关键的作用．于是，他把奇点进行分类，然后研究解在奇点附近的性态，这样可以定性地确定解是否稳定． 俄国数学家李雅普诺夫(А．М．Ляпунов，1857—1918)从1892年起从另一角度研究稳定性问题，他的方法是定量的．他证明，在奇点附近解的稳定性依赖于特征方程的根，如果根都具有负实部，则方程所有解才是稳定的． 1901年瑞典数学家本迪克逊(I．Bendixson，1861—1935)提供了判断某区域内存在闭轨道的准则，并证明庞加莱——本迪克逊定理，这个定理给方程存在周期解一个肯定的判据． 微分方程在假定解的存在性及连续性前提之下，应用相空间的拓扑结构及向量场的解析结构可以得到解的行为的定性信息(如稳定性、周期性、回归性等等)．如庞加莱提出猜想：狭义三体问题存在无穷多周期解．他没能够证明它，只是在他临终前几个月，把这个问题归结为一个拓扑定理，所谓“庞加莱最后的问题”：由两个同心圆构成的圆环保持面积不变，且在两同心圆上方向相反的一对一连续映射，一定在圆环内至少有两个不动点．没有料到，庞加莱去世还不到半年，美国数学家柏克霍夫(G．D．Birk－hof，1884—1944)就证明了这个定理，使欧洲数学界大为震惊．柏克霍夫受庞加莱的强烈的影响，在1912年到1931年二十年间，应用拓扑技术，研究动力系统许多问题，特别是极限集、回归性、极小集的结构等．他的工作总结在1927年出版的《动力系统》(Dynamical Systems)一书中．30年代，苏联数学家开始研究动力系统，他们得到一些基本概念，特别是流及结构稳定性等．另外，他们在李雅普诺夫稳定性理论中也有许多贡献，特别是许多新工具、新方法在定性理论上有种种应用，其中包括：不动点理论、拓扑度理论、半群理论、同调理论、代数几何方法等等． 动力系统另一重要问题也来自天体力学，这就是周期系数的常微分方程的同期解的存在问题．经过厄米特(1877)、皮卡(1881)的研究，希尔(G．Hill，1838—1914)的工作及庞加莱关于渐近解的观念之后，富洛凯(G．Floquet，1847—1920)在1883年给出一个完整线性方程的理论．到20世纪，周期系数推广到概周期函数上面．1924年到1926年丹麦数学家玻尔(H．Bohr，1887—1951，著名物理学家玻尔的弟弟)开创了这方面的理论，其后博赫纳(S．Bochner，1899—1982)及冯·诺伊曼作出重大贡献．1933年法瓦(J.Favard，1902—1965)出版这方面的第一部书，书中给出一阶线性概周期系数方程具有概周期解的充分条件，后来还推广到非线性方程上面． 偏微分方程的出现要比常微分方程晚半个世纪，最早是达朗贝尔(1744)及欧拉研究流体力学开始的．18世纪末，从位势理论中产生拉普拉斯方程．对它的研究一直贯彻到19世纪末，研究热传导方程使傅里叶得到傅里叶级数．波动方程的求解导致黎曼、克里斯托费尔关于间断解的研究．这些二阶线性方程虽在1889年由德国数学家杜布瓦累芒加以分类，分别称为椭圆型、抛物型及双曲型方程，但是一般理论并不成熟．当时只有柯西及柯瓦列夫斯卡雅的存在定理．而一般理论到本世纪初才由阿达马开始探讨．他1903年声称偏微分方程的“适定”问题，不仅要求解存在及唯一，而且要连续地依赖于给定的初始条件或边界条件，否则就不是有物理意义的解． 这种连续性的要求，不仅是泛函分析的源泉，也是应用泛函分析的领域．如现在偏微分方程最常用的方法是先验估计，首先证明对条件的连续性，然后应用泛函定理(巴拿赫定理及黎斯定理)证明存在性和唯一性．反过来，巴拿赫的闭图象定理又可以在多种情形下，由存在性及唯一性证明连续依赖性．另外，阿达马对于二阶正规型双曲型方程引进基本解(法文称初等解)的概念．1930年勒瑞、肖德尔的不动点定理，索保列夫(С．Л．Соболев 1908—)在1936年引进广义解的概念，尤其是施瓦兹的整个广义函数论，给偏微分方程提供了系统的函数空间工具． 第二次世界大战以后，偏微分方程理论取得巨大的发展：1954年左右马尔格朗日(Malgrange，1928—)等人证明对于常系数线性偏微分方程都存在基本解．1956年刘威举出著名的反例，对于先滑系数线性方程可能没有解存在．1958年卡尔德隆证明光滑系数偏微分点子的柯西问题的唯一性条件．1970年，尼仑伯格等人分别得出这类方程有解的充分条件和必要条件．1973年，费弗曼等人得出充分必要条件．在这个过程中，1956年许多人同时引进一大类伪微分算子，1968年又被推广为傅里叶积分算子．这一大类算子不仅包含以前所知的微分算子，而且也包括奇异积分算子．它们的集合构成算子代数，具有很好的不变性质． 1967年，加德纳等人解决了浅水波的考德威克赫(D．J．Korteweg1848—1941)—德·夫瑞斯(A．de Vries，1858—1939)方程的孤立子解，震动了整个数学及物理学界，它们的方法是逆散射方程，即利用散射数据．
四、代数几何学
到19世纪中叶，代数曲面只有零散的特殊结果．1849年，萨蒙(G． Salmon，1819—1904)及凯莱证明在没有奇点的三次代数曲面上存在27条直线．一直到1868年克莱布什才从双有理变换观点讨论代数曲面．它定义第一类重积分，并征明其线性独立的最大数目是双有理不变量，称为几何亏格Pg，它与凯莱在1869年由另外途径引进的算术亏格Pa一般并不相等(1871年错玉登H．G．Zeuthen，1839—1920，及诺特在1875年证明其不变性)．从1870年起M．诺特发展了他的思想，他还引进曲面的线性亏格P(1)，并研究曲面上代数曲线得出曲线亏格公式，他还引进例外曲线的概念．从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M．诺特的几何思想，开始对代数几何学、尤其是代数曲面进行研究．其主要代表人物是卡斯泰努沃(G．Castelnuo-vo，1865—1952)、恩瑞克斯(F．Enriques， 1871—1946)和稍晚的塞梵利(F．Severi，1879—1961)，他们主要的结果是代数曲面的分类．头一个结果是贝尔蒂尼(E．Bertini，1846—1933)在1877年给出的平面对合变换的分类，1893年，卡斯泰努沃解决了吕略特(J.Lüroth，1844—1910)问题，1896年他提出并解决用数值不变量刻划有理曲面的问题，曲线只有唯一数值双有理不变量——亏格，亏格为0是曲线是有理曲线的充分且必要条件，对于曲面则有多种不变量：除了Pg，Pa，P(1)之外还有恩瑞克斯引进的多亏格Pk(k≥2)与曲线的情形不同， Pg＝Pa＝0还不足以保证代数曲面是有理曲面，要保证这点的充分必要条件是Pg＝P2=0．恩瑞克斯给出曲面是直纹曲面(直线与一个亏格为g的曲线的乘积)的充分必要条件是P4＝P6＝0．另外还发现一些特殊的曲面，最主要的是恩瑞克斯六阶曲面和K．曲面．K3曲面的一个特殊情形是库默尔于19世纪60年代引进的具有16个二重点的四阶库默尔曲面．这一切都导致恩瑞克斯在20世纪初一系列论文中对于曲面的分类．1914年，由P12的不同分成四大类．意大利学派这方面的成果总结在1949年出版的恩瑞克斯《代数曲面》(Le superficie algeb- iche)一书中． 与意大利学派大约同时的是法国的超越方法，从某种意义上来讲，这是黎曼研究代数曲线观点的直接继续，只不过把单变量代数函数论推广成两个变量代数函数论，即由三个复变量的不可约多项式P(x，y，z)=0定义的代数函数．黎曼研究的黎曼面的拓扑结构及黎曼面上的有理函数及阿贝尔积分都被庞加莱及皮卡推广到代数曲面上，但是代数曲面情形要复杂得多．皮卡在1899年发展了第二类二重积分理论，不过独立的数目与亏格无关．
五、微分几何学
在黎曼的影响下，德国数学家克里斯托费尔(E.B.Chri-stoffel，1829—1900)把ds2推广成一般的形式∑gijdxidxj，研究在局部坐标变换之下，两个ds2是如何互相变换的．这样他引进了以他名字命名的克里斯托费尔记号Гjki．利用这个记号他能够对于向量场进行微分，即所谓协变微分法．1887年意大利数学家里奇(R．Ricci-Curbastro，1853—1925)定义了张量概念，在克里斯托费尔公式的启发下，定义了张量的一般运算，即协变微分或绝对微分法．有了这个工具，对于黎曼几何的研究对象黎曼流形(即微分流形具有一个指定的正定黎曼度量ds2)，也可以定义类似高斯曲率的量，但这时曲率不是一个数量，而是一个张量，称为曲率张量(或黎曼——克里斯托费尔张量)．如果曲率张量处处相等，则黎曼流形称为常曲率的．非欧双曲几何(罗巴切夫斯基几何)，就是研究曲率＜0的常曲率空间；而非欧椭圆几何，则是研究曲率＞0的常曲率空间．普通欧几里得空间，处处曲率都等于0． 20世纪初，微分几何学还与克莱因的变换群观点下的几何学结合起来，形成了射影微分几何学、仿射微分几何学及保形微分几何学．射影微分几何学研究空间中图形的微分几何性质中在射影变换群下不变的那些性质．在达布(J.G.Darboux)的曲面论中已多处看到其萌芽．本世纪初，美国数学家魏尔钦斯基(E．J．Wilczynski，1876—1932)和意大利数学家福比尼(G．Fubini，1876—1943)独自进行了系统的研究，后来E·嘉当、切赫、意大利数学家邦比安尼(E．Bompiani， 1889—1975)均作出重大贡献．相应有仿射微分几何学．对这种几何学，定向闭超曲面的体积是不变量．对于这种几何学，能够应用活动标架法．在这方面作出主要贡献的是德国数学家布拉施克(W．Blasckke，1885—1962)，他特别对曲线、曲面得出大范围性质．布拉施克也对保形微分几何学进行研究．他的《微分几何学讲义》(Vorlesungen über Diferentialgeometrie)(Ⅱ1923，Ⅲ1929)长期以来是这方面标准著作． 1901年里奇和他的学生列维—奇维塔(T．Levi-Civita，1873—1941)系统地建立了张量分析的技术，提出求绝对微分不变式的一般问题，并且指出这些与坐标选取无关的量在物理问题与数学问题中肯定是有意义的．20世纪初，张量分析还只是少数数学家手中的工具，而一旦被爱因斯坦用在广义相对论上，不仅物理学家找到理想的数学工具，反过来激发人们对于黎曼几何及张量分析的兴趣，从而极大推动了微分几何学的发展．数学家决不满足于只给物理学家提供工具，他们要走自己的道路，而在这条道路上后来依然不断地为物理学提供工具． 由于黎曼几何学在爱因斯坦广义相对论中取得成功，引起了数学家对黎曼几何学的各种推广．芬斯拉(P．Finsler，1894—1970)在他的1918年博士论文中首先把线素ds中的基本张量gij推广，即gij不仅依赖空间中的点而且还依赖该点切向量的方向．因此，由度量得到克里斯托费尔符号不规定联络．于是E．嘉当由一般联络理论定义芬斯拉空间上的联络，不过，它具有三种曲率张量，从而比黎曼空间复杂得多．更一般的道路几何学由美国数学家爱森哈特(L．Eisenhart，1876—1965)及维布伦在1922年提出来，以微分方程定义的道路为空间的基本元素．另外，E·嘉当提出以面积元素为基础的空间，称为嘉当空间，1937年日本数学家河口商次(1902—1984)更提出更一般的高阶线元空间或河口空间． 1917年，列维—奇维塔提出平行移动的概念．他的出发点是考虑黎曼流形上两个向量平行的意义，他把向量场X(t)沿曲线Г平行移动定义为X(t)，对曲线的协变微分等于0，由此推出沿着测地线(也就是短程线)，曲线切向量是平行移动的．这样可不必通过ds2得出曲率概念．1918年，外尔注意到平行性是仿射几何的概念，与度量无关，因此从黎曼空间中除去度量性质，只保留平行概念就可以得出更广的几何理论．为此他提出第一个联络的概念——仿射联络，它可以看成是Гjki的变换关系式的推广，但却不依赖于ds2的选取．这样通过联络可以直接引进曲率，而不必籍助于度量．这种几何理论叫仿射联络几何学．其后E．嘉当进一步发展了联络的概念，他在1922年到1923年引进仿射联络、射影联络、保形联络，建立了系统的联络理论．同时，他发展了由达尔布及黎包古尔(A．Ribaucour，1845—1893)发展的“活动标架法”，这成为他发展一般联络理论的工具． 20世纪的微分几何学另一个重要发展方向是大范围微分几何学．以前的微分几何学局限于每点临近的范围，只限于描述局部的性质，而对于整个曲面或流形的性质则所知甚少．19世纪末起，许多几何学的研究，涉及局部性质与整体性质的关系：阿达马1898年证明，一个完备的单连通，处处曲率非正的曲面一定同胚于欧氏平面．1899年希尔伯特证明，三维欧氏空间中不存在处处曲率为负的完全曲面而没有奇点，从而指出非欧双曲几何的曲面模型在空间中一定有奇点．德国数学家李伯曼(W．Liebma-nn，1874—1939)在1899年证明三维欧氏空间中完备的正常曲率团曲面一定是球面． 测地线为局部性质和整体性质的相互关系提供了另外一个突出的例子．所谓测地线就是曲面上一条距离最短的曲线C，也就是从C上一点P到C上另外一点Q的路径中，如果P和 Q不相距太远的话，沿着C的路径是曲面上所有(P到Q的)可能路径中最短路径．因此，在通常的球面上，每个大圆是一条测地线．几何学家已在许多特殊的曲面上明显指出测地线来．庞加莱首先研究在紧流形上，不同的封闭测地线的存在和数目问题，其后经过美国数学家柏克霍夫、莫尔斯和前苏联数学家刘斯铁尔尼克(Л．А．Люетсрник，1899—1981)，施尼列尔曼和其他人的工作，得到一个一般的存在性定理，这定理断言，在给定的闭凸曲面上至少存在三种不同的简单闭测地线．莫尔斯曾举出一个例子，表明这个结果中的三条是最佳的数字，不能再改进了．克林根柏格(W． Klingenberg，1924—)和其他人把这个结果由曲面推广到高维情形． 另一个研究最多的问题是极小曲面问题．1873年普拉托(J．Plateau，1801—1883)的著作《实验和理论流体静力学》出版，他是比利时物理学家，长期以来对肥皂泡进行了大量的研究．他把金属丝圈成各种封闭的曲线形状，浸泡在肥皂水或甘油溶液中．当金属丝圈被拉出来时，在金属丝圈上就张上一层肥皂薄膜．由于表面张力的作用，在同一边界曲线上张成的曲面是所有可能的曲面中面积最小的，在数学上称为极小曲面．所谓普拉图问题就是要证明这样的定理，对于给定任意形状的边界线圈，只假定边界闭曲线是可求长度的(即有一个长度)，那么总存在一个极小曲面．实际上数学家早就考虑过这个问题，拉格朗日在1760年就已经用变分方法推导出极小曲面应该满足的偏微分方程，这是一个二阶的非线性偏微分方程，因此问题就变成解这个方程了．尽管19世纪许多大数学家如魏尔斯特拉斯和施瓦兹等人都对此做出贡献，但一直到1930年这个解的存在性才首先由匈牙利数学家拉多和美国数学家道格拉斯(J．Douglas，1897—1965)所证明，但是，他们的解并不排除曲面可能存在奇点(它们是分支点)．1970年奥斯曼(R．Osserman，1926—)的研究排除掉这种可能性，他证明极小曲面不出现分支点．
六、李群与李代数
李群是挪威数学家李(S．Lie，1842—1899)的创造．他的思想来源有三方面：一是几何学，他和克莱因曾经共同合作研究几何学，他们把几何学对象由具体的几何图形转换到变换群上，这明确在克莱因的埃尔兰根的纲领中得到表述．1872年他们似乎有一种默契对他们各自的研究领域有一个分工：克莱因研究离散变换群，而李则研究连续变换群．二是微分方程论．李的老师西洛把伽罗瓦理论引进挪威，对李有深刻的影响，既然有限置换群是研究代数方程可解性的工具，李引进“有限连续群”(即后来的李群)就是为了研究微分方程的可解性的．换句话说，也就是发展微分方程的伽罗瓦理论．三是力学，李在1870年引进“切触变换”的概念，对他来讲，重要的一步是把两函数的波松括号解释为两个无穷小变换的切触变换的括号，这个括号引导他研究李群的局部结构(也就是李代数)的性质． 李产生“有限连续群”的概念是在1873年，在1874年到1879年发表的头一批论文中他只用群的封闭性，并且还有许多不确切的地方．在1880年他发表的《变换群论》(Theorie der Tr- ansformations gruppen)才假设群的元素的逆元素存在，并修正以前的一些错误．李自己关于有限连续群较好的论述是他同他的学生德国数学家恩格尔(F．Engel，1861—1941)合著三卷《变换群论》(1888—1893)中表述的，其中他首先定义某一区域D上的变换：
x′i=fi(x1，…，xn)(i＝1，…，n)
其中fi均是解析函数，如果函数行列式不等于零，则局部(在D中某点适当邻域)的这个变换有逆元素．其次，他考虑依赖于r个参数a1，…，ar的变换：
x′i=fi(x1，…，xn；a1，…an)．
这样得到一组变换．如果两个变换的乘积也在这组之中，那么这组变换就称为有限连续群．不过，他们也注意到这时必须假定幺元素及逆过元素存在，否则可能构不成群．不过李和他的合作者实际上考虑的是无穷小变换和由无穷小变换构成的“李代数”，并证明了三大基本定理．实际上，李代数是r，维线性空间，具有乘积[A，B]，它满足[B，A]=-[A，B]，[A，[B，C]]＋[B，[C，A]＋[C，[A，B]]＝0．第二个等式即雅可比恒等式．由此可见，它是非交换、非结合的线性代数．李还证明：局部同构的李群定义同一李代数．他们以为反过来也对，实际上这是错误的．这样他们把研究李群问题归结为李代数的研究．从1883年起，李等人开始研究李代数的结构，而且得出四个类型局部单李群，即射影线性群，射影正交群及射影辛群，这就是后来的典型李群(李代数)的来源．1888年到1890年，德国数学家基林(W．Killing，1847—1923)更找出例外的单李群．1894年法国大数学家嘉当在他的博士论文中弥补了基林等人的漏洞，证明半单李群为单李群的乘积，证明单李群即是基林发现的五种例外群以及李的四类典型群．实际上完成了复数域上单李代数的结构及分类的研究．1914年，他研究实数域上单李代数的结构．大约同时，他在单李代数结构理论的基础上引进了“权”的概念，决定了复单李代数的所有不可约表示． 到1925年左右，对于原来的李群的整体(大范围性质)了解很少，由于外尔的几篇论文(1925—1927)才真正开始李群论的研究．外尔把E．嘉当的无穷小方法和弗洛宾尼乌斯和I·舒尔(I．Schur，1875—1941)的有限群的特征标理论结合起来，把胡尔维茨(A．Hurwitz，1859—1919)的积分技巧搬到紧群上．他证明半单李群的表示是完全可约的．稍后又得出紧群的表示理论并为它在物理学上的应用开辟道路．E·嘉当(1927—1930)在外尔工作的启示下建立起半单李群和对称空间的漂亮理论，并开始通过不变微分形式来研究对称空间的实上同调，后来导致德·拉姆(G．W．de Rham，1903—1990)定理的产生(1931)．对李群及对称空间的拓扑学研究还导致李代数上同调、纤维丛及示性类的丰硕成果，使拓扑学及微分几何学呈现崭新的局面． 这样，李群理论由分析及微分方程开始，转变成代数的理论(李代数)，又由局部转变成大范围理论，最后到三十年代与拓扑学及微分几何学连系在一起，在各方面发挥重要的影响． 2．李群概念的演化及推广 虽然李把他的“群”称为有限连续群，实际上，它既不有限且元素数目有限必定离散即不连续．他用函数定义变换是解析的，至少也要可微的．所以希尔伯特在他的巴黎数学家大会上提出的23个问题中，第5个问题就问是否能把解析及可微的条件简化为“连续”．其后由于抽象代数学及拓扑学的发展，促使人们对李群概念进行分析，李群一身兼三任：既是解析流形，又是拓扑空间，还是群．兼备拓扑空间和群两方面的结合是拓扑群． 一般的拓扑群概念是施莱尔(O．Schreier，1901—1929)在1927年首先提出的，他给出一组一般的公理：一方面有群的公理，一方面是拓扑空间(一般是豪斯道夫空间)，群与拓扑的关系是群的运算在该拓扑之下是连续的．如果加上群的每元素局部与欧氏空间开集同胚，则称为局部欧氏群．但李群一般不一定紧，最接近李群的是局部紧拓扑群．1933年匈牙利数学家哈尔(A．Haar，1885—1933)在局部紧拓扑群上给出不变测度，后称哈尔测度，藉助于它冯·诺伊曼证明局部欧氏紧群是李群．但对一般局部紧欧氏群一直到1951年才由三位美国数学家格里森(A．Gleason，1921—)、蒙哥马利(D．Montgomery，1909—)和齐平(L．Zippin，1905—)完全解决．当时关于拓扑群及李群的一些结果总结在邦特里亚金(Л．C．ПCHTРЯГЦН， 1908—1988)的《连续群》(1938)一书中，而对李群的现代刻划则见于薛华荔的《李群论》第一卷(1946)中．
七、数论
不难看出，这个命题同希尔伯特不久前证明的华林问题在形式上十分相似．它们都是把任一整数表示成为有限多个某种特殊类型的整数之和的可能性问题．希尔伯特只解决了这种表示的存在性问题，但并没有给出法数的估计．1918年英国数学家哈代(G．H．Hardy，1877—1947)与印度数学家拉曼纽詹(S．Ramanujan，1887—1920)首先发表圆法，但没有应用于哥德巴赫猜想及华林问题． 1920年开始，哈代与李特尔伍德发表一系列论文，总题目是“‘数的分拆’的某些问题”，系统地发展了圆法并首先应用于华林问题，并给出g(k)及G(k)的明显公式，其中1923年发表的Ⅲ，Ⅴ两篇文章就是专门讨论哥德巴赫猜想的． 1920年挪威数学家布龙(V．Brun，1885—1978)改进了原始的筛法，创造了所谓布龙筛法，得到了任何大偶数都可以表示为两个数之和，每个数的素因子数目不超过9个的结论．(我们简记为9＋9)．后来相继改进为(7＋7)(1924)，(6＋ 6)(1932)，(5＋5)(1938)和(4＋4)(1940)， 1947年挪威数学家塞尔伯格(A．Selberg，1917—)大大改进了布龙筛法，它能得出更好的定量结果(相当于2＋3)．1941年苏联数学家林尼克(Ю．В．ЛИННИК，1915—1972)发明大筛法，1948年匈牙利数学家瑞尼(A．Renyi，1921—1970)把大筛法加以精密化，首先得出(1＋c)．1965年英国数学家罗斯(K．F．Roth，1925—)及意大利数学家明比利(E．Bombieri，1940—)大大改进了大筛法，得出大筛法不等式，因此可以得出(1＋3)．1966年陈景润改进前人的方法，宣布了(1＋ 2)， 1973年发表了全部证明． 研究加法数论的另一个初等方法是密率法，它是由苏联数学家史尼列尔曼在1930年创造的，首先解决了朗道在1912年提出的较弱的哥德巴赫猜想，这在当时引起了轰动．朗道等人很快就对方法及结果加以改进，不仅得出新结果，而且应用到其他数学领域． 黎曼猜想是如此重要，以致成为许多20世纪数学家研究的对象． 
 至少有AT那么多(其中A是一个正实数)．1942年，挪威数学家塞尔伯   临界线上．
代数数论是研究代数数域及其代数整数环的结构的．所谓代数数是指满足有理整系数代数方程的根，如果代数方程的首项系数为1，则代数数称为代数整数．最早把整数推广到代数整数的是高斯，他在1831年为了研究四次互反律而引进所谓“复数”，即形如 的数，其中ρ是1的三次根， a，b是有理整数．而一般的二次数域理论是高斯(1801)首先用二元二次型的术语表达的，整系数二元二次型在线性变换之下可以划分为等价类，给定判别式的二元二次型的等价类数目称为类数．类数的计算是代数数论中头等重要的问题．狄利克雷(1840)给出二元二次型的类数公式．高斯和狄利克雷的工作后来被翻译成二次数域的语言，连同库默尔发展的分圆域理论，构成代数数域的理论基础．它们分别由戴德金在1871年到1894年用理想的语言以及克罗内克在1882年用除子的语言所发展，而真正代数数域理论的完整形式最后是希尔伯特在他的《数论报告》(1897)中奠定的．希尔伯特不仅统一了以前的零散理论，而且把它们大大发展了．他引进类域及范数剩余记号等概念，而且在特殊情形下研究类域许多性质，然后推广到一般情形下的猜想．大约十个这样的猜想构成20世纪代数数论的主流——类域论．该分支研究数域k的阿贝尔扩张与k的某些理想类之间的一一对应，而且描述在这种对应之下，k中的素理想如何在k的阿贝尔扩张中分解．希尔伯特的猜想从本世纪初起一个一个地被证明，  本数学家高木贞治(1875—1960)的成果．高木(1920)还推广了类域的概念，证明代数数域k的任何阿贝尔扩张K，都可以表示为k上的类域，这把经典代数数域理论纳入类域论的框架之中．1927年阿廷证明了一般互反律，建立了k的阿贝尔扩张的伽罗瓦群与k的理想类群的某一商群的明显同构，从而完成类域论的建立．不过这些证明都极复杂，而且运用了解析工具．20年代末，法国年轻的数学家厄布朗及薛华荔开始对类域论进行探索及改造，他们在诺特、阿廷及哈塞(H． Hasse，1898—1979)的影响下，不仅简化了许多证明，而且薛华荔在他1933年的博士论文中奠定了自成体系的类域论基础．在其后几年的研究中，他去掉解析工具，得出了完整的算术证明(1935)，并把有限次扩张推广到无穷次扩张上(1936)，为此他引进伊德尔，从而成功地完成从“局部”到“全局”的过渡——直接由局部类域论得出全局类域论所有结果(1940)．40年代，由于同调代数的发展，阿廷和他的学生泰特(J.Tats，1925—)用伽罗瓦上同调的语言重新表述类域论．希尔伯特在1900年提出的著名的23个问题中数论的问题除了素数  之类的数是否超越数．它的定义如下：一个数如果满足有理系数的代数方程，就叫做代数数．不是代数数的数就称为超越数．这种问题很难，直到1882年才证明圆周率π是超越数．希尔伯特曾对他的第七问题的解决很悲观，认为黎曼猜想的解决要比这个问题容易．不料情况完全相反，1929年苏联数学家格尔芳德(A．O．ГеЛЬФОНД，1906—1968)取得了突破，不久就解决了第七问题．近年来超越数论取得了重大的进展，并解决一系列经典问题，比如人们很早(1844)猜想ab－cd＝1只有唯一一组解32－22＝1，一直到1977年才由于超越数论的进展而得到肯定解决．
八、概率论
概率论的最基本概念是“概率”，它也叫“几率”“或然率”等，是随机事件的或然性或者可能性的数值估计．它有多种定义，如由大量试验所计算出来的“频率”(统计定义)，由“等可能性”出发，按照组合方法的古典定义，以及做为认识主体“信念程度”的定义．但是只有到1900年测度论发展起来以后，才有正确的理解．这时，我们把“事件”归结成“集合”，比如掷一颗骰子得1，2，3，4，5，6点，我们把它对应于{1，2，3，4，5，6}这样一个集合，而事件的“概率”，则表示集合中各子集合的“测度”，只要它满足整个集合的测度(概率)，等于1．因此，如果骰子没有不均匀处，发生{1}，{2}，…，{6}事件  如此等等．这样的概率表述方法的优点在于它可能推广到可列无穷集合上乃至一般的无穷集合如连续统(区间)上． 古典概率论两大极限定理是由伯努利和德·莫伏瓦在18世纪上半叶所奠基的大数定律和中心极限定理．前者是说当试验次数n增加时，取得成功的频率与概率p的偏差几乎可以任意小，比如掷硬币，掷的次数  频率与概率的误差分布越来越接近正态分布．这两个定理经过拉普拉斯、泊松、切贝舍夫、马尔科夫的经典研究之后，在1900年由李雅普诺夫开创了一个新时期．他引进特征函数，这实际上是过去应用很久的傅里叶变换法(傅里叶、拉普拉斯、油松及柯西均在不严格的情形下用过)，并改进切贝舍夫及马尔科夫的大数定律，同时证明李雅普诺夫定理．马尔科夫用截断变量的矩量法加以证明．后来柯尔莫哥洛夫于1926年最终给出大数定律的充分且必要条件，林德伯格(J．Lindeb- erg)1922年给出中心极限定理的充分条件．最后1937年费勒证明林德伯格条件是充分且必要的，从而结束了古典极限定理的研究时期．大约同时，也开始了对极限定理的新研究．例如，极限分布不是正态分布的情形，求独立且同分布的随机变量的和收敛于给定的极限的条件．关键的一步是意大利数学家芬耐蒂(B．de．Finetti)在1929年引进无穷可分分布律，1934年莱维给出它完全的刻划．1936年辛钦证明某种条件的独立随机变量和的极限分布都是无穷可分分布律．最后1939年苏联数学家格涅坚科(Б．В．Гнедко，1912—)及德国数学家杜  分必要条件 . 概率论当前最重要的分支是随机过程理论．比如一个口袋里含有b个黑球及r个红球，一次摸出一个球，摸出以后不放回，如果第七次摸到黑球，则令xt＝1，否则令xt＝0，从而xt是个随机变量，每一次具体抽样，就得到一个样本序列w，{x1(w)，x2(w)，…xb＋(w)}，这序列称为一个随机过程．这个例子中t的值及xt的取值均为离散的，我们称之为离散随机序列，同样可以推广成连续随机序列，离散随机过程及连续随机过程，随机过程研究诸xt之间的依赖关系． 随机过程的研究不仅有内在的意义，而且还与数学许多领域有着密切联系．它由测度论、位势论、傅里叶分析、巴拿赫空间中的算子半群，谱理论及遍历理论得到解析工具，反过来它又应用到函数不等式、微分方程、信息论、统计数学等领域，并通过随机积分应用到数学物理的许多分支中去． 最早最严格定义并深入研究的随机过程有马尔科夫过程及平稳过程． 马尔科夫过程是1906年由俄国数学家马尔科夫(A．A．Ma-Рков，1856—1922)提出来的．粗浅地讲，它的含义是，一个体系将来的发展只与体系的现在状况有关，而与体系过去的历史无关． 离散时间的马尔科夫过程称为马尔科夫链．1907年保尔·埃伦菲斯特(Paul Ehrenfest，1880—1933)夫妇提出一个简单而漂亮的马尔科夫链的模型．考虑两个容器A和B，A中盛有标记 1到N号码的球，然后在一个签盒中(号码 1到N)抽一个签得x，就把号码为x的球由它所在的容器搬到另一容器中．当然B最初是空的，第一步显然由A搬到B，其后A中球数就指数地减少到N/2，其后就在N/2附近摆动．这有点像气体由一瓶中扩散到真空瓶中的过程，所不同的是，这样一个过程总是以概率1回到初始状态，也就是全部N个球回到容器A，当然回到初始状态所经历的时间可以是很长很长的，而且永远也不返回初始状态的过程在所有过程当中是极少极少的． 马尔科夫过程最典型的例子是布朗运动．1827年，美国植物学家布朗(R．Brown，1773—1858)在显微镜下观察到液体中的颜料粒子做奇特的无规则运动．他在1828年发表这个结果后，曾引起许多不同意见的争论，长时间没有满意的定量解释．一直到1900年爱因斯坦(A．Einstein，1879—1955)和波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(H．VOO SOOIOChOWSki，1872—1917)独立给出物理上的解释，这就是布朗运动是分子无规则碰撞的结果．他们还得出粒子在某一轴上投影的位置．  (J．Perrin，1870一1942)在1908年发表了他关于布朗运动的实验结果，并给出测定阿伏加德罗常数的一个精确测定方法．这就无可辩驳地证明了原子论，打击了唯能论．1916年，斯莫卢霍夫斯基把布朗运动归结为一个数学问题，但不是从随机过程的观点出发的．第一个从数学上深刻研究布朗运动的是维纳，1923年他第一次给出随机函数(即后来随机过程)ω(t，ω)的严格定义，证明x=σω(c，ω)可以是布朗运动的理论模型．这种函数早在1900年已被法国数学家巴夏里耶(L．Bachelier，1870—1946)在他的博士论文中考虑过，不过他的论文是投机理论的．他在寻求股票市场的涨落过程中，发现W(t，w)的许多特征性质．他实际上发展了一种随机过程理论，而且也提到布朗运动．不过，由于当时对于概率论的普遍忽视，没有受到注意．维纳从样本路线的观念出发，研究“路线”的集合，引进维纳测度，并证明几乎所有轨道是连续的．1933年英国数学家佩莱，波兰数学家齐格蒙与维纳合作证明布朗运动的几乎确定所有轨道在每一点都是不可微的．这种连续而不可微函数在过去很长时间被认为是病态，而现在成为概率论中最重要的一类函数．而从马尔科夫过程观点研究布朗运动的是保尔·列维．他从1938年起，对布朗运动进行系统的研究，他研究随时间增长的样本路线，总假定未来与过去无关这种马尔科夫性质． |
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