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在线视频教程：向量分析
向量分析主要是要谈”梯度、散度与旋度”这三个重要观念， 而对应的则是方向导数、散度定理、与Stokes定理因此重心就在于如何厘清线积分、曲面积分以及他们所代表的物理意义。最后则是讨论一般座标系的梯度、散度与旋度。
授课教师 应用数学系 林琦焜老师
授课时数 每周3小时
授课学分 3学分
授课学年 96学年度
授课对象 大学二、三年级学生
预备知识 微积分
课程概述
视频教程
课程讲义
补充内容
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授课学分 3学分
授课学年 96学年度
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预备知识 微积分
课程概述
| 第一章 | 向量代數 |
| 第二章 | 向量函數 |
| 第三章 | 積分理論 |
| 第四章 | 曲線座標系統 |
| 第五章 | 向量分析之應用 |
视频教程
授課進度
|
下載
| |
| 第一章 向量代數 | ||
| 1-1節 有向線段 | ||
| 1-2節 向量的代數運算 | ||
| 1-3節 向量的內積 | ||
| 1-4節 正交與投影 | ||
| 1-5節 向量的外積 | ||
| 1-6節 向量的三重乘積 | ||
| 1-7節 幾何上之應用 | ||
| 第二章 向量函數 | ||
| 2-1節 向量函數與位置函數 | ||
| 2-2節 向量函數之微分與積分 | ||
| 2-3節 空間之曲線：曲率與扭率 | ||
| 2-4節 空間值點之運動：速度與加速度 | ||
| 2-5節 偏導數與曲面論 | ||
| 2-6節 方向導數與梯度 | ||
| 2-7節 向量場之散度與旋度 | ||
| 第三章 積分理論 | ||
| 3-1節 線積分與功 | ||
| 3-2節 保守力場與梯度 | ||
| 3-3節 Green定理 | ||
| 3-4節 正合微分方程與旋度 | ||
| 3-5節 曲面積分與通量 | ||
| 3-6節 高斯散度定理 | ||
| 3-7節 Stokes定理 | ||
| 3-8節 Green等式 | ||
| 第四章 曲線座標系統 | ||
| 4-1節 曲線座標的靈感 | ||
| 4-2節 曲線座標 | ||
| 4-3節 座標與投影 | ||
| 4-4節 梯度之意義 | ||
| 4-5節 散度之意義 | 上課影音 56K|128K|256K|MP4 | |
| 4-6節 旋度之意義 | ||
授課進度
|
講義下載
| |
第一章
| 向量代數 | |
第二章
| 向量函數 | |
第三章
| 積分理論 | |
第四章
| 曲線座標系統 | |
第五章
| 向量分析之應用 | |
| 標題 | 下載 | |
| ◎ | 實數系的建構 | 檔案下載 |
| ◎ | Cauchy-Schwarz 不等式之本質與意義 | 檔案下載 |
| ◎ | 從量綱看世界 | 檔案下載 |
| ◎ | The Vector Potential of a Solenoidal Vector 【摘錄自：The American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 3. (Mar.,1950), pp. 161-167.】 | 檔案下載 |
| ◎ | 單擺運動 | 檔案下載 |
| ◎ | Green定理與應用 | 檔案下載 |
| ◎ | The Fundamental Theorem of Calculus in Two Dimensions【摘錄自：Bennett Eisenberg; Rosemary Sullivan(2002).The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 9. (Nov.,2002), pp. 806-817.】 | 檔案下載 |
| ◎ | 棣美弗定理與Euler公式 | 檔案下載 |
| ◎ | 凸函數、Jemsen不等式與Legendre變換 | 檔案下載 |
| ◎ | 數、十進位與Cantor集 | 檔案下載 |
| ◎ | 從三角求和公式到Fourier級數 | 檔案下載 |
| ◎ | 碎形專題─從Cantor集到碎形 | 檔案下載 |
| ◎ | Why Did George Green Write His Essay of 1828 on Electricity and Magnetism?【摘錄自：I. Grattan-Guinness;The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 5. (May, 1995), pp. 387-396.】 | 檔案下載 |
| ◎ | Using Self-Similarity to Find Length, Area, and Dimension【摘錄自：James T. Sandefur;The American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 2. (Feb., 1996), pp. 107-120.】 | 檔案下載 |
| ◎ | Curvature in the Calculus Curriculum | 檔案下載 |
| ◎ | 從醉月湖的面積談起：向量微積分簡介【摘錄自：蔡聰明,數學傳播 21卷2期,民86年6月】 | 檔案下載 |
| ◎ | 規範場論及分析幾何【摘錄自：邵錦昌,數學傳播 25卷4期,民90年12月】 | 檔案下載 |
| ◎ | 淺談Stokes定理與電磁學【摘錄自：邵錦昌,數學傳播 18卷4期,民83年12月】 | 檔案下載 |
| ◎ | Maxwells Equations 【摘錄自：Theodore Frankel; The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 4. (Apr., 1974), pp. 343-349.】 | 檔案下載 |
| ◎ | Little Bits of Geometry─Similarity and Dimensionality | 檔案下載 |
| ◎ | Math Biography─WierstraB | 檔案下載 |
| ◎ | Math Biography─A. N. Kolmogorov and His Creative Life | 檔案下載 |
| ◎ | 愛因斯坦的光子說【摘錄自：多田邦雄,科學發展 395期,2005年11月】 | 檔案下載 |
| ◎ | 愛因斯坦的時空觀【摘錄自：施華強,科學發展 395期,2005年11月】 | 檔案下載 |
從
醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介
蔡聰
明
1.
一個求面積的問題
面積
是一個很古老的幾何概念, 它起源
於
人類要丈量土地的大小。Geometry 這個
字
的根源是geometrein, geo 是土地, metrein
是
測量, 故幾何學的原意是測量土地、
求
面積。自古以來, 由於所給的條件有各式各
樣
, 於是對應有各式各樣的面積公式。經過兩
千多
年的發展, 終於創立微積分, 透過微分法
一
舉解決了一切求積問題。
問
題1: 在平面上, 一條封閉曲線所圍成
的
領域, 例如台大的醉月湖, 如何求它的面積
呢
?
按思
考的常理, 我們先退到比較簡單的
特
例, 譬如說透過離散化或有窮化, 退到多邊
形
, 再退到四邊形乃至三角形。
對
於三角形的情形, 如果所給的數據是
三
個邊之長, 那麼其面積就有Heron 公式可
循
, 參見[1]。推廣到四邊形的情形, 如果所
給
的數據是四個邊之長加上兩對角線或兩個
對
角, 那麼其面積又有Brahmagupta 公式
與
Bretschneider 公式可算, 參見[2]。四邊
形的
面積公式已經有點煩瑣, 如果要再推廣
到
五邊以上的多邊形, 其困難是可以想像得
到
的, 甚至根本行不通。一個求面積公式, 若
只
能對付三角形或四邊形, 那麼也太局限了,
不合
數學追尋普遍的“萬人敵”之道。
換
個追尋的方向, 改變所給的數據是個
好
辦法:
(i)
假設多邊形的頂點皆為平面上的格
子
點, 那麼其面積就有Pick 公式
A
=
b
2
+
i − 1 (1)
其中
b 與i 分別表示在邊界上及內部的格子
點
之個數, 參見[4]。讓格子的間隔越來越小,
原則上利
用(1) 式可以求出一般平面領域的
面積
。
(ii)
已知多邊形的頂點坐標, 因為頂點
唯
一決定多邊形(邊則不然), 所以多邊形的
面積
理應可以利用頂點的坐標來表達。
實
際測量一塊多邊形的土地, 我們得到
邊
長r1, r2, ・ ・ ・ 以及邊相對於水平線之旋轉
角
θ1, θ2, ・ ・ ・, 參見圖1。由這些數據可以
得
到多邊形的頂點坐標。設第一點的坐標為
3
4
數學傳播21卷2期民86年6月
A
= (x1, y1) (由取平面坐標系而決定下來);
然後
就可求出B = (x2, y2) 如下:
x
2 = x1 + r1 cos θ1
y
2 = y1 + r1 sin θ1
接
著求出C = (x3, y3) 為
x
3 = x2 + r2 cos θ2
y
3 = y2 + r2 sin θ2
・ ・ ・
等等, 參見圖2。
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A
B
C
r
1
r
2
r
3
1
2
3
.......
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...............................
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圖
1
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........
.....
y
..........
x
A
(x1, y1)
B
(x2, y2)
C
(x3, y3)
D
(x4, y4)
圖
2
問
題2: 已知多邊形的頂點坐標為
(
x1, y1), (x2, y2), ・ ・ ・ , (xn, yn), 如何求其面
積
?
本文的
主題是: 先追尋多邊形的面積公
式
; 接著連續化得到平面上一般領域(包括
醉
月湖) 的面積公式; 再作推廣, 得到平面
上
的Green 定理; 最後推廣到三維空間, 得
到
Gauss 的散度定理與Stokes 的旋度定
理
。這些深深觸及向量微積分的核心, 是一條
值
得探尋的路徑。
2.
多邊形的面積公式
多
邊形仍然太複雜, 我們再退到三角形
的特
例, 探尋完成後, 再進到多邊形。這種處
理
問題時退、進之道很值得留意。
問
題3: 已知三角形三個頂點的坐標為
A
= (x1, y1),B = (x2, y2),C = (x3, y3),
如何
求其面積?
我
們進一步退到三個頂點為O=(0, 0),
B
= (x2, y2), C = (x3, y3) 之更特殊三角
形
。令OB,OC 與x 軸的夾角分別為θ1 與
θ
2, 且OB = ρ1,OC = ρ2, 則
x
2=ρ1 cos θ1, y2=ρ1 sin θ1
x
3=ρ2 cos θ2, y3=ρ2 sin θ2
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......
B
= (x2, y2)
C
= (x3, y3)
1
2
1
2
O
x
y
............
...........
...........
........
..
...
........
..
....
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...........
...........................................................
圖
3
從
醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介5
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.....
B
= (x2, y2)
C
= (x3, y3)
1
2
1
2
O x
y
...........
...............
........
..
...
........
..
...
....
.......
...
....
.................................................................................
圖
4
如上圖
所示, 我們分成兩種情形來討論:
(i)
當O,B,C 成為逆時針(或右手系)
定向
時, 如圖3, 則 OBC 的面積為
S
=
1
2
ρ
1ρ2 sin(θ2 − θ1)
=
1
2
ρ
1ρ2(sin θ2 cos θ1 − cos θ2 sin θ1)
=
1
2
(
x2y3 − y2x3)
=
1
2
x
2 x3
y
2 y3
(2)
(ii)
當O,B,C 成為順時針(或左手系) 定
向
時, 如圖4, 則 OBC 的面積為
S
=
1
2
ρ
1ρ2 sin(θ1 − θ2)
=
1
2
(
x3y2 − x2y3)
=
−
1
2
x
2 x3
y
2 y3
因
此行列式
x
2 x3
y
2 y3
代
表由OB 與OC 所生成的平行四邊形的
有
號面積, 當O,B,C 逆時針定向時為正, 順
時
針定向時為負。利用向量外積也可以推導
出
這個結果。
回
到問題3, 不妨假設 ABC 為逆時
針
走向, 見圖5, 則 ABC 的面積為
S
= OAB+ OBC− OAC
=
1
2
x
1 x2
y
1 y2
+
1
2
x
2 x3
y
2 y3
−
1
2
x
1 x3
y
1 y3
=
1
2
3
X
k=1
x
k xk+1
y
k yk+1
(3)
其中
規定x4 = x1 且y4 = y1
註
: 通常教科書將(3) 式寫成
S
=
1
2
1 1 1
x
1 x2 x3
y
1 y2 y3
(4)
不
過,(3) 式適於推廣到任何多邊形, 而(4)
式
則不然。換言之,(4) 式是死的, (3) 式才是
活的有
源之泉。
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A
= (x1, y1)
B
= (x2, y2)
C
= (x3, y3)
O x
y
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
........
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....
圖
5
6
數學傳播21卷2期民86年6月
仿
上述之論證可得
定
理1: 設A1(x1, y1),A2(x2, y2),
・ ・ ・
,An(xn, yn) 為n 邊形之頂點坐標且為
逆
時針定向, 則此n 邊形的面積為
S
=
1
2
n
X
k=1
x
k xk+1
y
k yk+1
(5)
其中
規定xn+1 = x1 且yn+1 = y1
註
: (5) 式又叫做測量師的公式。
3.
醉月湖的面積公式
公
式(5) 更是活生生的, 它還可以再推
廣
, 無窮化與連續化成平面上封閉曲線所圍
成的
領域(如醉月湖) 之面積公式。為此, 我
們
根據行列式的性質將(5) 式稍作變形
S
=
1
2
n
X
k=1
x
k xk+1 − xk
y
k yk+1 − yk
=
1
2
n
X
k=1
x
k xk
y
k yk
(6)
如何
連續化呢? 由微積分我們知道, 圓
內
接正n 邊形的連續化(即n → ∞ ) 就得
到圓
, 差和分的連續化就是微積分, 參見[3]。
按此理
, 平面上封閉曲線 所圍成的領域,
可以
看作是邊長為無窮小(infinitesimal) 的
無
窮多邊之多邊形(我們採無窮小論證之觀
點
)。所謂“連續化”在作法上就是將
和分
改為積分R
差
分 改為微分d
因
此,(5) 式的連續化就變成
S
=
1
2
Z
x dx
y dy
=
1
2
Z
xdy
−ydx (7)
此
地積分記號Z
意指
沿 以逆時針方向
作
曲線積分(line integral)。我們可以這樣
來
理解(6) 式: 想像封閉曲線 上無窮地
接
近的兩點(x, y)、(x + dx, y + dy) 與原點
(0
, 0) 所圍成無窮小的三角形面積為
1
2
x x
+ dx
y y
+ dy
=
1
2
x dx
y dy
再
讓(x, y) 沿曲線 的逆時針方向變動, 連
續
地求和(即積分), 就得到(7) 式, 參見圖
6
。
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............................. ...............
(
x + dx, y + dy)
(
x, y)
0
x
y
........................................................................................
....
...
..
...............................................................................................................................................................................................................................................................
......
......................................................................................................................................
...........
...........
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..........
...........
...........
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.........
.........
.......
.........
........
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........
.......
......
........
........
圖
6
例
1: 橢圓 的參數方程式為
x
= a cos t
y
= b sin t 0 ≤ t ≤ 2π
由
(7) 式算得
S
=
1
2
Z
xdy
− ydx
=
1
2
Z 2π
0
[
a cos t ・ b cos t
−
b sin t(−a sin t)]dt
=
1
2
ab
Z 2π
0
dt
=
πab
這
恰是通常熟悉的橢圓面積公式。
從
醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介7
因
此我們很有理由相信公式(7) 是對
的
。事實上, 我們可以採用一般微積分教科
書
上的極限論證法給予證明。不過, 我們要
指明
: 從Leibniz 或非標準分析(nonstandard
analysis)
的眼光來看, 無窮小
論證
法是合法的(歷史上曾被宣佈為“非法
的
”), 更漂亮而具有發現的潛力, 並且足以保
證
(7) 式是成立的。
定
理2: 設 : t ∈ [a, b] → (x(t),
y
(t)) ∈ R2 為一條單純的(即沒有打結)、封
閉
的可微分曲線, 並且是逆時針定向, 則 所
圍
成的領域之面積為
S
=
1
2
Z
x dx
y dy
=
1
2
Z
xdy
− ydx
=
1
2
Z b
a
[
x(t)y′(t)− y(t)x′(t)]dt (8)
註
: (8) 式表示, 沿著曲線 繞一圈, 作
某
種功(或度量), 就知道曲線所圍的面積, 這
真
奇妙。一位農夫沿著農地走一圈就知道面
積
!
對
於極坐標描述的封閉曲線
:
r = f(θ), a ≤ θ ≤ b
可
改為參數方程式
x
= f(θ) cos θ
y
= f(θ) sin θ a ≤ θ ≤ b
計算
x
(θ)y′(θ) − y(θ)x′(θ) = (f(θ))2
於是得
到:
推
論: 設 : r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, 為
一
條單純的、封閉的可微分極坐標曲線,則
所
圍成領域之面積為
S
=
1
2
Z b
a
(
f(θ))2dθ (9)
註
: 事實上, 不必限於封閉的極坐標曲線,(9)
式
亦成立。這是在微積分中我們熟悉的一個
公
式。
例
2: 設a > 0, 考慮半徑為a 的圓在
半
徑為3a 的圓內部沿著圓周滾動,試求滾動
圓上
一點P 的軌跡所圍成領域之面積。
解
: 如圖7所示, 取圓心為原點, 並且小
圓上
的P 點起先跟(3a, 0) 點重合, 然後開
始
滾動, 再取圓心角θ 當參數, 容易算出P
點
的坐標(x, y) 滿足
x
=2a cos θ+a cos 2θ
y
=2a sin θ−a sin 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
我
們稱P 點的軌跡為圓內三尖輪迴線(Deltoid)
。
由公式(8) 知, 它所圍成領域之面積
為
S
=
1
2
Z
xdy
− ydx
=
a
2
2
Z 2π
0
[(2 cos
θ + cos 2θ)
・
(2 cos θ − 2 cos 2θ)
−
(2 sin θ − sin 2θ)
・
(−2 sin θ − 2 sin 2θ)]dθ
=
a
2
2
Z 2π
0
(2
− 2 cos 3θ)dθ
=2
πa2
8
數學傳播21卷2期民86年6月
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(3
a, 0)
2
0
x
y
y
P
x
..
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..
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.
圖
7
習題
: 求星形線x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
, a > 0,
所
圍的面積。
4.
推廣成Green 定理
公
式(8) 是露出海面上的冰山之一角,
底
下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座
冰
山, 我們將(8) 式重新整理成:
Z Z
2
dxdy = 2S = Z
xdy
− ydx (10)
其中
表示 所圍成的領域, 通常也記
=
∂, 表示的邊界。
(10)
式顯示兩重積分與線積分具有密
切
關係。常函數ϕ(x, y) = 2 在 的內部作
兩
重積分就等於向量場~V (x, y) = x~i − y~j
沿
的邊界∂ 作線積分。這條線索類似於
微
積分根本定理
Z
[a,b]
f
′(x)dx=Z∂[a,b]
f
(x)dx
=
f(b) − f(a)
亦
即f 在邊界∂[a, b] 上作積分(得f(b) −
f
(a) ) 等於f 的變化率f′ 在[a, b] 上作積
分。因
此, 常函數ϕ(x, y) = 2 似乎應該就是
向
量場~V (x, y) = x~i − y~j 的某種“變化率”
(
或“微分”)。
為
了尋找兩重積分與線積分的一般關係
式
, 我們考慮平面上的向量場
~F
(
x, y) = P(x, y)~i + Q(x, y)~j
沿
著一條封閉曲線 作線積分
Z
~F
・
d~r = Z
P
(x, y)dx + Q(x, y)dy
問
題4: 線積分Z
Pdx
+Qdy 可化成
上什麼形式之兩重積分, 包括(10) 式為特
例
?
我
們仔細觀察(10) 式。欲Z
xdy
−
ydx
改寫成Z
Pdx
+ Qdy 之形, 只需取
P
(x, y) = −y 且Q(x, y) = x
就好了。但
是RR 2dxdy 這一項怎麼來的
呢
? 容易看出
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1 − (−1) = 2
因
此RR 2dxdy 就是由RR ( ∂Q
∂x
−∂P
∂y
)dxdy
得
來的。
到
此為止, 我們已經可以提出猜測
(Conjecture):
Z
∂
Pdx
+Qdy=Z Z
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dxdy (11)
我
們先用一個例子來檢驗(11) 式。
例
3: 設~F (x, y) = 2y~i + 3x~j, 即
P
(x, y) = 2y, Q(x, y) = 3x, :
x
2 + y2 = 1 為單位圓, 取參數方程式
x
= cos t
y
= sin t , 0 ≤ t ≤ 2π
從
醉月湖的面積談起: 向量微積分簡介9
則
Z
Pdx
+ Qdy=Z
2
ydx + 3xdy
=
Z 2π
0
[2 sin
t(−sin t) + 3 cos t ・ cos t]dt
=
Z 2π
0
(
1
2
+
5
2
cos 2
t)dt
=
π
另
一方面
Z Z
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dxdy
=
Z Z
x
2+y2≤1
(3
− 2)dxdy = π
因
此, 上述猜測對於本例成立。
我
們已有相當理由支持(11) 式之猜測,
那麼
我們就試證看看吧。仍然從最簡單的情
形
著手:
(i)
當 = [a, b] × [c, d] 為矩形領域
時
, 參見圖8。
Z
∂
Pdx
+ Qdy
=
Z b
a
P
(x, c)dx + Z d
c
Q
(b, y)dy
+
Z a
b
P
(x, d)dx + Z c
d
Q
(a, y)dy
=
Z d
c
(
Q(b, y) − Q(a, y))dy
−
Z b
a
(
P(x, d) − P(x, c))dx
由
Newton-Leibniz 公式(簡稱N − L 公
式
) 知
Q
(b, y) − Q(a, y) = Z b
a
∂Q
∂x
dx
P
(x, d) − P(x, c) = Z d
c
∂P
∂y
dy
所
以
Z
∂
Pdx
+ Qdy
=
Z d
c
Z b
a
∂Q
∂x
dxdy
− Z b
a
Z d
c
∂P
∂y
dydx
=
Z Z
(
∂Q
∂x
−
∂
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