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您的位置: 文学城首页 » 热点讨论主题 » 音乐快递 » 椭圆不稳定性
椭圆不稳定性
来源: marketreflections 于 2011-03-24 14:01:29 [档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话] 本文已被阅读：11次
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回答: 完全竞争市场的“玻色-爱因斯坦凝聚”将导致大量的企业集聚在产出为零的状态，这是一种非均衡态。也就是困扰了人类近300年的经济危机 由 marketreflections 于 2011-03-24 13:19:00
[PDF]
相变演化的理论与计算1
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作者：唐少强 - 相关文章
量的变化、相变临界点的位置等，上个世纪统计物理学的一系列工作，如伊辛模型（Ising model）、重整化群（renormalization group）方法等，大大丰富了这方面的知识。 ...
www.acm.caltech.edu/~maotang/paper/%3F%3Fb.pdf
相变演化的理论与计算1
唐少强
(北京大学 力学与工程科学系 LTCS， 北京 100871)
唐少强 男， 1970 年生，1990 年毕业于中国科技大学，1995 年
获香港科技大学博士学位，现任北京大学力学与工程科学系副教
授，主要从事力学与物理系统中非线性演化问题（如相变、半导体）
的理论及数值分析研究，在国内外学术刊物上发表论文 30 余篇。
摘要
相变系统随时间的演化过程是一个有着广泛应用背景的重要理论问题，其核心困难
在于椭圆不稳定性。本文介绍了两类处理方法，即广义熵条件法和加入耗散的方法。对于后
者，我们介绍了高阶耗散与低阶耗散方面的一些进展，理论和数值研究揭示了耗散与椭圆不
稳定性之间非线性相互作用的机理和复杂现象。
关键词 相变演化 非线性 不稳定性
1．引言
同一物质在不同条件下可以表现出完全不同的性质，人们由此抽取出相的概念。从一个
相到另一个相既可以突变，也可以渐变，统称为相变。相变广泛存在于自然界中，从日常生
活的“云腾致雨、露结为霜”描述的冰、水、汽三态变化，到高新科技领域的特殊材料由普
通状态到超导状态、液晶排列由无序到有序[1]，无一不是相变。力学工作者耳熟能详的问
题，包括范德瓦流体（van der Waals fluid）、某些粘弹性体（viscoelasticity）、马氏体相变
（Marsenstistic phase transformation）等。
相变研究主要有两个方面。一是探讨相变在怎样的物理状态下发生、相变类型随物理参
量的变化、相变临界点的位置等，上个世纪统计物理学的一系列工作，如伊辛模型（Ising
model）、重整化群（renormalization group）方法等，大大丰富了这方面的知识。另一方面，
人们还想知道相变系统如何演化，即已知初始时各相的分布，研究它怎样随时间而发展，本
文将着重介绍这方面的一些进展。
2．椭圆不稳定性
相变演化问题可以使用经典的平均场理论，这是一类唯象模型。以一维拉格朗日坐标系
下的范德瓦流体为例：
0,
( )
0.
t
x
t
x
v u
u
p v
-
=
⎧
⎨
+
=
⎩
（1）
其中 v 是比容，u 是速度，平均场理论假设相变系统给出特殊的压力函数 ( )
p v ，它以比较
复杂的方式依赖于温度 T。在图 1 中我们画出了几个不同温度下的曲线，注意到在亚临界温
度T T
，压力随比容单调递减的区域分成了两段（分别是液相和汽相）。在它们之间，
0
1
<
=
1 国家重点基础研究项目“非线性科学” （G2000077305）和自然科学基金项目（10002002,10271003）资
助。
--------------------------------------------------------------------------------
Page 2
压力随比容单调递增，对这种满足
的比容 ，局部线性化分析得到拉普拉斯型椭
圆方程
0
'( ) 0
p v >
0
v
（2）
0
'( )
0.
tt
xx
v
p v v
+
=
我们这里研究的是时间演化问题，上式为阿达玛（Hadamard）型不适定的，有形如
0
'( )
( , )
p v
t i x
v x t Ce
ω
ω
+
=
的解。其椭圆不稳定性表现为空间上的高阶模以更快的指数随时间增
长，很小的扰动会带来系统很大的变化，这直接导致了数值模拟的失效，即便用相当稳定的
数值方法如 ENO 格式加以计算，也得到不稳定的结果[2]。
在真实系统中不稳定性不仅存在，而且是相变的基本特征之一，但系统一般只对一定尺
度范围内的扰动具有敏感性，且扰动的增长方式也更为复杂，所以我们必须修正问题的表述，
研究系统中制衡不稳定性的物理机制。
经过二十多年的努力，人们发现了两类行之有效的修正方法，即广义熵条件法和引入耗
散机制的方法。它们与流体力学中激波的处理方法相应而又有所不同，我们在以下两节结合
激波的处理分别加以介绍。
需要指出的是，由于平均场本身只是一种唯象的表述，除非彻底抛开上述模型，修正也
是唯象的。尽管如此，这种唯象研究有助于我们对相变演化、特别是不稳定性的理解，有助
于发展更为深刻、更为准确刻画相变演化的理论。
3．广义熵条件法
我们知道，流体中会出现激波。在激波线上比容和速度不连续，因此欧拉方程组（1）
没有意义。对通常的流体（如理想气体），压力随比容单调递减，激波可由两个条件正确刻
画。一是 Rankine-Hugoniot 条件，描述激波传播速度与激波两侧物理量跃度之间的代数关系；
二是熵条件，即力学系统的熵保持增加，等价于要求相应的一族特征线相交（Lax 几何熵条
件），如图 2。
把这种思路用于范德瓦流体，我们首先限定流体处于稳定的相内（压力随比容递减），
而排除压力随比容递增的不稳定区间。这样，可能的间断有两种，一种是间断两侧在同一个
单调分支（同一相）里，就是通常的激波；另一种是连接液相与气相的相边界。相边界又分
为超音速和亚音速两种，前者的间断传播速度介于两侧的音速之间，而后者的传播速度则比
两侧音速都小。Rankine-Hugoniot 条件对这些间断都成立，但 Lax 熵条件却只适用于激波和
超音速相边界（图 2），因为在亚音速相边界上同族特征线不可能相交（图 3）。亚音速相边
界因此成为相变演化中的核心研究对象。
那么我们可不可以回避亚音速相边界呢？回答是否定的。如稳态的冰水混合物中，冰与
水的交界面就是静止的相边界，当然是亚音速的。通过考察亥姆霍兹自由能知道，静止相边
界两侧的比容应当满足两个条件，即相边界两侧的压力相等，及 p-v 图上这两相的连线割 p(v)
曲线得等面积的两块（麦克斯韦等面积率）。这样的相边界是唯一确定的，如图 3 中右图所
示。
80 年代初，随着激波研究的深入，不少学者转向相变这一富于挑战性的课题。由于熵
增加不足以唯一确定亚音速相边界，人们构造出一些特殊准则来解决这一困难，称为广义熵
条件，如皮筋条件（chord criterion）、广义 E 条件（generalized E-condition）、粘性-张力条件
（viscosity-capillarity condition）、熵率条件（entropy rate condition）等 [3]。举例来说，熵率
条件在满足 Rankine-Hugoniot 条件的亚音速相边界中选择熵增加得最快的一个，这样便得到
唯一的相边界。这类研究基本上集中在数学理论层面，如解的唯一性和稳定性。
--------------------------------------------------------------------------------
Page 3
由于发生相变的物理系统复杂多样，即使状态方程一样，不同的系统也可能选择不同的
亚音速相边界，这是由系统的微观动力学决定的。然而，广义熵条件的构造困难且缺乏物理
依据，构造出来的形式也十分有限。这说明忽略物理系统单纯形式地推广数学手段有其内在
的局限性。
有鉴于此，Abeyaratne 和 Knowles 提出亚音速相边界的选择应由物理系统给定，也就是
说，系统不只给出状态方程，还给出一个动理学条件（kinetic relation），它与 Rankine-Hugoniot
条件一起唯一确定亚音速相边界[4]。前述广义熵条件都可表述为某种动理学条件。另外，
为得到整体解，还需要成核条件（nucleation criterion）。问题于是转化为：什么样的动理学
条件和成核条件选择出合适的亚音速相边界？这里“合适”的一个重要标准就是给出的亚音
速相边界具有一定的结构稳定性，在小扰动下保持基本不变。近年来有一些工作讨论了速度
比较小的亚音速相边界的稳定性，参见[5]和所引文献。
4．加入耗散机制
流体总有粘性，因而真实的激波有一定的厚度，欧拉方程组中的强间断只是流体中激波
的一个近似。由于它能更清楚地刻画波的现象，数学上有时也更好处理，所以很多情况下人
们用间断描述激波。
比（1）式更为完整的是粘性系统
0,
( )
.
t
x
t
x
v u
u p v
u
γ
-
=
⎧
⎨
+
=
⎩
xx
xxx
（3）
其行波满足一个常微分方程组，激波则相应于该方程组的异宿轨。运用平面动力系统的定性
理论可以知道，异宿轨存在的充要条件正是 Rankine-Hugoniot 条件和 Lax 几何熵条件。
我们看到，无粘系统中激波满足的 Rankine-Hugoniot 条件和熵条件都可以从耗散系统
（3）中推导出来。换言之，无粘系统中要求激波满足的这两个条件是对原问题的一种修正，
而这种修正是与有粘性的耗散系统完全一致的。
值得指出的是，不同的耗散机制通常导出相同的激波条件，原因在于激波的压缩性质（特
征线在激波线上相交）。对相变系统，情况就完全改观，因为亚音速相边界不具有压缩性质，
耗散的改变可能导致不同的相边界，整个演化过程也可以大不相同。
具体地说，在引入耗散机制后，控制方程的解在比容分布上是连续的，于是我们不能排
除前述的不稳定态。研究表明，粘性不足以制衡该区间上的椭圆不稳定性，而且有粘性的控
制方程组也没有相应于亚音速相边界的行波解，因此必须考虑其它耗散机制。
Slemrod 提出加入张力项[6]：
（4）
0,
( )
.
t
x
t
x
xx
v u
u
p v
u
v
μ
ε
-
=
⎧
⎨
+
=
-
⎩
这个模型的色散关系如图 4 所示，其中横轴为波数，纵轴为增长指数的实部。当波数够
大时增长指数实部为负，短波不稳定性得到有效抑制。从数值模拟的角度说，只要网格足够
细，就可以得到稳定、收敛的数值结果。对于粘性-张力模型及一些相关模型，Slemrod 和樊
海涛等进行了系统的研究[7]，Zumbrun 证明了麦克斯韦态（静止相边界）附近的相变是稳
定的[8]，Chen 和 Wang 用摄动法和数值模拟得到有限长管道中静止相边界的线性稳定性[9]。
类似地，在质量方程上加人工粘性的模型也能有效克服短波不稳定性，空间一维和二维
数值研究发现相的分离和凝聚现象，并展示了存在稳定、亚稳、不稳的密度区域[10]。
如果考虑能量方程，我们还可以添加热耗散项，它与粘性一起，也有克服短波不稳定性
的作用[11]。
--------------------------------------------------------------------------------
Page 4
以上这些模型都是通过引入高阶耗散的方法制衡椭圆不稳定性，当耗散系数趋于 0，我
们就得到（1）的逼近，这就是粘性消去法（vanishing viscosity）。虽然还难以严格证明粘性
消去的极限给出（1）的强解，但通过行波分析我们可以得到基本波，特别地，亚音速的行
波就给出动理学条件，数值研究表明上述耗散系统的确是稳定的。
然而，高阶耗散处理有一定的局限性，我们并不很清楚数学上哪些高阶项具有耗散性质，
物理上清楚的耗散机制又很有限，得到的动理学条件和成核条件仍然不多，难以应付复杂多
样的相变系统。高阶导数的离散化还可能带来数值稳定性问题，边界条件的处理也较困难。
与此相比，低阶耗散的方法有着明显的优势。以单个守恒率方程为例：
（5）
( ) 0,
t
x
w f w
+
=
我们引入新变量 v 和弛豫参数λ 及0
1
ε
< ，松弛模型为
2
0,
1
( ( ) ),
t
x
t
x
w z
z
w
f w
λ
ε
+
=
⎧
│
⎨
+
=
-
│
⎩
z
（6）
当
时，
0
ε
+
→
( )
f w 逼近 z，第一个方程就逼近（5）。进一步作形式展开知道，只要 λ
充分大（满足亚特征条件），（6）就基本相当于（5）的一种粘性逼近[12]。（6）的行波方程
组也和粘性模型的等价，从而给出完全相同的基本波。
尽管双曲守恒率组（如欧拉方程组（1））有大量关于松弛模型的研究，人们通常认为松
弛比粘性的耗散作用弱，而如前所述，相变系统仅有粘性尚且不能稳定，因此松弛模型在相
变演化系统中的应用很少有人问津（除 Suliciu 的一个模型[13]）。我们在 2000 年提出并研究
了相变演化的离散 BGK 模型[14]
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
( , )
( , )
1
,
( , )
( , )
t
x
f
f
M v
f
f
M v
f
f
M v
f
f
M v
ε
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
1
2
1
2
u
f
u
f
u
f
u
f
+
+
-
-
⎧
⎫
Λ
⌈
⌉
⌈
⌉
⌈
⌉ ⌈
⌉
⌈
⌉
│
│
│
│
│
│
│
│ │
│
│
│
Λ
│
│
│
│
│
│
│
│ │
│
│
│
+
=
-
⎨
⎬
│
│
│
│
│
│ │
│
│
│
-Λ
│
│
│
│
│
│
│
│ │
│
│
│
│
│
-Λ
│
│
│
│
│
│ │
│
⌊
⌋
⌊
⌋
⌊
⌋
⌊
⌋ ⌊
⌋
⎩
⎭
（7）
这里
if
±
是 n 维向量，
1
diag( , , )n
λ
λ
Λ =
"
和0
1
ε
< 是弛豫参数。（1）中主要变量 v 和
u 分别为
1f
±
与
2
f
±
各分量之和。当
0
ε
+
→
，形式上
i
i
f
M
±
±
→
，因此
i
M
±
称为局部麦克斯
韦平衡态（local Maxwellian）。通过选择合适的 Λ和
i
M
±
，我们可以用（7）逼近（1）。当 Λ
满足亚特征条件时，这个模型的一阶展式给出正的粘性系数，因而我们可以期待它是稳定的，
这从大量的数值实验中得到了验证。（7）的稳定行波（或驻波）给出（1）的基本波，通过
选取不同的 和
Λ
1,2
M
±
，我们就得到多种多样的动理学条件和成核条件，可用以满足应用问
题的需要。近年发展起来的格子 Boltzmann 方法的思路与（7）有类似之处[15]。
Suliciu 模型可以看作离散 BGK 模型的一个特例[13]，它只有静止的亚音速相边界，动
理学条件与前述皮筋条件（chord criterion）一致。对三线性本构关系（tri-linear structural
relation），可以严格证明静止相边界是非线性稳定的[16]，而且任何黎曼问题（即分两段常
值问题）都是唯一可解的，因而我们可以期待一般的初值问题唯一可解。我们还对黎曼问题
的解进行了分类，研究了基本波的相互作用，数值模拟验证了这些结果。
--------------------------------------------------------------------------------
Page 5
金石和辛周平提出的松弛模型（relaxation model）最初是用以研究双曲型问题的[12]，
我们比较系统地研究了它在相变中的应用。事实上，它也是离散 BGK 模型的一个特例，并
与 Slemrod 的粘性-张力模型有着等价的行波方程，从而给出同样的亚音速相边界。与 Suliciu
模型不同的是，这里静止相边界满足麦克斯韦等面积率。借助数值分析，我们发现这个模型
的成核条件为：解尽量保持在同一相中。在这样的动理学条件和成核条件下，所有黎曼问题
都有唯一解。用摄动法可以得到有限长管道中静止相边界的线性稳定性，与[7]对粘性-张力
模型的研究结果类似，扰动通常以一种振荡的形式耗散掉，这也验证了低阶耗散的稳定作用。
数值研究表明，只要前述亚特征条件成立，解总是稳定的[17]。这个耗散模型相边界的非线
性稳定性十分困难，国际学术界尚未得到任何结果。
液汽相变的一个应用问题是激波撞击管壁，如果撞击后在管壁附近为亚稳态或不稳态，
就有可能失去空间均匀性，形成相的分离，实验发现演化过程中有时出现多个液环。我们把
离散 BGK 模型推广到这中空间二维或三维的情形，进行数值研究，发现无扰动时得到均匀
的亚稳态，而加上扰动时出现相分离，并观察到液环。与此相关，对空间不稳定均匀态的二
维问题，我们用松弛方法得到了扰动下的几种斑图（如图 5），展示了相变演化的复杂性[18]。
5．结束语
相变演化的研究，还有很多亟待解决的理论、计算的问题。例如，相边界的稳定性和多
尺度现象、计算的稳定性与复杂性、潜热，等等。应用到实际问题，如连续铸钢、强声波消
雾等，更会提出许多理论和计算的挑战性课题。此外，如何把相变研究的手段和成果推广到
其它具有不稳定性的力学系统中，也是具有前景的方向。
参考文献：
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Springer, 1990
4 Abeyaratne R, Knowles JK. Kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids.
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6 Slemrod D. Admissibility criteria for propagating phase boundaries in a van der Waals fluid.
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8 Zumbrun K. Dynamical stability of phase transitions in the p-System with viscosity-capillarity.
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11 Hsiao L, Luo T. Large-time behavior of solutions of one-dimensional nonlinear
--------------------------------------------------------------------------------
Page 6
thermoviscoelasticity. Q. Appl. Math. 1998, 56: 201~219
12 Jin S, Xin ZP. The relaxation schemes for systems of conservation laws in arbitrary space
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13 Suliciu I. A Maxwell model for pseudoelastic materials. Scripta Metallugica Materialia 1994,
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14 Natalini R, Tang S. Discrete kineic models for dynamic phase transitions. Comm. Appl.
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16 Tang S, Zhao H. Nonlinear stability of Suliciu model for phase transitions. Comm. Pure Appl
Anal. 2004, 3
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Wang P. Theoretical and numerical studies on dynamic phase transitions,2004: Peking Univ.
PhD Dissertation.
18 Tang S. Numerical Study of Dynamic Phase Transitions in 2-D with a Relaxed Scheme.
Proceedings of Ninth International Conference on Hyperbolic Problems (T. Hou & E. Tadmor eds.)
Heidelberg: Springer, 2003: 871~878
图 1. 不同温度下范德瓦流体的 p-v 曲线。
图 2. 左图：物理空间中激波或超音速相边界处的特征线与熵条件；
右图：相空间中激波和超音速相边界。
--------------------------------------------------------------------------------
Page 7
图 3. 左图 物理空间中的亚音速相边界（Lax 熵条件失效）；
右图 状态空间中的亚音速相边界和 Maxwell 等面积率。
图 4. Slemrod 粘性-张力模型的色散关系。
图 4. 二维松弛模型的斑图（不同时刻的密度图）。
--------------------------------------------------------------------------------
Page 8
Theoretical and Numerical Investigations on Dynamic Phase
Transitions
TANG Shaoqiang
(LTCS, Department of Mechanics and Engineering science, Peking University, Beijing 100871,
China)
Abstract Evolution of a phase transition system is an important topic with many applications. The
crucial difficulty lies in the instability of ellipticity. In this paper, we have briefly discussed two
types of approaches to resolve this difficulty, i.e. to employ generalized entropy conditions, or to
include dissipation mechanisms. For the latter one, we have described some recent progresses for
systems with both high-order dissipations as well as those with low-order ones. Theoretical and
numerical investigations reveals the mechanism and complex pattern evolving from the nonlinear
interaction between dissipations and ellipticity.
Key words dynamic phase transitions, nonlinearity, instability
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