正则量子化 海森伯正是通过对应原理得到描述微观力学的矩阵力学。[7]海森堡等将正则方程（1）的广义坐标和广义动量看成两个独立矩阵，从旧量子化条件出发，利用对应原理导出和Q满足对易关系qpPPQQPIi−h，I为单位矩阵

量子力学的正则量子化方案

李刚^*

华中师范大学物理学院

摘要：在经典力学中，根据具体问题的不同，我们可以采用不同的分析方法。同样地，量子力学理论会由于所采用的量子化方案的不同而具有不同的形式。本文，我们分析从经典力学过渡到量子力学的一般方案—正则量子化。正则量子化在量子理论的发展和应用中具有重要的作用。根据这种量子化方案，只要知道一个系统的经典正则方程就可以很方便地过渡到该系统的量子理论描述。

关键词：最小作用量原理 正则方程 哈密顿量 泊松括号

前言：

自然界服从简单性原则。万有定律统一了从太空中星体到地球上苹果的力学运动，麦克斯韦方程组统一了互不相干的电、磁和光现象，狭义和广义相对论统一了时间、空间、物质和运动。[1]在量子力学课程中我们已经学习了非相对论微观粒子的两种表述形式海森堡方程和薛定谔方程，以及两种表述形式的等价性。它们都以非常简洁的形式描述了微观粒子力学量的概率分布随时间的演化。但是，对于这两种表述方式的前提以及从经典系统过渡到量子系统的具体过程需作更深入的探讨。

1.1最小作用量原理和正则方程

假定在相空间中，为了描述一个自由度为的力学系统的运动状态，我们引入广义坐标q作为时间的函数s()qqt=[2]。定义作用量，拉格朗日函数()()21.,,ttSLqtqtt⎛⎞⎜⎝⎠∫ L是关于广义坐标、广义速度和时间t的函数。由最小作用量原理，()qt().qt0Sδ=,得到拉格朗日方程.0,LdLqdtqααα∂∂−∂∂分别是广义坐标和广义速度的第α个分量，且广义动量.Lpqαα∂=∂。这样，给定一个拉格朗日函数就完全决定了和它对应的力学系统的性质，力学系统的运动状态取决于初始时刻的。例如，在直角坐标系中，广义动量就是物理上的线性动量。在极坐标中，对应角速度的广义动量就是物理上的角动量。对于广义坐标的任意选取，可能不能找到共轭动量的直观解释[3]。.,qq

为此，对拉格朗日函数作勒让德变换，()()， 为系统的哈密顿量。容易得到正则方程dqHdtpdpHdtqαααα∂⎧⎪∂⎪⎨∂⎪−⎪∂⎩（1）

qα和pα是一对相互共轭的正则变量。对于经典系统，关键是要求系统的能量。同样，对于

量子系统，若已知系统初始时刻状态，再由系统的薛定谔方程或者海森堡方程，很容易得到任意时刻系统的状态。

下面，我们将具体讨论描述经典系统的正则方程和描述量子系统的薛定谔方程或者海森堡方程的联系。

1.2 泊松括号和对易关系

考虑任意力学量， F . . 1 s dF F F F q p dt t q p α α α α α = ⎛⎞∂ ∂ ∂ = + + ⎜⎟∂ ∂ ∂ ⎝⎠Σ

利用正则方程（1）， 1 s dF F F H F H dt t qppqα α α α α = ⎛⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + −⎜⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠Σ

引进泊松括号，{ } 1 , s F H F H H F qppqα α α α α = ⎛⎞∂ ∂ ∂ ∂ ≡ −⎜⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠Σ ，则{} , dF F HFdt t ∂ = + ∂ （2）

对于 pα 和qα 的任意两个函数f 和，{ } g 1 , s f g f g f g pqqpα α α α α = ⎛⎞∂ ∂ ∂ ∂ = −⎜⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠Σ ，

那么，容易得到对于任意力学量 , ,,ABCD ，有

{ } { } { } { } { } { } { ,, , , , , AB CD A CD B A B CD A C DB C A D B A B C D AC B D = + = + + + （3） } ,

和

{ } { } { } { } { } { } { ,, , , , , AB CD AB C D C AB D A C BD A B C D C A D B CA B D = + = + + + （4） } ,

得到恒等关系

{}() ( ){} ,,ACBDDBAC CABD−= −

一定有[4]

{} ( ) ,ACk AC CA= −（5）

（5）式定义了一种新的运算规则，称为对易关系。

在经典力学中，动量和坐标是相互独立的一组力学量，因此{} ,0 AC=

我们知道，在量子力学中力学量用线性厄米算符表示，,AC ∧ ∧ 分别表示描述力学量,AC 的算符，则,AC AC C ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎡⎤= −⎢⎥⎣⎦。一般说来，描述微观粒子的力学量不能同时确定，因此A

,0AC∧∧⎡⎤≠⎢⎥⎣⎦。

1.3对应原理

对应原理表述的是量子理论与经典物理理论的关系，它指出，在大量子数极限情况下，量子体系的行为将渐进地趋于经典力学体系。海森伯正是通过对应原理得到描述微观力学的矩阵力学。[7]海森堡等将正则方程（1）的广义坐标和广义动量看成两个独立矩阵，从旧量子化条件出发，利用对应原理导出和Q满足对易关系qpPPQQPIi−h，I为单位矩阵。也就是pqqpi∧∧∧∧−−h。它是一个全新的假定，只有实验才能确定它的真实性[8]。由（5）式， ,pqi∧∧⎡⎤⎢⎥⎣⎦h。因此，经典泊松括号过渡到量子泊松括号，即{}[]/i→h。再由（2）式，得到[]/,dFFiHFdtt∂=+∂h，这就是海森堡方程。

与这种量子化过程不同，薛定谔受到德布罗意物质波概念的启发，从经典哈密顿原理出发，借助哈密顿-雅可比方程，成功得到描述粒子波动特性的方程iHtψψ∧∂=∂h。[6][8]虽然，正则方程和薛定谔方程不能直接反应经典力学和量子力学的之间的关系，如果引入复变数，那么可以将两方程写成相同的的复变数形式[9]。

1.4不确定关系

从上面的分析可以知道，表征量子系统的最重要的是无量纲常量h，它的数量级为，趋近于零。怎样理解坐标和动量之间的显著性质3410−[],pqi=h？我们发现，当时，0→h[],pq→ ，将系统回到经典情形。1927年，海森堡从对易关系导出不确定关系2xxpΔΔ≥h，即坐标和动量不能同时具有确定值。进一步的证明发现，能量和时间也具有类似的不确定关系。[10]对于一般情形，任意两个力学量A与B在任意量子态下满足罗伯森-薛定谔关系式[11]。不确定关系具有重要的意义，它是微观粒子的内在秉性，是其波粒二象性的体现。

1.5总结

从经典力学到量子力学是人们思想上的一次伟大飞跃。不仅微观粒子具有量子效应，在超低温等条件下，由大量粒子组成的宏观系统也呈现出宏观量子现象。因此，清楚经典力学的量子化方案有助于我们更进一步地学习量子力学。

参考文献

[1]周鲁.哈密顿原理（DB-OL）.http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=306730. 2010-3-28 /2011-1-4.

[2]刘连寿.理论物理基础教程[M].2003.P17-19.

[3]百度百科.哈密顿力学（DB/OL）. http://baike.baidu.com/view/843005.htm.2011-1-4.

[4]朱德权，刘果红.分析力学和量子力学的泊松括号[J].安徽建筑工业学院学报（自然科学版）2003,11-4.

[5]曾谨言，喀兴林.对应原理在量子论发展中所起的作用[J].大学物理.

[6]维基百科. 薛定谔方程（DB-OL）.

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%96%9B%E5%AE%9A%E8%B0%94%E6%96%B9%E7%A8%8B.

[7]维基百科.矩阵力学（DB-OL）.

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%9F%A9%E9%99%A3%E5%8A%9B%E5%AD%B8

[8] 刘连寿.理论物理基础教程[M].2003.P109-110.

[9]许庆琳，濮振文.经典力学和量子力学运动方程的复变数形式[J].物理.

[10] 刘连寿.理论物理基础教程[M].2003.P479-480.

[11] 维基百科.不确定关系.

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%8D%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E5%85%B3%E7%B3%BB