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谢谢，找到这个连接了。你是学物理的？对 preprints 都能 track 得这么及时。
不熟悉 GPS 到底怎么计算速度。但是一般的 GPS 定位会涉及到3-4个同步卫星 (一般需要三个，不过第四个同步卫星能修正误差)。我得先知道 GPS 到底怎么用来测量速度的。
不过这篇 preprint 的关键点就在于作者认为 CERN 的可能忽略了同步卫星其实是运动的。想想这不太可能，因为 CERN 人很多，而且那篇实验报告已经酝酿的三年多了。
刚刚 google 了一下关于对 CERN 实验报告的解读。很明显，尽管解释原因不少 (你给的连接只是其中之一。刚刚在康奈尔大学某个网站看了谁的统计，至今已有 80+ 篇相关文章了)，但是答案都是一边倒的：大家一致认为那 60 ns 的差值，要么是因为系统误差，要么是因为实验数据处理忽略了相对论修正，亦即大家都认为中微子速度并没有超过光速。
60 纳秒不应该是偶然误差导致的，因为 60 ns 等价于 18 米，而据称 GPS 测量误差在 20 厘米左右，18 米相对于 20 厘米，可能在正态分布中相当于 5~6个 \sigma 了吧。
不熟悉 GPS 到底怎么计算速度。但是一般的 GPS 定位会涉及到3-4个同步卫星 (一般需要三个，不过第四个同步卫星能修正误差)。我得先知道 GPS 到底怎么用来测量速度的。
不过这篇 preprint 的关键点就在于作者认为 CERN 的可能忽略了同步卫星其实是运动的。想想这不太可能，因为 CERN 人很多，而且那篇实验报告已经酝酿的三年多了。
刚刚 google 了一下关于对 CERN 实验报告的解读。很明显，尽管解释原因不少 (你给的连接只是其中之一。刚刚在康奈尔大学某个网站看了谁的统计，至今已有 80+ 篇相关文章了)，但是答案都是一边倒的：大家一致认为那 60 ns 的差值，要么是因为系统误差，要么是因为实验数据处理忽略了相对论修正，亦即大家都认为中微子速度并没有超过光速。
60 纳秒不应该是偶然误差导致的，因为 60 ns 等价于 18 米，而据称 GPS 测量误差在 20 厘米左右，18 米相对于 20 厘米，可能在正态分布中相当于 5~6个 \sigma 了吧。
先来个简单的话题，什么叫数，number 到底是个什么东西，再顺便就首页几位朋友留言中容易评论的挑几句说说
(这也是俺在这里长篇灌水的初衷)。先说说荀四兄 15
楼的留言。整体上看，荀四兄那个留言太过抽象，涉猎甚广，跳跃很大，我读起来比较吃力。那更像是表达某种思想而不像是在表达
science。不过有个较为具体的句子“量子力学并不与相对论相冲突”还是值得评论评论的，何况这和楼主的本意有关。就目前的物理而言，两者还是冲突的
(只是没有证据表明这种冲突是不可调和的，而且一直有人为调和这种冲突，例如波尔和爱因斯坦的世纪之争，而付出努力，只是效果甚微罢了，例如波姆关于量子力学隐变量的研究
(嗯？又一个姓波的？波姆，波恩，波尔，等下还有一个波色。可惜俺和俺外子都不姓玻，呵呵。玻色是历史上最应该得到诺贝尔奖但是却没有得到的学者之一)。
尽管将狭义相对论和量子论捆绑起来的量子电动力学 (Quantum Electrodynamics) 是人类历史上最精确的理论之一，但是它并没有表明量子力学和狭义相对论的基础是相容的。著名的薛定愕猫，就是对哥本哈根学派的诘难。有诸多证据表明量子力
学和狭义相对论的经典决定论的矛盾：
1) 量子力学的统计解释
2) 海森堡不确定性原理
尽管将狭义相对论和量子论捆绑起来的量子电动力学 (Quantum Electrodynamics) 是人类历史上最精确的理论之一，但是它并没有表明量子力学和狭义相对论的基础是相容的。著名的薛定愕猫，就是对哥本哈根学派的诘难。有诸多证据表明量子力
学和狭义相对论的经典决定论的矛盾：
1) 量子力学的统计解释
2) 海森堡不确定性原理
俺先结合荀四兄 15 楼的帖子说说 1)：量子力学的统计解释。荀四兄 15
楼提及了布朗运动，不知这是否是指和量子力学的统计解释有关。如果是这样所指，那么我得说荀四兄的理解基本上是应该推敲的。
没错，统计这个词，任何人都听了不止几百次，大家怎么说都应该知道什么是平均值、中位值、方差；有些统计背景或者素养的，估计都知道什么是回归分析、统计推断，知道正态分布、泊松分布，知道大数定律、点估计、离散的马尔科夫链和连续的马尔科夫过程等，计算机中的模式识别，物理中的气体分子运动论，布朗运动以及波尔兹曼理论、熵，甚至从统计物理导出的 Yang-Baxter 方程 (这个 Yang 就是杨振宁。当然Yang-Baxter 方程现在的主要价值在数学中的扭结理论 Knot theory 以及可积系统，并和几位菲尔兹奖得主有关，当然这是题外话)。没错，这里的“统计”，包括荀四兄所说的布朗运动，都是大家脑袋中“统计”的意思，并无区别，尽管这里少数诗人估计就会算算平均值，连方差也不会算，呵呵。
说句题外话，爱因斯坦并未受到过正规的博士阶段的教育。老爱的博士学位其实是“论文博士”，并非那么正规 (不知现在哪些大学还有“论文博士”，呵呵)。他申请博士学位的论文恰恰就是关于布朗运动的，只有几页之长。当然，按照大家的观点，老爱这篇文章足够得到一枚诺贝尔奖就是：)
没错，统计这个词，任何人都听了不止几百次，大家怎么说都应该知道什么是平均值、中位值、方差；有些统计背景或者素养的，估计都知道什么是回归分析、统计推断，知道正态分布、泊松分布，知道大数定律、点估计、离散的马尔科夫链和连续的马尔科夫过程等，计算机中的模式识别，物理中的气体分子运动论，布朗运动以及波尔兹曼理论、熵，甚至从统计物理导出的 Yang-Baxter 方程 (这个 Yang 就是杨振宁。当然Yang-Baxter 方程现在的主要价值在数学中的扭结理论 Knot theory 以及可积系统，并和几位菲尔兹奖得主有关，当然这是题外话)。没错，这里的“统计”，包括荀四兄所说的布朗运动，都是大家脑袋中“统计”的意思，并无区别，尽管这里少数诗人估计就会算算平均值，连方差也不会算，呵呵。
说句题外话，爱因斯坦并未受到过正规的博士阶段的教育。老爱的博士学位其实是“论文博士”，并非那么正规 (不知现在哪些大学还有“论文博士”，呵呵)。他申请博士学位的论文恰恰就是关于布朗运动的，只有几页之长。当然，按照大家的观点，老爱这篇文章足够得到一枚诺贝尔奖就是：)
那么，“量子力学的统计解释”到底是什马意思呢？它基本上不是布朗运动中那个统计的意思。你将花粉丢在水里，因为受水分子热运动的撞击，花粉的运动看上去是完全随机的，杂乱无章的，你似乎不能预测10秒后花粉会溜到哪里去，对不对？但是这其中 subtle 的是，花粉运动的不可预测是因为技术上的困难，而不是它本身不可预测。假如你的杯子中有一摩尔水，亦即 6*10^23 个水分子，它们除了彼此撞击外还联手欺负某个花粉分子 (当然，估计没有什么花粉分子，这里理解为一个花粉 cluster 就是)，理论上你可以根据牛顿运动定律给出几十万万万亿亿亿个方程组然后去求解对不对？尽管事实上这不可能，但你不能并非表明耶和华不能，更不能表示这精确解不存在，对不对？来个极端的假设，假设你的水杯子中只有一个水分子，你将一个金原子丢在杯子里让它去受水分子的撞击，这个金原子的运动就很容易精确地计算出来，对不对。
所以经典物理世界，“统计”的意思是，精确解是存在的，亦即经典的决定论有效，只是因为技术上的困难你算不出而已。因为即使只考虑一个电子，你也没有办法确定电子到底会在哪里，电子的状态是用波函数去描述的，它是诸多物理量例如位移(空间)、时间、自旋等的分布函数。量子力学中电子的这种不可决定论是一种本质，而不是像经典物理图像中花粉运动的不可预测性，因为那不是本质的，仅仅是因为技术上的困难。
从数学结构而言，在量子力学中，一个物理量的统计分布，也和大家脑袋中固有的那个“统计”概念有很大的差别。量子力学的统计分布，从数学结构而言，实际上是希尔伯特内积空间上的谱分析。这里有物理、数学甚至工程背景的同学其实都或多或少地知道谱分析，尽管严格说来它属于数学中泛函分析这门学科。谱分析，用这里所有文人诗人都能懂的话说，它在最简单最原始的情况下就退化成笛卡儿平面解析几何，或者稍微抽象点，基本上就是线性代数中的矩阵的特征值和特征函数。平面上一个点，你可以将它根据 X、Y-轴展开为两个数 (x、y) ，例如 (-1，3)；在立体三维空间中，你则需要三个坐标轴去描述一个点，对不对？这里 XYZ 坐标轴大体上就是线性代数中的特征函数， (-1，3)之类就是特征值，呵呵。将矩阵的特征值和特征函数抽象起来，这个“特征值”实际上就是希尔伯特内积空间的“谱”。
物理、工程上最常见、最重要的的谱分析，这里许多人肯定都晓得，那就是傅立叶 Fourier 变换。开个玩笑，任何理工科背景的人都应该知道Fourier 变换，否则就算不合格，呵呵。Fourier 变换实际上就是将某个函数按照三角函数去展开，特别，如果这个函数是周期函数，Fourier 变换实际上就是算Fourier级数，将它按照三角函数 (正弦、余弦函数) sin (nx)，cos (nx)，(n 为整数) 去展开。形像地讲，就是这里的菊老板要将某个函数当成奖品分发给诸位斑竹 sin (nx)，cos (nx)，(n 为整数) ，大家论功行赏，所得的奖品就称为“振幅”。这里的Fourier级数实际上就是某种希尔伯特内积空间，诸位斑竹 sin (nx)，cos (nx)就相当于平面几何的X、Y坐标轴 (不过那里只有两维，这里有无穷维而已)，诸位斑竹分得的奖品，亦即振幅，就是“谱”，和平面解析几何的 (x、y) ，例如 (-1，3)是一回事情，呵呵。
谢大疏。老杨以后对物理的贡献就很少了。好像以后就试图赶了个超导的时髦，试图在碳-60
上整点什么出来，最后也不了了之。
借太牢骚愤青一把，中国穷人一大把，但是 ZF 还是有钱的。老杨呆在 stony brook，本来已在与世遗却的边缘，清华花那么大的代价，还筑个洋楼，不就图个虚名。如果要花大钱，也得请姚期智那样的人，起码老姚功底还在，还能教书育人带几个学生。
那些更年轻的，从学术角度而言，很多其实都练废了。例如北大现在生命科学院院长的饶毅，不知大家知道不。当然，他没法，至少此时没法和杨、姚这样的人比，但是放在中国，怎么说都算冒尖的，却连个劳什子院士也评不上，而且第一轮就打下来了。为啥？书呆子理想主义导致有时口无遮拦，得罪的人太多。
当然，饶回国后估计也没再好好做学问。如果可能，我倒是觉得他重回美国当教授的比较好。美国现在的学术界，尽管和以前比，也不再那么纯洁，教授们也多为斗米折腰，但是和中国比，还是干净得多，也井然有序得多。
借太牢骚愤青一把，中国穷人一大把，但是 ZF 还是有钱的。老杨呆在 stony brook，本来已在与世遗却的边缘，清华花那么大的代价，还筑个洋楼，不就图个虚名。如果要花大钱，也得请姚期智那样的人，起码老姚功底还在，还能教书育人带几个学生。
那些更年轻的，从学术角度而言，很多其实都练废了。例如北大现在生命科学院院长的饶毅，不知大家知道不。当然，他没法，至少此时没法和杨、姚这样的人比，但是放在中国，怎么说都算冒尖的，却连个劳什子院士也评不上，而且第一轮就打下来了。为啥？书呆子理想主义导致有时口无遮拦，得罪的人太多。
当然，饶回国后估计也没再好好做学问。如果可能，我倒是觉得他重回美国当教授的比较好。美国现在的学术界，尽管和以前比，也不再那么纯洁，教授们也多为斗米折腰，但是和中国比，还是干净得多，也井然有序得多。
接下来咱们来看看2) 海森堡不确定性原理。
海森堡不确定性原理，英文叫做 Heisenberg Uncertainty Principle，以一代宗师、量子力学的创始人之一海森堡Heisenberg 的名字命名。海森堡是个德国人，希特勒的追随者，二战时以他和奥地利的大物理学家泡利 Pauli 为首主持德国原子弹的研制，只不过美国那边以天才的奥本海默为首的科学家早一步研制出了原子弹并在日本的广岛、长崎投下，否则，二战结局如何还真的难说。因为这，海森堡差点被送上军事法庭审判。只是大家可能念及他对物理学的卓绝贡献而最终没有送他上军事法庭。
海森堡不确定性原理，英文叫做 Heisenberg Uncertainty Principle，以一代宗师、量子力学的创始人之一海森堡Heisenberg 的名字命名。海森堡是个德国人，希特勒的追随者，二战时以他和奥地利的大物理学家泡利 Pauli 为首主持德国原子弹的研制，只不过美国那边以天才的奥本海默为首的科学家早一步研制出了原子弹并在日本的广岛、长崎投下，否则，二战结局如何还真的难说。因为这，海森堡差点被送上军事法庭审判。只是大家可能念及他对物理学的卓绝贡献而最终没有送他上军事法庭。
海森堡和薛定愕同为量子力学的奠基人。海森堡是波尔阵营的猛将，薛定愕则是爱因斯坦旗下的猛将，有意思是不是。两人年纪也差不多，奠定量子力学的框架时都才
20 多岁，够厉害是不是。可是就连这样厉害的人物，海森堡却时不时被泡利斥为笨蛋，甚至，在海森堡领取诺贝尔奖那天，Pauli
也当众骂他笨，害得与会的物理学家们都敢怒不敢言，呵呵。为什么大家敢怒不敢言呢？因为大家都惹不起 Pauli。Pauli
此人的成就虽然在海森堡等宗师之下，但是他对物理的掌握、其聪明、其敏锐，估计是无人能敌，包括爱因斯坦在内。大家要是不信，可以从图书馆借那套“Pauli
物理学讲义”一读。那套讲义一共 6 册 (好像是 6 册，具体记不清了)，每册都很薄。泡利写那本关于狭义相对论的讲义时，他才 19
岁，那套讲义，百年后基本上没什么改动，现在仍然被奉为经典教科书。
大家知道，量子论的开山祖师虽然是普朗克普爷爷，但是普爷爷从来就不是量子论的领军人物，事实上普爷爷见量子论引爆了太多的混乱，弄得一发不可收拾，老人家痛不欲生，还站出来反对量子论。从
1900 年到 1913
年，量子论的旗帜，其实不是别人，而是爱因斯坦，尽管爱因斯坦一直和量子论的主流大本营哥本哈根学派过不去。爱因斯坦得到的那枚诺贝尔炸药奖，凭的不是相对论，也不是统计物理例如他对布朗运动的研究，而是光电效应，这属于量子论的范畴。1913
年，波尔抛出氢原子模型，才逐步成为量子论的旗帜。1925
年年轻的海森保、薛定愕、狄拉克才接过波尔的枪，完成了量子力学的框架，使得量子力学真正得以发扬光大。
大家可能会纳闷，从普爷爷 1900 年抛出量子的观点开始，到 1925 年量子力学的基本框架才完成，这期间怎么花了 1/4 个世纪？时间够长了是不是。再看看同一时期的狭义相对论，其框架的表述，几乎是举手之劳的事情。狭义相对论之所以名动江湖，是因为它对大家思维观念的冲击 (当然，它本身也是极为重要的，否则它也不会成为现代物理的基石)。在表述上，在数学结构上，狭义相对论是小菜一碟。但是量子力学却不是那样的，量子论虽然也颠覆传统的思维观念 (例如能量怎么得一份一份地而不是连续的)，但是其困难还包括数学表述上的困难。自牛顿以来，物理学家们总是假设咱们这个世界的物理量是连续而且光滑的。但是如果它们不是连续的呢？大家似乎还没有想到过，束手无策。
所以，狭义相对论和量子力学的发展是很不一样的。狭义相对论能从很简单的假设出发，用演绎地方式步步为营导出络仑兹变换，然后呢，从络仑兹变换出发，再加上能量守恒、动量守恒等假设导出狭义相对论 (的动力学内容)。第一个假设，任何惯性参照系是等效的 ---- 其直观背景就是牛顿第一运动定律，只不过这里被“提升”到了公设/原理的高度用更加简单更加自然的方式表述出来而已。也就是说，这个原理假设不同的惯性参照系中所看到的物理规律有同样的表述形式。多么自然优雅是不是？至于第二个假设，光速在真空中是个定值，其依据，就是物理实验：麦克尔迅-莫雷实验。
请大家注意的是，著名的时空变换络仑兹变换只是狭义相对论的“一部分”，因为它只涉及时间和空间如何去耦合去变换，而不涉及诸如力、质量、能量、动量等动力学内容。为了在动力学中得到有意义的结论，络仑兹变换是不够的，你还得有其他的假设，例如能量守恒定律，从而得到诸如著名的质能关系式 E=mc^2 等令人惊异的结论。大家知道，E=mc^2 就是原子能的理论依据。
大家可能会纳闷，从普爷爷 1900 年抛出量子的观点开始，到 1925 年量子力学的基本框架才完成，这期间怎么花了 1/4 个世纪？时间够长了是不是。再看看同一时期的狭义相对论，其框架的表述，几乎是举手之劳的事情。狭义相对论之所以名动江湖，是因为它对大家思维观念的冲击 (当然，它本身也是极为重要的，否则它也不会成为现代物理的基石)。在表述上，在数学结构上，狭义相对论是小菜一碟。但是量子力学却不是那样的，量子论虽然也颠覆传统的思维观念 (例如能量怎么得一份一份地而不是连续的)，但是其困难还包括数学表述上的困难。自牛顿以来，物理学家们总是假设咱们这个世界的物理量是连续而且光滑的。但是如果它们不是连续的呢？大家似乎还没有想到过，束手无策。
所以，狭义相对论和量子力学的发展是很不一样的。狭义相对论能从很简单的假设出发，用演绎地方式步步为营导出络仑兹变换，然后呢，从络仑兹变换出发，再加上能量守恒、动量守恒等假设导出狭义相对论 (的动力学内容)。第一个假设，任何惯性参照系是等效的 ---- 其直观背景就是牛顿第一运动定律，只不过这里被“提升”到了公设/原理的高度用更加简单更加自然的方式表述出来而已。也就是说，这个原理假设不同的惯性参照系中所看到的物理规律有同样的表述形式。多么自然优雅是不是？至于第二个假设，光速在真空中是个定值，其依据，就是物理实验：麦克尔迅-莫雷实验。
请大家注意的是，著名的时空变换络仑兹变换只是狭义相对论的“一部分”，因为它只涉及时间和空间如何去耦合去变换，而不涉及诸如力、质量、能量、动量等动力学内容。为了在动力学中得到有意义的结论，络仑兹变换是不够的，你还得有其他的假设，例如能量守恒定律，从而得到诸如著名的质能关系式 E=mc^2 等令人惊异的结论。大家知道，E=mc^2 就是原子能的理论依据。
但是量子力学的发展却是充满坎坷的，过去那样，现在也是如此。现在，你知道标准模型一定对么？谁都答不上来。所以，从量子力学的发展史上你可以找到一大串熠熠生辉的名字，但是从相对论，包括广义相对论/引力理论，的发展史上，你基本上只能见到爱因斯坦一个人孤独的背影。如果说狭义相对论尚有络伦兹、庞加莱、郎之万等人的参与，那么广义相对论则纯粹是爱因斯坦“无中生有”凭借其智慧鼓捣出来的。或者咱们可以等价地这么说，没有波尔、薛定愕、泡利、海森保、杨振宁等，没关系，他们的工作肯定会有人在不久的将来由另外的人完成；甚至，狭义相对论没有爱因斯坦也没关系，庞加莱、泡利等胆大妄为之余也能诠释络伦兹变换和狭义相对论
(亦即狭义相对论的提出是必然的)，但是广义相对论却完全不一样。如果没有爱因斯坦，咱们现在有没有广义相对论都难说。这是不是从另一个侧面衬托出了爱因斯坦的智慧、科研上的孤独离索、以及他的卓尔不群？
事实上，量子力学一些最主要的里程碑发现，特别是在早期，基本上都是那些牛人们凭借自己的直觉、智慧、经验“凑”出来的结果。没错，那些结论能或者基本上能得到实验的证实，随后也能赋予较为严密的数学结构/解释，但是没有人能很合理地解释为什么为什么结果/理论为什么必须会那样。咱们来看看那时的几个主要 milestone，包括海森保测不准原理在内。
事实上，量子力学一些最主要的里程碑发现，特别是在早期，基本上都是那些牛人们凭借自己的直觉、智慧、经验“凑”出来的结果。没错，那些结论能或者基本上能得到实验的证实，随后也能赋予较为严密的数学结构/解释，但是没有人能很合理地解释为什么为什么结果/理论为什么必须会那样。咱们来看看那时的几个主要 milestone，包括海森保测不准原理在内。
接着灌水。咱们来看看那时的几个主要 milestone，包括海森保测不准原理在内。
a) 氢原子模型。这是哥本哈根学派的核心人物尼尔斯*波尔的主要成就之一。毫无疑问它是量子论发展史上的 milestone 之一。实际上，波尔的氢原子模型就是个凑出来的模型，它能解释些 How，但是不能解释 Why。很大程度上这和在瑞士某女子中学任数学教师的巴尔末 Balmer 大约 30 年前 (指波尔发表氢原子模型之前的 30 年) 总结出氢原子光谱的Balmer 公式一样，本质上还是处于经验的归纳和总结阶段，区别只是波尔站的高度、对物理的掌握、洞察更高而已。这和狭义相对论、广义相对论那种本质上基于演绎推理的理论是很不一样的。
说个题外话。俺高中时代知道 Balmer 公式并且知道他是个中学教师后，自惭形秽之余也突发奇想看看就某些数据能否整个经验公式。当然那时俺还不是教师，但是怎么说也马马虎虎算个三好学生对不对，所以应该自惭形秽时还是可以去自惭形秽的，再说偷偷自惭形秽并不影响俺美丽而且光辉的形像......那时么，英特网据说有了，但是基本上只能依赖长途拨电话上网之类，那可不是俺能消费得起的，再说俺也没有电脑 (俺的第一台电脑，也是俺家的第一台电脑，还是俺光荣地考上大学后老爸因激动而昏头昏脑之余给俺的奖品，呵呵)，哪里能找到什么数据供俺折腾的？所以基本上只能就化学课本上不多的数据去发挥俺的折腾才华......最大最完整的数据之一 (如果不是最大最完整的数据的话)，就是元素的逐个电子的电离能数据，氢原子一个，氦原子两个，...，氧原子 8 个等，那个表里可有几百个数据，够俺这木脑袋折腾的了。那个晚上俺主要是对着那些数据发呆。嘿，功夫不负发呆人，俺居然惊奇地发现那几百个数据可以排列成若干二阶等差数列 (实际上就是原子序数的一元二次函数。所谓的等差数列不就是线性函数对不对)。第二天，俺故意装出个平静如水的样子，向化学老师展示了俺关于元素电离能的发现。俺还以为化学老师会猛夸我一顿呢，结果呢，虽然化学老师确实夸了我一顿，但是那夸奖不过是例行公事一般的，是假惺惺的，俺又不蠢，那种不置可否的夸奖岂有听不出来的道理......俺不甘心，又问老师，这个结论是不是已经有了，只是我不知道而已？如果没有，俺这个发现还是蛮不错的，俺王婆卖瓜地道。化学老师支吾道，我得拿去好好看看再说。这样，化学老师拿去看了 N 天，俺面皮薄，又不好意思催，这样又过了几天，化学老师才说，唔，这个结论好像有了。俺大失所望，道，在哪里有了，人家的结论和解释又是什么呢？化学老师却又答不上来，我又不好意思反复问，以免化学老师来火......
现在想来，俺那化学老师压根儿就不懂那些，基本上是在信口开河蒙我，只是他拉不下面子不肯在他的学生面前说不知道而已。为什么呢？俺后来也就是在大学里才知道俺的经验公式需要用量子力学才能解释，俺那化学老师哪里明白这些......不过俺高中对化学老师失望之余，就找了个借口拒绝参加化学方面的奥赛，须知那时很长一段时间内俺是学校的“特权学生”，能拿学校的钥匙自由进出学校的实验室，包括化学实验室。
a) 氢原子模型。这是哥本哈根学派的核心人物尼尔斯*波尔的主要成就之一。毫无疑问它是量子论发展史上的 milestone 之一。实际上，波尔的氢原子模型就是个凑出来的模型，它能解释些 How，但是不能解释 Why。很大程度上这和在瑞士某女子中学任数学教师的巴尔末 Balmer 大约 30 年前 (指波尔发表氢原子模型之前的 30 年) 总结出氢原子光谱的Balmer 公式一样，本质上还是处于经验的归纳和总结阶段，区别只是波尔站的高度、对物理的掌握、洞察更高而已。这和狭义相对论、广义相对论那种本质上基于演绎推理的理论是很不一样的。
说个题外话。俺高中时代知道 Balmer 公式并且知道他是个中学教师后，自惭形秽之余也突发奇想看看就某些数据能否整个经验公式。当然那时俺还不是教师，但是怎么说也马马虎虎算个三好学生对不对，所以应该自惭形秽时还是可以去自惭形秽的，再说偷偷自惭形秽并不影响俺美丽而且光辉的形像......那时么，英特网据说有了，但是基本上只能依赖长途拨电话上网之类，那可不是俺能消费得起的，再说俺也没有电脑 (俺的第一台电脑，也是俺家的第一台电脑，还是俺光荣地考上大学后老爸因激动而昏头昏脑之余给俺的奖品，呵呵)，哪里能找到什么数据供俺折腾的？所以基本上只能就化学课本上不多的数据去发挥俺的折腾才华......最大最完整的数据之一 (如果不是最大最完整的数据的话)，就是元素的逐个电子的电离能数据，氢原子一个，氦原子两个，...，氧原子 8 个等，那个表里可有几百个数据，够俺这木脑袋折腾的了。那个晚上俺主要是对着那些数据发呆。嘿，功夫不负发呆人，俺居然惊奇地发现那几百个数据可以排列成若干二阶等差数列 (实际上就是原子序数的一元二次函数。所谓的等差数列不就是线性函数对不对)。第二天，俺故意装出个平静如水的样子，向化学老师展示了俺关于元素电离能的发现。俺还以为化学老师会猛夸我一顿呢，结果呢，虽然化学老师确实夸了我一顿，但是那夸奖不过是例行公事一般的，是假惺惺的，俺又不蠢，那种不置可否的夸奖岂有听不出来的道理......俺不甘心，又问老师，这个结论是不是已经有了，只是我不知道而已？如果没有，俺这个发现还是蛮不错的，俺王婆卖瓜地道。化学老师支吾道，我得拿去好好看看再说。这样，化学老师拿去看了 N 天，俺面皮薄，又不好意思催，这样又过了几天，化学老师才说，唔，这个结论好像有了。俺大失所望，道，在哪里有了，人家的结论和解释又是什么呢？化学老师却又答不上来，我又不好意思反复问，以免化学老师来火......
现在想来，俺那化学老师压根儿就不懂那些，基本上是在信口开河蒙我，只是他拉不下面子不肯在他的学生面前说不知道而已。为什么呢？俺后来也就是在大学里才知道俺的经验公式需要用量子力学才能解释，俺那化学老师哪里明白这些......不过俺高中对化学老师失望之余，就找了个借口拒绝参加化学方面的奥赛，须知那时很长一段时间内俺是学校的“特权学生”，能拿学校的钥匙自由进出学校的实验室，包括化学实验室。
楼上 85
楼的图片，估计大部分人看不到。这里我重新上传到六间房，贴如下。
布鲁塞尔1927索尔维会议，爱因斯坦和玻尔各作‘守门员’
接下来咱们胡侃著名的
b) 泡利不相容原理 Pauli Exclusion Principle
俺先检讨一哈。楼上俺说，------量子力学一些最主要的里程碑发现，特别是在早期，基本上都是那些牛人们凭借自己的直觉、智慧、经验“凑”出来的结果。------这个说法本意并无贬抑量子力学的意思，本意只是在强调，和狭义相对论、广义相对论本质上更侧重演绎推理相反，量子力学早期的结论更侧重于经验归纳，上升到理论模型高度是以后的事情。事实上科学结论大部分都是这么得到的，像相对论那样从最开始起就能从简单的假设出发步步为营导出结论，实在是少数。呵呵那个“凑”字歧义太大了。
还是用以前的留言风格：海阔天空，从数学到物理，有时也搀和自己简陋的评论，希望对那些准备学习数学、物理的学生，或者正在学习数学物理数学的学生都有所帮助。俺尽量少用专业术语，尽可能让这里对 science 感兴趣的诗人文人们也能看出些大概。
如果说海森保算半个纳粹战犯，那么泡利可以说是 1/4 个纳粹战犯，呵呵。当世最大的天才之一 (如果不是最大的天才的话----主要因为爱因斯坦) 的泡利对物理最大的贡献之一，就是提出了泡利不相容原理。这一原理不仅对物理基础产生重大影响，而且对其它物理分支，例如统计物理、固体物理/凝聚态理论、化学等也产生了重大影响。它是现代物理最重要的原理之一。事实上，泡利本人于 1924 年提出这一原理时，就是从波尔那个像太阳系的氢原子模型以及化学元素周期表出发，凭借其的智慧观测总结得来的。这个原理是说：
原子中没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态。
当时对氢原子模型而言，量子态包括主量子数、轨道角动量子数，以及磁量子数三个参数。这些量子数是什么意思，不熟悉的读者可以不必理会，不过这和太阳系的行星轨道模型是很相似的。主量子数，基本上就是行星的轨道编号，例如水星处于第一个轨道，金星呢，在第二个轨道，地球第三个，火星第四个，木星不是第五个而是第六个，第五个是小行星群，呵呵。轨道角动量子数对应于行星绕太阳系的公转转动，而及磁量子数则是因为电子是带电的，转动时产生磁场。区别是，行星围绕太阳运动时像轨道角动量等是连续的，但是在氢原子模型中，因为量子的缘故，它们不再是连续的，而是离散的。
细心的读者可能会问：像地球一样的行星除了公转外，还有个自转啊。这自转对应什么呢？呵呵，没错，确实有个自转在氢原子模型中没有对应的。所以，泡利补上了这条对应：电子有自旋 spin。所以现在电子的量子态有四个参数：主量子数、轨道角动量子数、磁量子数，以及自旋量子数。泡利不相容原理是说，原子中没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态。
当然，以上是直观描述，估计纯诗人也看得明白。不过真正说到物理，自然没有这么简单，即使只考虑最开始的经验归纳总结，也不会有这么简单。让我们略微深化一哈，供有些物理背景的人阅读、批评、指正。
布鲁塞尔1927索尔维会议，爱因斯坦和玻尔各作‘守门员’
接下来咱们胡侃著名的
b) 泡利不相容原理 Pauli Exclusion Principle
俺先检讨一哈。楼上俺说，------量子力学一些最主要的里程碑发现，特别是在早期，基本上都是那些牛人们凭借自己的直觉、智慧、经验“凑”出来的结果。------这个说法本意并无贬抑量子力学的意思，本意只是在强调，和狭义相对论、广义相对论本质上更侧重演绎推理相反，量子力学早期的结论更侧重于经验归纳，上升到理论模型高度是以后的事情。事实上科学结论大部分都是这么得到的，像相对论那样从最开始起就能从简单的假设出发步步为营导出结论，实在是少数。呵呵那个“凑”字歧义太大了。
还是用以前的留言风格：海阔天空，从数学到物理，有时也搀和自己简陋的评论，希望对那些准备学习数学、物理的学生，或者正在学习数学物理数学的学生都有所帮助。俺尽量少用专业术语，尽可能让这里对 science 感兴趣的诗人文人们也能看出些大概。
如果说海森保算半个纳粹战犯，那么泡利可以说是 1/4 个纳粹战犯，呵呵。当世最大的天才之一 (如果不是最大的天才的话----主要因为爱因斯坦) 的泡利对物理最大的贡献之一，就是提出了泡利不相容原理。这一原理不仅对物理基础产生重大影响，而且对其它物理分支，例如统计物理、固体物理/凝聚态理论、化学等也产生了重大影响。它是现代物理最重要的原理之一。事实上，泡利本人于 1924 年提出这一原理时，就是从波尔那个像太阳系的氢原子模型以及化学元素周期表出发，凭借其的智慧观测总结得来的。这个原理是说：
原子中没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态。
当时对氢原子模型而言，量子态包括主量子数、轨道角动量子数，以及磁量子数三个参数。这些量子数是什么意思，不熟悉的读者可以不必理会，不过这和太阳系的行星轨道模型是很相似的。主量子数，基本上就是行星的轨道编号，例如水星处于第一个轨道，金星呢，在第二个轨道，地球第三个，火星第四个，木星不是第五个而是第六个，第五个是小行星群，呵呵。轨道角动量子数对应于行星绕太阳系的公转转动，而及磁量子数则是因为电子是带电的，转动时产生磁场。区别是，行星围绕太阳运动时像轨道角动量等是连续的，但是在氢原子模型中，因为量子的缘故，它们不再是连续的，而是离散的。
细心的读者可能会问：像地球一样的行星除了公转外，还有个自转啊。这自转对应什么呢？呵呵，没错，确实有个自转在氢原子模型中没有对应的。所以，泡利补上了这条对应：电子有自旋 spin。所以现在电子的量子态有四个参数：主量子数、轨道角动量子数、磁量子数，以及自旋量子数。泡利不相容原理是说，原子中没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态。
当然，以上是直观描述，估计纯诗人也看得明白。不过真正说到物理，自然没有这么简单，即使只考虑最开始的经验归纳总结，也不会有这么简单。让我们略微深化一哈，供有些物理背景的人阅读、批评、指正。
我们先说说经典物理中的哈密顿量以及七个基本守恒量。为什么我这里节外生枝地说它们呢？原因是它们太重要了，无论在经典物理还是现代物理中都扮演举足轻重的地位，可以说是物理中最核心的概念之一。而且，为了明白啥是自旋，先来这些铺垫还是有好处的。
大家知道，经典物理学大厦是由牛顿奠基盖起来的，以牛顿第二运动定律为核心的经典动力学，着重于分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系。牛顿力学后来在拉普拉斯、拉格朗日、哈密顿等人的努力下得以形式化和推广，其中最著名的两种等价形式是拉格朗日方程和哈密顿正则方程。这个，学习过大学物理的人都应该清楚。
如果局限于牛顿经典动力学，那么牛顿运动方程、拉格朗日方程以及哈密顿正则方程是等价的，并无区别。但是，拉格朗日方程和哈密顿正则方程除了在形式上完善外，还引入了广义坐标的概念。这意味着后两者除了能赋予更加严密的数学基础外，它们还能更加容易得以推广，因为在拉格朗日方程和哈密顿正则方程中，“坐标”并不再局限于时间和空间，比方说大家熟悉的四维电场-电势，它们在狭义相对论络伦兹变换下的规律和四维时空是一样的。
历史上，拉格朗日方程是用虚位移、广义坐标、广义力等概念、达朗贝尔原理以及数学上的变分法 (主要属于泛函分析领域) 等导出的，从偏微分方程角度而言，形式上它等价于二阶偏微分方程。众所周知，一般的二阶偏微分方程是很难得到一个解析解的，可能是基于这个原因 (当然应该还有别的原因)，在拉格朗日提出拉格朗日方程后大约半个世纪，哈密顿应用所谓的勒让德变换从拉格朗日方程导出了哈密顿运动方程，从偏微分方程角度而言，这些方程得以简化，因为它们是一阶的，但是代价是方程数目增加一倍。
大家知道，经典物理学大厦是由牛顿奠基盖起来的，以牛顿第二运动定律为核心的经典动力学，着重于分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系。牛顿力学后来在拉普拉斯、拉格朗日、哈密顿等人的努力下得以形式化和推广，其中最著名的两种等价形式是拉格朗日方程和哈密顿正则方程。这个，学习过大学物理的人都应该清楚。
如果局限于牛顿经典动力学，那么牛顿运动方程、拉格朗日方程以及哈密顿正则方程是等价的，并无区别。但是，拉格朗日方程和哈密顿正则方程除了在形式上完善外，还引入了广义坐标的概念。这意味着后两者除了能赋予更加严密的数学基础外，它们还能更加容易得以推广，因为在拉格朗日方程和哈密顿正则方程中，“坐标”并不再局限于时间和空间，比方说大家熟悉的四维电场-电势，它们在狭义相对论络伦兹变换下的规律和四维时空是一样的。
历史上，拉格朗日方程是用虚位移、广义坐标、广义力等概念、达朗贝尔原理以及数学上的变分法 (主要属于泛函分析领域) 等导出的，从偏微分方程角度而言，形式上它等价于二阶偏微分方程。众所周知，一般的二阶偏微分方程是很难得到一个解析解的，可能是基于这个原因 (当然应该还有别的原因)，在拉格朗日提出拉格朗日方程后大约半个世纪，哈密顿应用所谓的勒让德变换从拉格朗日方程导出了哈密顿运动方程，从偏微分方程角度而言，这些方程得以简化，因为它们是一阶的，但是代价是方程数目增加一倍。
谢谢杠王。
87 楼那个照片汇集了当时大部分最卓绝的物理学家。那些人基本上都是诺贝尔奖得主----朗之万除外。朗之万，像波色一样，可能是历史上最应该得到诺贝尔奖但是最终却没有得到的学者之一 (有人说吴健雄应该和李政道杨振宁一起分享诺贝尔奖，我也觉得是，但是相比之下朗之万更亏，呵呵)。朗之万是少数坚决和纳粹作斗争、并且对共产党、社会主义予以同情支持的学者之一。
当然有的学者得的诺贝尔奖并非一定是物理学奖 (尽管绝大部分是)，例如德拜得的是化学奖，居里夫人也得了一枚化学奖。本来么，作为物理学的一个分支，有时化学和物理难以区分的。埃伦费斯特多才多艺，他本人通晓物理，也是个数学家，他得的是诺贝尔经济学奖，够神奇的是不是？
87 楼那个照片汇集了当时大部分最卓绝的物理学家。那些人基本上都是诺贝尔奖得主----朗之万除外。朗之万，像波色一样，可能是历史上最应该得到诺贝尔奖但是最终却没有得到的学者之一 (有人说吴健雄应该和李政道杨振宁一起分享诺贝尔奖，我也觉得是，但是相比之下朗之万更亏，呵呵)。朗之万是少数坚决和纳粹作斗争、并且对共产党、社会主义予以同情支持的学者之一。
当然有的学者得的诺贝尔奖并非一定是物理学奖 (尽管绝大部分是)，例如德拜得的是化学奖，居里夫人也得了一枚化学奖。本来么，作为物理学的一个分支，有时化学和物理难以区分的。埃伦费斯特多才多艺，他本人通晓物理，也是个数学家，他得的是诺贝尔经济学奖，够神奇的是不是？
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