傅立叶变换广义坐标 的結果 (無引號)：
物理好图 测不准关系的直观理解图象
http://web.wenxuecity.com/BBSView.php?SubID=music&MsgID=530927
三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源
来源: marketreflections 于 10-03-02 18:09:18 [档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话]
回答: 狭义相对论通过Lorentz变换公式让时间和空间统一成四维时空，那么量子力学似乎通过傅立叶变换让坐标空间与动量空间统一成相空间（ 由 marketreflections 于 2010-03-02 17:16:29
http://physyouth.net/archives/264
相空间杂谈编辑:zxiang 2008-12-14 09:49:22
量子力学中，由于周期性的边界条件（或者可以周期延拓），从而三角函数排上用场。三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源。直接的量子化不是能量或者动量，而是三角函数的角度量子化（即作用量、或者说相空间测度量子化），只有当时间间隔或空间距离给定时，才等效成能量或动量量子化(同理，角度给定时就有角动量量子化，等等）.
利用相空间对测不准关系可以给出一个启发性的直观理解方式：
假设相空间中有一个长方形，边长分别为A和B，分别平行于位置空间坐标轴和动量空间坐标轴。量子力学无非告诉我们，相空间是离散化的，是量子化的，是由一块块”面积”（或”体积”）大小固定的砖块组成，这样的砖块称作”相空间格子”或者”相格子”（这个名词在激光物理中使用，不是本人杜撰）。假定这个长方形就是这样的基本”相空间格子”，由于它大小固定，所以，当对它进行任意变形时，若边长A变长，则相应地边长B必然变短，反之亦然。当边长对应偏差时，这就是测不准关系的直观理解图象。
通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，相格子的”面积”等于h^(n/2),其中h是没有除以2Pi的那个Planck常数,n是相空间的维数。也许这种差异就是因子1/4Pi的来源（测不准关系中，有1/2因子，因此说”因子1/4Pi”而不是”1/2Pi”）。在量子统计中，经常要计算的某种量跟量子态数成正比。无自旋时，认为相空间中，每一个相格子占据一个量子态，因子积分测度Vd^3p中含有（Vd^3p/h^3）个量子态，其中V是位置空间体积，d^3p是对三维动量的三重积分，h是 Planck常数，在自然单位制下，h^3变成2Pi的三次方，这里体积因子V常被波函数中的归一化因子吸收了。如果存在自旋等内部自由度，则还要乘以自由度数量。
在激光物理中，相格子代表”相干体积”（不过如果你看到”相干体积”这个词可能不一定是我这里所说的含义。相格子在这里至少还有三重不同的有趣含义，可惜我忘了，我的笔记在家里），处于同一个相格子中的光子才是相干的。激光就是处于同一个量子态的光子集合，技术上要实现更大的激光强度，就需要更多的光子相干。激光技术的一个目的之一，就是拼命地保持相干，可惜自然界偏偏有N多个因素破坏这种相干。
理想的激光频谱是一根线，即宽度为零的单色光，前面说过，相格子面积是固定的，因此单色光的相干时间是无穷长的，相干长度等于相干时间乘以光速，也是无穷长的。同一个光源，不同时刻发出的光子不一定相干，这取决于相干时间长短；不同的地方放出的光子不一定相干，这取决于相干长度。当然经历不同路径、不同运行时间的光子是否相干，也是取决于这些。
在信息技术中，当信号频率变高时，我们只有加快采样，才能获得尽量不失真的信息。然而，信号的频率可能会随时间而不断变化，我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的，而是要代之以小波分析。傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子，而小波分析相当于可以让这些相格子的边长形状因情况而随意改变：信号在动量轴上变化快时（这里把频率也视为动量），需要对动量轴方向的细节测量得更精细，这就要求相格子在平行于动量轴得边长变小；同样，在信号位置空间需要精细测量时，相格子平行于位置坐标轴方向的边长就变短。这个过程中相格子面积不变。
傅立叶变换相当于相空间中的坐标旋转变换。人们已经将传统的傅立叶变换–旋转90度的变换，推广到分数阶傅立叶变换，即在相空间中旋转任意角度的坐标变换，然而关于它存在N多个等价的定义，每一个定义给出了它的不同角度的理解。所有这些以及小波变换，都是应用科学的成果。应用与实践，常常是理论的源泉。
傅立叶变换是一个数学上的东东，然而别说在物理上，就是在技术的意义上，它都可以变得很实在。对于工科学生而言，傅立叶变换跟一台设备没有分别，因为在技术上人们就用仪器设备来实现它，连分数阶傅立叶变换都在技术上实现了。例如让一个信号输入某台设备，输出的就是这个信号的傅立叶变换！傅立叶变换其实是可以描述成算子。算子是什么东西？就是一台机器，你给它喂一个东西，它加工后产下另一个东西。
在我眼里数学是实在的，尽管它的描述方式可能是有些主观随意。有人说，只要桌子板凳也满足那些数学公理也可以，所以数学纯属主观性的–问题是，你要那些桌子板凳满足那些公理才行啊！这个比方是很误导少年的。
物理规律和数学真理是分不开的。并不是物理规律才叫规律，而数学规律就不叫规律，就是trival。 有一点在我看来是绝对的：如果没有那样的数学规律，就没有那样的物理规律。如果没有”3的平方加4的平方等于5的平方”这样的数论真理，现实中由3，4， 5构成边长的平面三角形就不会是直角三角形。如果不是有类似于”要构成空间局域的波包，必须要无穷多不同动量成分的平面波来叠加”或者不是因为有类似于 ”Dirac δ函数可以用指数函数展开（其中求和是连续求和的积分，积分变量是δ函数自变量的共轭动量）”这样的数学规律，就不会存在量子力学中的测不准关系。
三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源
来源: marketreflections 于 10-03-02 18:09:18 [档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话]
回答: 狭义相对论通过Lorentz变换公式让时间和空间统一成四维时空，那么量子力学似乎通过傅立叶变换让坐标空间与动量空间统一成相空间（ 由 marketreflections 于 2010-03-02 17:16:29
http://physyouth.net/archives/264
相空间杂谈编辑:zxiang 2008-12-14 09:49:22
量子力学中，由于周期性的边界条件（或者可以周期延拓），从而三角函数排上用场。三角函数是周期性的函数，从自变量到函数值的对应是多对一的关系。这种周期性就是一次量子化的数学根源。直接的量子化不是能量或者动量，而是三角函数的角度量子化（即作用量、或者说相空间测度量子化），只有当时间间隔或空间距离给定时，才等效成能量或动量量子化(同理，角度给定时就有角动量量子化，等等）.
利用相空间对测不准关系可以给出一个启发性的直观理解方式：
假设相空间中有一个长方形，边长分别为A和B，分别平行于位置空间坐标轴和动量空间坐标轴。量子力学无非告诉我们，相空间是离散化的，是量子化的，是由一块块”面积”（或”体积”）大小固定的砖块组成，这样的砖块称作”相空间格子”或者”相格子”（这个名词在激光物理中使用，不是本人杜撰）。假定这个长方形就是这样的基本”相空间格子”，由于它大小固定，所以，当对它进行任意变形时，若边长A变长，则相应地边长B必然变短，反之亦然。当边长对应偏差时，这就是测不准关系的直观理解图象。
通常的相格子定义中，其边长就是边长，不是边长的偏差，相格子的”面积”等于h^(n/2),其中h是没有除以2Pi的那个Planck常数,n是相空间的维数。也许这种差异就是因子1/4Pi的来源（测不准关系中，有1/2因子，因此说”因子1/4Pi”而不是”1/2Pi”）。在量子统计中，经常要计算的某种量跟量子态数成正比。无自旋时，认为相空间中，每一个相格子占据一个量子态，因子积分测度Vd^3p中含有（Vd^3p/h^3）个量子态，其中V是位置空间体积，d^3p是对三维动量的三重积分，h是 Planck常数，在自然单位制下，h^3变成2Pi的三次方，这里体积因子V常被波函数中的归一化因子吸收了。如果存在自旋等内部自由度，则还要乘以自由度数量。
在激光物理中，相格子代表”相干体积”（不过如果你看到”相干体积”这个词可能不一定是我这里所说的含义。相格子在这里至少还有三重不同的有趣含义，可惜我忘了，我的笔记在家里），处于同一个相格子中的光子才是相干的。激光就是处于同一个量子态的光子集合，技术上要实现更大的激光强度，就需要更多的光子相干。激光技术的一个目的之一，就是拼命地保持相干，可惜自然界偏偏有N多个因素破坏这种相干。
理想的激光频谱是一根线，即宽度为零的单色光，前面说过，相格子面积是固定的，因此单色光的相干时间是无穷长的，相干长度等于相干时间乘以光速，也是无穷长的。同一个光源，不同时刻发出的光子不一定相干，这取决于相干时间长短；不同的地方放出的光子不一定相干，这取决于相干长度。当然经历不同路径、不同运行时间的光子是否相干，也是取决于这些。
在信息技术中，当信号频率变高时，我们只有加快采样，才能获得尽量不失真的信息。然而，信号的频率可能会随时间而不断变化，我们要想跟踪变化而采样，传统的傅立叶分析是不够的，而是要代之以小波分析。傅立叶分析相当于在相空间取了边长形状固定的相格子，而小波分析相当于可以让这些相格子的边长形状因情况而随意改变：信号在动量轴上变化快时（这里把频率也视为动量），需要对动量轴方向的细节测量得更精细，这就要求相格子在平行于动量轴得边长变小；同样，在信号位置空间需要精细测量时，相格子平行于位置坐标轴方向的边长就变短。这个过程中相格子面积不变。
傅立叶变换相当于相空间中的坐标旋转变换。人们已经将传统的傅立叶变换–旋转90度的变换，推广到分数阶傅立叶变换，即在相空间中旋转任意角度的坐标变换，然而关于它存在N多个等价的定义，每一个定义给出了它的不同角度的理解。所有这些以及小波变换，都是应用科学的成果。应用与实践，常常是理论的源泉。
傅立叶变换是一个数学上的东东，然而别说在物理上，就是在技术的意义上，它都可以变得很实在。对于工科学生而言，傅立叶变换跟一台设备没有分别，因为在技术上人们就用仪器设备来实现它，连分数阶傅立叶变换都在技术上实现了。例如让一个信号输入某台设备，输出的就是这个信号的傅立叶变换！傅立叶变换其实是可以描述成算子。算子是什么东西？就是一台机器，你给它喂一个东西，它加工后产下另一个东西。
在我眼里数学是实在的，尽管它的描述方式可能是有些主观随意。有人说，只要桌子板凳也满足那些数学公理也可以，所以数学纯属主观性的–问题是，你要那些桌子板凳满足那些公理才行啊！这个比方是很误导少年的。
物理规律和数学真理是分不开的。并不是物理规律才叫规律，而数学规律就不叫规律，就是trival。 有一点在我看来是绝对的：如果没有那样的数学规律，就没有那样的物理规律。如果没有”3的平方加4的平方等于5的平方”这样的数论真理，现实中由3，4， 5构成边长的平面三角形就不会是直角三角形。如果不是有类似于”要构成空间局域的波包，必须要无穷多不同动量成分的平面波来叠加”或者不是因为有类似于 ”Dirac δ函数可以用指数函数展开（其中求和是连续求和的积分，积分变量是δ函数自变量的共轭动量）”这样的数学规律，就不会存在量子力学中的测不准关系。
搜尋結果
非传统区域Fourier变换与正交多项式_百度百科
baike.baidu.com/view/7906074.htm
轉為繁體網頁第2章三向齐次坐标下的Fourier变换与广义三角函数变换. 2.1 平面三向齐次坐标与函数表示. 2.1.1 三向齐次坐标的定义与性质. 2.1.2 三向坐标下函数的周期性与对称 ...
作用量-角度坐标- 维基百科，自由的百科全书 - 维基百科- Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/作用量-角度坐标
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参考系- 维基百科，自由的百科全书 - 维基百科- Wikipedia
zh.wikipedia.org/zh-hk/参考系
更廣義的來說，許多物理學中的問題都用到廣義坐標、實模態或特徵向量，這些都和時間和空間沒有直接的 ... 在廣義的巴拿赫空間中，這些數字能夠是諸如傅立葉級數等函數展開式中的系數。 ... 所以，洛倫茲變換及伽利略變換可以被視為坐標轉換。
《非传统区域Fourier变换与正交多项式》（孙家昶）【摘要书评试读】- 京东 ...
book.360buy.com/10339407.html
轉為繁體網頁具体内容包括单变量正交多项式ODE定义与B-网表示、三向齐次坐标下的Fourier变换与广义三角函数变换、三角域正交多项式PDE定义与B-网表示、四面体与平行十 ...
十、从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上- 结构之法算法之道- 博客 ...
blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6196862
轉為繁體網頁2011年2月20日 – 第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） ... Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 ..... 这是一个频谱图，横坐标表示频率大小，纵坐标表示振幅大小，原始信号 ...[PPT]
§1-7 傅里叶变换Fourier Transform 从傅里叶级数到傅里叶变换
211.71.86.13/.../05-二维线性系统分析1-傅里叶变换.ppt
轉為繁體網頁根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义: ... 按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.. {rect( )} ... 二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换
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